Armastus 

Ruutvõrrand. Ruutvõrrandite lahendamise viisid

Kopjevskaja maagümnaasium

10 lahenduse viisi ruutvõrrandid

Juht: Patrikeeva Galina Anatoljevna,

matemaatika õpetaja

s.Kopyevo, 2007

1. Ruutvõrrandite kujunemise ajalugu

1.1 Ruutvõrrandid muistses Babülonis

1.2 Kuidas Diophantus ruutvõrrandeid koostas ja lahendas

1.3 Ruutvõrrandid Indias

1.4 Ruutvõrrandid al-Khwarizmis

1.5 Ruutvõrrandid Euroopas XIII - XVII sajand

1.6 Vieta teoreemi kohta

2. Ruutvõrrandite lahendamise meetodid

Järeldus

Kirjandus

1. Ruutvõrrandite kujunemise ajalugu

1.1 Ruutvõrrandid muistses Babülonis

Vajaduse lahendada iidsetel aegadel mitte ainult esimese, vaid ka teise astme võrrandeid tingis vajadus lahendada sõjalise iseloomuga maa-alade ja mullatöödega seotud ülesandeid, samuti astronoomia ja astronoomia arengut. matemaatika ise. Ruutvõrrandid suutsid lahendada umbes 2000 eKr. e. babüloonlased.

Kaasaegset algebralist tähistust rakendades võib öelda, et nende kiilkirjatekstides on lisaks mittetäielikele ka näiteks täisruutvõrrandid:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Babüloonia tekstides toodud nende võrrandite lahendamise reegel langeb sisuliselt kokku tänapäevase reegliga, kuid pole teada, kuidas babüloonlased selle reeglini jõudsid. Peaaegu kõik seni leitud kiilkirjatekstid annavad ainult retseptidena välja toodud lahendusprobleeme, viitamata nende leidmise viisidele.

Vaatamata kõrge tase Algebra arendamine Babülonis, kiilkirjatekstidel puudub kontseptsioon negatiivne arv ja ruutvõrrandite lahendamise üldmeetodid.

1.2 Kuidas Diophantus ruutvõrrandeid koostas ja lahendas.

Diophantuse Aritmeetika ei sisalda algebra süstemaatilist kirjeldust, kuid see sisaldab süstemaatilist ülesannete jada, millele on lisatud selgitused ja mis on lahendatud erineva astme võrrandite koostamisega.

Võrrandite koostamisel valib Diophantos lahenduse lihtsustamiseks oskuslikult tundmatuid.

Siin on näiteks üks tema ülesannetest.

Ülesanne 11."Leia kaks arvu, teades, et nende summa on 20 ja nende korrutis on 96"

Diophantuse arutluskäik järgmisel viisil: ülesande tingimusest järeldub, et soovitud arvud ei ole võrdsed, kuna kui need oleksid võrdsed, siis poleks nende korrutis 96, vaid 100. Seega on üks neist rohkem kui pool nende summast, s.o. 10+x, teine ​​on väiksem, st. 10-ndad. Erinevus nende vahel 2x .

Siit ka võrrand:

(10 + x) (10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Siit x = 2. Üks soovitud numbritest on 12 , muu 8 . Lahendus x = -2 Diophantost ei eksisteeri, kuna kreeka matemaatika teadis ainult positiivseid arve.

Kui lahendame selle ülesande valides ühe soovitud numbritest tundmatuks, siis jõuame võrrandi lahenduseni

y(20 - y) = 96,

y 2 – 20 a + 96 = 0. (2)


Selge on see, et Diophantus lihtsustab lahendust, valides tundmatuks soovitud arvude poole vahe; tal õnnestub taandada probleem mittetäieliku ruutvõrrandi (1) lahendamiseks.

1.3 Ruutvõrrandid Indias

Ruutvõrrandite ülesandeid leidub juba astronoomilises traktaadis "Aryabhattam", mille koostas 499. aastal India matemaatik ja astronoom Aryabhatta. Teine India õpetlane, Brahmagupta (7. sajand), selgitas üldreegel ruutvõrrandite lahendused, mis on taandatud üheks kanooniliseks vormiks:

ah 2+ b x = c, a > 0. (1)

Võrrandis (1) on koefitsiendid, välja arvatud a, võib olla ka negatiivne. Brahmagupta reegel langeb sisuliselt kokku meie omaga.

AT iidne India avalikud konkursid keeruliste probleemide lahendamisel olid tavalised. Ühes vanas India raamatus on selliste võistluste kohta öeldud järgmist: „Nii nagu päike särab oma säraga tähtedest, nii teadlane mees varjutama teise au avalikel koosolekutel, pakkudes välja ja lahendades algebralisi ülesandeid. Ülesanded olid sageli poeetilises vormis.

Siin on üks kuulsa XII sajandi India matemaatiku probleeme. Bhaskara.

Ülesanne 13.

"Kõrk ahvikari ja kaksteist viinapuudes ...

Jõudu söönud, oli lõbus. Nad hakkasid hüppama, rippuma ...

Kaheksas osa neist ruudus Kui palju ahve seal oli,

Heinamaal lõbutsemas. Ütle mulle, selles karjas?

Bhaskara lahendus näitab, et ta teadis ruutvõrrandite juurte kaheväärtuslikkusest (joonis 3).

Ülesandele 13 vastav võrrand on järgmine:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara kirjutab varjus:

x 2 - 64x = -768

ja et selle võrrandi vasak pool oleks ruuduks, lisab ta mõlemale poolele 32 2 , saan siis:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Ruutvõrrandid al-Khorezmis

Al-Khorezmi algebraline traktaat annab lineaar- ja ruutvõrrandite klassifikatsiooni. Autor loetleb 6 tüüpi võrrandeid, väljendades neid järgmiselt:

1) "Ruut võrdub juurtega", st. ax 2 + c = b X.

2) "Ruudmed on võrdsed arvuga", s.o. kirves 2 = s.

3) "Juured on võrdsed arvuga", s.o. ah = s.

4) "Ruudud ja arvud on võrdsed juurtega", s.o. ax 2 + c = b X.

5) "Ruut ja juured on võrdsed arvuga", s.o. ah 2+ bx = s.

6) "Juured ja arvud on võrdsed ruutudega", s.o. bx + c \u003d kirves 2.

Al-Khwarizmi jaoks, kes vältis negatiivsete arvude kasutamist, on kõigi nende võrrandite tingimused liitmised, mitte lahutamised. Sel juhul ei võeta ilmselgelt arvesse võrrandeid, millel pole positiivseid lahendeid. Autor toob välja meetodid nende võrrandite lahendamiseks, kasutades al-jabri ja al-muqabala meetodeid. Tema otsused muidugi meie omadega täielikult kokku ei lähe. Rääkimata sellest, et see on puhtalt retooriline, tuleb näiteks märkida, et esimest tüüpi mittetäieliku ruutvõrrandi lahendamisel

al-Khorezmi, nagu kõik matemaatikud enne 17. sajandit, arvestab nulllahendusega ilmselt seetõttu, et praktilisi ülesandeid vahet pole. Täielike ruutvõrrandite lahendamisel esitab al-Khorezmi konkreetsete numbriliste näidete abil lahendamise reeglid ja seejärel geomeetrilised tõestused.

14. ülesanne.“Ruut ja arv 21 on võrdne 10 juurega. Leia juur" (oletades, et võrrandi juur on x 2 + 21 = 10x).

Autori lahendus kõlab umbes nii: jaga juurte arv pooleks, saad 5, korruta 5 iseendaga, lahuta korrutisest 21, jääb 4. Võta juur 4, saad 2. Lahuta 5-st 2, sa saad saad 3, see on soovitud juur. Või lisage 2 kuni 5, mis annab 7, see on ka juur.

Traktaat al - Khorezmi on esimene meieni jõudnud raamat, milles on süstemaatiliselt välja toodud ruutvõrrandite klassifikatsioon ja toodud nende lahendamise valemid.

1.5 Ruutvõrrandid Euroopas XIII - XVII sajandite jooksul

Valemid ruutvõrrandite lahendamiseks al - Khorezmi mudelil Euroopas esitati esmakordselt "Abakuse raamatus", mille kirjutas 1202. aastal Itaalia matemaatik Leonardo Fibonacci. See mahukas töö, mis peegeldab matemaatika mõju nii islami riikides kui ka Vana-Kreeka, erineb nii esituse terviklikkuse kui ka selguse poolest. Autor töötas iseseisvalt välja mõned uued algebralised näited probleemide lahendamisel ja hakkas esimesena Euroopas lähenema negatiivsete arvude kasutuselevõtule. Tema raamat aitas kaasa algebraliste teadmiste levikule mitte ainult Itaalias, vaid ka Saksamaal, Prantsusmaal ja teistes Euroopa riikides. Paljud "Abakuse raamatu" ülesanded jõudsid peaaegu kõigisse 16.-17. sajandi Euroopa õpikutesse. ja osaliselt XVIII.

Ruutvõrrandite lahendamise üldreegel, mis on taandatud üheks kanooniliseks vormiks:

x 2+ bx = koos,

koefitsientide kõigi võimalike märkide kombinatsioonide jaoks b , Koos sõnastas Euroopas alles 1544. aastal M. Stiefel.

Ruutvõrrandi lahendamise valemi tuletamine aastal üldine vaade Vietil on, kuid Viet tunnistas ainult positiivseid juuri. Itaalia matemaatikud Tartaglia, Cardano, Bombelli olid 16. sajandil esimeste seas. Arvestage lisaks positiivsetele ja negatiivsetele juurtele. Alles XVII sajandil. Tänu Girardi, Descartes’i, Newtoni jt loomingule teadlaste viisil ruutvõrrandite lahendamine võtab tänapäevase vormi.

1.6 Vieta teoreemi kohta

Vieta nime kandva ruutvõrrandi kordajate ja selle juurte vahelist seost väljendava teoreemi sõnastas ta esimest korda 1591. aastal järgmiselt: „Kui B + D korrutatud A - A 2 , võrdub BD, siis A võrdub AT ja võrdne D ».

Vieta mõistmiseks tuleb seda meeles pidada AGA, nagu iga täishäälik, tähendas tema jaoks tundmatut (meie X), täishäälikud AT, D- tundmatu koefitsiendid. Tänapäeva algebra keeles tähendab Vieta ülaltoodud sõnastus: kui

(+ b )x - x 2 = ab ,

x 2 – (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Väljendades võrrandite juurte ja kordajate vahelisi seoseid sümbolite abil kirjutatud üldvalemitega, kehtestas Viet võrrandite lahendamise meetodite ühtsuse. Vieta sümboolikast on aga asi veel kaugel moodne välimus. Ta ei tundnud ära negatiivseid arve ja seetõttu arvestas ta võrrandite lahendamisel ainult juhtumeid, kus kõik juured on positiivsed.

2. Ruutvõrrandite lahendamise meetodid

Ruutvõrrandid on alus, millel toetub algebra majesteetlik ehitis. Ruutvõrrandeid kasutatakse laialdaselt trigonomeetriliste, eksponentsiaalsete, logaritmiliste, irratsionaalsete ja transtsendentaalsete võrrandite ja võrratuste lahendamisel. Me kõik teame, kuidas lahendada ruutvõrrandi koolist (8. klass) kuni kooli lõpetamiseni.

Ruutvõrrandid. Diskrimineeriv. Lahendus, näited.

Tähelepanu!
On täiendavaid
materjal erijaos 555.
Neile, kes tugevalt "mitte väga..."
Ja neile, kes "väga...")

Ruutvõrrandite tüübid

Mis on ruutvõrrand? Kuidas see välja näeb? Tähtajaliselt ruutvõrrand märksõna on "ruut". See tähendab, et võrrandis tingimata seal peab olema x-i ruut. Lisaks sellele võib võrrandis olla (või mitte olla!) Lihtsalt x (esimese astmeni) ja ainult arv (vabaliige). Ja kraadides, mis on suuremad kui kaks, ei tohiks x-e olla.

Matemaatilises mõttes on ruutvõrrand järgmise kujuga võrrand:

Siin a, b ja c- mõned numbrid. b ja c- absoluutselt ükskõik, aga a- kõike muud kui null. Näiteks:

Siin a =1; b = 3; c = -4

Siin a =2; b = -0,5; c = 2,2

Siin a =-3; b = 6; c = -18

No saate aru...

Nendes ruutvõrrandites vasakul on täiskomplekt liikmed. x ruudus koefitsiendiga a, x koefitsiendiga esimese astmeni b ja vaba liige

Selliseid ruutvõrrandeid nimetatakse täielik.

Mis siis kui b= 0, mida me saame? Meil on X kaob esimeses astmes. See juhtub nulliga korrutamisest.) Selgub näiteks:

5x 2 -25 = 0,

2x2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

Jne. Ja kui mõlemad koefitsiendid b ja c on nulliga, siis on veelgi lihtsam:

2x 2 \u003d 0,

-0,3x 2 \u003d 0

Selliseid võrrandeid, kus midagi on puudu, nimetatakse mittetäielikud ruutvõrrandid. Mis on üsna loogiline.) Pange tähele, et x ruudus esineb kõigis võrrandites.

Muide, miks a null ei saa olla? Ja asendate selle asemel a null.) X ruudust kaob! Võrrand muutub lineaarseks. Ja seda tehakse teisiti...

See on kõik ruutvõrrandite peamised tüübid. Täielik ja mittetäielik.

Ruutvõrrandite lahendus.

Täielike ruutvõrrandite lahendus.

Ruutvõrrandeid on lihtne lahendada. Valemite ja selgete lihtsate reeglite järgi. Esimesel etapil on vaja antud võrrand viia tüüpvormile, s.o. vaatele:

Kui võrrand on teile juba antud kujul, ei pea te esimest etappi tegema.) Peaasi on kõik koefitsiendid õigesti määrata, a, b ja c.

Ruutvõrrandi juurte leidmise valem näeb välja järgmine:

Juuremärgi all olevat väljendit nimetatakse diskrimineeriv. Temast aga lähemalt allpool. Nagu näete, kasutame x leidmiseks ainult a, b ja c. Need. koefitsiendid ruutvõrrandist. Lihtsalt asendage väärtused ettevaatlikult a, b ja c sellesse valemisse ja loenda. Asendaja oma märkidega! Näiteks võrrandis:

a =1; b = 3; c= -4. Siin me kirjutame:

Näide on peaaegu lahendatud:

See on vastus.

Kõik on väga lihtne. Ja mis sa arvad, sa ei saa valesti minna? No jah, kuidas...

Levinumad vead on segadus väärtuste märkidega a, b ja c. Või pigem mitte nende märkidega (kus siin segadusse ajada?), vaid negatiivsete väärtuste asendamisega juurte arvutamise valemis. Siin salvestatakse valemi üksikasjalik kirje konkreetsete numbritega. Kui arvutustega on probleeme, nii tehke seda!

Oletame, et peame lahendama järgmise näite:

Siin a = -6; b = -5; c = -1

Oletame, et teate, et saate harva vastuseid esimesel korral.

Noh, ära ole laisk. Lisarea kirjutamine võtab aega 30 sekundit ja vigade arv langeb järsult. Nii et me kirjutame üksikasjalikult koos kõigi sulgude ja märkidega:

Tundub uskumatult raske nii hoolikalt maalida. Aga ainult näib. Proovi seda. No või vali. Kumb on parem, kiire või õige? Pealegi teen ma sulle rõõmu. Mõne aja pärast pole enam vaja kõike nii hoolikalt värvida. See saab lihtsalt õigeks. Eriti kui kasutate praktilisi võtteid, mida kirjeldatakse allpool. See kuri näide hunniku miinustega lahendatakse lihtsalt ja vigadeta!

Kuid sageli näevad ruutvõrrandid veidi erinevad. Näiteks nii:

Kas teadsite?) Jah! seda mittetäielikud ruutvõrrandid.

Mittetäielike ruutvõrrandite lahendus.

Neid saab lahendada ka üldvalemiga. Peate lihtsalt õigesti välja mõtlema, mis on siin võrdne a, b ja c.

Sai aru? Esimeses näites a = 1; b = -4; a c? Seda pole üldse olemas! No jah, see on õige. Matemaatikas tähendab see seda c = 0 ! See on kõik. Selle asemel asendage valemis null c, ja kõik saab meie jaoks korda. Samamoodi ka teise näitega. Ainult nulli meil siin pole Koos, a b !

Kuid mittetäielikke ruutvõrrandeid saab palju lihtsamalt lahendada. Ilma ühegi valemita. Mõelge esimesele mittetäielikule võrrandile. Mida saab teha vasakul küljel? Võite X-i sulgudest välja võtta! Võtame selle välja.

Ja mis sellest? Ja see, et korrutis on võrdne nulliga siis ja ainult siis, kui mõni tegur on võrdne nulliga! Ei usu? Mõelge siis välja kaks nullist erinevat arvu, mis korrutatuna annavad nulli!
Ei tööta? Midagi...
Seetõttu võime julgelt kirjutada: x 1 = 0, x 2 = 4.

Kõik. Need on meie võrrandi juured. Mõlemad sobivad. Asendades ükskõik millise neist algsesse võrrandisse, saame õige identiteedi 0 = 0. Nagu näete, on lahendus üldvalemist palju lihtsam. Märgin muide, milline X on esimene ja milline teine ​​- see on täiesti ükskõik. Lihtne järjekorras kirjutada x 1- olenevalt sellest, kumb on väiksem x 2- see, mis on rohkem.

Ka teist võrrandit saab kergesti lahendada. Liigume 9 paremale küljele. Saame:

Jääb üle juur 9-st välja tõmmata ja ongi kõik. Hankige:

ka kaks juurt . x 1 = -3, x 2 = 3.

Nii lahendatakse kõik mittetäielikud ruutvõrrandid. Kas X sulgudest välja võtmisega või lihtsalt numbri paremale kandmisega, millele järgneb juure eraldamine.
Neid meetodeid on äärmiselt raske segi ajada. Lihtsalt sellepärast, et esimesel juhul peate X-st juure välja võtma, mis on kuidagi arusaamatu, ja teisel juhul pole sulgudest midagi välja võtta ...

Diskrimineeriv. Diskrimineeriv valem.

Maagiline sõna diskrimineeriv ! Harv gümnaasiumiõpilane pole seda sõna kuulnud! Fraas "otsustage diskrimineerija kaudu" on rahustav ja rahustav. Sest pole vaja oodata diskrimineerija trikke! Seda on lihtne ja probleemivaba kasutada.) Tuletan meelde kõige üldisemat lahendamise valemit ükskõik milline ruutvõrrandid:

Juuremärgi all olevat väljendit nimetatakse diskriminandiks. Diskriminanti tähistatakse tavaliselt tähega D. Diskrimineeriv valem:

D = b2-4ac

Ja mis on selles väljendis nii erilist? Miks see vääris eriline nimi? Mida diskrimineerija tähendus? Pealegi -b, või 2a selles valemis ei nimeta nad konkreetselt ... tähti ja tähti.

Asi on selles. Selle valemi abil ruutvõrrandi lahendamisel on see võimalik ainult kolm juhtumit.

1. Diskriminant on positiivne. See tähendab, et saate sellest juure eraldada. Kas juur on hästi või halvasti välja võetud, on teine ​​küsimus. Oluline on see, mida põhimõtteliselt kaevandatakse. Siis on teie ruutvõrrandil kaks juurt. Kaks erinevat lahendust.

2. Diskriminant on null. Siis on teil üks lahendus. Kuna lugejas nulli liitmine või lahutamine ei muuda midagi. Rangelt võttes pole see üks juur, vaid kaks identset. Kuid lihtsustatud versioonis on tavaks rääkida üks lahendus.

3. Diskriminant on negatiivne. Negatiivne arv ei võta ruutjuurt. No okei. See tähendab, et lahendusi pole.

Kui aus olla, siis kl lihtne lahendus ruutvõrrandid, ei ole diskriminandi mõiste eriti nõutav. Asendame valemis koefitsientide väärtused ja arvestame. Seal selgub kõik iseenesest ja kaks juurt ja üks, mitte ükski. Kui aga lahendada rohkem raskeid ülesandeid, teadmata tähendus ja diskrimineeriv valem mitte piisavalt. Eriti - parameetritega võrrandites. Sellised võrrandid on aerobaatika GIA ja ühtse riigieksami jaoks!)

Niisiis, kuidas lahendada ruutvõrrandid läbi diskrimineerija, mis sulle meelde jäi. Või õppinud, mis pole samuti halb.) Sa tead, kuidas õigesti tuvastada a, b ja c. Kas sa tead, kuidas hoolikalt asendage need juurvalemis ja hoolikalt loe tulemust. Kas saite aru, et võtmesõna siin on - hoolikalt?

Nüüd pange tähele praktilisi võtteid, mis vähendavad oluliselt vigade arvu. Just need, mis on tingitud tähelepanematusest ... mille pärast see on siis valus ja solvav ...

Esimene vastuvõtt . Ärge olge laisk enne ruutvõrrandi lahendamist, et viia see standardvormi. Mida see tähendab?
Oletame, et pärast mis tahes teisendusi saate järgmise võrrandi:

Ärge kiirustage juurte valemit kirjutama! Peaaegu kindlasti ajate koefitsiendid segamini a, b ja c. Ehitage näide õigesti. Kõigepealt x ruudus, siis ilma ruuduta, siis vabaliige. Nagu nii:

Ja veelkord, ärge kiirustage! Miinus enne x ruutu võib teid palju häirida. Selle unustamine on lihtne... Vabane miinusest. Kuidas? Jah, nagu eelmises teemas õpetati! Peame kogu võrrandi korrutama -1-ga. Saame:

Ja nüüd võite julgelt üles kirjutada juurte valemi, arvutada diskriminandi ja täiendada näidet. Otsustage ise. Peaksite jõudma juurtega 2 ja -1.

Teine vastuvõtt. Kontrolli oma juuri! Vastavalt Vieta teoreemile. Ärge muretsege, ma selgitan kõike! Kontrollimine viimane asi võrrand. Need. see, mille järgi kirjutasime üles juurte valemi. Kui (nagu selles näites) koefitsient a = 1, kontrollige juuri lihtsalt. Piisab nende korrutamisest. Peaks saama vaba tähtaja, st. meie puhul -2. Pange tähele, mitte 2, vaid -2! vaba liige oma märgiga . Kui see ei õnnestunud, tähendab see, et nad on juba kuskil sassi ajanud. Otsige viga.

Kui see õnnestus, peate juured kokku voltima. Viimane ja viimane kontroll. Peaks olema suhe b Koos vastupidine märk. Meie puhul -1+2 = +1. Koefitsient b, mis on enne x, on võrdne -1. Niisiis, kõik on õige!
Kahju, et see on nii lihtne ainult näidete puhul, kus x ruudus on puhas, koefitsiendiga a = 1. Kuid vähemalt kontrollige selliseid võrrandeid! Vigu tuleb vähem.

Vastuvõtt kolmas . Kui teie võrrandil on murdosakoefitsiendid, vabanege murdudest! Korrutage võrrand ühise nimetajaga, nagu on kirjeldatud õppetükis "Kuidas võrrandeid lahendada? Identiteeditesendused". Murdudega töötades tekivad vead mingil põhjusel ...

Muide, ma lubasin lihtsustamiseks kurja näite hunniku miinustega. Palun! Siin ta on.

Et mitte miinustes segadusse sattuda, korrutame võrrandi -1-ga. Saame:

See on kõik! Otsustamine on lõbus!

Nii et võtame teema kokku.

Praktilised näpunäited:

1. Enne lahendamist viime ruutvõrrandi tüüpvormile, ehitame selle õige.

2. Kui x ees on ruut negatiivne koefitsient, kõrvaldage see, korrutades kogu võrrandi -1-ga.

3. Kui koefitsiendid on murdarvulised, siis elimineerime murrud, korrutades kogu võrrandi vastava teguriga.

4. Kui x ruudus on puhas, on selle koefitsient võrdne ühega, saab lahendit hõlpsasti kontrollida Vieta teoreemiga. Tee seda!

Nüüd saate otsustada.)

Lahenda võrrandid:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2)

Vastused (segaduses):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0,5

x - suvaline arv

x 1 = -3
x 2 = 3

lahendusi pole

x 1 = 0,25
x 2 \u003d 0,5

Kas kõik sobib? Suurepärane! Ruutvõrrandid pole teie peavalu. Esimesed kolm osutusid, aga ülejäänud mitte? Siis pole probleem ruutvõrrandites. Probleem seisneb võrrandite identsetes teisendustes. Vaata linki, see on abiks.

Ei tööta päris? Või ei tööta see üldse? Siis aitab sind paragrahv 555. Seal on kõik need näited kontide järgi sorteeritud. Kuvatakse peamine vead lahenduses. Loomulikult kirjeldatakse ka identsete teisenduste rakendamist erinevate võrrandite lahendamisel. Aitab palju!

Kui teile meeldib see sait...

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õppimine - huviga!)

saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.

Lihtsalt. Valemite ja selgete lihtsate reeglite järgi. Esimesel etapil

on vaja viia antud võrrand standardkujule, s.t. vaatele:

Kui võrrand on teile juba antud kujul antud, ei pea te esimest etappi tegema. Kõige tähtsam on õige

määrake kõik koefitsiendid a, b ja c.

Ruutvõrrandi juurte leidmise valem.

Juuremärgi all olevat väljendit nimetatakse diskrimineeriv . Nagu näete, et leida x, me

kasutada ainult a, b ja c. Need. koefitsiendid alates ruutvõrrand. Lihtsalt sisestage ettevaatlikult

väärtused a, b ja c sellesse valemisse ja loenda. Asendage nende märgid!

Näiteks, võrrandis:

a =1; b = 3; c = -4.

Asendage väärtused ja kirjutage:

Näide on peaaegu lahendatud:

See on vastus.

Levinumad vead on segadus väärtuste märkidega a, b ja Koos. Pigem asendamisega

negatiivsed väärtused juurte arvutamise valemisse. Siin salvestab üksikasjalik valem

konkreetsete numbritega. Kui on probleeme arvutustega, tehke seda!

Oletame, et peame lahendama järgmise näite:

Siin a = -6; b = -5; c = -1

Värvime kõike üksikasjalikult, hoolikalt, ilma kõigi märkide ja sulgudega midagi vahele jätmata:

Sageli näevad ruutvõrrandid veidi erinevad. Näiteks nii:

Nüüd pange tähele praktilisi võtteid, mis vähendavad oluliselt vigade arvu.

Esimene vastuvõtt. Ära ole enne laisk ruutvõrrandi lahendamine viige see standardvormi.

Mida see tähendab?

Oletame, et pärast mis tahes teisendusi saate järgmise võrrandi:

Ärge kiirustage juurte valemit kirjutama! Peaaegu kindlasti ajate koefitsiendid segamini a, b ja c.

Ehitage näide õigesti. Kõigepealt x ruudus, siis ilma ruuduta, siis vabaliige. Nagu nii:

Vabane miinusest. Kuidas? Peame kogu võrrandi korrutama -1-ga. Saame:

Ja nüüd võite julgelt üles kirjutada juurte valemi, arvutada diskriminandi ja täiendada näidet.

Otsustage ise. Peaksite jõudma juurtega 2 ja -1.

Teine vastuvõtt. Kontrolli oma juuri! Kõrval Vieta teoreem.

Antud ruutvõrrandite lahendamiseks, s.o. kui koefitsient

x2+bx+c=0,

siisx 1 x 2 =c

x1 +x2 =−b

Täieliku ruutvõrrandi jaoks, milles a≠1:

x 2+bx+c=0,

jagage kogu võrrand arvuga a:

→ →

kus x 1 ja x 2 - võrrandi juured.

Vastuvõtt kolmas. Kui teie võrrandil on murdosakoefitsiendid, vabanege murdudest! Korrutada

ühisnimetaja võrrand.

Järeldus. Praktilised näpunäited:

1. Enne lahendamist viime ruutvõrrandi tüüpvormile, ehitame selle õige.

2. Kui ruudus x ees on negatiivne koefitsient, siis elimineerime selle kõik korrutades

võrrandid -1 jaoks.

3. Kui koefitsiendid on murdarvulised, elimineerime murdarvud korrutades kogu võrrandi vastavaga

faktor.

4. Kui x ruudus on puhas, on selle koefitsient võrdne ühega, lahendust saab hõlpsasti kontrollida


Jätkame teema uurimist võrrandite lahendus". Lineaarvõrranditega oleme juba tutvunud ja nüüd läheme nendega tutvuma ruutvõrrandid.

Esiteks analüüsime, mis on ruutvõrrand, kuidas seda üldkujul kirjutatakse ja anname seotud määratlused. Pärast seda analüüsime näidete abil üksikasjalikult, kuidas lahendatakse mittetäielikud ruutvõrrandid. Liigume edasi lahenduse juurde. täielikud võrrandid, saame juurte valemi, tutvume ruutvõrrandi diskriminandiga ja kaalume lahendusi iseloomulikud näited. Lõpuks jälgime seoseid juurte ja koefitsientide vahel.

Leheküljel navigeerimine.

Mis on ruutvõrrand? Nende tüübid

Kõigepealt peate selgelt mõistma, mis on ruutvõrrand. Seetõttu on loogiline hakata ruutvõrranditest rääkima ruutvõrrandi definitsiooniga, aga ka sellega seotud definitsioonidest. Pärast seda võite kaaluda ruutvõrrandite põhitüüpe: taandatud ja taandamata, samuti täielikke ja mittetäielikke võrrandeid.

Ruutvõrrandite definitsioon ja näited

Definitsioon.

Ruutvõrrand on vormi võrrand a x 2 +b x+c=0, kus x on muutuja, a , b ja c on mõned arvud ning a erineb nullist.

Ütleme kohe, et ruutvõrrandeid nimetatakse sageli teise astme võrranditeks. Seda seetõttu, et ruutvõrrand on algebraline võrrand teine ​​aste.

Helistatud definitsioon võimaldab tuua näiteid ruutvõrranditest. Seega 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0 jne. on ruutvõrrandid.

Definitsioon.

Numbrid a , b ja c nimetatakse ruutvõrrandi koefitsiendid a x 2 + b x + c \u003d 0 ja koefitsienti a nimetatakse esimeseks ehk kõrgemaks või koefitsiendiks x 2 juures, b on teine ​​koefitsient või koefitsient x juures ja c on vaba liige.

Näiteks võtame ruutvõrrandi kujul 5 x 2 −2 x−3=0, siin on juhtkoefitsient 5, teine ​​koefitsient −2 ja vaba liige −3. Pange tähele, et kui koefitsiendid b ja/või c on negatiivsed, nagu just toodud näites, siis lühivorm ruutvõrrandi kirjutamine kujul 5 x 2 −2 x−3=0 , mitte 5 x 2 +(−2) x+(−3)=0 .

Väärib märkimist, et kui koefitsiendid a ja/või b on võrdsed 1 või −1, siis neid ruutvõrrandi tähistuses tavaliselt otseselt ei esine, mis on tingitud selliste tähistuste iseärasustest. Näiteks ruutvõrrandis y 2 −y+3=0 on juhtiv koefitsient üks ja koefitsient punktis y on −1.

Taandatud ja taandamata ruutvõrrandid

Sõltuvalt juhtkoefitsiendi väärtusest eristatakse redutseeritud ja taandamata ruutvõrrandid. Anname vastavad definitsioonid.

Definitsioon.

Nimetatakse ruutvõrrand, mille juhtkoefitsient on 1 redutseeritud ruutvõrrand. Vastasel juhul on ruutvõrrand vähendamata.

Vastavalt see määratlus, ruutvõrrandid x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0 jne. - vähendatud, igaühes neist on esimene koefitsient võrdne ühega. Ja 5 x 2 −x−1=0 jne. - redutseerimata ruutvõrrandid, nende juhtkoefitsiendid erinevad 1-st.

Mis tahes redutseerimata ruutvõrrandist, jagades selle mõlemad osad juhtkoefitsiendiga, saate minna taandatule. See toiming on samaväärne teisendus, see tähendab, et sel viisil saadud taandatud ruutvõrrandil on samad juured, mis algsel taandamata ruutvõrrandil või, nagu sellel, puuduvad juured.

Toome näite, kuidas toimub üleminek taandamata ruutvõrrandilt taandatud võrrandile.

Näide.

Võrrandist 3 x 2 +12 x−7=0 minge vastava taandatud ruutvõrrandi juurde.

Lahendus.

Meil piisab algvõrrandi mõlema osa jagamisest juhtkoefitsiendiga 3, see on nullist erinev, nii et saame selle toimingu sooritada. Meil on (3 x 2 +12 x-7):3=0:3, mis on sama, mis (3 x 2):3+(12 x):3-7:3=0 ja nii edasi (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , kust . Nii saime redutseeritud ruutvõrrandi, mis on samaväärne algse võrrandiga.

Vastus:

Täielikud ja mittetäielikud ruutvõrrandid

Ruutvõrrandi definitsioonis on tingimus a≠0. See tingimus on vajalik selleks, et võrrand a x 2 +b x+c=0 oleks täpselt ruudukujuline, kuna a=0 korral muutub see tegelikult lineaarvõrrandiks kujul b x+c=0 .

Mis puudutab koefitsiente b ja c, siis need võivad olla võrdsed nulliga nii eraldi kui ka koos. Nendel juhtudel nimetatakse ruutvõrrandit mittetäielikuks.

Definitsioon.

Nimetatakse ruutvõrrand a x 2 +b x+c=0 mittetäielik, kui vähemalt üks koefitsientidest b , c on võrdne nulliga.

Omakorda

Definitsioon.

Täielik ruutvõrrand on võrrand, milles kõik koefitsiendid erinevad nullist.

Neid nimesid pole antud juhuslikult. See selgub järgmisest arutelust.

Kui koefitsient b on võrdne nulliga, on ruutvõrrand kujul a x 2 +0 x+c=0 ja see on võrdne võrrandiga a x 2 +c=0 . Kui c=0 , st ruutvõrrand on kujul a x 2 +b x+0=0 , siis saab selle ümber kirjutada kujule x 2 +b x=0 . Ja b=0 ja c=0 korral saame ruutvõrrandi a·x 2 =0. Saadud võrrandid erinevad täisruutvõrrandist selle poolest, et nende vasakpoolsed küljed ei sisalda ei muutujaga x ega vaba liiget ega mõlemat. Sellest ka nende nimi – mittetäielikud ruutvõrrandid.

Seega võrrandid x 2 +x+1=0 ja −2 x 2 −5 x+0,2=0 on täielike ruutvõrrandite näited ja x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 on mittetäielikud ruutvõrrandid.

Mittetäielike ruutvõrrandite lahendamine

Eelmise lõigu teabest järeldub, et on kolme tüüpi mittetäielikud ruutvõrrandid:

  • a x 2 =0 , sellele vastavad koefitsiendid b=0 ja c=0;
  • ax2 +c=0, kui b=0;
  • ja a x2 +b x=0, kui c=0.

Analüüsime järjekorras, kuidas lahendatakse igat tüüpi mittetäielikud ruutvõrrandid.

a x 2 \u003d 0

Alustuseks lahendame mittetäielikud ruutvõrrandid, milles koefitsiendid b ja c on võrdsed nulliga, st võrranditega kujul a x 2 =0. Võrrand a·x 2 =0 on samaväärne võrrandiga x 2 =0, mis saadakse originaalist, jagades selle mõlemad osad nullist erineva arvuga a. Ilmselt on võrrandi x 2 \u003d 0 juur null, kuna 0 2 \u003d 0. Sellel võrrandil pole muid juuri, mis on seletatav, tõepoolest, iga nullist erineva arvu p korral toimub ebavõrdsus p 2 >0, mis tähendab, et p≠0 korral ei saavutata võrdsust p 2 =0 kunagi.

Seega on mittetäielikul ruutvõrrandil a x 2 \u003d 0 üks juur x \u003d 0.

Näitena toome mittetäieliku ruutvõrrandi lahendi −4·x 2 =0. See on samaväärne võrrandiga x 2 \u003d 0, selle ainus juur on x \u003d 0, seetõttu on algsel võrrandil üks juurnull.

Lühilahenduse saab sel juhul väljastada järgmiselt:
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0.

a x 2 + c=0

Mõelge nüüd, kuidas lahendatakse mittetäielikud ruutvõrrandid, milles koefitsient b on võrdne nulliga ja c≠0, st võrrandid kujul a x 2 +c=0. Teame, et termini ülekandmine võrrandi ühelt küljelt teisele koos vastupidine märk, samuti kui jagades võrrandi mõlemad pooled nullist erineva arvuga, saadakse samaväärne võrrand. Seetõttu saab mittetäieliku ruutvõrrandi a x 2 +c=0 ekvivalentsed teisendused läbi viia:

  • liigutage c paremale, mis annab võrrandi a x 2 =-c,
  • ja jagame selle mõlemad osad a-ga , saame .

Saadud võrrand võimaldab teha järeldusi selle juurte kohta. Olenevalt a ja c väärtustest võib avaldise väärtus olla negatiivne (näiteks kui a=1 ja c=2 , siis ) või positiivne (näiteks kui a=−2 ja c=6 , siis ), ei ole see võrdne nulliga, sest tingimusel c≠0 . Eraldi analüüsime juhtumeid ja .

Kui , siis võrrandil pole juuri. See väide tuleneb asjaolust, et mis tahes arvu ruut on mittenegatiivne arv. Sellest järeldub, et kui , siis suvalise arvu p puhul ei saa võrdsus olla tõene.

Kui , siis võrrandi juurtega on olukord erinev. Sel juhul, kui meenutame umbes, siis ilmneb kohe võrrandi juur, see on arv, kuna. Lihtne on arvata, et arv on ka võrrandi juur, tõepoolest, . Sellel võrrandil pole muid juuri, mida saab näidata näiteks vastuoluga. Teeme seda.

Tähistame võrrandi just hääldatud juured x 1 ja −x 1 . Oletame, et võrrandil on teine ​​juur x 2, mis erineb näidatud juurtest x 1 ja −x 1 . On teada, et asendamine võrrandiga selle juurte x asemel muudab võrrandi tõeliseks arvuliseks võrdusmärgiks. x 1 ja −x 1 jaoks on meil , ja x 2 jaoks on meil . Arvuliste võrrandite omadused võimaldavad teostada tõeliste arvuliste võrrandite lahutamist liigendite kaupa, seega võrduse vastavate osade lahutamine annab x 1 2 − x 2 2 =0. Arvudega tehtavate omaduste omadused võimaldavad meil saadud võrrandit ümber kirjutada kujul (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0 . Teame, et kahe arvu korrutis on võrdne nulliga siis ja ainult siis, kui vähemalt üks neist on võrdne nulliga. Seetõttu tuleneb saadud võrratusest, et x 1 −x 2 =0 ja/või x 1 +x 2 =0 , mis on sama, x 2 =x 1 ja/või x 2 = −x 1 . Seega oleme jõudnud vastuoluni, kuna alguses ütlesime, et võrrandi x 2 juur erineb x 1 ja −x 1 -st. See tõestab, et võrrandil pole muid juuri kui ja .

Võtame selle lõigu teabe kokku. Mittetäielik ruutvõrrand a x 2 +c=0 on samaväärne võrrandiga , mis

  • tal pole juuri, kui
  • on kaks juurt ja kui .

Vaatleme näiteid mittetäielike ruutvõrrandite lahendamisest kujul a·x 2 +c=0 .

Alustame ruutvõrrandiga 9 x 2 +7=0 . Pärast vaba liikme ülekandmist võrrandi paremale poolele saab see kujul 9·x 2 =−7. Jagades saadud võrrandi mõlemad pooled 9-ga, jõuame punktini . Kuna paremal pool saadakse negatiivne arv, pole sellel võrrandil juuri, seega pole algsel mittetäielikul ruutvõrrandil 9 x 2 +7=0 juuri.

Lahendame veel ühe mittetäieliku ruutvõrrandi −x 2 +9=0. Viime üheksa paremale küljele: -x 2 \u003d -9. Nüüd jagame mõlemad osad −1-ga, saame x 2 =9. Paremal pool on positiivne arv, millest järeldame, et või . Pärast lõpliku vastuse üleskirjutamist: mittetäielikul ruutvõrrandil −x 2 +9=0 on kaks juurt x=3 või x=−3.

a x 2 +b x=0

Jääb üle lahendada viimast tüüpi mittetäielikud ruutvõrrandid c=0 korral. Mittetäielikud ruutvõrrandid kujul a x 2 +b x=0 võimaldavad lahendada faktoriseerimise meetod. Ilmselgelt saame võrrandi vasakul küljel asudes, mille jaoks piisab, kui võtta sulgudest välja ühistegur x. See võimaldab meil liikuda algselt mittetäielikult ruutvõrrandilt ekvivalentsele võrrandile kujul x·(a·x+b)=0 . Ja see võrrand on ekvivalentne kahe võrrandi hulgaga x=0 ja a x+b=0 , millest viimane on lineaarne ja mille juur on x=-b/a .

Seega on mittetäielikul ruutvõrrandil a x 2 +b x=0 kaks juurt x=0 ja x=-b/a.

Materjali kinnistamiseks analüüsime konkreetse näite lahendust.

Näide.

Lahenda võrrand.

Lahendus.

Võtame x sulgudest välja, see annab võrrandi. See on võrdne kahe võrrandiga x=0 ja . Lahendame saadud lineaarvõrrand: , ja jagades segaarvu arvuga harilik murd, leiame. Seetõttu on algvõrrandi juurteks x=0 ja .

Pärast vajaliku praktika saamist võib selliste võrrandite lahendid lühidalt kirjutada:

Vastus:

x=0 , .

Diskriminant, ruutvõrrandi juurte valem

Ruutvõrrandite lahendamiseks on juurvalem. Paneme kirja ruutvõrrandi juurte valem: , kus D=b 2 −4 a c- nn ruutvõrrandi diskriminant. Märkus tähendab sisuliselt seda.

Kasulik on teada, kuidas juurvalem saadi ja kuidas seda ruutvõrrandite juurte leidmisel rakendatakse. Tegeleme sellega.

Ruutvõrrandi juurte valemi tuletamine

Peame lahendama ruutvõrrandi a·x 2 +b·x+c=0 . Teeme mõned samaväärsed teisendused:

  • Selle võrrandi mõlemad osad saame jagada nullist erineva arvuga a, mille tulemusena saame taandatud ruutvõrrandi.
  • Nüüd vali täisruut selle vasakul küljel: . Pärast seda võtab võrrand kuju .
  • Selles etapis on võimalik teostada kahe viimase termini ülekandmine paremale poole vastasmärgiga, meil on .
  • Ja teisendame ka parempoolset avaldist: .

Selle tulemusena jõuame võrrandini , mis on ekvivalentne algse ruutvõrrandiga a·x 2 +b·x+c=0 .

Oleme eelmistes lõikudes analüüsimisel juba lahendanud vormilt sarnaseid võrrandeid. See võimaldab meil teha võrrandi juurte kohta järgmised järeldused:

  • kui , siis võrrandil pole reaalseid lahendeid;
  • kui , siis võrrandil on vorm , seega, , millest on nähtav selle ainus juur;
  • kui , siis või , mis on sama kui või , see tähendab, et võrrandil on kaks juurt.

Seega sõltub võrrandi juurte ja seega ka algse ruutvõrrandi olemasolu või puudumine parempoolse avaldise märgist. Selle avaldise märgi määrab omakorda lugeja märk, kuna nimetaja 4 a 2 on alati positiivne, see tähendab avaldise b 2 −4 a c märk. Seda avaldist b 2 −4 a c nimetatakse ruutvõrrandi diskriminant ja tähistatud tähega D. Siit on diskrimineerija olemus selge - selle väärtuse ja märgi järgi järeldatakse, kas ruutvõrrandil on reaalsed juured ja kui on, siis milline on nende arv - üks või kaks.

Pöördume tagasi võrrandi juurde, kirjutame selle ümber, kasutades diskriminandi tähistust: . Ja me järeldame:

  • kui D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
  • kui D=0, siis sellel võrrandil on üks juur;
  • lõpuks, kui D>0, siis võrrandil on kaks juurt või , mille saab ümber kirjutada kujul või , ning pärast murdude laiendamist ja taandamist ühiseks nimetajaks saame .

Nii tuletasime ruutvõrrandi juurte valemid, need näevad välja sellised, kus diskriminant D arvutatakse valemiga D=b 2 −4 a c .

Nende abiga saate positiivse diskriminandi abil arvutada ruutvõrrandi mõlemad reaaljuured. Kui diskriminant on võrdne nulliga, annavad mõlemad valemid sama juurväärtuse, mis vastab ainus lahendus ruutvõrrand. Ja negatiivse diskriminandi korral, kui proovite kasutada ruutvõrrandi juurte valemit, seisame silmitsi ruutjuure eraldamisega negatiivsest arvust, mis viib meid kaugemale ja kooli õppekava. Negatiivse diskriminandi korral pole ruutvõrrandil tegelikke juuri, kuid sellel on paar kompleksne konjugaat juured, mida saab leida samade juurvalemite abil, mille saime.

Algoritm ruutvõrrandite lahendamiseks juurvalemite abil

Praktikas saab ruutvõrrandi lahendamisel kohe kasutada juurvalemit, mille abil arvutada nende väärtused. Kuid see on rohkem keeruliste juurte leidmine.

Koolialgebra kursusel aga tavaliselt on me räägime mitte keeruliste, vaid ruutvõrrandi tegelike juurte kohta. Sel juhul on soovitatav enne ruutvõrrandi juurte valemite kasutamist kõigepealt leida diskriminant, veenduda, et see pole negatiivne (vastasel juhul võime järeldada, et võrrandil pole reaalseid juuri) ja pärast seda. arvutage juurte väärtused.

Ülaltoodud põhjendus lubab meil kirjutada ruutvõrrandi lahendamise algoritm. Ruutvõrrandi a x 2 + b x + c \u003d 0 lahendamiseks vajate:

  • kasutades diskriminandi valemit D=b 2 −4 a c arvuta selle väärtus;
  • järeldada, et ruutvõrrandil pole reaalseid juuri, kui diskriminant on negatiivne;
  • arvutage valemi abil võrrandi ainus juur, kui D=0 ;
  • leida ruutvõrrandi kaks reaaljuurt juurvalemi abil, kui diskriminant on positiivne.

Siinkohal märgime ainult, et kui diskriminant on võrdne nulliga, võib kasutada ka valemit, see annab sama väärtuse kui .

Võite liikuda ruutvõrrandite lahendamise algoritmi rakendamise näidete juurde.

Näiteid ruutvõrrandite lahendamisest

Vaatleme kolme ruutvõrrandi lahendusi positiivse, negatiivse ja nulldiskriminandiga. Olles käsitlenud nende lahendust, on analoogia põhjal võimalik lahendada mis tahes muu ruutvõrrand. Alustame.

Näide.

Leidke võrrandi x 2 +2 x−6=0 juured.

Lahendus.

Sel juhul on ruutvõrrandi koefitsiendid järgmised: a=1 , b=2 ja c=−6 . Algoritmi järgi peate kõigepealt arvutama diskriminandi, selleks asendame näidatud a, b ja c diskriminandi valemiga, saame D=b 2 –4 a c=2 2 –4 1 (–6)=4+24=28. Kuna 28>0, see tähendab, et diskriminant on suurem kui null, on ruutvõrrandil kaks reaaljuurt. Leiame need juurte valemiga , saame , siin saame lihtsustada tehes saadud avaldisi juure märgi arvestamine millele järgneb murdosa vähendamine:

Vastus:

Liigume järgmise tüüpilise näite juurde.

Näide.

Lahenda ruutvõrrand −4 x 2 +28 x−49=0 .

Lahendus.

Alustame diskrimineerija leidmisega: D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. Seetõttu on sellel ruutvõrrandil üks juur, mille leiame kui , see tähendab,

Vastus:

x = 3,5.

Jääb üle kaaluda ruutvõrrandite lahendamist negatiivse diskriminandiga.

Näide.

Lahendage võrrand 5 y 2 +6 y+2=0 .

Lahendus.

Siin on ruutvõrrandi koefitsiendid: a=5 , b=6 ja c=2 . Asendades need väärtused diskrimineeriva valemiga, saame D=b 2 –4 a c=6 2 –4 5 2=36–40=–4. Diskriminant on negatiivne, seetõttu pole sellel ruutvõrrandil tegelikke juuri.

Kui on vaja täpsustada keerulised juured, siis kandideerime tuntud valem ruutvõrrandi juured , ja sooritada tehted kompleksarvudega:

Vastus:

pärisjuuri pole, kompleksjuured on: .

Veel kord märgime, et kui ruutvõrrandi diskriminant on negatiivne, siis kool tavaliselt kirjutab kohe vastuse, milles nad näitavad, et tegelikud juured puuduvad ja nad ei leia keerulisi juuri.

Juurvalem isegi teise koefitsiendi jaoks

Ruutvõrrandi juurte valem , kus D=b 2 −4 a c võimaldab saada kompaktsema valemi, mis võimaldab lahendada ruutvõrrandid paariskoefitsiendiga punktis x (või lihtsalt koefitsiendiga, mis näeb välja nagu 2 n näiteks või 14 ln5=2 7 ln5). Toome ta välja.

Oletame, et peame lahendama ruutvõrrandi kujul a x 2 +2 n x + c=0 . Leiame selle juured meile teadaoleva valemi abil. Selleks arvutame diskriminandi D = (2 n) 2 -4 a c = 4 n 2 -4 a c = 4 (n 2 -a c), ja seejärel kasutame juurvalemit:

Tähistage avaldist n 2 −a c kui D 1 (mõnikord tähistatakse seda D "). Siis saab vaadeldava ruutvõrrandi juurte valem teise koefitsiendiga 2 n kuju , kus D 1 =n 2 −a c .

On lihtne näha, et D=4·D 1 või D 1 =D/4 . Teisisõnu, D 1 on diskriminandi neljas osa. On selge, et D 1 märk on sama, mis D märk. See tähendab, et märk D 1 näitab ka ruutvõrrandi juurte olemasolu või puudumist.

Seega on teise koefitsiendiga 2 n ruutvõrrandi lahendamiseks vaja

  • Arvutage D 1 =n 2 −a·c ;
  • Kui D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
  • Kui D 1 =0, siis arvutage valemi abil võrrandi ainus juur;
  • Kui D 1 >0, siis leia valemi abil kaks reaaljuurt.

Mõelge näite lahendusele selles lõigus saadud juurvalemi abil.

Näide.

Lahenda ruutvõrrand 5 x 2 −6 x−32=0 .

Lahendus.

Selle võrrandi teist kordajat saab esitada kui 2·(−3) . See tähendab, et saate algse ruutvõrrandi ümber kirjutada kujul 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, siin a=5 , n=−3 ja c=−32 ning arvutada välja ruutvõrrandi neljanda osa. diskrimineeriv: D 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. Kuna selle väärtus on positiivne, on võrrandil kaks reaaljuurt. Leiame need vastava juurvalemi abil:

Pange tähele, et ruutvõrrandi juurte jaoks oli võimalik kasutada tavalist valemit, kuid sel juhul tuleks teha rohkem arvutustööd.

Vastus:

Ruutvõrrandite vormi lihtsustamine

Mõnikord, enne ruutvõrrandi juurte arvutamise alustamist valemite abil, ei tee paha esitada küsimus: "Kas selle võrrandi vormi on võimalik lihtsustada"? Nõustuge, et arvutustes on ruutvõrrandi 11 x 2 −4 x −6=0 lahendamine lihtsam kui 1100 x 2 −400 x−600=0 .

Tavaliselt saavutatakse ruutvõrrandi vormi lihtsustamine selle mõlema poole korrutamise või jagamise teel mõne arvuga. Näiteks eelmises lõigus õnnestus meil saavutada võrrandi 1100 x 2 −400 x −600=0 lihtsustamine, jagades mõlemad pooled 100-ga.

Sarnane teisendus viiakse läbi ruutvõrranditega, mille koefitsiendid ei ole . Tavaline on võrrandi mõlema poole jagamine absoluutväärtused selle koefitsiendid. Näiteks võtame ruutvõrrandi 12 x 2 −42 x+48=0. selle koefitsientide absoluutväärtused: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6 . Jagades mõlemad algse ruutvõrrandi osad 6-ga, saame ekvivalentse ruutvõrrandi 2 x 2 −7 x+8=0 .

Ja ruutvõrrandi mõlema osa korrutamine tehakse tavaliselt murdosakordajate vabanemiseks. Sel juhul korrutatakse selle koefitsientide nimetajatega. Näiteks kui ruutvõrrandi mõlemad osad on korrutatud väärtusega LCM(6, 3, 1)=6 , siis saab see lihtsamal kujul x 2 +4 x−18=0 .

Selle lõigu kokkuvõtteks märgime, et peaaegu alati vabanege ruutvõrrandi juhtiva koefitsiendi miinusest, muutes kõigi liikmete märke, mis vastab mõlema osa korrutamisele (või jagamisele) -1-ga. Näiteks tavaliselt läheb ruutvõrrandist −2·x 2 −3·x+7=0 lahenduseni 2·x 2 +3·x−7=0 .

Ruutvõrrandi juurte ja kordajate vaheline seos

Ruutvõrrandi juurte valem väljendab võrrandi juuri selle kordajate kaudu. Juurte valemi põhjal saate juurte ja koefitsientide vahel muid seoseid.

Tuntumad ja rakendatavad valemid Vieta teoreemist vormi ja . Eelkõige on antud ruutvõrrandi puhul juurte summa võrdne teise koefitsiendiga, millel on vastupidine märk, ja juurte korrutis on vaba liige. Näiteks ruutvõrrandi 3 x 2 −7 x+22=0 kujul saame kohe öelda, et selle juurte summa on 7/3 ja juurte korrutis on 22/3.

Kasutades juba kirjutatud valemeid, saate ruutvõrrandi juurte ja kordajate vahel mitmeid muid seoseid. Näiteks saab ruutvõrrandi juurte ruutude summat väljendada selle kordajate kaudu: .

Bibliograafia.

  • Algebra:õpik 8 raku jaoks. Üldharidus institutsioonid / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindjuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toim. S. A. Teljakovski. - 16. väljaanne. - M. : Haridus, 2008. - 271 lk. : haige. - ISBN 978-5-09-019243-9.
  • Mordkovitš A.G. Algebra. 8. klass. Kell 14 1. osa Õpilase õpik õppeasutused/ A. G. Mordkovitš. - 11. väljaanne, kustutatud. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 lk.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.

AT kaasaegne ühiskond võime opereerida ruudukujulist muutujat sisaldavate võrranditega võib olla kasulik paljudes tegevusvaldkondades ning seda kasutatakse laialdaselt praktikas teaduse ja tehnika arengus. Seda võib tõestada mere- ja jõelaevade, lennukite ja rakettide konstruktsioon. Selliste arvutuste abil saab kõige rohkem liikumistrajektoore erinevad kehad, kaasa arvatud kosmoseobjektid. Ruutvõrrandi lahendusega näiteid kasutatakse mitte ainult majandusprognoosides, hoonete projekteerimisel ja ehitamisel, vaid ka kõige tavalisemates igapäevastes oludes. Neid võib vaja minna telkimisreisidel, spordiüritustel, kauplustes ostlemisel ja muudes väga levinud olukordades.

Jagame avaldise komponentteguriteks

Määratakse võrrandi aste maksimaalne väärtus muutuja aste, mida antud avaldis sisaldab. Kui see on võrdne 2-ga, nimetatakse sellist võrrandit ruutvõrrandiks.

Kui rääkida valemikeeles, siis saab need avaldised, vaatamata sellele, kuidas nad välja näevad, alati viia vormile, kui avaldise vasak pool koosneb kolmest liikmest. Nende hulgas: ax 2 (see tähendab muutuja ruudus oma koefitsiendiga), bx (tundmatu ilma ruuduta koos koefitsiendiga) ja c (vaba komponent, see tähendab tavaline arv). See kõik võrdub paremal pool 0. Juhul, kui sellisel polünoomil pole ühtki selle koostisosa, välja arvatud ax 2, nimetatakse seda mittetäielikuks ruutvõrrandiks. Esmalt tuleks vaadelda näiteid selliste ülesannete lahendamisega, mille puhul pole muutujate väärtust raske leida.

Kui avaldis näeb välja nii, et avaldise paremal küljel on kaks liiget, täpsemalt ax 2 ja bx, on x-i kõige lihtsam leida muutuja sulgudes. Nüüd näeb meie võrrand välja selline: x(ax+b). Edasi saab selgeks, et kas x=0 või taandub probleem muutuja leidmisele järgmisest avaldisest: ax+b=0. Selle määrab üks korrutamise omadusi. Reegel ütleb, et kahe teguri korrutis on 0 ainult siis, kui üks neist on null.

Näide

x = 0 või 8x - 3 = 0

Selle tulemusena saame võrrandi kaks juurt: 0 ja 0,375.

Seda tüüpi võrrandid võivad kirjeldada kehade liikumist gravitatsiooni mõjul, mis hakkasid liikuma teatud lähtepunktiks võetud punktist. Siin on matemaatiline tähistus järgmine: y = v 0 t + gt 2 /2. Asendades vajalikud väärtused, võrdsustades parema poole 0-ga ja leides võimalikud tundmatud, saate teada nii aja, mis kulus keha tõusust kuni langemiseni, kui ka palju muid suurusi. Aga sellest räägime hiljem.

Avaldise faktoriseerimine

Ülalkirjeldatud reegel võimaldab neid probleeme lahendada ka keerulisematel juhtudel. Vaatleme näiteid seda tüüpi ruutvõrrandite lahendamise kohta.

X2 – 33x + 200 = 0

See ruudukujuline kolmik on valmis. Esiteks teisendame avaldise ja jagame selle teguriteks. Neid on kaks: (x-8) ja (x-25) = 0. Selle tulemusena on meil kaks juurt 8 ja 25.

Näited ruutvõrrandite lahendamisega 9. klassis võimaldavad sellel meetodil leida muutuja mitte ainult teist, vaid isegi kolmandat ja neljandat järku avaldistes.

Näiteks: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Parema poole faktoristamisel muutujaga teguriteks on neid kolm, st (x + 1), (x-3) ja (x + 3).

Selle tulemusena saab selgeks, et sellel võrrandil on kolm juurt: -3; -üks; 3.

Ruutjuure ekstraheerimine

Teine mittetäieliku teist järku võrrandi juhtum on avaldis, mis on kirjutatud tähtede keeles nii, et parem pool on üles ehitatud komponentidest ax 2 ja c. Siin kantakse muutuja väärtuse saamiseks vaba liige paremale poole ja pärast seda võrdsuse mõlemast osast, Ruutjuur. Tuleb märkida, et sisse sel juhul Tavaliselt on võrrandil kaks juurt. Ainsad erandid on võrdsused, mis ei sisalda üldse terminit c, kus muutuja on võrdne nulliga, samuti avaldiste variandid, kui parem pool osutub negatiivseks. Viimasel juhul pole lahendusi üldse, kuna ülaltoodud toiminguid ei saa juurtega teha. Kaaluda tuleks seda tüüpi ruutvõrrandite lahenduste näiteid.

Sel juhul on võrrandi juurteks numbrid -4 ja 4.

Maa pindala arvutamine

Vajadus sedalaadi arvutuste järele tekkis iidsetel aegadel, sest matemaatika areng neil kaugetel aegadel oli suuresti tingitud vajadusest määrata suurima täpsusega maatükkide pindalad ja perimeetrid.

Kaaluda tuleks ka näiteid seda laadi ülesannete põhjal koostatud ruutvõrrandite lahendamisega.

Oletame, et on ristkülikukujuline maatükk, mille pikkus on 16 meetrit suurem kui laius. Peaksite leidma platsi pikkuse, laiuse ja ümbermõõdu, kui on teada, et selle pindala on 612 m 2.

Asja juurde asudes koostame kõigepealt vajaliku võrrandi. Tähistame lõigu laiust kui x, siis on selle pikkus (x + 16). Kirjutatust järeldub, et pindala määrab avaldis x (x + 16), mis vastavalt meie ülesande tingimusele on 612. See tähendab, et x (x + 16) \u003d 612.

Täielike ruutvõrrandite lahendamist ja see avaldis just nii ongi, ei saa samamoodi teha. Miks? Kuigi selle vasak pool sisaldab endiselt kahte tegurit, ei ole nende korrutis üldse 0, seega kasutatakse siin muid meetodeid.

Diskrimineeriv

Kõigepealt teeme vajalikud teisendused, siis välimus see avaldis näeb välja selline: x 2 + 16x - 612 = 0. See tähendab, et oleme saanud avaldise eelnevalt määratletud standardile vastaval kujul, kus a=1, b=16, c=-612.

See võib olla näide ruutvõrrandite lahendamisest diskriminandi kaudu. Siin vajalikud arvutused toodetud vastavalt skeemile: D = b 2 - 4ac. See abiväärtus mitte ainult ei võimalda leida teist järku võrrandis soovitud väärtusi, vaid määrab ka arvu valikuid. Juhul D>0 on neid kaks; D=0 puhul on üks juur. Juhul D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Juurtest ja nende valemist

Meie puhul on diskriminant: 256 - 4(-612) = 2704. See näitab, et meie probleemil on vastus. Kui teate, tuleb ruutvõrrandite lahendamist jätkata alloleva valemi abil. See võimaldab teil arvutada juured.

See tähendab, et antud juhul: x 1 =18, x 2 =-34. Teine variant selles dilemmas ei saa olla lahendus, sest maatüki suurust ei saa mõõta negatiivsetes väärtustes, mis tähendab, et x (ehk krundi laius) on 18 m. Siit arvutame pikkuse: 18+16=34 ja ümbermõõt 2(34+18) = 104 (m 2).

Näited ja ülesanded

Jätkame ruutvõrrandite uurimist. Allpool on toodud näited ja üksikasjalik lahendus mitmele neist.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Viime kõik võrdsuse vasakule poolele, teeme teisenduse ehk saame võrrandi kuju, mida tavaliselt nimetatakse standardseks, ja võrdsustame selle nulliga.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Pärast sarnaste lisamist määrame diskriminandi: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Seega on meie võrrandil kaks juurt. Arvutame need ülaltoodud valemi järgi, mis tähendab, et esimene neist võrdub 4/3 ja teine ​​1.

2) Nüüd paljastame teistsuguseid mõistatusi.

Uurime, kas siin on üldse juured x 2 - 4x + 5 = 1? Ammendava vastuse saamiseks viime polünoomi vastavale tuttavale kujule ja arvutame diskriminandi. Selles näites pole ruutvõrrandit vaja lahendada, sest ülesande olemus ei seisne selles. Sel juhul D \u003d 16 - 20 \u003d -4, mis tähendab, et tegelikult pole juuri.

Vieta teoreem

Ruutvõrrandeid on mugav lahendada ülaltoodud valemite ja diskriminandi kaudu, kui viimase väärtusest eraldatakse ruutjuur. Kuid see ei juhtu alati. Siiski on sel juhul muutujate väärtuste saamiseks palju võimalusi. Näide: ruutvõrrandite lahendamine Vieta teoreemi abil. See on nime saanud mehe järgi, kes elas 16. sajandi Prantsusmaal ja tegi hiilgava karjääri tänu oma matemaatilisele andele ja sidemetele õukonnas. Tema portree on näha artiklis.

Muster, mida kuulus prantslane märkas, oli järgmine. Ta tõestas, et võrrandi juurte summa on võrdne -p=b/a ja nende korrutis vastab q=c/a.

Vaatame nüüd konkreetseid ülesandeid.

3x2 + 21x - 54 = 0

Lihtsuse huvides teisendame väljendit:

x 2 + 7x - 18 = 0

Vieta teoreemi kasutades saame järgmise tulemuse: juurte summa on -7 ja nende korrutis on -18. Siit saame, et võrrandi juurteks on numbrid -9 ja 2. Pärast kontrollimist veendume, et need muutujate väärtused tõesti avaldisesse mahuvad.

Parabooli graafik ja võrrand

Ruutfunktsiooni ja ruutvõrrandi mõisted on omavahel tihedalt seotud. Näiteid selle kohta on juba varem toodud. Vaatame nüüd mõnda matemaatilist mõistatust veidi üksikasjalikumalt. Kõiki kirjeldatud tüüpi võrrandeid saab esitada visuaalselt. Sellist sõltuvust, mis on joonistatud graafiku kujul, nimetatakse parabooliks. Selle erinevad tüübid on näidatud alloleval joonisel.

Igal paraboolil on tipp, st punkt, kust selle harud väljuvad. Kui a>0, tõusevad nad kõrgelt lõpmatuseni ja kui a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Funktsioonide visuaalne esitus aitab lahendada mis tahes võrrandeid, sealhulgas ruutvõrrandeid. Seda meetodit nimetatakse graafikaks. Ja muutuja x väärtus on abstsisskoordinaat punktides, kus graafiku joon lõikub 0x-ga. Tipu koordinaadid saab leida just antud valemiga x 0 = -b / 2a. Ja asendades saadud väärtuse funktsiooni algse võrrandiga, saate teada y 0, see tähendab y-teljele kuuluva parabooli tipu teise koordinaadi.

Parabooli harude ristumiskoht abstsissteljega

Ruutvõrrandite lahendamise kohta on palju näiteid, kuid on ka üldisi mustreid. Vaatleme neid. On selge, et graafiku lõikumine 0x teljega a>0 korral on võimalik ainult siis, kui y 0 võtab negatiivsed väärtused. Ja a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Muidu D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Parabooli graafikult saate määrata ka juured. Tõsi on ka vastupidine. See tähendab, et kui ruutfunktsiooni visuaalset esitust pole lihtne saada, saate avaldise parema poole võrdsustada 0-ga ja lahendada saadud võrrandi. Ja teades lõikepunkte 0x teljega, on lihtsam joonistada.

Ajaloost

Ruudukujulist muutujat sisaldavate võrrandite abil ei tehtud vanasti mitte ainult matemaatilisi arvutusi ja määrati geomeetriliste kujundite pindala. Muistsed vajasid selliseid arvutusi suurejoonelisteks avastusteks füüsika ja astronoomia vallas, aga ka astroloogiliste prognooside tegemiseks.

Nagu tänapäeva teadlased väidavad, olid Babüloni elanikud esimeste seas, kes ruutvõrrandid lahendasid. See juhtus neli sajandit enne meie ajastu tulekut. Loomulikult erinesid nende arvutused põhimõtteliselt praegu aktsepteeritutest ja osutusid palju primitiivsemaks. Näiteks Mesopotaamia matemaatikutel polnud negatiivsete arvude olemasolust aimugi. Nad ei tundnud ka muid nende peensusi, mida ükski meie aja õpilane teadis.

Võib-olla isegi varem kui Babüloni teadlased, asus Indiast pärit tark Baudhayama ruutvõrrandite lahendamisele. See juhtus umbes kaheksa sajandit enne Kristuse ajastu tulekut. Tõsi, teist järku võrrandid, mille lahendamise meetodid ta esitas, olid kõige lihtsamad. Lisaks temale tundsid vanasti samalaadsed küsimused huvi ka Hiina matemaatikud. Euroopas hakati ruutvõrrandeid lahendama alles 13. sajandi alguses, kuid hiljem kasutasid neid oma töös sellised suured teadlased nagu Newton, Descartes ja paljud teised.