Решавайте комплексни числа онлайн с решение. Изрази, уравнения и системи уравнения с комплексни числа

Използването на уравнения е широко разпространено в живота ни. Те се използват в много изчисления, изграждане на конструкции и дори спорт. Човекът е използвал уравнения в древни времена и оттогава употребата им само се е увеличила. За по-голяма яснота нека разрешим следния проблем:

Изчислете \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] ако \

Първо, нека обърнем внимание на факта, че едното число е представено в алгебриката, другото - в тригонометрична форма. Трябва да се опрости и доведе до следващ изглед

\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]

Изразът \ казва, че първо правим умножение и повдигане на 10-та степен, използвайки формулата на Moivre. Тази формула е формулирана за тригонометричната форма на комплексно число. Получаваме:

\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]

Следвайки правилата за умножение на комплексни числа в тригонометрична форма, ние правим следното:

В нашия случай:

\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]

Правейки дробта \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] правилна, стигаме до заключението, че можем да „завъртим“ 4 оборота \[(8\pi rad.): \]

\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]

Отговор: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]

Това уравнение може да бъде решено по друг начин, който се свежда до привеждане на второто число в алгебрична форма, след това извършване на умножението в алгебрична форма, преобразуване на резултата в тригонометрична форма и прилагане на формулата на Moivre:

Къде мога да реша онлайн система от уравнения с комплексни числа?

Можете да решите системата от уравнения на нашия уебсайт https://site. Безплатният онлайн решаващ инструмент ще ви позволи да решавате онлайн уравнения с всякаква сложност за няколко секунди. Всичко, което трябва да направите, е просто да въведете данните си в решаващия инструмент. Можете също така да гледате видео инструкции и да научите как да решите уравнението на нашия уебсайт. И ако все още имате въпроси, можете да ги зададете в нашата група VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Присъединете се към нашата група, винаги се радваме да ви помогнем.

Онлайн услугата за решаване на уравнения ще ви помогне да решите всяко уравнение. Използвайки нашия уебсайт, вие ще получите не само отговора на уравнението, но и ще видите подробно решение, тоест стъпка по стъпка показване на процеса на получаване на резултата. Нашата услуга ще бъде полезна за ученици от гимназията средни училищаи техните родители. Учениците ще могат да се подготвят за контролни и изпити, да проверяват знанията си, а родителите ще могат да следят решаването на математически уравнения от децата си. Способността за решаване на уравнения е задължително изискване за учениците. Услугата ще ви помогне да се образовате и да подобрите знанията си в областта на математическите уравнения. С негова помощ можете да решите всяко уравнение: квадратно, кубично, ирационално, тригонометрично и др. онлайн услугаи е безценен, защото освен верния отговор получавате подробно решение на всяко уравнение. Ползи от решаването на уравнения онлайн. Можете да решите всяко уравнение онлайн на нашия уебсайт абсолютно безплатно. Услугата е напълно автоматична, не е необходимо да инсталирате нищо на компютъра си, трябва само да въведете данните и програмата ще ви даде решение. Грешки в изчисленията или правописни грешки са изключени. С нас решаването на всяко уравнение онлайн е много лесно, така че не забравяйте да използвате нашия сайт за решаване на всякакъв вид уравнения. Трябва само да въведете данните и изчислението ще бъде завършено за няколко секунди. Програмата работи самостоятелно, без човешка намеса и получавате точен и подробен отговор. Решаване на уравнението в общ изглед. В такова уравнение променливите коефициенти и желаните корени са взаимосвързани. Най-високата степен на променлива определя реда на такова уравнение. Въз основа на това, за уравненията използвайте различни методии теореми за намиране на решения. Решаване на уравнения от този типозначава намиране на търсените корени в общ вид. Нашата услуга ви позволява да решавате дори най-сложното алгебрично уравнение онлайн. Можете да получите както общо решение на уравнението, така и конкретно за посочените от вас числови стойностикоефициенти За да решите алгебрично уравнение на уебсайта, е достатъчно да попълните правилно само две полета: лявата и дясната страна на даденото уравнение. U алгебрични уравненияс променливи коефициенти има безкраен брой решения и чрез задаване на определени условия частните се избират от множеството решения. Квадратно уравнение. Квадратното уравнение има формата ax^2+bx+c=0 за a>0. Решаването на квадратни уравнения включва намиране на стойностите на x, при които е валидно равенството ax^2+bx+c=0. За да направите това, намерете дискриминантната стойност, като използвате формулата D=b^2-4ac. Ако дискриминантът по-малко от нула, тогава уравнението няма реални корени (корените са от полето на комплексните числа), ако е равно на нула, тогава уравнението има един реален корен, а ако дискриминантът е по-голям от нула, тогава уравнението има два реални корена, които се намират по формулата: D= -b+- sqrt/2a. За да решите квадратно уравнение онлайн, трябва само да въведете коефициентите на уравнението (цели числа, дроби или десетични). Ако в дадено уравнение има знаци за изваждане, трябва да поставите знак минус пред съответните членове на уравнението. Можете да решите квадратно уравнение онлайн в зависимост от параметъра, тоест променливите в коефициентите на уравнението. Нашата онлайн услуга за намиране общи решения. Линейни уравнения. За решения линейни уравнения(или системи от уравнения) има четири основни метода, използвани в практиката. Ще опишем всеки метод подробно. Метод на заместване. Решаването на уравнения чрез метода на заместване изисква изразяване на една променлива по отношение на другите. След това изразът се замества в други уравнения на системата. Оттук и името на метода на решение, т.е. вместо променлива, нейният израз се замества с останалите променливи. На практика методът изисква сложни изчисления, въпреки че е лесен за разбиране, така че решаването на такова уравнение онлайн ще ви помогне да спестите време и да улесните изчисленията. Просто трябва да посочите броя на неизвестните в уравнението и да попълните данните от линейните уравнения, след което услугата ще направи изчислението. Метод на Гаус. Методът се основава на най-простите трансформации на системата, за да се стигне до еквивалентна триъгълна система. От него неизвестните се определят една по една. На практика се изисква такова уравнение да се реши онлайн с Подробно описание, благодарение на което ще разберете добре метода на Гаус за решаване на системи от линейни уравнения. Запишете системата от линейни уравнения в правилния формат и вземете предвид броя на неизвестните, за да решите точно системата. Методът на Крамер. Този метод решава системи от уравнения в случаите, когато системата единствено решение. Основното математическо действие тук е изчисляването на матрични детерминанти. Решаването на уравнения по метода на Cramer се извършва онлайн, получавате резултата незабавно с пълно и подробно описание. Достатъчно е просто да попълните системата с коефициенти и да изберете броя на неизвестните променливи. Матричен метод. Този метод се състои в събиране на коефициентите на неизвестните в матрица A, неизвестните в колона X и свободните членове в колона B. По този начин системата от линейни уравнения се свежда до матрично уравнение с формата AxX = B. Това уравнение има уникално решение само ако детерминантата на матрица A е различна от нула, в противен случай системата няма решения или има безкраен брой решения. Решаването на уравнения с помощта на матричния метод включва намиране на обратната матрица A.

Изрази, уравнения и системи от уравнения
с комплексни числа

Днес в час ще практикуваме типични операции с комплексни числа, а също така ще овладеем техниката за решаване на изрази, уравнения и системи от уравнения, които съдържат тези числа. Този семинар е продължение на урока и затова, ако не сте добре запознати с темата, моля, следвайте връзката по-горе. Е, за по-подготвените читатели предлагам да загреете веднага:

Пример 1

Опростете израз , Ако . Представете резултата в тригонометрична форма и го нанесете върху комплексната равнина.

Решение: така че трябва да замените фракцията в „ужасната“ дроб, да извършите опростявания и да преобразувате резултата комплексно число V тригонометрична форма. Плюс рисунка.

Какъв е най-добрият начин за формализиране на решението? С "сложни" алгебричен изразПо-добре е да го разберете стъпка по стъпка. Първо, вниманието е по-малко разсеяно, и второ, ако задачата не бъде приета, ще бъде много по-лесно да се намери грешката.

1) Първо, нека опростим числителя. Нека заместим стойността в него, отворим скобите и поправим прическата:

...Да, такъв Квазимодо произлиза от комплексни числа...

Позволете ми да ви напомня, че по време на трансформациите се използват напълно прости неща - правилото за умножение на полиноми и равенството, което вече е станало банално. Основното нещо е да бъдете внимателни и да не се объркате от знаците.

2) Сега идва знаменателят. Ако , тогава:

Забележете в каква необичайна интерпретация е използвано формула за квадратна сума. Като алтернатива можете да извършите пренареждане тук подформула Резултатите естествено ще бъдат същите.

3) И накрая, целият израз. Ако , тогава:

За да се отървете от дроб, умножете числителя и знаменателя по спрегнатия израз на знаменателя. В същото време за целите на приложението формули за квадратна разликапърво трябва (и вече задължително!)поставете отрицателната реална част на 2-ро място:

И сега основното правило:

НЕ БЪРЗАМЕ! По-добре е да играете на сигурно и да се регистрирате допълнителна стъпка.
В изрази, уравнения и системи с комплексни числа, самонадеяни устни изчисления по-натоварен от всякога!

Имаше добро намаление в последната стъпка и това е просто страхотен знак.

Забележка : строго погледнато, тук се случи разделянето на комплексно число на комплексно число 50 (запомнете това). Досега мълчах за този нюанс и ще говорим за него малко по-късно.

Нека отбележим постижението си с буквата

Нека представим получения резултат в тригонометрична форма. Най-общо казано, тук можете да направите без чертеж, но тъй като е необходимо, е малко по-рационално да го направите точно сега:

Нека изчислим модула на комплексно число:

Ако рисувате в мащаб от 1 единица. = 1 см (2 клетки от тетрадка), тогава получената стойност може лесно да се провери с помощта на обикновена линийка.

Да намерим аргумент. Тъй като числото се намира във втората координатна четвърт, тогава:

Ъгълът може лесно да се провери с транспортир. Това е безспорното предимство на рисунката.

Така: – търсеното число в тригонометрична форма.

Да проверим:
, което трябваше да се провери.

Удобно е да намерите непознати стойности на синус и косинус с помощта тригонометрична таблица.

Отговор:

Подобен пример за независимо решение:

Пример 2

Опростете израз , Където . Начертайте полученото число върху комплексната равнина и го запишете в експоненциална форма.

Опитайте се да не пропускате уроците. Може да изглеждат прости, но без тренировка „влизането в локва“ е не просто лесно, а много лесно. Следователно ние „вземаме ръцете си върху него“.

Често един проблем има повече от едно решение:

Пример 3

Изчислете, ако,

Решение: първо, нека обърнем внимание на първоначалното условие - едното число е представено в алгебрична, а другото в тригонометрична форма и дори със степени. Нека веднага да го пренапишем в по-позната форма: .

В каква форма трябва да се извършват изчисленията? Изразът очевидно включва първо умножение и последващо повишаване на 10-та степен Формулата на Моавър, която е формулирана за тригонометричната форма на комплексно число. Така че изглежда по-логично да преобразуваме първото число. Нека намерим неговия модул и аргумент:

Използваме правилото за умножение на комплексни числа в тригонометрична форма:
ако , тогава

Правейки фракцията правилна, стигаме до извода, че можем да „завъртим“ 4 оборота (радвам се.):

Второ решениее да преобразувате второто число в алгебрична форма , извършете умножението в алгебрична форма, преобразувайте резултата в тригонометрична форма и използвайте формулата на Moivre.

Както можете да видите, има едно „допълнително“ действие. Желаещите могат да последват решението и да се уверят, че резултатите са същите.

Условието не казва нищо за формата на крайното комплексно число, така че:

Отговор:

Но „за красота“ или при поискване, резултатът не е трудно да си представим в алгебрична форма:

сам:

Пример 4

Опростете израз

Тук трябва да помним действия със степени, въпреки че един полезно правилоНяма го в ръководството, ето го: .

И още една важна забележка: примерът може да бъде решен в два стила. Първият вариант е да се работи с двечисла и разбиране с дроби. Втората опция е да представите всяко число като частно на две числа: И отървете се от четириетажната структура. От формална гледна точка няма значение как ще решите, но има съществена разлика! Моля, помислете внимателно за:
е комплексно число;
е частното на две комплексни числа ( и ), но в зависимост от контекста можете да кажете и това: число, представено като частно на две комплексни числа.

Кратко решение и отговор в края на урока.

Изразите са добри, но уравненията са по-добри:

Уравнения с комплексни коефициенти

Как се различават от „обикновените“ уравнения? Коефициенти =)

В светлината на горния коментар, нека започнем с този пример:

Пример 5

Решете уравнението

И незабавен преамбюл „по петите“: първоначалнодясната страна на уравнението е позиционирана като частно на две комплексни числа ( и 13) и следователно би било лоша форма да пренапишете условието с числото (въпреки че това няма да доведе до грешка). Тази разлика, между другото, е по-ясно видима във фракцията - ако, относително казано, тогава тази стойност се разбира предимно като "пълен" комплексен корен на уравнението, а не като делител на число и особено не като част от число!

Решение, по принцип също може да се подреди стъпка по стъпка, но в в такъв случайиграта не си струва свещта. Първоначалната задача е да се опрости всичко, което не съдържа неизвестното "z", което води до редуциране на уравнението до формата:

Ние уверено опростяваме средната фракция:

Прехвърляме резултата от дясната страна и намираме разликата:

Забележка : и отново ти обръщам внимание на смисловото - тук не извадихме число от число, а приведохме дробите към общ знаменател! Трябва да се отбележи, че вече в ПРОГРЕСА на решаването не е забранено да се работи с числа: , но в разглеждания пример този стил е по-скоро вреден, отколкото полезен =)

Съгласно правилото за пропорцията, ние изразяваме "zet":

Сега можете отново да разделяте и умножавате по конюгата, но подозрително сходните числа в числителя и знаменателя предполагат следващия ход:

Отговор:

За да проверим, нека заместим получената стойност в лявата страна на оригиналното уравнение и извършим опростяване:

– получава се дясната страна на първоначалното уравнение, като по този начин коренът се намира правилно.

...Сега, сега... Ще намеря нещо по-интересно за вас... ето вие:

Пример 6

Решете уравнението

Това уравнение се свежда до формата , което означава, че е линейно. Мисля, че намекът е ясен - дерзайте!

Разбира се... как ще живееш без него:

Квадратно уравнение с комплексни коефициенти

На урока Комплексни числа за манекенинаучихме, че квадратно уравнение с реални коефициенти може да има спрегнати комплексни корени, след което възниква логичен въпрос: защо всъщност самите коефициенти не могат да бъдат комплексни? Нека формулирам общ случай:

Квадратно уравнение с произволни комплексни коефициенти (1 или 2 от които или и трите могат да бъдат по-специално валидни)То има две и само двесложен корен (евентуално едното или и двете са валидни). В същото време корените (както реални, така и с ненулева имагинерна част)могат да съвпадат (да бъдат кратни).

Квадратно уравнение с комплексни коефициенти се решава по същата схема като "училищно" уравнение, с някои разлики в техниката на изчисление:

Пример 7

Намерете корените на квадратно уравнение

Решение: въображаемата единица е на първо място и по принцип можете да се отървете от нея (умножавайки двете страни по), обаче няма особена нужда от това.

За удобство записваме коефициентите:

Нека не губим "минуса" на безплатен член! ... Може да не е ясно за всички - ще пренапиша уравнението в стандартна форма :

Нека изчислим дискриминанта:

И тук е основната пречка:

Приложение на общата формула за извличане на корена (виж последния параграф на статията Комплексни числа за манекени) усложнен от сериозни трудности, свързани с аргумента на радикалното комплексно число (вижте сами). Но има и друг, "алгебричен" начин! Ще търсим корена във формата:

Нека повдигнем на квадрат двете страни:

Две комплексни числа са равни, ако техните реални и имагинерни части са равни. Така получаваме следната система:

Системата се решава по-лесно чрез избиране (по-задълбочен начин е да се изрази от 2-ро уравнение - заместване в 1-во, получаване и решаване на биквадратно уравнение). Ако приемем, че авторът на проблема не е чудовище, излагаме хипотезата, че и са цели числа. От първото уравнение следва, че "x" по модулповече от "Y". Освен това положителният продукт ни казва, че неизвестните са с един и същи знак. Въз основа на горното и фокусирайки се върху второто уравнение, записваме всички двойки, които му съответстват:

Очевидно е, че първото уравнение на системата е удовлетворено от последните две двойки, така че:

Една междинна проверка не би навредила:

което трябваше да се провери.

Можете да изберете като „работещ“ корен всякаквизначение. Ясно е, че е по-добре да вземете версията без „минусите“:

Намираме корените, без да забравяме между другото, че:

Отговор:

Нека проверим дали намерените корени удовлетворяват уравнението :

1) Нека заместим:

истинско равенство.

2) Нека заместим:

истинско равенство.

Така че решението е намерено правилно.

Въз основа на проблема, който току-що обсъдихме:

Пример 8

Намерете корените на уравнението

Трябва да се отбележи, че квадратният корен от чисто комплексночислата могат лесно да бъдат извлечени с помощта на общата формула , Където , така че и двата метода са показани в извадката. Втората полезна забележка се отнася до факта, че предварителното извличане на корена на константа изобщо не опростява решението.

Сега можете да се отпуснете - в този пример ще се разминете с лека уплаха :)

Пример 9

Решете уравнението и проверете

Решения и отговори в края на урока.

Последният параграф на статията е посветен на

система от уравнения с комплексни числа

Спокойно и... не се напрягайте =) Да помислим най-простият случай– система от две линейни уравнения с две неизвестни:

Пример 10

Решете система от уравнения. Представете отговора в алгебрична и експоненциална форма, изобразете корените на чертежа.

Решение: самото условие предполага, че системата има уникално решение, тоест трябва да намерим две числа, които удовлетворяват за всекиуравнение на системата.

Системата наистина може да бъде решена по "детски" начин (изразяват една променлива по отношение на друга) , но е много по-удобен за използване Формули на Крамер. Нека изчислим основен определящ факторсистеми:

, което означава, че системата има уникално решение.

Повтарям, че е по-добре да отделите време и да напишете стъпките възможно най-подробно:

Умножаваме числителя и знаменателя по въображаема единица и получаваме първи корен:

По същия начин:

Получават се съответните десни страни и т.н.

Да направим чертежа:

Нека представим корените в експоненциална форма. За да направите това, трябва да намерите техните модули и аргументи:

1) – аркутангенсът на „две“ се изчислява „зле“, така че го оставяме така:

ФЕДЕРАЛНА АГЕНЦИЯ ЗА ОБРАЗОВАНИЕ

ДЪРЖАВНО УЧЕБНО ЗАВЕДЕНИЕ

ВИСШЕ ПРОФЕСИОНАЛНО ОБРАЗОВАНИЕ

"ВОРОНЕЖКИ ДЪРЖАВЕН ПЕДАГОГИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ"

КАТЕДРА ПО ЪГЛЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Комплексни числа

(избрани задачи)

ДИПЛОМНА КВАЛИФИКАЦИОННА РАБОТА

специалност 050201.65 математика

(с допълнителна специалност 050202.65 Информатика)

Изпълнил: студент 5 курс

физико-математически

факултет

Научен ръководител:

ВОРОНЕЖ – 2008г

1. Въведение……………………………………………………...…………..…

2. Комплексни числа (избрани задачи)

2.1. Комплексни числа в алгебрична форма…………………….….

2.2. Геометрична интерпретация на комплексни числа…………..…

2.3. Тригонометрична форма на комплексни числа

2.4. Приложение на теорията на комплексните числа към решаването на уравнения от 3-та и 4-та степен………………………………………………………………………………

2.5. Комплексни числа и параметри……………………………………….

3. Заключение………………………………………………………………………………….

4. Списък с литература………………………….………………………......

1. Въведение

В училищната програма по математика теорията на числата се въвежда с помощта на примери за множества от естествени числа, цели числа, рационални, ирационални, т.е. върху множеството от реални числа, образите на които запълват цялата числова ос. Но още в 8-ми клас няма достатъчен запас от реални числа, решаване на квадратни уравнения с отрицателен дискриминант. Следователно беше необходимо да се попълни запасът от реални числа с помощта на комплексни числа, за които квадратният корен от отрицателно числоима значението.

Изборът на темата „Комплексни числа” като тема на моята последна квалификационна работа е, че понятието комплексно число разширява знанията на студентите за бройните системи, за решаването на широк клас задачи както с алгебрично, така и с геометрично съдържание, за решаването на алгебрични уравнения от всякаква степен и за решаване на задачи с параметри.

Тази дипломна работа разглежда решението на 82 задачи.

Първата част на основния раздел „Комплексни числа” дава решения на задачи с комплексни числа в алгебрична форма, дефинира операциите събиране, изваждане, умножение, деление, операцията на спрежение за комплексни числа в алгебрична форма, степента на имагинерна единица , модулът на комплексно число и също така определя правилото за извличане корен квадратенот комплексно число.

Във втората част се решават задачи за геометрична интерпретация на комплексни числа под формата на точки или вектори на комплексната равнина.

Третата част разглежда операциите върху комплексни числа в тригонометрична форма. Използваните формули са: Moivre и извличане на корен от комплексно число.

Четвъртата част е посветена на решаването на уравнения от 3-та и 4-та степен.

При решаването на задачи от последната част „Комплексни числа и параметри“ се използва и затвърдява информацията, дадена в предходните части. Поредица от проблеми в главата са посветени на дефинирането на семейства от прави в комплексната равнина, дадени чрез уравнения(неравенства) с параметър. В част от упражненията трябва да решите уравнения с параметър (над поле C). Има задачи, при които комплексна променлива едновременно удовлетворява редица условия. Особеност на решаването на задачи в този раздел е свеждането на много от тях до решаването на уравнения (неравенства, системи) от втора степен, ирационални, тригонометрични с параметър.

Характеристика на представянето на материала във всяка част е първоначалният вход теоретични основи, а впоследствие и практическото им приложение при решаване на задачи.

Накрая тезапредставен е списък на използваната литература. Повечето от тях представят теоретичен материал, се разглеждат и дават решения на някои проблеми практически задачиза самостоятелно решение. Специално вниманиеБих искал да се позова на такива източници като:

1. Гордиенко Н.А., Беляева Е.С., Фирстов В.Е., Серебрякова И.В. Комплексни числа и техните приложения: Учебник. . Материал учебно помагалопредставени под формата на лекции и практически упражнения.

2. Шклярски Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М. Избрани задачи и теореми от елементарната математика. Аритметика и алгебра. Книгата съдържа 320 задачи, свързани с алгебрата, аритметиката и теорията на числата. Тези задачи се различават значително по характер от стандартните училищни задачи.

2. Комплексни числа (избрани задачи)

2.1. Комплексни числа в алгебрична форма

Решаването на много задачи по математика и физика се свежда до решаване на алгебрични уравнения, т.е. уравнения на формата

,

където a0, a1, …, an са реални числа. Следователно изучаването на алгебрични уравнения е едно от критични въпросипо математика. Например, квадратно уравнение с отрицателен дискриминант няма реални корени. Най-простото такова уравнение е уравнението

.

За да има решение това уравнение, е необходимо да разширим множеството от реални числа, като към него добавим корена на уравнението

.

Нека обозначим този корен с

. Така, по дефиниция, или

следователно,

. наречена въображаема единица. С негова помощ и с помощта на двойка реални числа се съставя израз на формата.

Полученият израз беше наречен комплексни числа, защото съдържаше както реални, така и имагинерни части.

И така, комплексните числа са изрази на формата

, и са реални числа, и е определен символ, който отговаря на условието . Номерът се нарича реална часткомплексно число, а числото е имагинерната му част. За обозначаването им се използват символите ,.

Комплексни числа от вида

са реални числа и следователно множеството от комплексни числа съдържа множеството от реални числа.

Комплексни числа от вида

се наричат ​​чисто въображаеми. Две комплексни числа от вида и се наричат ​​равни, ако техните реални и имагинерни части са равни, т.е. ако равенства , .

Алгебричният запис на комплексните числа позволява операции с тях според обичайните правила на алгебрата.

За да решавате задачи с комплексни числа, трябва да разберете основните дефиниции. основната задачаТази обзорна статия има за цел да обясни какво представляват комплексните числа и да представи методи за решаване на основни проблеми с комплексни числа. И така, комплексно число ще се нарича число от формата z = a + bi, Където а, б- реални числа, които се наричат ​​съответно реална и имагинерна част на комплексно число и обозначават a = Re(z), b=Im(z).
азнаречена въображаема единица. i 2 = -1. По-специално, всяко реално число може да се счита за сложно: a = a + 0i, където a е реално. Ако а = 0И b ≠ 0, тогава числото обикновено се нарича чисто въображаемо.

Сега нека въведем операции върху комплексни числа.
Помислете за две комплексни числа z 1 = a 1 + b 1 iИ z 2 = a 2 + b 2 i.

Нека помислим z = a + bi.

Множеството от комплексни числа разширява множеството от реални числа, което от своя страна разширява множеството от рационални числа и т.н. Тази верига от инвестиции може да се види на фигурата: N – цели числа, Z - цели числа, Q - рационални, R - реални, C - комплексни.

Представяне на комплексни числа

Алгебрична нотация.

Помислете за комплексно число z = a + bi, тази форма на запис на комплексно число се нарича алгебричен. Вече обсъдихме подробно тази форма на запис в предишния раздел. Следният визуален чертеж се използва доста често

Тригонометрична форма.

От фигурата се вижда, че броят z = a + biможе да се напише различно. Очевидно е, че a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, следователно z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) се нарича аргумент на комплексно число. Това представяне на комплексно число се нарича тригонометрична форма. Тригонометричната форма на нотация понякога е много удобна. Например, удобно е да го използвате, за да повдигнете комплексно число до цяло число, а именно ако z = rcos(φ) + rsin(φ)i, Че z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, тази формула се нарича Формулата на Моавър.

Демонстративна форма.

Нека помислим z = rcos(φ) + rsin(φ)i- комплексно число в тригонометрична форма, запишете го в друга форма z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, последното равенство следва от формулата на Ойлер, така че получаваме нова униформазапис на комплексно число: z = re iφ, което се нарича показателен. Тази форма на запис също е много удобна за повишаване на комплексно число на степен: z n = r n e inφ, Тук нне е задължително цяло число, но може да бъде произволно реално число. Тази форма на нотация доста често се използва за решаване на проблеми.

Основна теорема на висшата алгебра

Нека си представим, че имаме квадратно уравнение x 2 + x + 1 = 0. Очевидно дискриминантът на това уравнение е отрицателен и то няма реални корени, но се оказва, че това уравнение има два различни комплексни корена. И така, фундаменталната теорема на висшата алгебра гласи, че всеки полином от степен n има поне един комплексен корен. От това следва, че всеки полином от степен n има точно n сложни кореникато се вземе предвид тяхната множественост. Тази теорема е много важен резултат в математиката и се използва широко. Просто следствие от тази теорема е, че има точно n различни корена от степен n на единица.

Основни типове задачи

Този раздел ще обхване основните видове прости задачикъм комплексни числа. Обикновено проблемите, включващи комплексни числа, могат да бъдат разделени на следните категории.

• Извършване на прости аритметични операции със сложни числа.
• Намиране на корените на полиноми в комплексни числа.
• Повдигане на комплексни числа на степени.
• Извличане на корени от комплексни числа.
• Използване на комплексни числа за решаване на други задачи.

Сега нека разгледаме общите методи за решаване на тези проблеми.

Най-простите аритметични операции с комплексни числа се извършват съгласно правилата, описани в първия раздел, но ако комплексните числа са представени в тригонометрични или експоненциални форми, тогава в този случай можете да ги преобразувате в алгебрична форма и да извършвате операции според известни правила.

Намирането на корените на полиноми обикновено се свежда до намиране на корените на квадратно уравнение. Да предположим, че имаме квадратно уравнение, ако неговият дискриминант е неотрицателен, тогава неговите корени ще бъдат реални и могат да бъдат намерени по добре известна формула. Ако дискриминантът е отрицателен, т.е. D = -1∙a 2, Където ае определено число, тогава дискриминантът може да бъде представен като D = (ia) 2, следователно √D = i|a|, и след това можете да използвате добре позната формулаза корените на квадратно уравнение.

Пример. Да се ​​върнем към споменатото по-горе. квадратно уравнение x 2 + x + 1 = 0 .
Дискриминанта - D = 1 - 4 ∙ 1 = -3 = -1(√3) 2 = (i√3) 2.
Сега можем лесно да намерим корените:

Повдигането на комплексни числа до степени може да се извърши по няколко начина. Ако трябва да повишите комплексно число в алгебрична форма до малка степен (2 или 3), тогава можете да направите това чрез директно умножение, но ако степента е по-голяма (в задачи често е много по-голяма), тогава трябва да запишете това число в тригонометрични или експоненциални форми и използвайте вече известни методи.

Пример. Да разгледаме z = 1 + i и да го повдигнем на десета степен.
Нека запишем z в експоненциална форма: z = √2 e iπ/4.
Тогава z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Нека се върнем към алгебричната форма: z 10 = -32i.

Извличането на корени от комплексни числа е обратна операция на степенуването и следователно се извършва по подобен начин. За извличане на корени често се използва експоненциалната форма на записване на число.

Пример. Нека намерим всички корени от степен 3 на единица. За да направим това, ще намерим всички корени на уравнението z 3 = 1, ще търсим корените в експоненциална форма.
Нека заместим в уравнението: r 3 e 3iφ = 1 или r 3 e 3iφ = e 0 .
Следователно: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, следователно φ = 2πk/3.
Получават се различни корени при φ = 0, 2π/3, 4π/3.
Следователно 1, e i2π/3, e i4π/3 са корени.
Или в алгебрична форма:

Последният тип проблеми включва огромно разнообразие от проблеми и няма общи методи за тяхното решаване. Нека дадем прост пример за такава задача:

Намерете сумата sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).

Въпреки че формулировката на този проблем не го прави ние говорим заза комплексни числа, но с тяхна помощ може лесно да се реши. За решаването му се използват следните представяния:


Ако сега заместим това представяне в сумата, тогава проблемът се свежда до сумиране на обичайната геометрична прогресия.

Заключение

Комплексните числа се използват широко в математиката; тази обзорна статия разглежда основните операции върху комплексни числа, описва няколко вида стандартни проблеми и описва накратко общите методи за решаването им; за по-подробно проучване на възможностите на комплексните числа се препоръчва използвайте специализирана литература.

Литература