Formule q in geometrisch. Formule voor de n-de term van een geometrische progressie
Wiskunde is watmensen beheersen de natuur en zichzelf.
Sovjet-wiskundige, academicus A.N. Kolmogorov
Geometrische progressie.
Naast problemen met rekenkundige progressies komen ook problemen die verband houden met het concept van geometrische progressie vaak voor bij toelatingsexamens in de wiskunde. Voor succesvolle oplossing Dergelijke problemen vereisen kennis van de eigenschappen van geometrische progressies en goede vaardigheden in het gebruik ervan.
Dit artikel is gewijd aan de presentatie van de basiseigenschappen van geometrische progressie. Hier vindt u ook voorbeelden van het oplossen van typische problemen., ontleend aan de taken van toelatingsexamens in de wiskunde.
Laten we eerst de basiseigenschappen van de geometrische progressie noteren en de belangrijkste formules en uitspraken in herinnering brengen, verbonden aan dit concept.
Definitie. Een getallenreeks wordt een geometrische reeks genoemd als elk getal, beginnend bij het tweede, gelijk is aan het vorige, vermenigvuldigd met hetzelfde getal. Het getal wordt de noemer van een geometrische progressie genoemd.
Voor geometrische progressiede formules zijn geldig
, (1)
Waar . Formule (1) wordt de formule van de algemene term van een geometrische progressie genoemd, en formule (2) vertegenwoordigt de belangrijkste eigenschap van een geometrische progressie: elke term van de progressie valt samen met het geometrische gemiddelde van de aangrenzende termen en .
Opmerking, dat het juist vanwege deze eigenschap is dat de betreffende progressie “geometrisch” wordt genoemd.
De bovenstaande formules (1) en (2) zijn gegeneraliseerd op de volgende manier:
, (3)
Om het bedrag te berekenen Eerst leden van een geometrische progressieformule is van toepassing
Als we aanduiden, dan
Waar . Omdat formule (6) een generalisatie is van formule (5).
In het geval wanneer en geometrische progressieneemt oneindig af. Om het bedrag te berekenenvan alle termen van een oneindig afnemende geometrische progressie wordt de formule gebruikt
. (7)
Bijvoorbeeld , met behulp van formule (7) kunnen we laten zien, Wat
Waar . Deze gelijkheden worden verkregen uit formule (7) onder de voorwaarde dat , (eerste gelijkheid) en , (tweede gelijkheid).
Stelling. Als dan
Bewijs. Als dan
De stelling is bewezen.
Laten we verder gaan met het bekijken van voorbeelden van het oplossen van problemen met het onderwerp "Geometrische progressie".
Voorbeeld 1. Gegeven: , en . Vinden .
Oplossing. Als we formule (5) toepassen, dan
Antwoord: .
Voorbeeld 2. Laat maar zo. Vinden .
Oplossing. Sinds en gebruiken we de formules (5), (6) en verkrijgen we een stelsel van vergelijkingen
Als de tweede vergelijking van systeem (9) wordt gedeeld door de eerste, dan of . Hieruit volgt dat . Laten we twee gevallen bekijken.
1. Als, dan hebben we uit de eerste vergelijking van systeem (9)..
2. Als , dan .
Voorbeeld 3. Laat, en. Vinden .
Oplossing. Uit formule (2) volgt dat of . Sinds , toen of .
Op voorwaarde. Echter daarom. Sinds en dan hebben we hier een systeem van vergelijkingen
Als de tweede vergelijking van het systeem wordt gedeeld door de eerste, dan of .
Omdat de vergelijking een unieke geschikte wortel heeft. In dit geval volgt dit uit de eerste vergelijking van het systeem.
Rekening houdend met formule (7), verkrijgen we.
Antwoord: .
Voorbeeld 4. Gegeven: en . Vinden .
Oplossing. Sindsdien.
Sinds , toen of
Volgens formule (2) hebben we . In dit opzicht verkrijgen we uit gelijkheid (10) of .
Wel op voorwaarde dus.
Voorbeeld 5. Het is bekend dat . Vinden .
Oplossing. Volgens de stelling hebben we twee gelijkheden
Sinds , toen of . Omdat dan .
Antwoord: .
Voorbeeld 6. Gegeven: en . Vinden .
Oplossing. Rekening houdend met formule (5), verkrijgen we
Sindsdien. Sinds , en , toen .
Voorbeeld 7. Laat maar zo. Vinden .
Oplossing. Volgens formule (1) kunnen we schrijven
Daarom hebben we of . Het is bekend dat en , daarom en .
Antwoord: .
Voorbeeld 8. Zoek de noemer van een oneindig afnemende geometrische progressie als
En .
Oplossing. Uit formule (7) volgt het En . Vanaf hier en uit de omstandigheden van het probleem verkrijgen we een systeem van vergelijkingen
Als de eerste vergelijking van het systeem gekwadrateerd is, en deel vervolgens de resulterende vergelijking door de tweede vergelijking, dan krijgen wij
Of .
Antwoord: .
Voorbeeld 9. Vind alle waarden waarvoor de reeks , , een geometrische progressie is.
Oplossing. Laat, en. Volgens formule (2), die de belangrijkste eigenschap van een geometrische progressie definieert, kunnen we schrijven of .
Vanaf hier krijgen we de kwadratische vergelijking, waarvan de wortels zijn En .
Laten we eens kijken: als, dan , en ; als, dan, en.
In het eerste geval hebben we dat gedaan en , en in de tweede – en .
Antwoord: , .
Voorbeeld 10.Los De vergelijking op
, (11)
waar en.
Oplossing. De linkerkant van vergelijking (11) is de som van een oneindig afnemende geometrische progressie, waarin en , afhankelijk van: en .
Uit formule (7) volgt het, Wat . In dit opzicht neemt vergelijking (11) de vorm aan of . Geschikte wortel kwadratische vergelijking is
Antwoord: .
Voorbeeld 11. P samenhang positieve cijfers vormt een rekenkundige progressie, A - geometrische progressie, waar heeft het mee te maken. Vinden .
Oplossing. Omdat rekenkundige rij, Dat (hoofdeigendom rekenkundige progressie). Omdat de, dan of . Dit houdt in , dat de geometrische progressie de vorm heeft. Volgens formule (2), dan schrijven we dat op .
Sinds en, toen . In dit geval de uitdrukking heeft de vorm of . Op voorwaarde, dus vanaf vgl.we krijgen enige beslissing probleem in behandeling, d.w.z. .
Antwoord: .
Voorbeeld 12. Bereken som
. (12)
Oplossing. Vermenigvuldig beide zijden van gelijkheid (12) met 5 en krijg
Als we (12) aftrekken van de resulterende uitdrukking, Dat
of .
Om te berekenen, vervangen we de waarden in formule (7) en krijgen we . Sindsdien.
Antwoord: .
De hier gegeven voorbeelden van probleemoplossing zullen nuttig zijn voor aanvragers bij hun voorbereiding toelatingsexamens. Voor een diepere studie van probleemoplossende methoden, gerelateerd aan geometrische progressie, kan worden gebruikt leermiddelen uit de lijst met aanbevolen literatuur.
1. Verzameling van problemen in de wiskunde voor kandidaten voor hogescholen / Ed. MI. Scanavi. – M.: Mir en Onderwijs, 2013. – 608 p.
2. Suprun V.P. Wiskunde voor middelbare scholieren: extra secties schoolcurriculum. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 blz.
3. Medynsky M.M. Volledige cursus elementaire wiskunde in problemen en oefeningen. Boek 2: Nummerreeksen en progressies. – M.: Editus, 2015. – 208 blz.
Heeft u nog vragen?
Om hulp te krijgen van een docent, registreer je.
website, bij het geheel of gedeeltelijk kopiëren van materiaal is een link naar de originele bron vereist.
Les en presentatie over het onderwerp: "Nummerreeksen. Geometrische progressie"
Aanvullende materialen
Beste gebruikers, vergeet niet uw opmerkingen, beoordelingen en wensen achter te laten! Alle materialen zijn gecontroleerd door een antivirusprogramma.
Leermiddelen en simulatoren in de Integral online winkel voor groep 9
Machten en wortels Functies en grafieken
Jongens, vandaag zullen we kennis maken met een ander type progressie.
Het onderwerp van de les van vandaag is geometrische progressie.
Geometrische progressie
Definitie. Een numerieke reeks waarin elke term, beginnend bij de tweede, gelijk is aan het product van de vorige en een vast getal, wordt een geometrische progressie genoemd.Laten we onze reeks recursief definiëren: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
waarbij b en q bepaalde gegeven getallen zijn. Het getal q wordt de noemer van de progressie genoemd.
Voorbeeld. 1,2,4,8,16... Een geometrische progressie waarbij de eerste term gelijk is aan één, en $q=2$.
Voorbeeld. 8,8,8,8... Een geometrische progressie waarbij de eerste term gelijk is aan acht,
en $q=1$.
Voorbeeld. 3,-3,3,-3,3... Geometrische progressie waarbij de eerste term gelijk is aan drie,
en $q=-1$.
Geometrische progressie heeft de eigenschappen van monotonie.
Als $b_(1)>0$, $q>1$,
dan wordt de reeks steeds groter.
Als $b_(1)>0$, $0 De reeks wordt gewoonlijk in de vorm aangegeven: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.
Als bij een geometrische progressie het aantal elementen eindig is, wordt, net als bij een rekenkundige progressie, de progressie een eindige geometrische progressie genoemd.
$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Merk op dat als een reeks een geometrische progressie is, de reeks vierkanten van termen ook een geometrische progressie is. In de tweede reeks is de eerste term gelijk aan $b_(1)^2$ en is de noemer gelijk aan $q^2$.
Formule voor de n-de term van een geometrische progressie
Geometrische progressie kan ook in analytische vorm worden gespecificeerd. Laten we kijken hoe we dit kunnen doen:$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
We merken gemakkelijk het patroon op: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
Onze formule wordt de 'formule van de n-de term van een geometrische progressie' genoemd.
Laten we terugkeren naar onze voorbeelden.
Voorbeeld. 1,2,4,8,16... Geometrische progressie waarbij de eerste term gelijk is aan één,
en $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.
Voorbeeld. 16,8,4,2,1,1/2… Een geometrische progressie waarbij de eerste term gelijk is aan zestien, en $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.
Voorbeeld. 8,8,8,8... Een geometrische progressie waarbij de eerste term gelijk is aan acht, en $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.
Voorbeeld. 3,-3,3,-3,3... Een geometrische progressie waarbij de eerste term gelijk is aan drie, en $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.
Voorbeeld. Gegeven een geometrische progressie $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
a) Het is bekend dat $b_(1)=6, q=3$. Zoek $b_(5)$.
b) Het is bekend dat $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Vind n.
c) Het is bekend dat $q=-2, b_(6)=96$. Zoek $b_(1)$.
d) Het is bekend dat $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Vind q.
Oplossing.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$, aangezien $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.
Voorbeeld. Het verschil tussen de zevende en vijfde term van de geometrische progressie is 192, de som van de vijfde en zesde term van de progressie is 192. Zoek de tiende term van deze progressie.
Oplossing.
We weten dat: $b_(7)-b_(5)=192$ en $b_(5)+b_(6)=192$.
We weten ook: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Dan:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
We hebben een systeem van vergelijkingen ontvangen:
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(cases)$.
Door onze vergelijkingen gelijk te stellen, krijgen we:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
We hebben twee oplossingen q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Vervang opeenvolgend in de tweede vergelijking:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ geen oplossingen.
We hebben dit: $b_(1)=4, q=2$.
Laten we de tiende term zoeken: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.
Som van een eindige geometrische progressie
Laten we een eindige geometrische progressie hebben. Laten we, net als bij een rekenkundige progressie, de som van de termen berekenen.Laat een eindige geometrische progressie gegeven worden: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Laten we de aanduiding voor de som van de termen invoeren: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
In het geval dat $q=1$. Alle termen van de geometrische progressie zijn gelijk aan de eerste term, dan is het duidelijk dat $S_(n)=n*b_(1)$.
Laten we nu het geval $q≠1$ bekijken.
Laten we het bovenstaande bedrag vermenigvuldigen met q.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Opmerking:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.
$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2 )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.
$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.
$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.
$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.
We hebben de formule verkregen voor de som van een eindige geometrische progressie.
Voorbeeld.
Vind de som van de eerste zeven termen van een geometrische progressie waarvan de eerste term 4 is en de noemer 3 is.
Oplossing.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.
Voorbeeld.
Zoek de vijfde term van de geometrische progressie die bekend is: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.
Oplossing.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.
$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
$341q=$1364.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.
Karakteristieke eigenschap van geometrische progressie
Jongens, er wordt een geometrische progressie gegeven. Laten we eens kijken naar de drie opeenvolgende leden: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.We weten dat:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
Dan:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Als de voortgang eindig is, geldt deze gelijkheid voor alle termen behalve de eerste en de laatste.
Als niet vooraf bekend is welke vorm de reeks heeft, maar wel bekend is dat: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Dan kunnen we gerust zeggen dat dit een geometrische progressie is.
Een getallenreeks is alleen een geometrische progressie als het kwadraat van elk lid gelijk is aan het product van de twee aangrenzende leden van de progressie. Vergeet dat niet voor eindige progressie aan deze voorwaarde is niet voldaan voor het eerste en het laatste lid.
Laten we naar deze identiteit kijken: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ wordt het gemiddelde genoemd geometrische getallen a en b.
De modulus van elke term van een geometrische progressie is gelijk aan het geometrische gemiddelde van de twee aangrenzende termen.
Voorbeeld.
Zoek x zodat $x+2; 2x+2; 3x+3$ waren drie opeenvolgende termen van een geometrische progressie.
Oplossing.
Laten we de karakteristieke eigenschap gebruiken:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ en $x_(2)=-1$.
Laten we onze oplossingen achtereenvolgens vervangen door de oorspronkelijke uitdrukking:
Met $x=2$ krijgen we de reeks: 4;6;9 – een geometrische progressie met $q=1,5$.
Voor $x=-1$ krijgen we de reeks: 1;0;0.
Antwoord: $x=2.$
Problemen om zelfstandig op te lossen
1. Zoek de achtste eerste term van de geometrische progressie 16;-8;4;-2….2. Zoek de tiende term van de geometrische progressie 11,22,44….
3. Het is bekend dat $b_(1)=5, q=3$. Zoek $b_(7)$.
4. Het is bekend dat $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. Vind n.
5. Vind de som van de eerste 11 termen van de geometrische progressie 3;12;48….
6. Vind x zodat $3x+4; 2x+4; x+5$ zijn drie opeenvolgende termen van een geometrische progressie.
Geometrische progressie niet minder belangrijk in de wiskunde dan in de rekenkunde. Een geometrische progressie is een reeks getallen b1, b2,..., b[n], waarvan elke volgende term wordt verkregen door de vorige te vermenigvuldigen met een constant getal. Dit getal, dat ook de snelheid van groei of afname van progressie karakteriseert, wordt genoemd noemer van geometrische progressie en aanduiden
Om een geometrische progressie volledig te specificeren, is het, naast de noemer, noodzakelijk om de eerste term ervan te kennen of te bepalen. Voor positieve waarde noemer progressie is een monotone reeks, en of deze reeks getallen monotoon afneemt en monotoon toeneemt. Het geval waarin de noemer gelijk is aan één wordt in de praktijk niet in overweging genomen, omdat we de reeks hebben identieke nummers, en hun optelling is van geen praktisch belang
Algemeen lid geometrische progressie berekend met de formule
Som van de eerste n termen van een geometrische progressie bepaald door de formule
Laten we eens kijken naar oplossingen voor klassieke geometrische progressieproblemen. Laten we beginnen met de eenvoudigste om te begrijpen.
Voorbeeld 1. De eerste term van een geometrische progressie is 27, en de noemer is 1/3. Zoek de eerste zes termen van de geometrische progressie.
Oplossing: Laten we de probleemtoestand in het formulier schrijven
Voor berekeningen gebruiken we de formule voor de n-de term van een geometrische progressie
Op basis daarvan vinden we de onbekende termen van de progressie
Zoals u kunt zien, is het berekenen van de voorwaarden van een geometrische progressie niet moeilijk. De voortgang zelf zal er als volgt uitzien
Voorbeeld 2. De eerste drie termen van de geometrische progressie worden gegeven: 6; -12; 24. Zoek de noemer en de zevende term ervan.
Oplossing: We berekenen de noemer van de geometrische progressie op basis van de definitie ervan
We hebben een afwisselende geometrische progressie verkregen waarvan de noemer gelijk is aan -2. De zevende term wordt berekend met behulp van de formule
Dit lost het probleem op.
Voorbeeld 3. Een geometrische progressie wordt gegeven door twee van zijn termen 
. Zoek de tiende term van de progressie.
Oplossing:
Laten we de gegeven waarden schrijven met behulp van formules
Volgens de regels zou je de noemer moeten vinden en dan zoeken Gewenste waarde, maar voor de tiende termijn hebben we die
Dezelfde formule kan worden verkregen op basis van eenvoudige manipulaties met de invoergegevens. Verdeel de zesde term van de reeks door een andere, en als resultaat krijgen we
Als de resulterende waarde wordt vermenigvuldigd met de zesde term, krijgen we de tiende
Voor dergelijke taken worden dus eenvoudige transformaties gebruikt snelle weg u kunt de juiste oplossing vinden.
Voorbeeld 4. Geometrische progressie wordt gegeven door terugkerende formules
Zoek de noemer van de geometrische progressie en de som van de eerste zes termen.
Oplossing:
Laten we de gegeven gegevens in de vorm van een systeem van vergelijkingen schrijven
Druk de noemer uit door de tweede vergelijking te delen door de eerste
Laten we de eerste term van de progressie uit de eerste vergelijking vinden
Laten we de volgende vijf termen berekenen om de som van de geometrische progressie te vinden
De formule voor de n-de term van een geometrische progressie is heel eenvoudig. Zowel in betekenis als in algemene verschijningsvorm. Maar er zijn allerlei problemen met de formule van de nde term - van heel primitief tot behoorlijk serieus. En tijdens onze kennismaking zullen we beide zeker overwegen. Nou, laten we kennis maken?)
Dus om te beginnen eigenlijk formuleN
Hier is ze:
b n = B 1 · qn -1
De formule is slechts een formule, niets bovennatuurlijks. Het ziet er nog eenvoudiger en compacter uit dan een vergelijkbare formule. De betekenis van de formule is ook zo simpel als vilten laarzen.
Met deze formule kunt u ELK lid van een geometrische progressie vinden OP HAAR NUMMER " N".
Zoals u kunt zien, is de betekenis volledig analoog aan een rekenkundige progressie. We kennen het getal n - we kunnen ook de term onder dit getal tellen. Welke we ook willen. Zonder herhaaldelijk vele malen met "q" te vermenigvuldigen. Dat is het hele punt.)
Ik begrijp dat op dit niveau van werken met progressies alle hoeveelheden in de formule al duidelijk voor je zouden moeten zijn, maar ik beschouw het nog steeds als mijn plicht om ze allemaal te ontcijferen. Voor de zekerheid.
Hier gaan we:
B 1 – Eerst term van geometrische progressie;
Q – ;
N- lidnummer;
b n – nde (Ne) term van een geometrische progressie.
Deze formule verbindt de vier belangrijkste parameters van elke geometrische progressie - BN, B 1 , Q En N. En rondom deze vier sleutel cijfers en alle problemen wisselen elkaar af.
“Hoe wordt het verwijderd?”– Ik hoor een merkwaardige vraag... Elementair! Kijk!
Wat is gelijk aan seconde lid van de progressie? Geen probleem! Wij schrijven direct:
b2 = b1 ·q
En hoe zit het met het derde lid? Ook geen probleem! We vermenigvuldigen de tweede term nog een keer aanQ.
Soortgelijk:
B3 = b2q
Laten we nu bedenken dat de tweede term op zijn beurt gelijk is aan b 1 ·q en deze uitdrukking vervangen door onze gelijkheid:
B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2
We krijgen:
B 3 = b 1 ·q 2
Laten we nu ons bericht in het Russisch lezen: derde term is gelijk aan de eerste term vermenigvuldigd met q in seconde graden. Snap je het? Nog niet? Oké, nog een stap.
Wat is de vierde term? Allemaal hetzelfde! Vermenigvuldigen vorig(dat wil zeggen de derde term) op q:
B 4 = b 3 q = (b 1 q 2) q = b 1 q 2 q = b 1 q 3
Totaal:
B 4 = b 1 ·q 3
En opnieuw vertalen we naar het Russisch: vierde term is gelijk aan de eerste term vermenigvuldigd met q in derde graden.
Enzovoort. Dus hoe is het? Heb je het patroon opgemerkt? Ja! Voor elke term met een willekeurig getal zal het aantal identieke factoren q (dat wil zeggen de graad van de noemer) altijd zijn één minder dan het nummer van het gewenste lidN.
Daarom zal onze formule, zonder variaties, zijn:
b n =B 1 · qn -1
Dat is alles.)
Nou, laten we de problemen oplossen, denk ik?)
Formuleproblemen oplossenNe term van een geometrische progressie.
Laten we, zoals gewoonlijk, beginnen met de directe toepassing van de formule. Hier is een typisch probleem:
In geometrische progressie is dat bekend B 1 = 512 en Q = -1/2. Zoek de tiende term van de progressie.
Natuurlijk kan dit probleem helemaal zonder formules worden opgelost. Direct in de zin van geometrische progressie. Maar we moeten even opwarmen met de formule voor de zoveelste termijn, toch? Hier zijn we aan het opwarmen.
Onze gegevens voor het toepassen van de formule zijn als volgt.
Het eerste lid is bekend. Dit is 512.
B 1 = 512.
De noemer van de progressie is ook bekend: Q = -1/2.
Het enige dat overblijft is om erachter te komen wat het aantal lid n is. Geen probleem! Zijn wij geïnteresseerd in de tiende termijn? Dus vervangen we tien in plaats van n in de algemene formule.
En bereken zorgvuldig de rekenkunde:
Antwoord 1
Zoals je kunt zien, bleek de tiende term van de progressie min te zijn. Niets verrassends: onze progressienoemer is -1/2, d.w.z. negatief nummer. En dit vertelt ons dat de tekenen van onze vooruitgang elkaar afwisselen, ja.)
Alles is hier eenvoudig. Hier is een soortgelijk probleem, maar iets ingewikkelder in termen van berekeningen.
In geometrische progressie is het bekend dat:
B 1 = 3
Zoek de dertiende term van de progressie.
Alles is hetzelfde, alleen dit keer is de noemer van de progressie irrationeel. Wortel van twee. Nou, dat is oké. De formule is universeel, hij kan alle getallen aan.
Wij werken direct volgens de formule:
De formule werkte natuurlijk zoals het zou moeten, maar... dit is waar sommige mensen vastlopen. Wat nu te doen met de root? Hoe verhef je een wortel tot de twaalfde macht?
Hoe-hoe... Je moet begrijpen dat elke formule natuurlijk een goede zaak is, maar kennis van alle voorgaande wiskunde wordt niet geannuleerd! Hoe te bouwen? Ja, onthoud de eigenschappen van graden! Laten we de wortel veranderen in fractionele graad en – volgens de formule om een graad tot een graad te verhogen.
Soortgelijk:
Antwoord: 192
En dat is alles.)
Wat is de grootste moeilijkheid bij het direct toepassen van de n-de termformule? Ja! De grootste moeilijkheid is werken met graden! Namelijk exponentiatie negatieve getallen, breuken, wortels en soortgelijke structuren. Dus degenen die hier problemen mee hebben, herhaal alstublieft de graden en hun eigenschappen! Anders vertraag je dit onderwerp ook, ja...)
Laten we nu typische zoekproblemen oplossen een van de elementen van de formule, als alle anderen zijn gegeven. Om dergelijke problemen succesvol op te lossen, is het recept uniform en vreselijk eenvoudig: schrijf de formuleNe lid binnen algemeen beeld! Recht in het notitieboekje naast de staat. En dan komen we uit de toestand erachter wat ons wordt gegeven en wat er ontbreekt. En we drukken de gewenste waarde uit de formule uit. Alle!
Zo'n onschuldig probleem bijvoorbeeld.
De vijfde term van een geometrische progressie met noemer 3 is 567. Zoek de eerste term van deze progressie.
Niets ingewikkelds. Wij werken direct volgens de spreuk.
Laten we de formule voor de n-de term schrijven!
b n = B 1 · qn -1
Wat hebben we gekregen? Eerst wordt de noemer van de progressie gegeven: Q = 3.
Bovendien zijn we gegeven vijfde lid: B 5 = 567 .
Alle? Nee! Wij hebben ook nummer n gekregen! Dit is vijf: n = 5.
Ik hoop dat je al begrijpt wat er in de opname staat B 5 = 567 twee parameters zijn tegelijk verborgen - dit is de vijfde term zelf (567) en het nummer ervan (5). Ik heb hier in een soortgelijke les al over gesproken, maar ik denk dat het de moeite waard is om het hier ook te vermelden.)
Nu vervangen we onze gegevens in de formule:
567 = B 1 ·3 5-1
We doen het rekenwerk, vereenvoudigen en krijgen iets eenvoudigs lineaire vergelijking:
81 B 1 = 567
We lossen op en krijgen:
B 1 = 7
Zoals u kunt zien, zijn er geen problemen met het vinden van de eerste term. Maar bij het zoeken naar de noemer Q en cijfers N Er kunnen ook verrassingen zijn. En je moet er ook op voorbereid zijn (verrassingen), ja.)
Dit probleem bijvoorbeeld:
De vijfde term van een geometrische progressie met een positieve noemer is 162, en de eerste term van deze progressie is 2. Zoek de noemer van de progressie.
Deze keer krijgen we de eerste en de vijfde term en wordt ons gevraagd de noemer van de progressie te vinden. Daar gaan we.
Wij schrijven de formuleNe lid!
b n = B 1 · qn -1
Onze initiële gegevens zullen als volgt zijn:
B 5 = 162
B 1 = 2
N = 5
Missende waarde Q. Geen probleem! Laten we het nu opzoeken.) We vervangen alles wat we weten in de formule.
We krijgen:
162 = 2Q 5-1
2 Q 4 = 162
Q 4 = 81
Een eenvoudige vergelijking van de vierde graad. En nu - voorzichtig! Op in dit stadium oplossingen, veel studenten extraheren onmiddellijk met vreugde de wortel (van de vierde graad) en krijgen het antwoord Q=3 .
Soortgelijk:
q4 = 81
Q = 3
Maar eigenlijk is dit een onafgemaakt antwoord. Om precies te zijn, onvolledig. Waarom? Het punt is dat het antwoord is Q = -3 ook geschikt: (-3) 4 wordt ook 81!
Dit komt door de machtsvergelijking x n = A altijd heeft gedaan twee tegengestelde wortels bij zelfsN . Met plus en min:
Beide zijn geschikt.
Bijvoorbeeld bij het beslissen (bijv. seconde graden)
x2=9
Om de een of andere reden word je niet verrast door het uiterlijk twee wortels x=±3? Het is hier hetzelfde. En met ieder ander zelfs graad (vierde, zesde, tiende, enz.) zal hetzelfde zijn. Details staan in het onderwerp over
De juiste oplossing zou daarom zijn:
Q 4 = 81
Q= ±3
Oké, we hebben de borden uitgezocht. Welke is juist: plus of min? Laten we de probleemstelling nog eens lezen op zoek naar Extra informatie. Natuurlijk bestaat het misschien niet, maar in dit probleem is dergelijke informatie aanwezig beschikbaar. In onze voorwaarde staat in platte tekst dat er een progressie mee wordt gegeven positieve noemer.
Het antwoord ligt dus voor de hand:
Q = 3
Alles is hier eenvoudig. Wat denk je dat er zou gebeuren als de probleemstelling als volgt zou zijn:
De vijfde term van een geometrische progressie is 162, en de eerste term van deze progressie is 2. Zoek de noemer van de progressie.
Wat is het verschil? Ja! In conditie Niets er wordt geen melding gemaakt van het teken van de noemer. Noch direct, noch indirect. En hier zou het probleem zich al hebben voorgedaan twee oplossingen!
Q = 3 En Q = -3
Ja Ja! Zowel met een plus als met een min.) Wiskundig gezien zou dit feit betekenen dat die er zijn twee progressies, die passen bij de omstandigheden van het probleem. En elk heeft zijn eigen noemer. Oefen en schrijf voor de lol de eerste vijf termen van elk op.)
Laten we nu oefenen met het vinden van het lidnummer. Dit probleem is het moeilijkst, ja. Maar ook creatiever.)
Gegeven een geometrische progressie:
3; 6; 12; 24; …
Welk getal in deze reeks is het getal 768?
De eerste stap is nog steeds hetzelfde: schrijf de formuleNe lid!
b n = B 1 · qn -1
En nu vervangen we, zoals gewoonlijk, de gegevens die we kennen erin. Hm... het werkt niet! Waar is de eerste term, waar is de noemer, waar is al het andere?!
Waar, waar... Waarom hebben we ogen nodig? Met je wimpers klapperen? Deze keer wordt de voortgang direct in het formulier aan ons doorgegeven opeenvolgingen. Kunnen we het eerste lid zien? Wij zien! Dit is een drievoudige (b 1 = 3). Hoe zit het met de noemer? We zien het nog niet, maar het is heel gemakkelijk te tellen. Als je het natuurlijk begrijpt...
Dus wij tellen. Direct volgens de betekenis van een geometrische progressie: we nemen een van de termen (behalve de eerste) en delen door de vorige.
In ieder geval zo:
Q = 24/12 = 2
Wat weten we nog meer? We kennen ook een term van deze progressie, gelijk aan 768. Onder een getal n:
b n = 768
We kennen zijn nummer niet, maar het is onze taak hem juist te vinden.) Dus we zijn op zoek. We hebben alle benodigde gegevens voor vervanging al in de formule gedownload. Zonder dat je het zelf weet.)
Hier vervangen we:
768 = 3 2N -1
Laten we de elementaire doen - deel beide zijden door drie en herschrijf de vergelijking in de gebruikelijke vorm: het onbekende staat aan de linkerkant, het bekende aan de rechterkant.
We krijgen:
2 N -1 = 256
Dit is een interessante vergelijking. We moeten "n" vinden. Wat, ongebruikelijk? Ja, ik maak geen ruzie. Eigenlijk is dit het eenvoudigste. Het wordt zo genoemd omdat het onbekende (in in dit geval dit nummer N) kosten binnen indicator graden.
In het stadium van kennismaking met geometrische progressie (dit is het negende leerjaar) exponentiële vergelijkingen Ze leren je niet hoe je moet beslissen, ja... Dit is een onderwerp voor de middelbare school. Maar er is niets engs. Zelfs als je niet weet hoe dergelijke vergelijkingen worden opgelost, laten we proberen de onze te vinden N, geleid door eenvoudige logica en gezond verstand.
Laten we beginnen te praten. Links hebben we een deuce tot op zekere hoogte. Wat deze graad precies is weten we nog niet, maar dat is niet eng. Maar we weten zeker dat deze graad gelijk is aan 256! Dus we herinneren ons in hoeverre een twee ons 256 geeft. Weet je nog? Ja! IN achtste graden!
256 = 2 8
Als je het niet meer weet of problemen hebt met het herkennen van de graden, dan is dat ook goed: gewoon opeenvolgend vierkant twee, kubus, vierde, vijfde, enzovoort. Selectie inderdaad, maar op dit niveau zal het redelijk goed werken.
Op de een of andere manier krijgen we:
2 N -1 = 2 8
N-1 = 8
N = 9
Dus 768 wel negende lid van onze vooruitgang. Dat is alles, probleem opgelost.)
Antwoord: 9
Wat? Saai? Ben je de elementaire dingen beu? Mee eens zijn. En ik ook. Laten we naar het volgende niveau gaan.)
Complexere taken.
Laten we nu meer uitdagende problemen oplossen. Niet bepaald supercool, maar wel vragen die wat werk vergen om tot het antwoord te komen.
Deze bijvoorbeeld.
Zoek de tweede term van een geometrische progressie als de vierde term -24 is en de zevende term 192.
Dit is een klassieker van het genre. Er zijn ongeveer twee verschillende termen voor de progressie bekend, maar er moet nog een andere term worden gevonden. Bovendien zijn niet alle leden buren. Dat is in eerste instantie verwarrend, ja...
Om dergelijke problemen op te lossen, zullen we twee methoden overwegen. De eerste methode is universeel. Algebraïsch. Werkt feilloos met alle brongegevens. Dus daar zullen we beginnen.)
We beschrijven elke term volgens de formule Ne lid!
Alles is precies hetzelfde als bij een rekenkundige progressie. Alleen deze keer werken we mee een andere algemene formule. Dat is alles.) Maar de essentie is hetzelfde: we nemen en een voor een We vervangen onze initiële gegevens in de formule voor de n-de term. Voor elk lid - zijn eigen.
Voor de vierde term schrijven we:
B 4 = B 1 · Q 3
-24 = B 1 · Q 3
Eten. Eén vergelijking is klaar.
Voor de zevende term schrijven we:
B 7 = B 1 · Q 6
192 = B 1 · Q 6
In totaal hebben we twee vergelijkingen voor dezelfde progressie .
We stellen er een systeem van samen:
Ondanks het dreigende uiterlijk is het systeem vrij eenvoudig. De meest voor de hand liggende oplossing is eenvoudige vervanging. Wij drukken uit B 1 uit de bovenste vergelijking en vervang deze door de onderste:
Na een beetje met de onderste vergelijking te hebben gespeeld (de machten te verminderen en te delen door -24), krijgen we:
Q 3 = -8
Overigens kan dezelfde vergelijking op een eenvoudiger manier worden bereikt! Welke? Nu zal ik je nog een geheim laten zien, maar heel mooi, krachtig en nuttige manier oplossingen voor dergelijke systemen. Dergelijke systemen, waarvan de vergelijkingen omvatten werkt alleen. In ieder geval in één. Genaamd manier van delen de ene vergelijking naar de andere.
We hebben dus een systeem voor ons:
In beide vergelijkingen aan de linkerkant - werk, en aan de rechterkant staat slechts een getal. Dit is erg goed teken.) Laten we het nemen en... deel bijvoorbeeld de onderste vergelijking door de bovenste! Wat betekent, laten we de ene vergelijking door de andere delen? Erg makkelijk. Laten we het nemen linkerkantéén vergelijking (lager) en verdeling haar aan linkerkant een andere vergelijking (boven). De rechterkant is vergelijkbaar: rechter zijdeéén vergelijking verdeling op rechter zijde een andere.
Het hele verdelingsproces ziet er als volgt uit:
Als we nu alles verminderen wat kan worden verminderd, krijgen we:
Q 3 = -8
Wat is er goed aan deze methode? Ja, omdat in het proces van een dergelijke verdeling al het slechte en ongemakkelijke veilig kan worden verminderd en er een volkomen onschadelijke vergelijking overblijft! Daarom is het zo belangrijk om dit te hebben alleen vermenigvuldiging in ten minste één van de vergelijkingen van het systeem. Er is geen vermenigvuldiging - er valt niets te verminderen, ja...
Over het algemeen verdient deze methode (net als veel andere niet-triviale methoden om systemen op te lossen) zelfs een aparte les. Ik ga het zeker nader bekijken. Op een dag…
Het maakt echter niet uit hoe je het systeem precies oplost, nu moeten we de resulterende vergelijking oplossen:
Q 3 = -8
Geen probleem: haal de derdemachtswortel eruit en je bent klaar!
Houd er rekening mee dat het bij het extraheren niet nodig is om hier een plus/min te plaatsen. Onze wortel is van oneven (derde) graad. En het antwoord is ook hetzelfde: ja.)
De noemer van de progressie is dus gevonden. Min twee. Geweldig! Het proces is aan de gang.)
Voor de eerste term (bijvoorbeeld uit de bovenste vergelijking) krijgen we:
Geweldig! We kennen de eerste term, we kennen de noemer. En nu hebben we de mogelijkheid om elk lid van de progressie te vinden. Inclusief de tweede.)
Voor de tweede term is alles vrij eenvoudig:
B 2 = B 1 · Q= 3·(-2) = -6
Antwoord: -6
Dus, algebraïsche methode We hebben de oplossingen voor het probleem opgesplitst. Moeilijk? Niet echt, daar ben ik het mee eens. Lang en vervelend? Ja absoluut. Maar soms kunt u de hoeveelheid werk aanzienlijk verminderen. Hiervoor is er grafische methode. Goed oud en vertrouwd voor ons.)
Laten we een probleem tekenen!
Ja! Precies. Opnieuw geven we onze voortgang weer op de getallenas. Het is niet nodig om een liniaal te volgen, het is niet nodig om gelijke intervallen tussen de termen aan te houden (wat trouwens niet hetzelfde zal zijn, aangezien de progressie geometrisch is!), maar gewoon schematisch Laten we onze reeks tekenen.
Ik heb het zo:
Kijk nu naar de foto en zoek het uit. Hoeveel identieke factoren "q" scheiden vierde En zevende leden? Dat klopt, drie!
Daarom hebben wij het volste recht om te schrijven:
-24·Q 3 = 192
Vanaf hier is het nu gemakkelijk om q te vinden:
Q 3 = -8
Q = -2
Dat is geweldig, we hebben de noemer al in onze zak. Laten we nu nog eens naar het plaatje kijken: hoeveel van zulke noemers ertussen zitten seconde En vierde leden? Twee! Om het verband tussen deze termen vast te leggen, zullen we daarom de noemer construeren kwadraat.
Dus wij schrijven:
B 2 · Q 2 = -24 , waar B 2 = -24/ Q 2
We vervangen onze gevonden noemer in de uitdrukking voor b 2, tellen en krijgen:
Antwoord: -6
Zoals u kunt zien, is alles veel eenvoudiger en sneller dan via het systeem. Bovendien hoefden we hier de eerste termijn helemaal niet mee te tellen! Helemaal niet.)
Hier is zo'n eenvoudige en visuele manier van licht. Maar het heeft ook een ernstig nadeel. Raad je het? Ja! Het is alleen goed voor zeer korte stukjes progressie. Die waar de afstanden tussen de voor ons interessante leden niet erg groot zijn. Maar in alle andere gevallen is het al moeilijk om een beeld te schetsen, ja... Dan lossen we het probleem analytisch op, via het systeem.) En systemen zijn universele dingen. Ze kunnen elk nummer aan.
Nog een epische uitdaging:
De tweede term van de geometrische progressie is 10 meer dan de eerste, en de derde term is 30 meer meer dan de tweede. Zoek de noemer van de progressie.
Wat gaaf? Helemaal niet! Allemaal hetzelfde. Opnieuw vertalen we de probleemstelling naar zuivere algebra.
1) We beschrijven elke term volgens de formule Ne lid!
Tweede termijn: b 2 = b 1 q
Derde term: b 3 = b 1 q 2
2) We noteren de samenhang tussen de leden uit de probleemstelling.
We lezen de voorwaarde: "De tweede term van de geometrische progressie is 10 groter dan de eerste." Stop, dit is waardevol!
Dus wij schrijven:
B 2 = B 1 +10
En we vertalen deze zin naar pure wiskunde:
B 3 = B 2 +30
We hebben twee vergelijkingen. Laten we ze combineren tot een systeem:
Het systeem ziet er eenvoudig uit. Maar er zijn te veel verschillende indices voor de letters. Laten we in plaats van de tweede en derde term hun uitdrukkingen vervangen door de eerste term en de noemer! Was het tevergeefs dat we ze geschilderd hebben?
We krijgen:
Maar zo'n systeem is geen cadeau meer, ja... Hoe dit op te lossen? Helaas bestaat er geen universele geheime spreuk voor het oplossen van complexe vraagstukken niet-lineair Er bestaan geen systemen in de wiskunde en dat kan ook niet. Het is fantastisch! Maar het eerste waar je aan moet denken als je dit probeert door te kauwen stoer- dit is een schatting, Maar is dit niet een van de vergelijkingen van het systeem waartoe herleidbaar is? prachtig uitzicht, waardoor het bijvoorbeeld mogelijk wordt om een van de variabelen gemakkelijk uit te drukken in termen van een andere?
Laten we het uitzoeken. De eerste vergelijking van het systeem is duidelijk eenvoudiger dan de tweede. We zullen hem martelen.) Moeten we niet vanaf de eerste vergelijking proberen iets uiten door iets? Omdat we de noemer willen vinden Q, dan zou het voor ons het meest voordelig zijn om dit uit te drukken B 1 door Q.
Laten we dus proberen deze procedure uit te voeren met de eerste vergelijking, waarbij we de goede oude vergelijkingen gebruiken:
b1q = b1+10
b1q – b1 = 10
b1 (q-1) = 10
Alle! Dus we hebben het uitgedrukt onnodig geef ons de variabele (b 1) door nodig(Q). Ja, het is niet de eenvoudigste uitdrukking die we hebben. Een soort fractie... Maar ons systeem is van een behoorlijk niveau, ja.)
Typisch. Wij weten wat we moeten doen.
Wij schrijven ODZ (Nodig!) :
q ≠ 1
We vermenigvuldigen alles met de noemer (q-1) en annuleren alle breuken:
10 Q 2 = 10 Q + 30(Q-1)
We delen alles door tien, openen de haakjes en verzamelen alles van links:
Q 2 – 4 Q + 3 = 0
We lossen het resultaat op en krijgen twee wortels:
Q 1 = 1
Q 2 = 3
Er is maar één definitief antwoord: Q = 3 .
Antwoord: 3
Zoals je kunt zien, is het pad voor het oplossen van de meeste problemen met betrekking tot de formule van de n-de term van een geometrische progressie altijd hetzelfde: lees aandachtig toestand van het probleem en met behulp van de formule van de n-de term vertalen we het geheel bruikbare informatie in zuivere algebra.
Namelijk:
1) We beschrijven elke term in het probleem afzonderlijk volgens de formuleNe lid.
2) Vanuit de voorwaarden van het probleem vertalen we de verbinding tussen de leden in wiskundige vorm. We stellen een vergelijking of een systeem van vergelijkingen samen.
3) We lossen de resulterende vergelijking of het systeem van vergelijkingen op en vinden de onbekende parameters van de progressie.
4) In geval van een dubbelzinnig antwoord, lees aandachtig de taakvoorwaarden op zoek naar aanvullende informatie (indien aanwezig). We controleren ook het ontvangen antwoord met de voorwaarden van de DL (indien van toepassing).
Laten we nu de belangrijkste problemen opsommen die het vaakst tot fouten leiden bij het oplossen van geometrische progressieproblemen.
1. Elementaire rekenkunde. Bewerkingen met breuken en negatieve getallen.
2. Als er problemen zijn met ten minste één van deze drie punten, zul je onvermijdelijk fouten maken in dit onderwerp. Helaas... Wees dus niet lui en herhaal wat hierboven werd vermeld. En volg de links - ga. Soms helpt het.)
Gewijzigde en terugkerende formules.
Laten we nu eens kijken naar een paar typische examenproblemen met een minder bekende presentatie van de aandoening. Ja, ja, je raadt het al! Dit gewijzigd En terugkerend formules voor de n-de term. We zijn dergelijke formules al tegengekomen en hebben aan rekenkundige progressie gewerkt. Alles is hier vergelijkbaar. De essentie is hetzelfde.
Dit probleem van de OGE bijvoorbeeld:
De geometrische progressie wordt gegeven door de formule b n = 3 2 N . Bereken de som van de eerste en vierde term.
Deze keer verloopt de voortgang niet helemaal zoals gebruikelijk voor ons. In de vorm van een soort formule. Dus? Deze formule is ook een formuleNe lid! Jij en ik weten dat de formule voor de n-de term zowel in algemene vorm, met letters, als for kan worden geschreven specifieke progressie. MET specifiek eerste term en noemer.
In ons geval krijgen we in feite een algemene termformule voor een geometrische progressie met de volgende parameters:
B 1 = 6
Q = 2
Zullen we het controleren?) Laten we de formule voor de n-de term in algemene vorm opschrijven en deze vervangen door B 1 En Q. We krijgen:
b n = B 1 · qn -1
b n= 6 2N -1
We vereenvoudigen met behulp van factorisatie en eigenschappen van machten, en we krijgen:
b n= 6 2N -1 = 3·2·2N -1 = 3 2N -1+1 = 3 2N
Zoals je kunt zien, is alles eerlijk. Maar ons doel is niet om de afleiding van een specifieke formule aan te tonen. Dit is waar, lyrische uitweiding. Puur voor begrip.) Ons doel is om het probleem op te lossen volgens de formule die ons in de voorwaarde wordt gegeven. Begrijp je het?) We werken dus rechtstreeks met de aangepaste formule.
Wij tellen de eerste termijn. Laten we vervangen N=1 in de algemene formule:
B 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6
Soortgelijk. Ik zal trouwens niet lui zijn en nogmaals uw aandacht vestigen op een typische fout bij de berekening van de eerste term. NIET DOEN, kijkend naar de formule b n= 3 2N, haast je onmiddellijk om te schrijven dat de eerste term een drie is! Dit is een grove fout, ja...)
Laten we doorgaan. Laten we vervangen N=4 en tel de vierde term:
B 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48
En tot slot berekenen we het benodigde bedrag:
B 1 + B 4 = 6+48 = 54
Antwoord: 54
Een ander probleem.
De geometrische progressie wordt gespecificeerd door de voorwaarden:
B 1 = -7;
b n +1 = 3 b n
Zoek de vierde term van de progressie.
Hier wordt de voortgang gegeven door een terugkerende formule. Nou ja, oké.) Hoe te werken met deze formule – wij weten het ook.
Dus wij handelen. Stap voor stap.
1) Tel twee opeenvolgend lid van de progressie.
De eerste termijn is ons al gegeven. Min zeven. Maar de volgende, tweede term, kan eenvoudig worden berekend met behulp van de herhalingsformule. Als je het principe van de werking ervan begrijpt, natuurlijk.)
We tellen dus de tweede term Door eerst bekend:
B 2 = 3 B 1 = 3·(-7) = -21
2) Bereken de noemer van de progressie
Ook geen probleem. Laten we eerlijk zijn seconde lul aan Eerst.
We krijgen:
Q = -21/(-7) = 3
3) Schrijf de formuleNe lid in de gebruikelijke vorm en bereken het vereiste lid.
We kennen dus de eerste term, en de noemer ook. Dus wij schrijven:
b n= -7·3N -1
B 4 = -7·3 3 = -7·27 = -189
Antwoord: -189
Zoals u kunt zien, verschilt het werken met dergelijke formules voor een geometrische progressie in wezen niet van dat voor een rekenkundige progressie. Het is alleen belangrijk om het te begrijpen algemene essentie en de betekenis van deze formules. Nou, je moet ook de betekenis van geometrische progressie begrijpen, ja.) En dan zullen er geen domme fouten zijn.
Laten we dat zelf beslissen?)
Zeer basistaken voor het opwarmen:
1. Gegeven een geometrische progressie waarin B 1 = 243, een Q = -2/3. Zoek de zesde term van de progressie.
2. De algemene term van de geometrische progressie wordt gegeven door de formule b n = 5∙2 N +1 . Zoek het nummer van de laatste driecijferige term van deze progressie.
3. Geometrische progressie wordt gegeven door de voorwaarden:
B 1 = -3;
b n +1 = 6 b n
Zoek de vijfde term van de progressie.
Iets ingewikkelder:
4. Gegeven een geometrische progressie:
B 1 =2048; Q =-0,5
Waar is de zesde negatieve term gelijk aan?
Wat lijkt super moeilijk? Helemaal niet. Logica en begrip van de betekenis van geometrische progressie zullen u redden. Nou ja, de formule voor de zoveelste term natuurlijk.
5. De derde term van de geometrische progressie is -14, en de achtste term is 112. Zoek de noemer van de progressie.
6. De som van de eerste en tweede term van de geometrische progressie is 75, en de som van de tweede en derde term is 150. Zoek de zesde term van de progressie.
Antwoorden (in wanorde): 6; -3888; -1; 800; -32; 448.
Dat is bijna alles. Het enige wat we moeten doen is leren tellen de som van de eerste n termen van een geometrische progressie ja ontdekken oneindig afnemende geometrische progressie en het bedrag ervan. Een heel interessant en ongewoon ding trouwens! Hierover meer in de volgende lessen.)
Geometrische progressie is, samen met rekenkundige progressie, een belangrijke getallenreeks die wordt bestudeerd in de schoolalgebra-cursus in het 9e leerjaar. In dit artikel zullen we kijken naar de noemer van een geometrische progressie en hoe de waarde ervan de eigenschappen ervan beïnvloedt.
Definitie van geometrische progressie
Laten we eerst de definitie van deze getalreeks geven. Een geometrische progressie is een reeks rationale getallen die wordt gevormd door het eerste element opeenvolgend te vermenigvuldigen met een constant getal dat de noemer wordt genoemd.
De getallen in de reeks 3, 6, 12, 24, ... zijn bijvoorbeeld een geometrische reeks, want als je 3 (het eerste element) met 2 vermenigvuldigt, krijg je 6. Als je 6 met 2 vermenigvuldigt, krijg je 12, enzovoort.
De leden van de beschouwde reeks worden gewoonlijk aangegeven met het symbool ai, waarbij i een geheel getal is dat het nummer van het element in de reeks aangeeft.
De bovenstaande definitie van progressie kan in wiskundige taal als volgt worden geschreven: an = bn-1 * a1, waarbij b de noemer is. Het is gemakkelijk om deze formule te controleren: als n = 1, dan is b1-1 = 1, en krijgen we a1 = a1. Als n = 2, dan is an = b * a1, en komen we weer bij de definitie van de betreffende getallenreeks. Een soortgelijke redenering kan worden voortgezet grote waarden N.
Noemer van geometrische progressie
Het getal b bepaalt volledig welk karakter de gehele getallenreeks zal hebben. De noemer b kan positief, negatief of groter of kleiner dan één zijn. Alle bovenstaande opties leiden tot verschillende reeksen:
- b > 1. Er is een toenemende reeks rationale getallen. Bijvoorbeeld 1, 2, 4, 8, ... Als element a1 negatief is, zal de hele reeks alleen in absolute waarde toenemen, maar afnemen afhankelijk van het teken van de getallen.
- b = 1. Vaak wordt dit geval geen progressie genoemd, omdat er een gewone reeks identieke rationale getallen is. Bijvoorbeeld -4, -4, -4.
Formule voor hoeveelheid
Voordat we overgaan tot de beschouwing van specifieke problemen aan de hand van de noemer van het type progressie dat wordt overwogen, is het noodzakelijk om te geven belangrijke formule voor de som van de eerste n elementen. De formule ziet er als volgt uit: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).
Je kunt deze uitdrukking zelf verkrijgen als je de recursieve reeks termen van de progressie in ogenschouw neemt. Merk ook op dat het in de bovenstaande formule voldoende is om alleen het eerste element en de noemer te kennen om de som van een willekeurig aantal termen te vinden.
Oneindig afnemende reeks
Hierboven werd uitgelegd wat het is. Nu we de formule voor Sn kennen, gaan we deze op deze getalreeks toepassen. Aangezien elk getal waarvan de modulus niet groter is dan 1, wanneer verhoogd naar grote graden neigt naar nul, dat wil zeggen b∞ => 0 als -1
Omdat het verschil (1 - b) altijd positief zal zijn, ongeacht de waarde van de noemer, wordt het teken van de som van een oneindig afnemende geometrische progressie S∞ op unieke wijze bepaald door het teken van het eerste element al.
Laten we nu eens naar verschillende problemen kijken, waarbij we zullen laten zien hoe we de verworven kennis op specifieke getallen kunnen toepassen.
Probleem nr. 1. Berekening van onbekende elementen van progressie en som
Gegeven een geometrische progressie is de noemer van de progressie 2, en het eerste element ervan is 3. Waaraan zijn de 7e en 10e termen gelijk, en wat is de som van de zeven initiële elementen?
De toestand van het probleem is vrij eenvoudig en veronderstelt direct gebruik bovenstaande formules. Om elementnummer n te berekenen, gebruiken we dus de uitdrukking an = bn-1 * a1. Voor het 7e element hebben we: a7 = b6 * a1, door de bekende gegevens te vervangen, krijgen we: a7 = 26 * 3 = 192. We doen hetzelfde voor de 10e term: a10 = 29 * 3 = 1536.
Laten we de bekende formule voor de som gebruiken en deze waarde bepalen voor de eerste 7 elementen van de reeks. We hebben: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.
Probleem nr. 2. Het bepalen van de som van willekeurige elementen van een progressie
Laat -2 gelijk zijn aan de noemer van de geometrische progressie bn-1 * 4, waarbij n een geheel getal is. Het is noodzakelijk om de som van het 5e tot en met het 10e element van deze reeks te bepalen.
Het gestelde probleem kan niet rechtstreeks worden opgelost met behulp van bekende formules. Het kan op 2 manieren opgelost worden verschillende methoden. Voor de volledigheid van de presentatie van het onderwerp presenteren we beide.
Methode 1. Het idee is simpel: je moet de twee overeenkomstige sommen van de eerste termen berekenen en vervolgens de andere van de ene aftrekken. We berekenen het kleinere bedrag: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Nu berekenen we de grotere som: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Merk op dat in de laatste uitdrukking slechts 4 termen zijn opgeteld, omdat de 5e al is opgenomen in het bedrag dat moet worden berekend op basis van de voorwaarden van het probleem. Ten slotte nemen we het verschil: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.
Methode 2. Voordat u getallen vervangt en gaat tellen, kunt u een formule verkrijgen voor de som tussen de m- en n-termen van de betreffende reeks. We doen precies hetzelfde als bij methode 1, alleen werken we eerst met de symbolische weergave van het bedrag. We hebben: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . U kunt bekende getallen in de resulterende uitdrukking vervangen en het eindresultaat berekenen: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.
Probleem nr. 3. Wat is de noemer?
Stel dat a1 = 2, zoek de noemer van de geometrische progressie, op voorwaarde dat de oneindige som ervan 3 is, en het is bekend dat dit een afnemende reeks getallen is.
Op basis van de omstandigheden van het probleem is het niet moeilijk te raden welke formule moet worden gebruikt om het op te lossen. Uiteraard neemt de som van de progressie oneindig af. We hebben: S∞ = a1 / (1 - b). Van waaruit we de noemer uitdrukken: b = 1 - a1 / S∞. Het enige dat overblijft is vervanging bekende waarden en verkrijg het vereiste getal: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 of -0,333(3). We kunnen dit resultaat kwalitatief controleren als we bedenken dat voor dit type reeks de modulus b niet verder mag gaan dan 1. Zoals je kunt zien, |-1 / 3|
Taak nr. 4. Een reeks getallen herstellen
Laten we 2 elementen van een getallenreeks geven, bijvoorbeeld: de 5e is gelijk aan 30 en de 10e is gelijk aan 60. Het is noodzakelijk om de hele reeks op basis van deze gegevens te reconstrueren, wetende dat deze voldoet aan de eigenschappen van een geometrische progressie.
Om het probleem op te lossen, moet je eerst de corresponderende uitdrukking voor elke bekende term opschrijven. We hebben: a5 = b4 * a1 en a10 = b9 * a1. Deel nu de tweede uitdrukking door de eerste, we krijgen: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Vanaf hier bepalen we de noemer door de vijfde wortel te nemen van de verhouding van de termen die bekend zijn uit de probleemstelling, b = 1,148698. We vervangen het resulterende getal in een van de uitdrukkingen voor het bekende element, we krijgen: a1 = a5 / b4 = 30 / (1,148698)4 = 17,2304966.
We vonden dus de noemer van de progressie bn, en de geometrische progressie bn-1 * 17,2304966 = an, waarbij b = 1,148698.
Waar worden geometrische progressies gebruikt?
Als er geen praktische toepassing van deze getallenreeks zou zijn, zou de studie ervan beperkt blijven tot puur theoretisch belang. Maar zo'n toepassing bestaat.
Hieronder staan de 3 bekendste voorbeelden:
- De paradox van Zeno, waarin de behendige Achilles de langzame schildpad niet kan inhalen, wordt opgelost met behulp van het concept van een oneindig afnemende reeks getallen.
- Als je tarwekorrels op elk vierkant van het schaakbord plaatst, zodat je op het eerste vierkant 1 graan plaatst, op het tweede - 2, op het derde - 3, enzovoort, dan heb je nodig om alle vierkanten van het bord te vullen 18446744073709551615 granen!
- In het spel "Tower of Hanoi" is het, om schijven van de ene staaf naar de andere te verplaatsen, noodzakelijk om 2n - 1 bewerkingen uit te voeren, dat wil zeggen dat hun aantal exponentieel groeit met het aantal n gebruikte schijven.