В состоянии неустойчивого равновесия именно. Устойчивое и неустойчивое равновесие
78. Виды равновесия: угол устойчивости, условия сохранения равновесия тела.
В физических упражнениях человеку нередко необходимо сохранять неподвижное положение тела, например, исходные положения (стартовые), конечные положения (фиксирование штанги после ее поднятия), промежуточные (упор углом на кольцах). Во всех таких случаях тело человека как биомеханическая система находится в равновесии. В равновесии могут находиться и тела, связанные с сохраняющим положение человеком (например, штанга, партнер в акробатике). Чтобы сохранить положение тела, человек должен находиться в равновесии. Положение тела определяется его позой, его ориентацией и местоположением в пространстве, а также отношением к опоре. Следовательно, для сохранения положения тела человеку нужно фиксировать позу и не допускать, чтобы приложенные силы изменили позу и переместили его тело с данного места в каком-либо направлении или вызвали его поворот относительно опоры.
Силы уравновешиваемые при сохранении положения
К биомеханической системе приложены силы тяжести, опорной реакции, веса и мышечной тяги партнера или противника и другие, которые могут быть и возмущающими, и уравновешивающими силами в зависимости от положения звеньев тела относительно их опоры.
Во всех случаях, когда человек сохраняет положение, находится в равновесии изменяемая система тел (не абсолютно твердое тело или материальная точка).
В условиях занятий физическими упражнениями при сохранении положения к телу человека чаще всего приложены силы тяжести его тела и веса других тел, а также силы реакции опоры, препятствующие свободному падению. Без участия мышечных тяг сохраняются только пассивные положения (например, положения лежа на полу, на воде).
При активных положениях система взаимно подвижных тел (звеньев тела) благодаря напряжениям мышц как бы отвердевает, становится подобной единому твердому телу; мышцы человека своей статической работой обеспечивают сохранение и позы, и положения в пространстве. Значит, в активных положениях для сохранения равновесия к силам внешним добавляются внутренние силы мышечной тяги.
Все внешние силы делят на возмущающие (опрокидывающие, отклоняющие) , которые направлены на изменение положения тела, и уравновешивающие , которыми уравновешивается действие возмущающих сил. Силы мышечной тяги чаще всего служат силами уравновешивающими. Но в определенных условиях они могут быть и силами возмущающими, т. е. направленными на изменение и позы и расположения тела в пространстве.
Условия равновесия системы тел
Для равновесия тела человека (системы тел) необходимо, чтобы главный вектор и главный момент внешних сил были равны нулю, а все внутренние силы обеспечивали сохранение позы (формы системы).
Если главный вектор и главный момент равны нулю, тело не сдвинется и не повернется, его линейное и угловое ускорения равны нулю. Для системы тел эти условия также необходимы, но уже недостаточны. Равновесие тела человека как системы тел требует еще сохранения позы тела. Когда мышцы достаточно сильны и человек умеет использовать их силу, он удержится в очень трудном положении. А менее сильному человеку такой позы не удержать, хотя по расположению и величине внешних сил равновесие возможно. У разных людей существуют свои предельные позы, которые они еще в состоянии сохранять.
Виды равновесия твердого тела
Вид равновесия твердого тела определяется по действию силы тяжести в случае сколь угодно малого отклонения: а) безразличное равновесие - действие силы тяжести не изменяется; б) устойчивое - оно всегда возвращает тело в прежнее положение (возникает момент устойчивости); в) неустойчивое - действие силы тяжести всегда вызывает опрокидывание тела (возникает момент опрокидывания); г) ограниченно-устойчивое - до потенциального барьера положение тела восстанавливается (возникает момент устойчивости), после него тело опрокидывается (возникает момент опрокидывания).
В механике твердого тела различают три вида равновесия: безразличное, устойчивое и неустойчивое. Эти виды различаются по поведению тела, незначительно отклоняемого от уравновешенного положения. Когда тело человека полностью сохраняет позу («отвердение»), к нему применимы законы равновесия твердого тела.
Безразличное равновесие характерно тем, что при любых отклонениях сохраняется равновесие. Шар, цилиндр, круговой конус на горизонтальной плоскости (нижняя опора) можно повернуть как угодно, и они останутся в покое. Линия действия силы тяжести (G) в таком теле (линия тяжести) всегда проходит через точку опоры, совпадает с линией действия силы опорной реакции (R); они уравновешивают друг друга. В спортивной технике безразличного равновесия ни на суше, ни в воде практически не встречается.
Устойчивое равновесие характерно возвратом в прежнее положение при любом отклонении. Оно устойчиво при сколь угодно малом отклонении по двум причинам; а) центр тяжести тела поднимается выше (h), создается запас потенциальной энергии в поле земного тяготения; б) линия тяжести (G) не проходит через опору, появляется плечо силы тяжести (d) и возникает момент силы тяжести (момент устойчивости Муст = Gd), возвращающий тело (с уменьшением потенциальной энергии) в прежнее положение. Такое равновесие встречается у человека при верхней опоре. Например, гимнаст в висе на кольцах; рука, свободно висящая в плечевом суставе. Сила тяжести тела сама возвращает тело в прежнее положение.
Неустойчивое равновесие характерно тем, что сколь угодно малое отклонение вызывает еще большее отклонение и тело само в прежнее положение вернуться не может. Таково положение при нижней опоре, когда тело имеет точку или линию (ребро тела) опоры. При отклонении тела: а) центр тяжести опускается ниже (- h), убывает потенциальная энергия в поле земного тяготения; б) линия тяжести (G) с отклонением тела удаляется от точки опоры, увеличиваются плечо (d) и момент силы тяжести (момент опрокидывания Мопр. = Gd); он все дальше отклоняет тело от прежнего положения. Неустойчивое равновесие в природе практически почти не осуществимо.
В физических упражнениях чаще всего встречается еще один вид равновесия, когда имеется площадь опоры, расположенная внизу (нижняя опора). При незначительном отклонении тела центр его тяжести поднимается (+ h) и появляется момент устойчивости (Mуст = Gd). Налицо признаки устойчивого равновесия; момент силы тяжести тела вернет его в прежнее положение. Но это продолжается лишь при отклонении до определенных границ, пока линия тяжести не дойдет до края площади опоры. В этом положении уже возникают условия неустойчивого равновесия: при дальнейшем отклонении тело опрокидывается; при малейшем отклонении в обратную сторону - возвращается в прежнее положение. Границе площади опоры соответствует вершина «потенциального барьера» (максимум потенциальной энергии). В пределах между противоположными барьерами («потенциальная яма») во всех направлениях осуществляется ограниченно-устойчивое равновесие.
Устойчивость объекта характеризуется его способностью, противодействуя нарушению равновесия, сохранять положение. Различают статические показатели устойчивости как способность сопротивляться нарушению равновесия и динамические как способность восстановить равновесие.
Статическим показателем устойчивости твердого тела служит (в ограниченно-устойчивом равновесии) коэффициент устойчивости. Он равен отношению предельного момента устойчивости к моменту опрокидывающему. Когда коэффициент устойчивости покоящегося тела равен единице и больше нее, опрокидывания нет. Если же он меньше единицы, равновесие не может быть сохранено. Однако сопротивление только этих двух механических факторов (двух моментов сил) для системы тел, если она может изменять конфигурацию, не исчерпывает действительной картины. Следовательно, коэффициент устойчивости тела и зафиксированной системы тел характеризует статическую устойчивость как способность сопротивляться нарушению равновесия. У человека при определении устойчивости всегда надо еще учитывать активное противодействие мышечных тяг и готовность к сопротивлению.
Динамическим показателем устойчивости твердого тела служит угол устойчивости. Это угол, образованный линией действия силы тяжести и прямой, соединяющей центр тяжести с соответствующим краем площади опоры. Физический смысл угла устойчивости состоит в том, что он равен углу поворота, на который надо повернуть тело для начала его опрокидывания. Угол устойчивости показывает, в каких пределах еще восстанавливается равновесие. Он характеризует степень динамической устойчивости: если угол больше, то и устойчивость больше. Этот показатель удобен для сравнения степени устойчивости одного тела в разных направлениях (если площадь опоры не круг и линия силы тяжести не проходит через его центр).
Сумма двух углов устойчивости в одной плоскости рассматривается как угол равновесия в этой плоскости. Он характеризует запас устойчивости в данной плоскости, т. е. определяет размах перемещений центра тяжести до возможного опрокидывания в ту или другую сторону (например, у слаломиста при спуске на лыжах, гимнастки на бревне, борца в стойке).
В случае равновесия биомеханической системы для применения динамических показателей устойчивости нужно учесть существенные уточнения.
Во-первых, площадь эффективной опоры человека не всегда совпадает с поверхностью опоры. У человека, как и у твердого тела, поверхность опоры ограничена линиями, соединяющими крайние точки опоры (или внешние края нескольких площадей опоры). Но у человека часто граница площади эффективной опоры расположена внутри контура опоры, так как мягкие ткани (стопа босиком) или слабые звенья (концевые фаланги пальцев в стойке на руках на полу) не могут уравновесить нагрузку. Поэтому линия опрокидывания смещается кнутри от края опорной поверхности, площадь эффективной опоры меньше площади опорной поверхности.
Во-вторых, человек никогда не отклоняется всем телом относительно линии опрокидывания (как кубик), а перемещается относительно осей каких-либо суставов, не сохраняя полностью позы (например, при положении стоя -движения в голеностопных суставах).
В-третьих, при приближении к граничному положению нередко становится трудно сохранить позу и наступает не просто опрокидывание «отвердевшего тела» вокруг линии опрокидывания, а изменение позы с падением. Это существенно отличается от отклонения и опрокидывания твердого тела вокруг грани опрокидывания (кантование).
Таким образом, углы устойчивости в ограниченно-устойчивом равновесии характеризуют динамическую устойчивость как способность восстановить равновесие. При определении устойчивости тела человека необходимо также учитывать границы площади эффективной опоры, надежность сохранения позы до граничного положения тела и реальную линию опрокидывания.
Понятие равновесия - одно из самых универсальных в естественных науках. Оно применимо к любой системе, будь то система планет, движущихся по стационарным орбитам вокруг звезды, или популяция тропических рыбок в лагуне атолла. Но проще всего понять концепцию равновесного состояния системы на примере механических систем. В механике считается, что система находится в равновесии, если все действующие на нее силы полностью уравновешены между собой, то есть гасят друг друга. Если вы читаете эту книгу, например, сидя в кресле, то вы как раз и находитесь в состоянии равновесия, поскольку сила земного притяжения, тянущая вас вниз, полностью компенсирована силой давления кресла на ваше тело, действующей снизу вверх. Вы не проваливаетесь и не взлетаете именно потому, что пребываете в состоянии равновесия.
Различают три типа равновесия, соответствующие трем физическим ситуациям.
Устойчивое равновесие
Именно его большинство людей обычно и понимают под «равновесием». Представьте себе шар на дне сферической чаши. В состоянии покоя он находится строго в центре чаши, где действие силы гравитационного притяжения Земли уравновешено силой реакции опоры, направленной строго вверх, и шар покоится там подобно тому, как вы покоитесь в своем кресле. Если сместить шар в сторону от центра, откатив его вбок и вверх в направлении края чаши, то, стоит его отпустить, как он тут же устремится обратно к самой глубокой точке в центре чаши - в направлении положения устойчивого равновесия.
Вы, сидя в кресле, находитесь в состоянии покоя благодаря тому, что система, состоящая из вашего тела и кресла, находится в состоянии устойчивого равновесия. Поэтому при изменении каких-то параметров этой системы - например, при увеличении вашего веса, если, предположим, вам на колени сел ребенок, - кресло, будучи материальным объектом, изменит свою конфигурацию таким образом, что сила реакции опоры возрастет, - и вы останетесь в положении устойчивого равновесия (самое большее, что может произойти, - подушка под вами промнется чуть глубже).
В природе имеется множество примеров устойчивого равновесия в различных системах (и не только механических). Рассмотрим, например, отношения хищник-жертва в экосистеме. Соотношение численностей замкнутых популяций хищников и их жертв достаточно быстро приходит в равновесное состояние - столько-то зайцев в лесу из года в год стабильно приходится на столько-то лис, условно говоря. Если по каким-либо причинам численность популяции жертв резко изменяется (из-за всплеска рождаемости зайцев, например), экологическое равновесие будет очень скоро восстановлено за счет быстрого прироста поголовья хищников, которые начнут истреблять зайцев ускоренными темпами, пока не приведут поголовье зайцев в норму и не начнут сами вымирать от голода, приводя в норму и собственное поголовье, в результате чего численности популяций и зайцев, и лис придут к норме, которая наблюдалась до всплеска рождаемости у зайцев. То есть в устойчивой экосистеме также действуют внутренние силы (хотя и не в физическом понимании этого слова), стремящиеся вернуть систему в состояние устойчивого равновесия в случае отклонения системы от него.
Аналогичные эффекты можно наблюдать и в экономических системах. Резкое падение цены товара приводит к всплеску спроса со стороны охотников за дешевизной, последующему сокращению товарных запасов и, как следствие, росту цены и падению спроса на товар - и так до тех пор, пока система не вернется в состояние устойчивого ценового равновесия спроса и предложения. (Естественно, в реальных системах, и в экологических, и в экономических, могут действовать внешние факторы, отклоняющие систему от равновесного состояния - например, сезонный отстрел лис и/или зайцев или государственное ценовое регулирование и/или квотирование потребления. Такое вмешательство приводит к смещению равновесия, аналогом которого в механике будет, например, деформация или наклон чаши.)
Неустойчивое равновесие
Не всякое равновесие, однако, является устойчивым. Представьте себе шар, балансирующий на лезвии ножа. Направленная строго вниз сила земного притяжения в этом случае, очевидно, также полностью уравновешена направленной вверх силой реакции опоры. Но стоит отклонить центр шара в сторону от точки покоя, приходящейся на линию лезвия хоть на долю миллиметра (а для этого достаточно мизерного силового воздействия), как равновесие будет мгновенно нарушено и сила земного притяжения начнет увлекать шар всё дальше от него.
Примером неустойчивого природного равновесия служит тепловой баланс Земли при смене периодов глобального потепления новыми ледниковыми периодами и наоборот (см. Циклы Миланковича). Среднегодовая температура поверхности нашей планеты определяется энергетическим балансом между суммарным солнечным излучением, достигающим поверхности, и суммарным тепловым излучением Земли в космическое пространство. Неустойчивым этот тепловой баланс становится следующим образом. В какую-то зиму выпадает больше снега, чем обычно. На следующее лето тепла не хватает, чтобы растопить излишки снега, и лето оказывается также холоднее обычного вследствие того, что из-за переизбытка снега поверхность Земли отражает обратно в космос большую долю солнечных лучей, чем прежде. Из-за этого следующая зима оказывается еще более снежной и холодной, чем предыдущая, а следующим за ней летом на поверхности остается еще больше снега и льда, отражающего солнечную энерги ю в космос... Нетрудно увидеть, что чем больше такая глобальная климатическая система отклоняется от исходной точки теплового равновесия, тем быстрее нарастают процессы, уводящие климат еще дальше от нее. В конечном итоге, на поверхности Земли в приполярных областях за долгие годы глобального похолодания образуются многокилометровые напластования ледников, которые неумолимо продвигаются в направлении всё более низких широт, принося с собой на планету очередной ледниковый период. Так что трудно себе представить более шаткое равновесие, чем глобально-климатическое.
Особого упоминания заслуживает разновидность неустойчивого равновесия, называющаяся метастабильным, или квазиустойчивым равновесием. Представьте себе шар в узкой и неглубокой канавке - например, на повернутом острием вверх лезвии фигурного конька. Незначительное - на миллиметр-другой - отклонение от точки равновесия приведет к возникновению сил, которые вернут шар в равновесное состояние в центре канавки. Однако уже чуть большей силы хватит для того, чтобы вывести шар за пределы зоны метастабильного равновесия, и он свалится с лезвия конька. Метастабильные системы, как правило, обладают свойством пребывать какое-то время в состоянии равновесия, после чего «срываются» из него в результате какой-либо флуктуации внешних воздействий и «сваливаются» в необратимый процесс, характерный для нестабильных систем.
Типичный пример квазиустойчивого равновесия наблюдается в атомах рабочего вещества некоторых типов лазерных установок. Электроны в атомах рабочего тела лазера занимают метастабильные атомные орбиты и остаются на них до пролета первого же светового кванта, который «сбивает» их с метастабильной орбиты на более низкую стабильную, испуская при этом новый квант света, когерентный пролетающему, который, в свою очередь, сбивает с метастабильной орбиты электрон следующего атома и т. д. В результате запускается лавинообразная реакция излучения когерентных фотонов, образующих лазерный луч, которая, собственно, и лежит в основе действия любого лазера.
Всех сил, приложенных к телу относительно оси вращения, проходящей через любую точку O, равна нулю ΣΜO(Fί)=0. Такое определение ограничивает как поступательное движение тела, так и вращательное.
В состоянии равновесия тело находится в покое (вектор скорости равен нулю) в выбранной системе отсчета .
Определение через энергию системы
Так как энергия и силы связаны фундаментальными зависимостями , это определение эквивалентно первому. Однако определение через энергию может быть расширено для того, чтобы получить информацию об устойчивости положения равновесия.
Виды равновесия
Приведём пример для системы с одной степенью свободы . В этом случае достаточным условием положения равновесия будет являться наличие локального экстремума в исследуемой точке. Как известно, условием локального экстремума дифференцируемой функции является равенство нулю её первой производной . Чтобы определить, когда эта точка является минимумом или максимумом, необходимо проанализировать её вторую производную. Устойчивость положения равновесия характеризуется следующими вариантами:
- неустойчивое равновесие;
- устойчивое равновесие;
- безразличное равновесие.
Неустойчивое равновесие
В случае, когда вторая производная < 0, потенциальная энергия системы находится в состоянии локального максимума. это означает, что положение равновесия неустойчиво . Если система будет смещена на небольшое расстояние, то она продолжит своё движение за счёт сил, действующих на систему.
Устойчивое равновесие
Вторая производная > 0: потенциальная энергия в состоянии локального минимума, положение равновесия устойчиво . Если систему сместить на небольшое расстояние, она вернётся назад в состояние равновесия.
Безразличное равновесие
Вторая производная = 0: в этой области энергия не варьируется, а положение равновесия является безразличным . Если система будет смещена на небольшое расстояние, она останется в новом положении.
Устойчивость в системах с большим числом степеней свободы
Если система имеет несколько степеней свободы, то можно получить различные результаты для различных направлений, однако равновесие будет устойчиво только в том случае, если оно устойчиво во всех направлениях .
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Устойчивое равновесие" в других словарях:
устойчивое равновесие
См. в ст. Устойчивость сообщества. Экологический энциклопедический словарь. Кишинев: Главная редакция Молдавской советской энциклопедии. И.И. Дедю. 1989 … Экологический словарь
устойчивое равновесие - pastovioji pusiausvyra statusas T sritis chemija apibrėžtis Būsena, kuriai esant sistema, dėl trikdžių praradusi pusiausvyrą, trikdžiams nustojus veikti vėl pasidaro pusiausvira. atitikmenys: angl. stable equilibrium rus. устойчивое равновесие… … Chemijos terminų aiškinamasis žodynas
устойчивое равновесие - stabilioji pusiausvyra statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. stable equilibrium vok. gesichertes Gleichgewicht, n; stabiles Gleichgewicht, n rus. устойчивое равновесие, n pranc. équilibre stable, m … Fizikos terminų žodynas
устойчивое равновесие - Равновесие механической системы, при котором в случае любого достаточно малого изменения ее положения и сообщения ей любых достаточно малых скоростей, система во все последующее время будет занимать положения, сколь угодно близкие к… … Политехнический терминологический толковый словарь
устойчивое равновесие системы - Равновесие, при котором после устранения причин, вызвавших какие либо возможные отклонения системы, она возвращается в исходное или близкое к нему положение. [Сборник рекомендуемых терминов. Выпуск 82. Строительная механика. Академия наук СССР.… … Справочник технического переводчика
устойчивое равновесие атмосферы - Состояние атмосферы, когда вертикальный градиент температуры воздуха меньше сухого адиабатического градиента и не происходит вертикального движения воздуха … Словарь по географии
равновесие системы устойчивое - Равновесие, при котором система возвращается в исходное или близкое к нему положение после устранения причин, вызвавших возможное отклонение системы [Терминологический словарь по строительству на 12 языках (ВНИИИС Госстроя СССР)] EN stable… … Справочник технического переводчика
РАВНОВЕСИЕ, равновесия, мн. нет, ср. (книжн.). 1. Состояние неподвижности, покоя, в котором находится какое нибудь тело под воздействием равных, противоположно направленных и потому взаимно уничтожающихся сил (мех.). Равновесие сил. Устойчивое… … Толковый словарь Ушакова
«Физика - 10 класс»
Вспомните, что такое момент силы.
При каких условиях тело находится в покое?
Если тело находится в покое относительно выбранной системы отсчёта, то говорят, что это тело находится в равновесии. Здания, мосты, балки вместе с опорами, части машин, книга на столе и многие другие тела покоятся, несмотря на то что к ним со стороны других тел приложены силы. Задача изучения условий равновесия тел имеет большое практическое значение для машиностроения, строительного дела, приборостроения и других областей техники. Все реальные тела под влиянием приложенных к ним сил изменяют свою форму и размеры, или, как говорят, деформируются.
Во многих случаях, которые встречаются на практике, деформации тел при их равновесии незначительны. В этих случаях деформациями можно пренебречь и вести расчёт, считая тело абсолютно твёрдым .
Для краткости абсолютно твёрдое тело будем называть твёрдым телом или просто телом . Изучив условия равновесия твёрдого тела, мы найдём условия равновесия реальных тел в тех случаях, когда их деформации можно не учитывать.
Вспомните определение абсолютно твёрдого тела.
Раздел механики, в котором изучаются условия равновесия абсолютно твёрдых тел, называется статикой .
В статике учитываются размеры и форма тел, в этом случае существенным является не только значение сил, но и положение точек их приложения.
Выясним вначале с помощью законов Ньютона, при каком условии любое тело будет находиться в равновесии. С этой целью разобьём мысленно всё тело на большое число малых элементов, каждый из которых можно рассматривать как материальную точку. Как обычно, назовём силы, действующие на тело со стороны других тел, внешними, а силы, с которыми взаимодействуют элементы самого тела, внутренними (рис. 7.1). Так, сила 1,2 - это сила, действующая на элемент 1 со стороны элемента 2. Сила же 2,1 действует на элемент 2 со стороны элемента 1. Это внутренние силы; к ним относятся также силы 1,3 и 3,1 , 2,3 и 3,2 . Очевидно, что геометрическая сумма внутренних сил равна нулю, так как согласно третьему закону Ньютона
12 = - 21 , 23 = - 32 , 31 = - 13 и т.д.
Статика - частный случай динамики, так как покой тел, когда на них действуют силы, есть частный случай движения ( = 0).
На каждый элемент в общем случае может действовать несколько внешних сил. Под 1 , 2 , 3 и т. д. будем понимать все внешние силы, приложенные соответственно к элементам 1, 2, 3, ... . Точно так же через " 1 , " 2 , " 3 и т. д. обозначим геометрическую сумму внутренних сил, приложенных к элементам 2, 2, 3, ... соответственно (эти силы не показаны на рисунке), т. е.
" 1 = 12 + 13 + ... , " 2 = 21 + 22 + ... , " 3 = 31 + 32 + ... и т.д.
Если тело находится в покое, то ускорение каждого элемента равно нулю. Поэтому согласно второму закону Ньютона будет равна нулю и геометрическая сумма всех сил, действующих на любой элемент. Следовательно, можно записать:
1 + "1 = 0, 2 + "2 = 0, 3 + "3 = 0. (7.1)
Каждое из этих трёх уравнений выражает условие равновесия элемента твёрдого тела.
Первое условие равновесия твёрдого тела.
Выясним, каким условиям должны удовлетворять внешние силы, приложенные к твёрдому телу, чтобы оно находилось в равновесии. Для этого сложим уравнения (7.1):
(1 + 2 + 3) + ("1 + "2 + "3) = 0.
В первых скобках этого равенства записана векторная сумма всех внешних сил, приложенных к телу, а во вторых - векторная сумма всех внутренних сил, действующих на элементы этого тела. Но, как известно, векторная сумма всех внутренних сил системы равна нулю, так как согласно третьему закону Ньютона любой внутренней силе соответствует сила, равная ей по модулю и противоположная по направлению. Поэтому в левой части последнего равенства останется только геометрическая сумма внешних сил, приложенных к телу:
1 + 2 + 3 + ... = 0 . (7.2)
В случае абсолютно твёрдого тела условие (7.2) называют первым условием его равновесия .
Оно является необходимым, но не является достаточным.
Итак, если твёрдое тело находится в равновесии, то геометрическая сумма внешних сил, приложенных к нему, равна нулю.
Если сумма внешних сил равна нулю, то равна нулю и сумма проекций этих сил на оси координат. В частности, для проекций внешних сил на ось ОХ можно записать:
F 1x + F 2x + F 3x + ... = 0. (7.3)
Такие же уравнения можно записать и для проекций сил на оси OY и OZ.
Второе условие равновесия твёрдого тела.
Убедимся, что условие (7.2) является необходимым, но недостаточным для равновесия твёрдого тела. Приложим к доске, лежащей на столе, в различных точках две равные по модулю и противоположно направленные силы так, как показано на рисунке 7.2. Сумма этих сил равна нулю:
+ (-) = 0. Но доска тем не менее будет поворачиваться. Точно так же две одинаковые по модулю и противоположно направленные силы поворачивают руль велосипеда или автомобиля (рис. 7.3).
Какое же ещё условие для внешних сил, кроме равенства нулю их суммы, должно выполняться, чтобы твёрдое тело находилось в равновесии? Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии.
Найдём, например, условие равновесия стержня, шарнирно закреплённого на горизонтальной оси в точке О (рис. 7.4). Это простое устройство, как вам известно из курса физики основной школы, представляет собой рычаг первого рода.
Пусть к рычагу приложены перпендикулярно стержню силы 1 и 2 .
Кроме сил 1 и 2 , на рычаг действует направленная вертикально вверх сила нормальной реакции 3 со стороны оси рычага. При равновесии рычага сумма всех трёх сил равна нулю: 1 + 2 + 3 = 0.
Вычислим работу, которую совершают внешние силы при повороте рычага на очень малый угол α. Точки приложения сил 1 и 2 пройдут пути s 1 = ВВ 1 и s 2 = CC 1 (дуги ВВ 1 и СС 1 при малых углах α можно считать прямолинейными отрезками). Работа А 1 = F 1 s 1 силы 1 положительна, потому что точка В перемещается по направлению действия силы, а работа А 2 = -F 2 s 2 силы 2 отрицательна, поскольку точка С движется в сторону, противоположную направлению силы 2 . Сила 3 работы не совершает, так как точка её приложения не перемещается.
Пройденные пути s 1 и s 2 можно выразить через угол поворота рычага а, измеренный в радианах: s 1 = α|ВО| и s 2 = α|СО|. Учитывая это, перепишем выражения для работы так:
А 1 = F 1 α|BO|, (7.4)
А 2 = -F 2 α|CO|.
Радиусы ВО и СО дуг окружностей, описываемых точками приложения сил 1 и 2 , являются перпендикулярами, опущенными из оси вращения на линии действия этих сил
Как вы уже знаете, плечо силы - это кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы. Будем обозначать плечо силы буквой d. Тогда |ВО| = d 1 - плечо силы 1 , а |СО| = d 2 - плечо силы 2 . При этом выражения (7.4) примут вид
А 1 = F 1 αd 1 , А 2 = -F 2 αd 2 . (7.5)
Из формул (7.5) видно, что работа каждой из сил равна произведению момента силы на угол поворота рычага. Следовательно, выражения (7.5) для работы можно переписать в виде
А 1 = М 1 α, А 2 = М 2 α, (7.6)
а полную работу внешних сил можно выразить формулой
А = А 1 + А 2 = (М 1 + М 2)α. α, (7.7)
Так как момент силы 1 положителен и равен М 1 = F 1 d 1 (см. рис. 7.4), а момент силы 2 отрицателен и равен М 2 = -F 2 d 2 , то для работы А можно записать выражение
А = (М 1 - |М 2 |)α.
Когда тело приходит в движение, его кинетическая энергия увеличивается. Для увеличения кинетической энергии внешние силы должны совершать работу, т. е. в этом случае А ≠ 0 и соответственно М 1 + М 2 ≠ 0.
Если работа внешних сил равна нулю, то кинетическая энергия тела не изменяется (остаётся равной нулю) и тело остаётся неподвижным. Тогда
М 1 + М 2 = 0 . (7.8)
Уравнение (7 8) и есть второе условие равновесия твёрдого тела .
При равновесии твёрдого тела сумма моментов всех внешних сил, действующих на него относительно любой оси, равна нулю.
Итак, в случае произвольного числа внешних сил условия равновесия абсолютно твёрдого тела следующие:
1 + 2 + 3 + ... = 0, (7.9)
М 1 + М 2 + М 3 + ... = 0
.
Второе условие равновесия можно вывести из основного уравнения динамики вращательного движения твёрдого тела. Согласно этому уравнению где М - суммарный момент сил, действующих на тело, М = М 1 + М 2 + М 3 + ... , ε - угловое ускорение. Если твёрдое тело неподвижно, то ε = 0, и, следовательно, М = 0. Таким образом, второе условие равновесия имеет вид М = М 1 + М 2 + М 3 + ... = 0.
Если тело не абсолютно твёрдое, то под действием приложенных к нему внешних сил оно может и не оставаться в равновесии, хотя сумма внешних сил и сумма их моментов относительно любой оси равны нулю.
Приложим, например к концам резинового шнура две силы, равные по модулю и направленные вдоль шнура в противоположные стороны. Под действием этих сил шнур не будет находиться в равновесии (шнур растягивается), хотя сумма внешних сил равна нулю и нулю равна сумма их моментов относительно оси, проходящей через любую точку шнура.
Следует, что если геометрическая сумма всех внешних сил, приложенных к телу, равна нулю, то тело находится в состоянии покоя или совершает равномерное прямолинейное движение. В этом случае принято говорить, что силы, приложенные к телу, уравновешивают друг друга. При вычислении равнодействующей все силы, действующие на тело, можно прикладывать к центру масс.
Чтобы невращающееся тело находилось в равновесии, необходимо, чтобы равнодействующая всех сил, приложенных к телу, была равна нулю.
${\overrightarrow{F}}={\overrightarrow{F_1}}+{\overrightarrow{F_2}}+...= 0$
Если тело может вращаться относительно некоторой оси, то для его равновесия недостаточно равенства нулю равнодействующей всех сил.
Вращающее действие силы зависит не только от ее величины, но и от расстояния между линией действия силы и осью вращения.
Длина перпендикуляра, проведенного от оси вращения до линии действия силы, называется плечом силы.
Произведение модуля силы $F$ на плечо d называется моментом силы M. Положительными считаются моменты тех сил, которые стремятся повернуть тело против часовой стрелки.
Правило моментов: тело, имеющее неподвижную ось вращения, находится в равновесии, если алгебраическая сумма моментов всех приложенных к телу сил относительно этой оси равна нулю:
В общем случае, когда тело может двигаться поступательно и вращаться, для равновесия необходимо выполнение обоих условий: равенство нулю равнодействующей силы и равенство нулю суммы всех моментов сил. Оба эти условия не являются достаточными для покоя.
Рисунок 1. Безразличное равновесие. Качение колеса по горизонтальной поверхности. Равнодействующая сила и момент сил равны нулю
Катящееся по горизонтальной поверхности колесо -- пример безразличного равновесия (рис. 1). Если колесо остановить в любой точке, оно окажется в равновесном состоянии. Наряду с безразличным равновесием в механике различают состояния устойчивого и неустойчивого равновесия.
Состояние равновесия называется устойчивым, если при малых отклонениях тела от этого состояния возникают силы или моменты сил, стремящиеся возвратить тело в равновесное состояние.
При малом отклонении тела из состояния неустойчивого равновесия возникают силы или моменты сил, стремящиеся удалить тело от положения равновесия. Шар, лежащий на плоской горизонтальной поверхности, находится в состоянии безразличного равновесия.
Рисунок 2. Различные виды равновесия шара на опоре. (1) -- безразличное равновесие, (2) -- неустойчивое равновесие, (3) -- устойчивое равновесие
Шар, находящийся в верхней точке сферического выступа, -- пример неустойчивого равновесия. Наконец, шар на дне сферического углубления находится в состоянии устойчивого равновесия (рис. 2).
Для тела, имеющего неподвижную ось вращения, возможны все три вида равновесия. Безразличное равновесие возникает, когда ось вращения проходит через центр масс. При устойчивом и неустойчивом равновесии центр масс находится на вертикальной прямой, проходящей через ось вращения. При этом, если центр масс находится ниже оси вращения, состояние равновесия оказывается устойчивым. Если же центр масс расположен выше оси -- состояние равновесия неустойчиво (рис. 3).
Рисунок 3. Устойчивое (1) и неустойчивое (2) равновесие однородного круглого диска, закрепленного на оси O; точка C -- центр массы диска; ${\overrightarrow{F}}_т\ $-- сила тяжести; ${\overrightarrow{F}}_{у\ }$-- упругая сила оси; d -- плечо
Особым случаем является равновесие тела на опоре. В этом случае упругая сила опоры приложена не к одной точке, а распределена по основанию тела. Тело находится в равновесии, если вертикальная линия, проведенная через центр масс тела, проходит через площадь опоры, т. е. внутри контура, образованного линиями, соединяющими точки опоры. Если же эта линия не пересекает площадь опоры, то тело опрокидывается.
Задача 1
Наклонная плоскость наклонена под углом 30o к горизонту (рис. 4). На ней находится тело Р, масса которого m=2 кГ. Трением можно пренебречь. Нить, перекинутая через блок, составляет угол 45o с наклонной плоскостью. При каком весе груза Q тело Р будет в равновесии?
Рисунок 4
Тело находится под действием трех сил: силы тяжести Р, натяжения нити с грузом Q и силы упругости F со стороны плоскости, давящей на него в направлении, перпендикулярном к плоскости. Разложим силу Р на составляющие: $\overrightarrow{Р}={\overrightarrow{Р}}_1+{\overrightarrow{Р}}_2$. Условие ${\overrightarrow{P}}_2=$ Для равновесия, учитывая удвоение усилия подвижным блоком, необходимо, чтобы $\overrightarrow{Q}=-{2\overrightarrow{P}}_1$. Отсюда условие равновесия: $m_Q=2m{sin \widehat{{\overrightarrow{P}}_1{\overrightarrow{P}}_2}\ }$. Подставляя значения получим: $m_Q=2\cdot 2{sin \left(90{}^\circ -30{}^\circ -45{}^\circ \right)\ }=1,035\ кГ$.
При ветре привязной аэростат висит не над той точкой Земли, к которой прикреплен трос (рис. 5). Натяжение троса составляет 200 кГ, угол с вертикалью а=30${}^\circ$. Какова сила давления ветра?
\[{\overrightarrow{F}}_в=-{\overrightarrow{Т}}_1;\ \ \ \ \left|{\overrightarrow{F}}_в\right|=\left|{\overrightarrow{Т}}_1\right|=Тg{sin {\mathbf \alpha }\ }\] \[\left|{\overrightarrow{F}}_в\right|=\ 200\cdot 9.81\cdot {sin 30{}^\circ \ }=981\ Н\]
