Säännöt eri nimittäjillä olevien tavallisten murtolukujen jakamiseen. Murtoluvut. Murtolukujen kertominen ja jako

Murto-osa on yksi tai useampi osa kokonaisuudesta, yleensä yhdeksi (1). Kuten luonnollisten lukujen kanssa, voit suorittaa kaikki aritmeettiset perustoiminnot (yhteen-, vähennys-, jako-, kertolasku) murtoluvuilla, jotta voit tehdä tämän, sinun on tiedettävä murtolukujen kanssa työskentelyn ominaisuudet ja erotettava niiden tyypit. Murtolukuja on useita tyyppejä: desimaali ja tavallinen tai yksinkertainen. Jokaisella murtotyypillä on omat erityispiirteensä, mutta kun olet ymmärtänyt niiden käsittelyn perusteellisesti, pystyt ratkaisemaan kaikki esimerkit murtoluvuilla, koska tiedät suorituksen perusperiaatteet aritmeettisia laskelmia murtolukujen kanssa. Katsotaanpa esimerkkejä murto-osan jakamisesta kokonaisluvulla käyttämällä erityyppisiä murtolukuja.

Kuinka jakaa yksinkertainen murto-osa päällä luonnollinen luku?
Tavalliset tai yksinkertaiset murtoluvut ovat murtolukuja, jotka on kirjoitettu lukujen suhteen muodossa, jossa osinko (osoittaja) on merkitty murtoluvun yläosaan ja murto-osan jakaja (nimittäjä) alaosassa. Kuinka jakaa tällainen murto-osa kokonaisluvulla? Katsotaanpa esimerkkiä! Oletetaan, että meidän on jaettava 8/12 kahdella.

Tätä varten meidän on suoritettava useita toimintoja:

Siten, jos kohtaamme tehtävän jakaa murto-osa kokonaisluvulla, ratkaisukaavio näyttää suunnilleen tältä:

Samalla tavalla voit jakaa minkä tahansa tavallisen (yksinkertaisen) murtoluvun kokonaisluvulla.

Kuinka jakaa desimaali kokonaisluvulla?
Desimaaliluku on murtoluku, joka saadaan jakamalla yksikkö kymmeneen, tuhanneen ja niin edelleen. Aritmeettiset operaatiot desimaalilukujen kanssa ovat melko yksinkertaisia.

Katsotaanpa esimerkkiä murto-osan jakamisesta kokonaisluvulla. Oletetaan, että meidän on jaettava desimaaliluku 0,925 luonnollisella luvulla 5.

Yhteenvetona, pysähdytään kahteen pääkohtaan, jotka ovat tärkeitä jakooperaatiota suoritettaessa desimaalit kokonaislukuun:

desimaaliluvun jakamiseen luonnollisella luvulla käytetään pitkää jakoa;
Osamäärään laitetaan pilkku, kun osingon koko osan jako on suoritettu.

Näitä soveltamalla yksinkertaiset säännöt, voit aina helposti jakaa minkä tahansa desimaaliluvun tai yksinkertaisen murtoluvun kokonaisluvulla. Oppitunnin sisältö

Murtolukujen lisääminen samoilla nimittäjillä

Murtolukujen yhteenlaskua on kahta tyyppiä:

Murtolukujen lisääminen samoilla nimittäjillä
Murtolukujen lisääminen kanssa eri nimittäjiä

Ensin opetellaan murto-osien yhteenlasku samanlaisilla nimittäjillä. Täällä kaikki on yksinkertaista. Jos haluat lisätä murtolukuja, joilla on sama nimittäjä, sinun on lisättävä niiden osoittajat ja jätettävä nimittäjä ennalleen. Lisätään esimerkiksi murtoluvut ja . Lisää osoittajat ja jätä nimittäjä ennalleen:

Tämä esimerkki on helppo ymmärtää, jos muistamme pizzan, joka on jaettu neljään osaan. Jos lisäät pizzan pizzaan, saat pizzan:

Esimerkki 2. Lisää murtoluvut ja .

Vastaus ei ollut oikea murto-osa. Kun tehtävän loppu tulee, on tapana päästä eroon vääristä murtoluvuista. Päästäksesi eroon väärästä murto-osasta, sinun on valittava sen koko osa. Meidän tapauksessamme koko osa on helposti eristetty - kaksi jaettuna kahdella on yhtä suuri:

Tämä esimerkki on helppo ymmärtää, jos muistamme pizzan, joka on jaettu kahteen osaan. Jos lisäät pizzaan pizzaa, saat yhden kokonaisen pizzan:

Esimerkki 3. Lisää murtoluvut ja .

Jälleen laskemme osoittajat yhteen ja jätämme nimittäjän ennalleen:

Tämä esimerkki on helppo ymmärtää, jos muistamme pizzan, joka on jaettu kolmeen osaan. Jos lisäät pizzaan pizzaa, saat pizzan:

Esimerkki 4. Etsi lausekkeen arvo

Tämä esimerkki on ratkaistu täsmälleen samalla tavalla kuin edelliset. Osoittajat on lisättävä ja nimittäjä jätettävä ennalleen:

Yritetään kuvata ratkaisumme piirustuksen avulla. Jos lisäät pizzat pizzaan ja lisäät pizzoja, saat 1 kokonaisen pizzan ja lisää pizzoja.

Kuten näet, samoilla nimittäjillä olevien murtolukujen lisäämisessä ei ole mitään monimutkaista. Riittää, kun ymmärrät seuraavat säännöt:

Jos haluat lisätä murto-osia, joilla on sama nimittäjä, sinun on lisättävä niiden osoittajat ja jätettävä nimittäjä ennalleen.

Murtolukujen lisääminen eri nimittäjillä

Nyt opitaan lisäämään murtolukuja eri nimittäjillä. Murtolukuja laskettaessa murto-osien nimittäjien on oltava samat. Mutta ne eivät aina ole samoja.

Esimerkiksi murto-osia voidaan lisätä, koska niillä on samat nimittäjät.

Mutta murtolukuja ei voi lisätä heti, koska näillä murtoluvuilla on erilaiset nimittäjät. Tällaisissa tapauksissa murtoluvut on vähennettävä samaan (yhteiseen) nimittäjään.

On olemassa useita tapoja vähentää murtolukuja samaan nimittäjään. Tänään tarkastelemme vain yhtä niistä, koska muut menetelmät voivat tuntua monimutkaisilta aloittelijalle.

Tämän menetelmän ydin on, että ensin etsitään molempien murtolukujen nimittäjien LCM. LCM jaetaan sitten ensimmäisen murto-osan nimittäjällä ensimmäisen lisäkertoimen saamiseksi. He tekevät saman toisen murto-osan kanssa - LCM jaetaan toisen murto-osan nimittäjällä ja saadaan toinen lisäkerroin.

Murtolukujen osoittajat ja nimittäjät kerrotaan sitten niiden lisätekijöillä. Näiden toimien seurauksena murtoluvut, joilla oli eri nimittäjät, muuttuvat murtoluvuiksi, joilla on sama nimittäjä. Ja me tiedämme jo kuinka lisätä tällaisia murtolukuja.

Esimerkki 1. Lisätään murtoluvut ja

Ensinnäkin löydämme molempien murtolukujen nimittäjien pienimmän yhteisen kerrannaisen. Ensimmäisen murtoluvun nimittäjä on luku 3 ja toisen murtoluvun nimittäjä on luku 2. Näiden lukujen pienin yhteinen kerrannainen on 6

LCM (2 ja 3) = 6

Palataan nyt murtolukuihin ja . Jaa ensin LCM ensimmäisen murtoluvun nimittäjällä ja hanki ensimmäinen lisäkerroin. LCM on luku 6 ja ensimmäisen murto-osan nimittäjä on luku 3. Jaa 6 kolmella, saadaan 2.

Tuloksena oleva luku 2 on ensimmäinen lisäkerroin. Kirjoitamme sen ensimmäiseen murto-osaan. Tee tämä tekemällä murto-osan päälle pieni vino viiva ja kirjoita sen yläpuolella oleva lisätekijä:

Teemme saman toisen jakeen kanssa. Jaamme LCM:n toisen murto-osan nimittäjällä ja saamme toisen lisätekijän. LCM on luku 6 ja toisen murto-osan nimittäjä on luku 2. Jaa 6 kahdella, saadaan 3.

Tuloksena oleva luku 3 on toinen lisäkerroin. Kirjoitamme sen toiseen murto-osaan. Teemme jälleen pienen vinoviivan toisen murto-osan päälle ja kirjoitamme sen yläpuolelle löytyneen lisätekijän:

Nyt meillä on kaikki valmiina lisättäväksi. On vielä kerrottava murtolukujen osoittajat ja nimittäjät niiden lisäkertoimilla:

Katsokaa tarkasti, mihin olemme tulleet. Tulimme siihen tulokseen, että murtoluvut, joilla oli eri nimittäjät, muuttuivat murtoluvuiksi, joilla oli sama nimittäjä. Ja me tiedämme jo kuinka lisätä tällaisia murtolukuja. Viedään tämä esimerkki loppuun:

Tämä täydentää esimerkin. Osoittautuu lisättäväksi.

Yritetään kuvata ratkaisumme piirustuksen avulla. Jos lisäät pizzan pizzaan, saat yhden kokonaisen pizzan ja toisen kuudesosan pizzasta:

Murtolukujen pelkistys samaan (yhteiseen) nimittäjään voidaan kuvata myös kuvan avulla. Pienentämällä murtoluvut ja yhteiseksi nimittäjäksi saimme murtoluvut ja . Näitä kahta fraktiota edustavat samat pizzanpalat. Ainoa ero on siinä, että tällä kertaa ne jaetaan yhtä suuriin osuuksiin (alennettu samaan nimittäjään).

Ensimmäinen piirros esittää murto-osaa (neljä kappaletta kuudesta) ja toinen piirros murto-osaa (kolme kappaletta kuudesta). Lisäämällä nämä palaset saamme (seitsemän kappaletta kuudesta). Tämä murtoluku on virheellinen, joten korostimme sen koko osan. Tuloksena saimme (yksi kokonaisen pizzan ja toisen kuudennen pizzan).

Huomaa, että olemme kuvanneet tämä esimerkki liian yksityiskohtainen. SISÄÄN koulutusinstituutiot Ei ole tapana kirjoittaa niin yksityiskohtaisesti. Sinun on pystyttävä nopeasti löytämään molempien nimittäjien ja niiden lisätekijöiden LCM sekä kertomaan löydetyt lisätekijät nopeasti osoittajillasi ja nimittäjilläsi. Jos olisimme koulussa, meidän olisi kirjoitettava tämä esimerkki seuraavasti:

Mutta on myös takapuoli mitaleja. Jos et tee yksityiskohtaisia muistiinpanoja matematiikan opiskelun ensimmäisissä vaiheissa, tämän kaltaisia kysymyksiä alkaa ilmaantua. "Mistä tuo luku tulee?", "Miksi murtoluvut muuttuvat yhtäkkiä täysin erilaisiksi murtoluvuiksi? «.

Voit helpottaa eri nimittäjien murtolukujen lisäämistä seuraavien vaiheittaisten ohjeiden avulla:

Etsi murto-osien nimittäjien LCM;
Jaa LCM kunkin murto-osan nimittäjällä ja hanki jokaiselle murto-osalle lisäkerroin;
Kerro murtolukujen osoittajat ja nimittäjät niiden lisäkertoimilla;
Lisää murtoluvut, joilla on samat nimittäjät;
Jos vastaus osoittautuu vääräksi murtoluvuksi, valitse sen koko osa;

Esimerkki 2. Etsi lausekkeen arvo .

Käytetään yllä olevia ohjeita.

Vaihe 1. Etsi murtolukujen nimittäjien LCM

Etsi molempien murtolukujen nimittäjien LCM. Murtolukujen nimittäjät ovat luvut 2, 3 ja 4

Vaihe 2. Jaa LCM kunkin murto-osan nimittäjällä ja hanki jokaiselle murtoluvulle lisäkerroin

Jaa LCM ensimmäisen murtoluvun nimittäjällä. LCM on luku 12 ja ensimmäisen murtoluvun nimittäjä on luku 2. Jaa 12 kahdella, saamme 6. Saimme ensimmäisen lisäkertoimen 6. Kirjoitetaan se ensimmäisen murtoluvun yläpuolelle:

Nyt jaamme LCM:n toisen murto-osan nimittäjällä. LCM on luku 12 ja toisen murto-osan nimittäjä on luku 3. Jaa 12 kolmella, saamme 4. Saamme toisen lisäkertoimen 4. Kirjoitetaan se toisen murtoluvun yläpuolelle:

Nyt jaamme LCM:n kolmannen murtoluvun nimittäjällä. LCM on luku 12 ja kolmannen murtoluvun nimittäjä on luku 4. Jaa 12 4:llä, saamme 3. Saamme kolmannen lisäkertoimen 3. Kirjoitetaan se kolmannen murtoluvun yläpuolelle:

Vaihe 3. Kerro murtolukujen osoittajat ja nimittäjät niiden lisäkertoimilla

Kerromme osoittajat ja nimittäjät niiden lisätekijöillä:

Vaihe 4. Lisää murtoluvut, joilla on sama nimittäjä

Tulimme siihen tulokseen, että murtoluvut, joilla oli eri nimittäjät, muuttuivat murtoluvuiksi, joilla oli samat (yhteiset) nimittäjät. Jäljelle jää vain näiden jakeiden lisääminen. Lisää se:

Lisäys ei mahtunut yhdelle riville, joten siirsimme jäljellä olevan lausekkeen seuraavalle riville. Tämä on sallittua matematiikassa. Kun lauseke ei mahdu yhdelle riville, se siirretään seuraavalle riville ja ensimmäisen rivin loppuun ja uuden rivin alkuun on laitettava yhtäläisyysmerkki (=). Toisella rivillä oleva yhtäläisyysmerkki osoittaa, että tämä on jatkoa ensimmäisellä rivillä olevalle lausekkeelle.

Vaihe 5. Jos vastaus osoittautuu vääräksi murtoluvuksi, valitse sen koko osa

Vastauksemme osoittautui vääräksi murto-osaksi. Meidän on korostettava kokonaista osaa siitä. Korostamme:

Saimme vastauksen

Murtolukujen vähentäminen samoilla nimittäjillä

Murtolukujen vähentämistä on kahta tyyppiä:

Murtolukujen vähentäminen samoilla nimittäjillä
Eri nimittäjillä olevien murtolukujen vähentäminen

Ensin opetellaan vähentämään murtolukuja samanlaisilla nimittäjillä. Täällä kaikki on yksinkertaista. Jos haluat vähentää yhdestä murtoluvusta toisen, sinun on vähennettävä toisen murtoluvun osoittaja ensimmäisen murtoluvun osoittajasta, mutta nimittäjä on jätettävä ennalleen.

Etsitään esimerkiksi lausekkeen arvo. Tämän esimerkin ratkaisemiseksi sinun on vähennettävä toisen murtoluvun osoittaja ensimmäisen murtoluvun osoittajasta ja jätettävä nimittäjä ennalleen. Tehdään tämä:

Tämä esimerkki on helppo ymmärtää, jos muistamme pizzan, joka on jaettu neljään osaan. Jos leikkaat pizzat pizzasta, saat pizzat:

Esimerkki 2. Etsi lausekkeen arvo.

Jälleen, vähennä ensimmäisen murto-osan osoittajasta toisen murto-osan osoittaja ja jätä nimittäjä ennalleen:

Tämä esimerkki on helppo ymmärtää, jos muistamme pizzan, joka on jaettu kolmeen osaan. Jos leikkaat pizzat pizzasta, saat pizzat:

Esimerkki 3. Etsi lausekkeen arvo

Tämä esimerkki on ratkaistu täsmälleen samalla tavalla kuin edelliset. Ensimmäisen murtoluvun osoittajasta sinun on vähennettävä jäljellä olevien murtolukujen osoittajat:

Kuten näette, samoilla nimittäjillä olevien murtolukujen vähentämisessä ei ole mitään monimutkaista. Riittää, kun ymmärrät seuraavat säännöt:

Jos haluat vähentää yhdestä murtoluvusta toisen, sinun on vähennettävä toisen murtoluvun osoittaja ensimmäisen murtoluvun osoittajasta ja jätettävä nimittäjä ennalleen;
Jos vastaus osoittautuu vääräksi murto-osaksi, sinun on korostettava sen koko osa.

Eri nimittäjillä olevien murtolukujen vähentäminen

Voit esimerkiksi vähentää murto-osan murtoluvusta, koska murtoluvuilla on samat nimittäjät. Mutta et voi vähentää murto-osaa murtoluvusta, koska näillä murtoluvuilla on erilaiset nimittäjät. Tällaisissa tapauksissa murtoluvut on vähennettävä samaan (yhteiseen) nimittäjään.

Yhteinen nimittäjä löytyy samalla periaatteella, jota käytimme eri nimittäjillä olevia murtolukuja laskettaessa. Ensinnäkin, etsi molempien murtolukujen nimittäjien LCM. Sitten LCM jaetaan ensimmäisen murto-osan nimittäjällä ja saadaan ensimmäinen lisäkerroin, joka kirjoitetaan ensimmäisen murto-osan yläpuolelle. Vastaavasti LCM jaetaan toisen murto-osan nimittäjällä ja saadaan toinen lisäkerroin, joka kirjoitetaan toisen murto-osan yläpuolelle.

Murtoluvut kerrotaan sitten niiden lisätekijöillä. Näiden operaatioiden tuloksena murtoluvut, joilla oli eri nimittäjä, muunnetaan murtoluvuiksi, joilla on samat nimittäjät. Ja me tiedämme jo kuinka vähentää tällaisia murtolukuja.

Esimerkki 1. Etsi ilmaisun merkitys:

Näillä murtoluvuilla on eri nimittäjät, joten sinun on vähennettävä ne samaan (yhteiseen) nimittäjään.

Ensin löydetään molempien murtolukujen nimittäjien LCM. Ensimmäisen murtoluvun nimittäjä on luku 3 ja toisen murtoluvun nimittäjä on luku 4. Näiden lukujen pienin yhteinen kerrannainen on 12

LCM (3 ja 4) = 12

Palataan nyt murtolukuihin ja

Etsitään lisäkerroin ensimmäiselle murtoluvulle. Tee tämä jakamalla LCM ensimmäisen murtoluvun nimittäjällä. LCM on luku 12 ja ensimmäisen murtoluvun nimittäjä on luku 3. Jaa 12 kolmella, saadaan 4. Kirjoita ensimmäisen murtoluvun yläpuolelle neljä:

Teemme saman toisen jakeen kanssa. Jaa LCM toisen murtoluvun nimittäjällä. LCM on luku 12 ja toisen murto-osan nimittäjä on luku 4. Jaa 12 4:llä, saadaan 3. Kirjoita kolmos toisen murtoluvun päälle:

Nyt olemme valmiita vähentämään. On vielä kerrottava jakeet niiden lisäkertoimilla:

Tulimme siihen tulokseen, että murtoluvut, joilla oli eri nimittäjät, muuttuivat murtoluvuiksi, joilla oli sama nimittäjä. Ja me tiedämme jo kuinka vähentää tällaisia murtolukuja. Viedään tämä esimerkki loppuun:

Saimme vastauksen

Yritetään kuvata ratkaisumme piirustuksen avulla. Jos leikkaat pizzan pizzasta, saat pizzan

Tämä on ratkaisun yksityiskohtainen versio. Jos olisimme koulussa, meidän olisi ratkaistava tämä esimerkki lyhyemmin. Tällainen ratkaisu näyttäisi tältä:

Murtolukujen pelkistäminen yhteiseksi nimittäjäksi voidaan kuvata myös kuvan avulla. Pienentämällä nämä murtoluvut yhteiseksi nimittäjäksi, saimme murtoluvut ja . Näitä murto-osia edustavat samat pizzaviipaleet, mutta tällä kertaa ne jaetaan yhtä suuriin osuuksiin (pienennettynä samaan nimittäjään):

Ensimmäisessä kuvassa on murto-osa (kahdeksan kappaletta kahdestatoista) ja toisessa kuvassa murto-osa (kolme kappaletta kahdestatoista). Leikkaamalla kolme kappaletta kahdeksasta kappaleesta saadaan viisi kappaletta kahdestatoista. Murtoluku kuvaa näitä viittä kappaletta.

Esimerkki 2. Etsi lausekkeen arvo

Näillä murtoluvuilla on eri nimittäjät, joten sinun on ensin vähennettävä ne samaan (yhteiseen) nimittäjään.

Etsitään näiden murtolukujen nimittäjien LCM.

Murtolukujen nimittäjät ovat luvut 10, 3 ja 5. Näiden lukujen pienin yhteinen kerrannainen on 30

LCM(10; 3; 5) = 30

Nyt löydämme lisätekijöitä jokaiselle murtoluvulle. Tee tämä jakamalla LCM kunkin murtoluvun nimittäjällä.

Etsitään lisäkerroin ensimmäiselle murtoluvulle. LCM on luku 30 ja ensimmäisen murtoluvun nimittäjä on luku 10. Jaa 30 10:llä, saadaan ensimmäinen lisäkerroin 3. Kirjoitetaan se ensimmäisen murtoluvun yläpuolelle:

Nyt löydämme lisätekijän toiselle murtoluvulle. Jaa LCM toisen murtoluvun nimittäjällä. LCM on luku 30 ja toisen murto-osan nimittäjä on luku 3. Jaa 30 kolmella, saadaan toinen lisäkerroin 10. Kirjoitetaan se toisen murtoluvun yläpuolelle:

Nyt löydämme lisätekijän kolmannelle murtoluvulle. Jaa LCM kolmannen murtoluvun nimittäjällä. LCM on luku 30 ja kolmannen murtoluvun nimittäjä on luku 5. Jaa 30 5:llä, saadaan kolmas lisäkerroin 6. Kirjoitetaan se kolmannen murtoluvun yläpuolelle:

Nyt kaikki on valmis vähennyskelpoiseksi. On vielä kerrottava murtoluvut niiden lisätekijöillä:

Tulimme siihen tulokseen, että murtoluvut, joilla oli eri nimittäjät, muuttuivat murtoluvuiksi, joilla oli samat (yhteiset) nimittäjät. Ja me tiedämme jo kuinka vähentää tällaisia murtolukuja. Lopetetaan tämä esimerkki.

Esimerkin jatko ei mahdu yhdelle riville, joten siirrämme jatkon seuraavalle riville. Älä unohda yhtäläisyysmerkkiä (=) uudella rivillä:

Vastaus osoittautui tavalliseksi murto-osaksi, ja kaikki näyttää sopivan meille, mutta se on liian raskasta ja rumaa. Meidän pitäisi tehdä siitä yksinkertaisempi. Mitä voidaan tehdä? Voit lyhentää tätä murto-osaa.

Murtoluvun pienentämiseksi sinun on jaettava sen osoittaja ja nimittäjä (GCD) luvuista 20 ja 30.

Joten löydämme numeroiden 20 ja 30 gcd: n:

Nyt palataan esimerkkiimme ja jaetaan murtoluvun osoittaja ja nimittäjä löydetyllä gcd:llä, eli luvulla 10

Saimme vastauksen

Murtoluvun kertominen luvulla

Jos haluat kertoa murtoluvun luvulla, sinun on kerrottava annetun murtoluvun osoittaja tällä luvulla ja jätettävä nimittäjä ennalleen.

Esimerkki 1. Kerro murto-osa luvulla 1.

Kerro murtoluvun osoittaja luvulla 1

Nauhoituksen voi ymmärtää kestävän puoli 1 kertaa. Jos esimerkiksi otat pizzan kerran, saat pizzan

Kertolaitoista tiedämme, että jos kerroin ja kerroin vaihdetaan, tulo ei muutu. Jos lauseke kirjoitetaan muodossa , tulo on silti yhtä suuri kuin . Jälleen sääntö kokonaisluvun ja murtoluvun kertomisesta toimii:

Tämä merkintätapa voidaan ymmärtää ottavan puolet yhdestä. Esimerkiksi jos on 1 kokonainen pizza ja otamme siitä puolet, niin meillä on pizza:

Esimerkki 2. Etsi lausekkeen arvo

Kerro murtoluvun osoittaja 4:llä

Vastaus oli väärä murto-osa. Korostetaan koko osaa siitä:

Lauseke voidaan ymmärtää ottavan kaksi neljäsosaa 4 kertaa. Jos otat esimerkiksi 4 pizzaa, saat kaksi kokonaista pizzaa

Ja jos vaihdamme kertojan ja kertoimen, saamme lausekkeen . Se on myös yhtä suuri kuin 2. Tämä lauseke voidaan ymmärtää ottamalla kaksi pizzaa neljästä kokonaisesta pizzasta:

Murtolukujen kertominen

Jos haluat kertoa murtoluvut, sinun on kerrottava niiden osoittajat ja nimittäjät. Jos vastaus osoittautuu vääräksi murto-osaksi, sinun on korostettava sen koko osa.

Esimerkki 1. Etsi lausekkeen arvo.

Saimme vastauksen. Tätä osuutta on suositeltavaa pienentää. Fraktiota voidaan pienentää 2:lla. Sitten lopullinen liuos saa seuraavan muodon:

Ilmaus voidaan ymmärtää niin, että pizza otetaan puolikkaasta pizzasta. Oletetaan, että meillä on puoli pizzaa:

Kuinka ottaa kaksi kolmasosaa tästä puoliskosta? Ensin sinun on jaettava tämä puolikas kolmeen yhtä suureen osaan:

Ja ota kaksi näistä kolmesta kappaleesta:

Teemme pizzaa. Muista miltä pizza näyttää kolmeen osaan jaettuna:

Yhdellä palalla tätä pizzaa ja kahdella otamme palalla on samat mitat:

Toisin sanoen, me puhumme suunnilleen samankokoinen pizza. Siksi lausekkeen arvo on

Esimerkki 2. Etsi lausekkeen arvo

Kerro ensimmäisen murto-osan osoittaja toisen murto-osan osoittajalla ja ensimmäisen murto-osan nimittäjä toisen murto-osan nimittäjällä:

Vastaus oli väärä murto-osa. Korostetaan koko osaa siitä:

Esimerkki 3. Etsi lausekkeen arvo

Kerro ensimmäisen murto-osan osoittaja toisen murto-osan osoittajalla ja ensimmäisen murto-osan nimittäjä toisen murto-osan nimittäjällä:

Vastaus osoittautui säännölliseksi murto-osaksi, mutta olisi hyvä, jos sitä lyhennetään. Tämän murtoluvun pienentämiseksi sinun on jaettava tämän murtoluvun osoittaja ja nimittäjä suurimmalla yhteinen jakaja(GCD) numerot 105 ja 450.

Joten, etsitään numeroiden 105 ja 450 gcd:

Nyt jaamme vastauksemme osoittajan ja nimittäjän nyt löytämämme gcd:llä, eli luvulla 15

Esittää kokonaislukua murtolukuna

Mikä tahansa kokonaisluku voidaan esittää murtolukuna. Esimerkiksi numero 5 voidaan esittää muodossa . Tämä ei muuta viiden merkitystä, koska lauseke tarkoittaa "lukua viisi jaettuna yhdellä", ja tämä, kuten tiedämme, on yhtä suuri kuin viisi:

Vastavuoroiset numerot

Nyt tutustumme hyvin mielenkiintoinen aihe matematiikassa. Sitä kutsutaan "käänteisiksi numeroiksi".

Määritelmä. Käänteinen numeroona on luku, joka kerrottunaa antaa yhden.

Korvataan tämä määritelmä muuttujan sijaan a numero 5 ja yritä lukea määritelmä:

Käänteinen numeroon 5 on luku, joka kerrottuna 5 antaa yhden.

Onko mahdollista löytää luku, joka kerrottuna viidellä antaa yhden? Osoittautuu, että se on mahdollista. Kuvitellaan viisi murtolukuna:

Kerro sitten tämä murto-osa itsellään, vaihda vain osoittaja ja nimittäjä. Toisin sanoen kerrotaan murto-osa itsellään, vain ylösalaisin:

Mitä tämän seurauksena tapahtuu? Jos jatkamme tämän esimerkin ratkaisemista, saamme yhden:

Tämä tarkoittaa, että luvun 5 käänteisluku on luku , koska kun kerrot 5:llä, saat yhden.

Luvun käänteisluku löytyy myös mille tahansa muulle kokonaisluvulle.

Voit myös löytää minkä tahansa muun murtoluvun käänteisluvun. Voit tehdä tämän kääntämällä sen ympäri.

Murtoluvun jakaminen luvulla

Oletetaan, että meillä on puoli pizzaa:

Jaetaan se tasan kahdelle. Kuinka paljon pizzaa kukin saa?

Voidaan nähdä, että puolikkaan pizzan jakamisen jälkeen saatiin kaksi samankokoista palaa, joista jokainen muodostaa pizzan. Joten kaikki saavat pizzan.

Jakeet jaetaan käänteislukuja käyttämällä. Käänteisluvuilla voit korvata jaon kertolaskulla.

Jos haluat jakaa murtoluvun luvulla, sinun on kerrottava murto jakajan käänteisluvulla.

Tämän säännön avulla kirjoitamme ylös pizzapuolikkaamme jakautumisen kahteen osaan.

Joten sinun on jaettava murto-osa luvulla 2. Tässä osinko on murto-osa ja jakaja on luku 2.

Jos haluat jakaa murtoluvun luvulla 2, sinun on kerrottava tämä murtoluku jakajan 2 käänteisluvulla. Jakajan 2 käänteisluku on murtoluku. Joten sinun täytyy kertoa

Jotta voit ratkaista erilaisia ongelmia matematiikan ja fysiikan kursseista, sinun on jaettava murtoluvut. Se on erittäin helppo tehdä, jos tiedät tietyt säännöt suorittaa tämä matemaattinen operaatio.

Ennen kuin siirrymme murtolukujen jakosäännön muotoiluun, muistetaan joitain matemaattisia termejä:

Murtoluvun yläosaa kutsutaan osoittajaksi ja alaosaa nimittäjäksi.
Jaettaessa lukuja kutsutaan seuraavasti: osinko: jakaja = osamäärä

Murtolukujen jakaminen: yksinkertaiset murtoluvut

Jos haluat jakaa kaksi yksinkertaista murtolukua, kerro osinko jakajan käänteisluvulla. Tätä murtolukua kutsutaan myös käänteiseksi, koska se saadaan vaihtamalla osoittaja ja nimittäjä. Esimerkiksi:

3/77: 1/11 = 3 /77 * 11 /1 = 3/7

Murtolukujen jakaminen: sekafraktiot

Jos meidän on jaettava sekamurtoluvut, kaikki täällä on myös melko yksinkertaista ja selkeää. Ensin muunnetaan sekamurto säännölliseksi murtoluvuksi väärä murtoluku. Voit tehdä tämän kertomalla tällaisen murto-osan nimittäjä kokonaisluvulla ja lisäämällä osoittajan tuloksena olevaan tuloon. Tuloksena saimme sekamurtoluvun uuden osoittajan, mutta sen nimittäjä pysyy ennallaan. Lisäksi murto-osien jako suoritetaan täsmälleen samalla tavalla kuin yksinkertaisten jakeiden jako. Esimerkiksi:

10 2/3: 4/15 = 32/3: 4/15 = 32/3 * 15 /4 = 40/1 = 40

Kuinka jakaa murto luvulla

Yksinkertaisen murtoluvun jakamiseksi luvulla jälkimmäinen tulee kirjoittaa murtolukuna (epäsäännöllinen). Tämä on erittäin helppo tehdä: tämä luku kirjoitetaan osoittajan tilalle, ja tällaisen murto-osan nimittäjä on yhtä suuri kuin yksi. Lisäjako suoritetaan tavalliseen tapaan. Katsotaanpa tätä esimerkillä:

5/11: 7 = 5/11: 7/1 = 5/11 * 1/7 = 5/77

Kuinka jakaa desimaalit

Usein aikuisella on vaikeuksia jakaa kokonaisluku tai desimaalimurto desimaalimurtoluvulla ilman laskimen apua.

Joten, jos haluat jakaa desimaalit, sinun tarvitsee vain yliviivata pilkku jakajasta ja lopettaa huomioiminen. Osingossa pilkkua on siirrettävä oikealle täsmälleen niin moneen paikkaan kuin se oli jakajan murto-osassa lisäämällä tarvittaessa nollia. Ja sitten he suorittavat tavanomaisen jaon kokonaisluvulla. Jotta tämä olisi selvempi, harkitse seuraavaa esimerkkiä.

Murtolukujen kertominen ja jako.

Huomio!
On olemassa ylimääräisiä
materiaalit erityisosastossa 555.
Niille, jotka ovat erittäin "ei kovin..."
Ja niille, jotka "erittäin...")

Tämä operaatio on paljon mukavampi kuin yhteen- ja vähennyslasku! Koska se on helpompaa. Muistutuksena, jos haluat kertoa murto-osan murtoluvulla, sinun on kerrottava osoittajat (tämä on tuloksen osoittaja) ja nimittäjät (tämä on nimittäjä). Tuo on:

Esimerkiksi:

Kaikki on erittäin yksinkertaista. Ja älä etsi yhteistä nimittäjää! Ei häntä täällä tarvita...

Jos haluat jakaa murto-osan murtoluvulla, sinun on käännettävä toinen(tämä on tärkeää!) murtoluku ja kerro ne, eli:

Esimerkiksi:

Jos törmäät kerto- tai jakolaskuihin kokonaisluvuilla ja murtoluvuilla, se on okei. Kuten yhteenlaskussa, teemme murto-osan kokonaisluvusta, jonka nimittäjässä on yksi - ja jatka eteenpäin! Esimerkiksi:

Lukiossa joutuu usein käsittelemään kolmikerroksisia (tai jopa nelikerroksisia!) murto-osia. Esimerkiksi:

Kuinka saan tämän jakeen näyttämään kunnolliselta? Kyllä, hyvin yksinkertaista! Käytä kahden pisteen jakoa:

Mutta älä unohda jakojärjestystä! Toisin kuin kertolasku, tämä on erittäin tärkeää tässä! Emme tietenkään sekoita 4:2 tai 2:4. Mutta kolmikerroksisessa murto-osassa on helppo tehdä virhe. Huomaa esimerkiksi:

Ensimmäisessä tapauksessa (lauseke vasemmalla):

Toisessa (lauseke oikealla):

Tunnetko eron? 4 ja 1/9!

Mikä määrittää jakojärjestyksen? Joko suluilla tai (kuten tässä) vaakaviivojen pituudella. Kehitä silmääsi. Ja jos ei ole sulkeita tai viivoja, kuten:

sitten jaa ja kerro järjestyksessä, vasemmalta oikealle!

Ja toinen hyvin yksinkertainen ja tärkeä tekniikka. Tutkintotoimissa se on sinulle niin hyödyllistä! Jaetaan yksi millä tahansa murtoluvulla, esimerkiksi luvulla 13/15:

Laukaus on kääntynyt! Ja tätä tapahtuu aina. Kun jaetaan 1 millä tahansa murtoluvulla, tulos on sama murto-osa, vain ylösalaisin.

Siinä se operaatioille murtolukujen kanssa. Asia on melko yksinkertainen, mutta se antaa enemmän kuin tarpeeksi virheitä. Huomautus käytännön neuvoja, ja niitä tulee olemaan vähemmän (virheitä)!

Käytännön vinkkejä:

1. Murtolausekkeiden kanssa työskennellessä tärkeintä on tarkkuus ja tarkkaavaisuus! Ei ole yleisiä sanoja, ei hyviä toiveita! Tämä on kipeä välttämättömyys! Tee kaikki Unified State Exam -kokeen laskelmat täysimittaisena tehtävänä, keskittyneenä ja selkeänä. On parempi kirjoittaa luonnokseesi kaksi ylimääräistä riviä kuin sotkea mielenlaskuja.

2. Esimerkeissä kanssa eri tyyppejä murtoluvut - siirry tavallisiin murtolukuihin.

3. Vähennämme kaikkia murtolukuja, kunnes ne pysähtyvät.

4. Monikerroksinen murtolausekkeita vähennä tavallisiksi jakamalla kahdella pisteellä (tarkista jakojärjestys!).

5. Jaa yksikkö päässäsi olevalla murto-osalla yksinkertaisesti kääntämällä murto-osa ympäri.

Tässä on tehtävät, jotka sinun on ehdottomasti suoritettava. Vastaukset annetaan kaikkien tehtävien jälkeen. Käytä tätä aihetta käsitteleviä materiaaleja ja käytännön vinkkejä. Arvioi kuinka monta esimerkkiä pystyit ratkaisemaan oikein. Ensimmäinen kerta! Ilman laskinta! Ja tee oikeat johtopäätökset...

Muista - oikea vastaus on toisesta (etenkin kolmannesta) kerrasta saatuja ei lasketa! Sellaista se ankara elämä on.

Niin, ratkaista koetilassa ! Tämä on muuten jo valmistautumista Unified State -kokeeseen. Ratkaisemme esimerkin, tarkistamme sen, ratkaisemme seuraavan. Päätimme kaiken - tarkistimme uudelleen ensimmäisestä viimeiseen. Mutta vain Sitten katso vastauksia.

Laskea:

Oletko päättänyt?

Etsimme vastauksia, jotka vastaavat sinun vastauksiasi. Kirjoitin ne tarkoituksella ylös sekaisin, niin sanoakseni pois kiusauksesta... Tässä ne ovat, puolipisteillä kirjoitetut vastaukset.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Nyt tehdään johtopäätökset. Jos kaikki sujui, olen iloinen puolestasi! Peruslaskelmat murtoluvuilla eivät ole sinun ongelmasi! Voit tehdä vakavampia asioita. Jos ei...

Sinulla on siis toinen kahdesta ongelmasta. Tai molemmat kerralla.) Tiedon puute ja (tai) välinpitämättömyys. Mutta tämä ratkaistavissa Ongelmia.

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari muuta mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Opitaan - mielenkiinnolla!)

Voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.

SISÄÄN viime kerta Opimme lisäämään ja vähentämään murtolukuja (katso oppitunti "Murtolukujen lisääminen ja vähentäminen"). Suurin osa vaikea hetki nämä toimet sisälsivät murtolukujen yhdistämisen yhteiseen nimittäjään.

Nyt on aika käsitellä kerto- ja jakolaskua. Hyviä uutisia on, että nämä operaatiot ovat jopa yksinkertaisempia kuin yhteen- ja vähennyslasku. Ensin katsotaan yksinkertaisin tapaus, kun on kaksi positiivista murtolukua ilman erotettua kokonaislukuosaa.

Jos haluat kertoa kaksi murtolukua, sinun on kerrottava niiden osoittajat ja nimittäjät erikseen. Ensimmäinen numero on uuden murtoluvun osoittaja ja toinen on nimittäjä.

Kahden murto-osan jakamiseksi sinun on kerrottava ensimmäinen murto-osa "käänteisellä" toisella murto-luvulla.

Nimitys:

Määritelmästä seuraa, että murtolukujen jakaminen pelkistyy kertolaskuksi. Jos haluat "kääntää" murtoluvun, vaihda osoittaja ja nimittäjä. Siksi koko oppitunnin ajan käsittelemme pääasiassa kertolaskua.

Kertomisen seurauksena voi syntyä (ja usein syntyy) pienennettävä murto-osa - sitä on tietysti vähennettävä. Jos kaikkien vähennysten jälkeen murto-osa osoittautuu vääräksi, koko osa tulee korostaa. Mutta mitä ei varmasti tapahdu kertolaskussa, on pelkistys yhteiseen nimittäjään: ei ristikkäisiä menetelmiä, suurimmat tekijät ja vähiten yhteiset kerrannaiset.

Määritelmän mukaan meillä on:

Murtolukujen kertominen kokonaisilla osilla ja negatiivisilla murtoluvuilla

Jos murtoluvut sisältävät kokonaislukuosan, ne on muutettava virheellisiksi - ja vasta sitten kerrottava edellä esitettyjen kaavioiden mukaisesti.

Jos murtoluvun osoittajassa, nimittäjässä tai sen edessä on miinus, se voidaan ottaa pois kertolaskusta tai poistaa kokonaan seuraavien sääntöjen mukaisesti:

Plus miinuksella antaa miinuksen;
Kaksi negatiivista tekee myöntävän.

Tähän asti näitä sääntöjä on kohdattu vain negatiivisia murtolukuja lisättäessä ja vähennettäessä, kun koko osasta oli päästävä eroon. Teoksen osalta ne voidaan yleistää useiden haittojen "polttamiseksi" kerralla:

Yliviivaamme negatiivit pareittain, kunnes ne katoavat kokonaan. Äärimmäisissä tapauksissa yksi miinus voi selviytyä - se, jolle ei ollut kumppania;
Jos miinuksia ei ole jäljellä, toimenpide on valmis - voit aloittaa kertomisen. Jos viimeistä miinusta ei ole yliviivattu, koska sillä ei ollut paria, jätämme sen kertolaskurajojen ulkopuolelle. Tuloksena on negatiivinen murto-osa.

Tehtävä. Etsi ilmaisun merkitys:

Muunnamme kaikki murtoluvut vääriksi ja poistamme kertolaskusta miinukset. Kerromme sen, mikä on jäljellä tavallisten sääntöjen mukaisesti. Saamme:

Muistutan vielä kerran, että miinusmerkki, joka näkyy ennen murtolukua korostettuna koko osa, viittaa erityisesti koko murto-osaan, ei vain sen koko osaan (tämä koskee kahta viimeistä esimerkkiä).

Huomaa myös negatiivisia lukuja: Kerrottaessa ne on suljettu suluissa. Tämä tehdään miinusten erottamiseksi kertomerkeistä ja koko merkinnän tarkentamiseksi.

Murtolukujen vähentäminen lennossa

Kertominen on erittäin työvoimavaltainen toimenpide. Tässä olevat luvut osoittautuvat melko suuriksi, ja ongelman yksinkertaistamiseksi voit yrittää pienentää murto-osaa edelleen ennen kertolaskua. Todellakin, pohjimmiltaan murtolukujen osoittajat ja nimittäjät ovat tavallisia tekijöitä, ja siksi niitä voidaan pienentää murtoluvun perusominaisuutta käyttämällä. Katso esimerkkejä:

Tehtävä. Etsi ilmaisun merkitys:

Määritelmän mukaan meillä on:

Kaikissa esimerkeissä vähennetyt numerot ja niistä jääneet on merkitty punaisella.

Huomaa: ensimmäisessä tapauksessa kertoimia pienennettiin kokonaan. Niiden tilalle jää yksiköitä, joita ei yleisesti ottaen tarvitse kirjoittaa. Toisessa esimerkissä ei ollut mahdollista saavuttaa täydellistä vähennystä, mutta laskelmien kokonaismäärä kuitenkin pieneni.

Älä kuitenkaan koskaan käytä tätä tekniikkaa, kun lisäät ja vähennät murtolukuja! Kyllä, joskus on samanlaisia lukuja, joita haluat vain vähentää. Tässä, katso:

Et voi tehdä sitä!

Virhe johtuu siitä, että kun lasketaan yhteen, murtoluvun osoittaja tuottaa summan, ei lukujen tuloa. Näin ollen on mahdotonta soveltaa murtoluvun perusominaisuutta, koska tämä ominaisuus koskee nimenomaan lukujen kertomista.

Murtolukujen vähentämiseen ei yksinkertaisesti ole muita syitä, joten oikea ratkaisu edelliseen ongelmaan näyttää tältä:

Oikea ratkaisu:

Kuten näette, oikea vastaus ei osoittautunut niin kauniiksi. Yleisesti ottaen ole varovainen.