الرسوم البيانية والبحث. دراسة دالة بواسطة طرق حساب التفاضل
ندعوك اليوم لاستكشاف ورسم رسم بياني للوظائف معنا. بعد دراسة متأنية لهذه المقالة ، لن تضطر إلى التعرق لفترة طويلة لإكمال هذا النوع من المهام. ليس من السهل استكشاف وبناء رسم بياني لوظيفة ما ، فالعمل ضخم يتطلب أقصى قدر من الاهتمام والدقة في الحسابات. لتسهيل إدراك المادة ، سوف ندرس نفس الوظيفة تدريجيًا ، وشرح جميع إجراءاتنا وحساباتنا. مرحبًا بك في مدهش و عالم رائعالرياضيات! يذهب!
اِختِصاص
من أجل استكشاف وظيفة ورسمها ، تحتاج إلى معرفة بعض التعريفات. الوظيفة هي أحد المفاهيم الأساسية (الأساسية) في الرياضيات. إنه يعكس الاعتماد بين عدة متغيرات (متغيران أو ثلاثة أو أكثر) مع التغييرات. تظهر الوظيفة أيضًا اعتماد المجموعات.
تخيل أن لدينا متغيرين لهما نطاق معين من التغيير. إذن ، y هي دالة في x ، بشرط أن تتوافق كل قيمة من المتغير الثاني مع قيمة واحدة من الثانية. في هذه الحالة ، يكون المتغير y تابعًا ويسمى دالة. من المعتاد أن نقول أن المتغيرين x و y موجودان في لمزيد من الوضوح لهذا الاعتماد ، تم إنشاء رسم بياني للوظيفة. ما هو الرسم البياني للدالة؟ هذه مجموعة من النقاط خطة تنسيقحيث تقابل كل قيمة x قيمة واحدة لـ y. يمكن أن تكون الرسوم البيانية مختلفة - خط مستقيم ، قطع زائد ، قطع مكافئ ، شبه جيبي ، وما إلى ذلك.
لا يمكن رسم الرسم البياني للدالة بدون استكشاف. اليوم سوف نتعلم كيفية إجراء البحث ورسم الرسم البياني للوظيفة. من المهم جدًا تدوين الملاحظات أثناء الدراسة. لذلك سيكون من الأسهل بكثير التعامل مع المهمة. الخطة الدراسية الأكثر ملاءمة:
- اِختِصاص.
- استمرارية.
- زوجي أو فردي.
- دورية.
- الخطوط المقاربة.
- الأصفار.
- ثبات.
- تصاعدي وتنازلي.
- النهايات.
- التحدب والتقعر.
لنبدأ بالنقطة الأولى. لنجد مجال التعريف ، أي في الفواصل الزمنية التي توجد بها وظيفتنا: y \ u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). في حالتنا هذه ، الوظيفة موجودة لأي من قيم x ، أي مجال التعريف هو R. يمكنك تدوين ذلك بالطريقة الآتية xOR.
استمرارية
سنقوم الآن باستكشاف وظيفة عدم الاستمرارية. في الرياضيات ، ظهر مصطلح "استمرارية" نتيجة لدراسة قوانين الحركة. ما هو اللانهائي؟ المكان والوقت وبعض التبعيات (مثال على ذلك اعتماد المتغيرين S و t في مشاكل الحركة) ، ودرجة حرارة الجسم المسخن (ماء ، مقلاة ، مقياس حرارة ، وما إلى ذلك) ، خط متصل (أي واحد يمكن رسمه دون خلعه من الورقة بالقلم الرصاص).
يعتبر الرسم البياني مستمرًا إذا لم ينكسر عند نقطة ما. واحدة من أكثر أمثلة جيدةمثل هذا الرسم البياني عبارة عن موجة جيبية ، والتي يمكنك رؤيتها في الصورة في هذا القسم. تكون الوظيفة متصلة عند نقطة ما x0 إذا تم استيفاء عدد من الشروط:
- يتم تحديد وظيفة في نقطة معينة ؛
- الحدود اليمنى واليسرى عند نقطة ما متساوية ؛
- الحد يساوي قيمة الدالة عند النقطة x0.
إذا لم يتم استيفاء شرط واحد على الأقل ، يُقال أن الوظيفة تعطلت. وتسمى النقاط التي تنقطع عندها الوظيفة بنقاط الانكسار. مثال على دالة "ستكسر" عند عرضها بيانياً: y = (x + 4) / (x-3). علاوة على ذلك ، لا توجد y عند النقطة x = 3 (لأنه من المستحيل القسمة على صفر).
في الوظيفة التي ندرسها (y \ u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) تبين أن كل شيء بسيط ، لأن الرسم البياني سيكون مستمرًا.
زوجي ، غريب
افحص الآن دالة التكافؤ. لنبدأ بنظرية صغيرة. الوظيفة الزوجية هي دالة تحقق الشرط f (-x) = f (x) لأي قيمة للمتغير x (من نطاق القيم). الأمثلة هي:
- الوحدة النمطية x (يبدو الرسم البياني مثل الغراب ، ومنصف الربعين الأول والثاني من الرسم البياني) ؛
- x تربيع (القطع المكافئ) ؛
- جيب التمام x (موجة جيب التمام).
لاحظ أن كل هذه الرسوم البيانية متماثلة عند عرضها بالنسبة لمحور ص.
إذن ما يسمى بالدالة الفردية؟ هذه هي الوظائف التي تحقق الشرط: f (-x) \ u003d - f (x) لأي قيمة للمتغير x. أمثلة:
- القطع الزائد؛
- مكعب مكافئ
- الجيب.
- الظل وهلم جرا.
يرجى ملاحظة أن هذه الوظائف متماثلة حول النقطة (0: 0) ، أي نقطة الأصل. بناءً على ما قيل في هذا القسم من المقال ، فإن زوجي و وظيفة غريبةيجب أن يكون لديك الخاصية: x ينتمي إلى مجموعة التعريف و -x أيضًا.
دعونا نفحص وظيفة التكافؤ. يمكننا أن نرى أنها لا تتناسب مع أي من الأوصاف. لذلك ، فإن وظيفتنا ليست زوجية ولا فردية.
الخطوط المقاربة
لنبدأ بتعريف. الخط المقارب هو منحنى أقرب ما يمكن إلى الرسم البياني ، أي المسافة من نقطة ما تميل إلى الصفر. هناك ثلاثة أنواع من الخطوط المقاربة:
- عمودي ، أي موازية للمحور ص ؛
- أفقي ، أي موازٍ للمحور السيني ؛
- منحرف - مائل.
بالنسبة للنوع الأول ، يجب البحث عن هذه الخطوط في بعض النقاط:
- الفارق؛
- نهايات المجال.
في حالتنا هذه الوظيفة متصلة ومجال التعريف هو R. لذلك لا توجد خطوط مقاربة عمودية.
يحتوي الرسم البياني للوظيفة على خط مقارب أفقي ، والذي يفي بالمتطلبات التالية: إذا كان x يميل إلى اللانهاية أو ناقص اللانهاية ، والحد يساوي رقمًا معينًا (على سبيل المثال ، أ). في هذه القضية y = a هو الخط المقارب الأفقي. لا توجد خطوط مقاربة أفقية في الوظيفة التي ندرسها.
لا يوجد خط مقارب مائل إلا إذا تم استيفاء شرطين:
- ليم (و (س)) / س = ك ؛
- ليم و (س) -ككس = ب.
ثم يمكن إيجادها بالصيغة: y = kx + b. مرة أخرى ، في حالتنا لا توجد خطوط مقاربة مائلة.
الأصفار الوظيفية
الخطوة التالية هي فحص الرسم البياني لوظيفة الأصفار. من المهم أيضًا ملاحظة أن المهمة المرتبطة بإيجاد أصفار دالة لا تحدث فقط في دراسة الدالة ورسمها ، ولكن أيضًا مهمة مستقلة، وكوسيلة لحل التفاوتات. قد يُطلب منك العثور على أصفار دالة على رسم بياني أو استخدام تدوين رياضي.
سيساعدك العثور على هذه القيم في رسم الوظيفة بدقة أكبر. إذا كان يتكلم لغة بسيطة، إذن ، صفر الدالة هو قيمة المتغير x ، حيث y = 0. إذا كنت تبحث عن أصفار دالة على الرسم البياني ، فعليك الانتباه إلى النقاط التي يتقاطع فيها الرسم البياني مع المحور x.
لإيجاد أصفار الدالة ، تحتاج إلى حل المعادلة التالية: y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36) = 0. بعد إجراء الحسابات اللازمة نحصل على الإجابة التالية:
علامة الثبات
المرحلة التالية في دراسة وبناء دالة (رسوم بيانية) هي إيجاد فترات من ثبات الإشارة. هذا يعني أنه يجب علينا تحديد الفترات التي تستغرقها الدالة قيمة موجبة، وعلى بعض - سلبي. ستساعدنا أصفار الوظائف الموجودة في القسم السابق على القيام بذلك. لذلك ، نحتاج إلى رسم خط مستقيم (منفصل عن الرسم البياني) وداخله النظام الصحيحوزع أصفار الدالة عليها من الأصغر إلى الأكبر. أنت الآن بحاجة إلى تحديد أي من الفترات الناتجة يحتوي على علامة "+" وأي منها يحتوي على "-".
في حالتنا ، تأخذ الدالة قيمة موجبة على الفترات الزمنية:
- من 1 إلى 4 ؛
- من 9 إلى ما لا نهاية.
معنى سلبي:
- من سالب ما لا نهاية إلى 1 ؛
- من 4 إلى 9.
هذا من السهل تحديده. عوّض بأي رقم من الفترة في الدالة وانظر ما هي علامة الإجابة (ناقص أو زائد).
الوظيفة تصاعديا وتناقصا
من أجل استكشاف دالة وبنائها ، نحتاج إلى معرفة مكان زيادة الرسم البياني (صعودًا في Oy) ، وأين سينخفض (الزحف لأسفل على طول المحور الصادي).
تزيد الدالة فقط إذا كانت القيمة الأكبر للمتغير x تتوافق معها قيمة أكبرذ. أي أن x2 أكبر من x1 و f (x2) أكبر من f (x1). ونلاحظ ظاهرة معاكسة تمامًا في دالة تناقص (كلما زاد س ، قل ص). لتحديد فترات الزيادة والنقصان ، عليك إيجاد ما يلي:
- النطاق (لدينا بالفعل) ؛
- المشتق (في حالتنا: 1/3 (3x ^ 2-28x + 49) ؛
- حل المعادلة 1/3 (3x ^ 2-28x + 49) = 0.
بعد الحسابات نحصل على النتيجة:
نحصل على: تزداد الدالة على الفترات من سالب ما لا نهاية إلى 7/3 ومن 7 إلى ما لا نهاية ، وتنخفض في الفترة من 7/3 إلى 7.
النهايات
الدالة التي تم فحصها y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36) متصلة وموجودة لأي قيم للمتغير x. تُظهر النقطة القصوى الحد الأقصى والأدنى لهذه الوظيفة. في حالتنا ، لا يوجد أي شيء ، مما يبسط إلى حد كبير مهمة البناء. خلاف ذلك ، يتم إيجادها أيضًا باستخدام دالة المشتق. بعد العثور عليها ، لا تنسى وضع علامة عليها على الرسم البياني.
التحدب والتقعر
نواصل دراسة الوظيفة y (x). الآن نحن بحاجة إلى التحقق من التحدب والتقعر. يصعب إدراك تعاريف هذه المفاهيم ، فمن الأفضل تحليل كل شيء بالأمثلة. بالنسبة للاختبار: تكون الوظيفة محدبة إذا كانت دالة غير متناقصة. موافق ، هذا غير مفهوم!
علينا إيجاد مشتقة دالة من الدرجة الثانية. نحصل على: y = 1/3 (6x-28). الآن نساوي الطرف الأيمن بالصفر ونحل المعادلة. الجواب: س = 14/3. لقد وجدنا نقطة الانعطاف ، أي المكان الذي يتغير فيه الرسم البياني من محدب إلى مقعر أو العكس. في الفترة من سالب اللانهاية إلى 14/3 ، تكون الوظيفة محدبة ، ومن 14/3 إلى ما لا نهاية ، تكون مقعرة. من المهم أيضًا ملاحظة أن نقطة الانعطاف على الرسم البياني يجب أن تكون سلسة وناعمة ، ولا ينبغي أن تكون هناك أي زوايا حادة.
تعريف النقاط الإضافية
مهمتنا هي استكشاف الرسم البياني للوظيفة ورسمه. لقد أكملنا الدراسة ، لن يكون من الصعب رسم الوظيفة الآن. للحصول على إعادة إنتاج أكثر دقة وتفصيلاً لمنحنى أو خط مستقيم على مستوى الإحداثيات ، يمكنك العثور على عدة نقاط مساعدة. من السهل جدًا حسابها. على سبيل المثال ، نأخذ x = 3 ، ونحل المعادلة الناتجة ونوجد y = 4. أو x = 5 و y = -5 وهكذا. يمكنك الحصول على العديد من النقاط الإضافية التي تحتاجها للبناء. تم العثور على 3-5 منهم على الأقل.
التخطيط
كنا بحاجة إلى التحقق من الوظيفة (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36) * 1/3 = y. تم إجراء جميع العلامات اللازمة في سياق العمليات الحسابية على مستوى الإحداثيات. كل ما يتبقى هو إنشاء رسم بياني ، أي ربط جميع النقاط ببعضها البعض. يعتبر ربط النقاط سلسًا ودقيقًا ، فهذه مسألة مهارة - القليل من الممارسة وسيكون جدولك مثاليًا.
للحصول على دراسة كاملة للوظيفة ورسم الرسم البياني لها ، يوصى باستخدام المخطط التالي:
أ) البحث عن مجال التعريف ، نقاط الانقطاع ؛ تحقق من سلوك الوظيفة بالقرب من نقاط عدم الاستمرارية (أوجد حدود الوظيفة على اليسار واليمين عند هذه النقاط). حدد الخطوط المقاربة العمودية.
ب) تحديد تساوي أو شذوذ الوظيفة واستخلاص استنتاج حول وجود التناظر. إذا كانت الوظيفة متساوية فيما يتعلق بمحور OY ؛ لأن الوظيفة غريبة ، متماثلة فيما يتعلق بالأصل ؛ وإذا كانت دالة نظرة عامة.
ج) إيجاد نقاط تقاطع الدالة مع محوري الإحداثيات OY و OX (إن أمكن) ، وتحديد فترات علامة الدالة. يتم تحديد حدود فترات ثبات الإشارة للدالة من خلال النقاط التي تكون فيها الوظيفة مساوية للصفر (أصفار الوظيفة) أو غير موجودة وبحدود مجال تعريف هذه الوظيفة. في الفواصل الزمنية التي يقع فيها الرسم البياني للوظيفة أعلى محور OX ، وحيث - أسفل هذا المحور.
د) إيجاد المشتق الأول للدالة وتحديد أصفارها وفترات الثبات. في الفترات التي تزيد فيها الوظيفة وتنقص. توصل إلى استنتاج حول وجود القيمة القصوى (النقاط التي توجد فيها الوظيفة والمشتق وعند المرور التي تتغير من خلالها الإشارة. إذا تغيرت الإشارة من موجب إلى سالب ، فعند هذه النقطة يكون للدالة حد أقصى ، وإذا كانت من سالب إلى زائد ، ثم الحد الأدنى). أوجد قيم الدالة عند النقاط القصوى.
هـ) أوجد المشتق الثاني وأصفاره وفترات الثبات. في فترات حيث< 0 график функции выпуклый, а где – вогнутый. Сделать заключение о наличии точек перегиба и найти значения функции в этих точках.
هـ) ابحث عن الخطوط المقاربة المائلة (الأفقية) التي تأخذ معادلاتها الشكل 
؛ أين 
.
في 
سيكون للرسم البياني للوظيفة خطين مقاربين مائلين ، وكل قيمة من قيم x عند ويمكن أن تتوافق مع قيمتين من b.
ز) ابحث عن نقاط إضافية لتحسين الرسم البياني (إذا لزم الأمر) وإنشاء رسم بياني.
مثال 1
تحقق من الدالة وارسم الرسم البياني الخاص بها. الحل: أ) مجال التعريف. الوظيفة مستمرة في مجال التعريف ؛ - نقطة الانهيار ، لأن ؛ 
. ثم الخط المقارب العمودي.
ب)
أولئك. y (x) هي وظيفة عامة.
ج) نجد نقاط تقاطع الرسم البياني مع محور OY: قمنا بتعيين x = 0 ؛ ثم y (0) = - 1 ، أي يتقاطع الرسم البياني للوظيفة مع المحور عند النقطة (0 ؛ -1). أصفار الوظيفة (نقاط تقاطع الرسم البياني مع محور OX): نفترض y = 0 ؛ ومن بعد 
.
مميز معادلة من الدرجة الثانية أقل من الصفر، لذلك لا توجد أصفار. ثم تكون حدود فترات الثبات هي النقطة x = 1 ، حيث لا توجد الوظيفة.
يتم تحديد علامة الوظيفة في كل فترة زمنية بواسطة طريقة القيم الجزئية:
يمكن أن نرى من الرسم التخطيطي أنه في الفاصل الزمني ، يقع الرسم البياني للوظيفة أسفل محور OX ، وفي الفاصل الزمني فوق محور OX.
د) نكتشف وجود النقاط الحرجة.
.
تم العثور على النقاط الحرجة (حيث أو لا توجد) من المساواة و.
نحصل على: x1 = 1 ، x2 = 0 ، x3 = 2. لنقم بإنشاء جدول إضافي
الجدول 1 
(يحتوي السطر الأول على النقاط الحرجة والفواصل الزمنية التي يتم فيها تقسيم هذه النقاط بواسطة محور OX ؛ بينما يشير السطر الثاني إلى قيم المشتق عند النقاط الحرجة والعلامات على الفواصل الزمنية. يتم تحديد العلامات بالطريقة من القيم الجزئية. يشير السطر الثالث إلى قيم الوظيفة y (x) في النقاط الحرجة ويظهر سلوك الوظيفة - بالزيادة أو النقصان في الفترات المقابلة للمحور العددي. بالإضافة إلى ذلك ، وجود حد أدنى أو الحد الأقصى المشار إليه.
هـ) أوجد فترات التحدب والتقعر للوظيفة.
؛ نبني جدولًا كما في الفقرة د) ؛ فقط في السطر الثاني نكتب العلامات ، وفي السطر الثالث نشير إلى نوع الانتفاخ. لان ؛ ومن بعد نقطة حرجةواحد س = 1.
الجدول 2 
النقطة س = 1 هي نقطة الانعطاف.
هـ) ابحث عن الخطوط المقاربة المائلة والأفقية 
ثم y = x خط مقارب مائل.
ز) وفقًا للبيانات التي تم الحصول عليها ، نقوم ببناء رسم بياني للوظيفة 
1). نطاق الوظيفة.
من الواضح أن هذه الوظيفة مُعرَّفة على خط الأعداد بالكامل ، باستثناء النقطتين "" و "" ، لأن عند هذه النقاط ، المقام يساوي صفرًا ، وبالتالي فإن الوظيفة غير موجودة ، والخطوط والخطوط المقاربة العمودية.
2). سلوك الوظيفة عندما تميل الحجة إلى اللانهاية ، ووجود نقاط عدم الاستمرارية والتحقق من الخطوط المقاربة المائلة.
دعنا أولاً نتحقق من سلوك الدالة عند الاقتراب من اللانهاية لليسار واليمين. 
وهكذا ، عند ، تميل الوظيفة إلى 1 ، أي هو الخط المقارب الأفقي.
في جوار نقاط الانقطاع ، يتم تعريف سلوك الوظيفة على النحو التالي: 
أولئك. عند الاقتراب من نقاط عدم الاستمرارية على اليسار ، تقل الوظيفة بشكل لا نهائي ، بينما على اليمين تزداد بلا حدود.
نحدد وجود خط مقارب مائل من خلال النظر في المساواة: 
لا توجد خطوط مقاربة مائلة.
3). نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات.
هنا من الضروري النظر في حالتين: للعثور على نقطة التقاطع مع محور الثور ومع محور Oy. علامة التقاطع مع المحور السيني هي القيمة الصفرية للدالة ، أي تحتاج إلى حل المعادلة:
هذه المعادلة ليس لها جذور ، وبالتالي فإن الرسم البياني لهذه الوظيفة ليس له نقاط تقاطع مع محور الثور.
علامة التقاطع مع محور Oy هي القيمة x \ u003d 0. في هذه الحالة
,
أولئك. - نقطة تقاطع الرسم البياني للوظيفة مع محور Oy.
4).تحديد النقاط القصوى وفترات الزيادة والنقصان.
للتحقيق في هذه المشكلة ، نحدد المشتق الأول: 
.
نحن نساوي صفرًا بقيمة المشتق الأول. 
.
الكسر يساوي صفرًا عندما يكون بسطه صفرًا ، أي .
دعونا نحدد فترات الزيادة والنقصان في الوظيفة.
وبالتالي ، فإن الوظيفة لها نقطة نهائية واحدة ولا توجد عند نقطتين.
وهكذا ، تزداد الوظيفة على الفترات وتقل في الفترات الزمنية و.
5). نقاط الانعطاف ومناطق التحدب والتقعر.
يتم تحديد خاصية سلوك الوظيفة باستخدام المشتق الثاني. دعونا أولاً نحدد وجود نقاط الانعطاف. المشتق الثاني للدالة هو 
لأن والوظيفة مقعرة ؛
من أجل والوظيفة محدبة.
6). رسم الرسم البياني للدالة.
باستخدام القيم الموجودة في النقاط ، نقوم بإنشاء رسم تخطيطي للوظيفة:
مثال 3
اكتشف الوظيفة 
ورسمها. المحلول
الوظيفة المعينة هي وظيفة غير دورية ذات شكل عام. يمر الرسم البياني الخاص به من خلال الأصل ، منذ ذلك الحين.
مجال الوظيفة المعينة هو جميع قيم المتغير ، باستثناء و ، حيث يتلاشى مقام الكسر.
لذلك ، فإن النقاط ونقاط توقف الوظيفة.
لان 
, 
لان 
,
، إذن النقطة هي نقطة انقطاع من النوع الثاني.
الخطوط المستقيمة والخطوط المقاربة العمودية للرسم البياني للوظيفة.
معادلات الخطوط المقاربة المائلة ، حيث ، 
.
في 
,
.
وهكذا ، فإن الرسم البياني للوظيفة له خط مقارب واحد.
دعونا نجد فترات الزيادة والنقصان للوظيفة ونقاط النهايات.
.
المشتق الأول للدالة عند ، وبالتالي ، في والدالة تزداد.
لذلك ، من أجل ، الدالة آخذة في التناقص.
لا يوجد ل. 
، لذلك ، في 
الرسم البياني للدالة مقعر.
في 
، لذلك ، في 
الرسم البياني للدالة محدب. 
عند المرور عبر النقاط ، قم بالتغييرات. عندما لا يتم تعريف الوظيفة ، فإن الرسم البياني للوظيفة يحتوي على نقطة انعطاف واحدة.
لنقم ببناء رسم بياني للدالة. 
للحصول على دراسة كاملة للوظيفة والتخطيط للرسم البياني لها ، يوصى باستخدام المخطط التالي:
1) ابحث عن نطاق الوظيفة ؛
2) ابحث عن نقاط عدم الاستمرارية للوظيفة والخطوط المقاربة العمودية (إن وجدت) ؛
3) التحقيق في سلوك الوظيفة عند اللانهاية ، والعثور على الخطوط المقاربة الأفقية والمائلة ؛
4) التحقيق في وظيفة التكافؤ (الغرابة) والدورية (للوظائف المثلثية) ؛
5) البحث عن القيم القصوى وفترات رتابة الوظيفة ؛
6) تحديد فترات التحدب والانعطاف ؛
7) ابحث عن نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات ، إن أمكن ، وبعض النقاط الإضافية التي تعمل على تحسين الرسم البياني.
تتم دراسة الوظيفة بالتزامن مع بناء الرسم البياني الخاص بها.
المثال 9استكشف الوظيفة وقم ببناء رسم بياني.
1. مجال التعريف: ؛
2. وظيفة تنكسر عند النقاط 
,
;
نحن نبحث في وظيفة وجود الخطوط المقاربة العمودية.
;
,
─ خط مقارب عمودي.
;
,
─ خط مقارب عمودي.
3. نتحرى عن وظيفة وجود خطوط مقاربة مائلة وأفقية.
مستقيم 
─ خط مقارب مائل ، إذا 
,
.
,
.
مستقيم 
─ خط مقارب أفقي.
4. الوظيفة حتى لأن 
. يشير تكافؤ الوظيفة إلى تناظر الرسم البياني فيما يتعلق بالمحور y.
5. أوجد فترات الرتابة والنهايات القصوى للوظيفة.
لنجد النقاط الحرجة ، أي النقاط التي يكون فيها المشتق 0 أو غير موجود: 
;
. لدينا ثلاث نقاط 
;
. تقسم هذه النقاط المحور الحقيقي بأكمله إلى أربع فترات. دعونا نحدد العلامات 
على كل منهم.
على الفواصل الزمنية (-؛ -1) و (-1 ؛ 0) تزداد الوظيفة ، على الفواصل الزمنية (0 ؛ 1) و (1 ؛ + ∞) تتناقص. عند المرور عبر نقطة 
يتغير المشتق من موجب إلى ناقص ، وبالتالي ، في هذه المرحلة ، يكون للدالة قيمة قصوى 
.
6. دعونا نجد فترات التحدب ونقاط الانعطاف.
دعونا نجد النقاط حيث 
هو 0 ، أو غير موجود.
ليس له جذور حقيقية. 
,
,
نقاط 
و 
قسّم المحور الحقيقي إلى ثلاث فترات. دعونا نحدد العلامة 
في كل فترة.
وهكذا ، فإن المنحنى على فترات 
و 
محدب لأسفل ، على الفاصل الزمني (-1 ؛ 1) محدب لأعلى ؛ لا توجد نقاط انعطاف ، لأن الوظيفة عند النقاط 
و 
لم يحدد.
7. إيجاد نقاط التقاطع مع المحاور.
مع المحور 
يتقاطع الرسم البياني للوظيفة عند النقطة (0 ؛ -1) ومع المحور 
الرسم البياني لا يتقاطع لأن ليس لبسط هذه الدالة جذور حقيقية.
يظهر الرسم البياني لوظيفة معينة في الشكل 1.
الشكل 1 ، رسم بياني للوظيفة 
تطبيق مفهوم المشتق في الاقتصاد. مرونة الوظيفة
لدراسة العمليات الاقتصادية وحل المشكلات التطبيقية الأخرى ، غالبًا ما يستخدم مفهوم مرونة الوظيفة.
تعريف.مرونة الوظيفة 
يسمى حد نسبة الزيادة النسبية للدالة 
للزيادة النسبية للمتغير 
في 
و. (السابع)
تُظهر مرونة الدالة تقريبًا عدد النسبة المئوية التي ستتغير فيها الوظيفة 
عند تغيير المتغير المستقل 
بنسبة 1٪.
يتم استخدام مرونة الوظيفة في تحليل الطلب والاستهلاك. إذا كانت مرونة الطلب (بالقيمة المطلقة) 
، ثم يعتبر الطلب مرنًا إذا 
─ محايد إذا 
─ غير مرن فيما يتعلق بالسعر (أو الدخل).
المثال 10احسب مرونة دالة 
وإيجاد قيمة مؤشر المرونة ل 
= 3.
الحل: حسب الصيغة (VII) مرونة الوظيفة:
دع x = 3 ثم 
هذا يعني أنه إذا زاد المتغير المستقل بنسبة 1٪ ، فإن قيمة المتغير التابع ستزيد بنسبة 1.42٪.
المثال 11دع وظيفة الطلب 
بخصوص السعر 
لديه الشكل 
، أين 
─ عامل ثابت. أوجد قيمة مؤشر مرونة دالة الطلب بالسعر x = 3 den. الوحدات
الحل: احسب مرونة دالة الطلب باستخدام الصيغة (VII)
بافتراض 
الوحدات النقدية ، نحصل عليها 
. هذا يعني أن السعر 
الوحدة النقدية ستؤدي زيادة السعر بنسبة 1 ٪ إلى انخفاض في الطلب بنسبة 6 ٪ ، أي الطلب مرن.
النقاط المرجعية في دراسة الوظائف وبناء الرسوم البيانية الخاصة بهم هي نقاط مميزة - نقاط الانقطاع ، الحد الأقصى ، الانقلاب ، التقاطع مع محاور الإحداثيات. بمساعدة حساب التفاضل ، يمكن للمرء أن ينشئ مميزاتالتغييرات الوظيفية: زيادة ونقصان ، الحد الأقصى والحد الأدنى ، اتجاه التحدب والتقعر في الرسم البياني ، ووجود الخطوط المقاربة.
يمكن (ويجب) رسم رسم تخطيطي للرسم البياني للوظيفة بعد العثور على الخطوط المقاربة والنقاط القصوى ، ومن الملائم ملء جدول ملخص لدراسة الوظيفة في سياق الدراسة.
عادة ، يتم استخدام المخطط التالي للبحث الوظيفي.
1.أوجد المجال وفترات الاستمرارية ونقاط توقف الدالة.
2.افحص وظيفة الزوجي أو الفردي (التناظر المحوري أو المركزي للرسم البياني.
3.ابحث عن الخطوط المقاربة (عمودية أو أفقية أو مائلة).
4.ابحث عن فترات الزيادة والنقصان في الوظيفة ونقاطها القصوى واستكشفها.
5.أوجد فترات التحدب والتقعر للمنحنى ونقاط انعطافه.
6.أوجد نقاط تقاطع المنحنى مع محاور الإحداثيات ، إن وجدت.
7.قم بتجميع جدول ملخص للدراسة.
8.قم بإنشاء رسم بياني ، مع مراعاة دراسة الوظيفة ، وفقًا للنقاط المذكورة أعلاه.
مثال.اكتشف الوظيفة
ورسمها.
7. لنقم بعمل جدول ملخص لدراسة الوظيفة ، حيث سنقوم بإدخال جميع النقاط المميزة والفترات الفاصلة بينها. بالنظر إلى تكافؤ الوظيفة ، نحصل على الجدول التالي:
ميزات الرسم البياني |
||||
[-1, 0[ |
في ازدياد |
محدب |
||
(0 ؛ 1) - الحد الأقصى للنقطة |
||||
]0, 1[ |
النقصان |
محدب |
||
نقطة الانعطاف تتشكل مع المحور ثورزاوية منفرجة |
تعليمات
ابحث عن نطاق الوظيفة. على سبيل المثال ، يتم تعريف الدالة sin (x) في الفترة الزمنية الكاملة من -∞ إلى + ، ويتم تعريف الوظيفة 1 / x من-إلى + ، باستثناء النقطة x = 0.
تحديد مناطق الاستمرارية ونقاط الانقطاع. عادة ما تكون الوظيفة مستمرة في نفس المجال حيث يتم تعريفها. لاكتشاف حالات عدم الاستمرارية ، تحتاج إلى حساب الوقت الذي تقترب فيه الوسيطة من النقاط المعزولة داخل مجال التعريف. على سبيل المثال ، تميل الوظيفة 1 / x إلى اللانهاية عندما x → 0 + وإلى سالب اللانهاية عندما x → 0-. هذا يعني أنه عند النقطة x = 0 يكون لها انقطاع من النوع الثاني.
إذا كانت الحدود عند نقطة الانقطاع محدودة ولكنها غير متساوية ، فهذا انقطاع من النوع الأول. إذا كانتا متساويتين ، فإن الوظيفة تعتبر مستمرة ، على الرغم من عدم تحديدها في نقطة معزولة.
ابحث عن الخطوط المقاربة العمودية ، إن وجدت. ستساعدك الحسابات من الخطوة السابقة هنا ، نظرًا لأن الخط المقارب العمودي يكون دائمًا تقريبًا عند نقطة عدم الاستمرارية من النوع الثاني. ومع ذلك ، في بعض الأحيان لا يتم استبعاد النقاط الفردية من مجال التعريف ، ولكن الفواصل الزمنية الكاملة للنقاط ، ومن ثم يمكن وضع الخطوط المقاربة العمودية عند حواف هذه الفواصل الزمنية.
تحقق مما إذا كانت الوظيفة لها خصائص خاصة: زوجية وفردية ودورية.
ستكون الوظيفة حتى لو لأي x في المجال f (x) = f (-x). على سبيل المثال cos (x) و x ^ 2 - حتى وظائف.
الدورية هي خاصية تقول أن هناك عددًا معينًا T يسمى فترة ، والتي بالنسبة لأي x f (x) = f (x + T). على سبيل المثال ، كل الكبرى الدوال المثلثية(الجيب ، جيب التمام ، الظل) - دوري.
ابحث عن النقاط. للقيام بذلك ، احسب مشتق الدالة المعطاة وابحث عن قيم x حيث تختفي. على سبيل المثال ، الدالة f (x) = x ^ 3 + 9x ^ 2 -15 لها مشتق g (x) = 3x ^ 2 + 18x الذي يتلاشى عند x = 0 و x = -6.
لتحديد أي من النقاط القصوى هي الحد الأقصى وأيها الحد الأدنى ، تتبع التغيير في علامات المشتق في الأصفار التي تم العثور عليها. g (x) تغير علامة من زائد عند x = -6 والعودة من سالب إلى زائد عند x = 0. لذلك ، فإن الدالة f (x) لها حد أدنى عند النقطة الأولى وحد أدنى في الثانية.
وبالتالي ، فقد وجدت أيضًا مناطق رتابة: f (x) تزيد بشكل رتيب على الفاصل -∞ ؛ -6 ، تنخفض بشكل رتيب على -6 ؛ 0 وتزيد مرة أخرى على 0 ؛ + ∞.
أوجد المشتق الثاني. ستوضح جذوره المكان الذي سيكون فيه الرسم البياني لوظيفة معينة محدبًا ، وأين سيكون مقعرًا. على سبيل المثال ، المشتق الثاني للدالة f (x) سيكون h (x) = 6x + 18. يختفي عند x = -3 ، ويغير علامته من سالب إلى موجب. لذلك ، فإن الرسم البياني f (x) قبل هذه النقطة سيكون محدبًا ، وبعده - مقعر ، وهذه النقطة نفسها ستكون نقطة انعطاف.
قد تحتوي الوظيفة على خطوط مقاربة أخرى ، باستثناء الخطوط الرأسية ، ولكن فقط إذا تضمن مجال تعريفها. للعثور عليهم ، احسب نهاية f (x) عندما x → ∞ أو x →-. إذا كانت محدودة ، فقد وجدت الخط المقارب الأفقي.
الخط المقارب المائل هو خط مستقيم بالصيغة kx + b. لإيجاد k ، احسب نهاية f (x) / x على شكل x → ∞. لإيجاد b - حد (f (x) - kx) بنفس x → ∞.
ارسم الدالة على البيانات المحسوبة. قم بتسمية الخطوط المقاربة ، إن وجدت. قم بتمييز النقاط القصوى وقيم الوظيفة فيها. لمزيد من الدقة في الرسم البياني ، احسب قيم الدالة في عدة نقاط وسيطة أخرى. اكتمل البحث.