ستيفن ستروغاتز - متعة من x. ستيفن ستروغاتز - متعة X. رحلة رائعة إلى عالم الرياضيات من أحد أفضل المعلمين في العالم

فرحة X

جولة إرشادية في الرياضيات ، من واحد إلى ما لا نهاية

تم النشر بإذن من Steven Strogatz، c / o Brockman، Inc.

يتم توفير الدعم القانوني لدار النشر من قبل شركة المحاماة "Vegas-Lex"

* * *

يكمل هذا الكتاب بشكل جيد:

كوانتا

سكوت باترسون

برينياك

كين جينينغز

المال

مايكل لويس

عقل مرن

كارول دويك

فيزياء سوق الأسهم

جيمس ويذرال

مقدمة

لدي صديق ، بالرغم من تجارته (فهو فنان) ، متحمس للعلم. كلما اجتمعنا ، يتحدث بحماس عن أحدث التطورات في علم النفس أو ميكانيكا الكم. ولكن بمجرد أن نتحدث عن الرياضيات ، يشعر بهزة في ركبتيه ، الأمر الذي يزعجه بشدة. يشتكي من أن هذه الرموز الرياضية الغريبة لا تتحدىه فحسب ، بل إنه أحيانًا لا يعرف حتى كيف ينطقها.

في الواقع ، سبب كراهيته للرياضيات أعمق بكثير. لن يفهم أبدًا ما يفعله علماء الرياضيات بشكل عام وماذا يقصدون عندما يقولون إن هذا الدليل أنيق. أحيانًا ما نمزح أنني يجب أن أجلس وأبدأ بتعليمه من الأساسيات ، حرفيًا من 1 + 1 = 2 ، وأذهب إلى الرياضيات قدر استطاعته.

وعلى الرغم من أن هذه الفكرة تبدو مجنونة ، إلا أنها ما سأحاول تنفيذها في هذا الكتاب. سأوجهك عبر جميع فروع العلوم الرئيسية ، من الحساب إلى الرياضيات المتقدمة ، حتى يتمكن من أراد فرصة ثانية أخيرًا. وهذه المرة لست مضطرًا للجلوس على مكتبك. لن يجعلك هذا الكتاب خبيرًا في الرياضيات. لكنه سيساعد على فهم ما يدرسه هذا التخصص ولماذا هو مثير جدًا لأولئك الذين يفهمونه.

من أجل توضيح ما أعنيه بحياة الأرقام وسلوكهم ، الذي لا يمكننا التحكم فيه ، دعنا نعود إلى فندق Furry Paws. لنفترض أن همفري كان على وشك تسليم الطلب ، ولكن بعد ذلك اتصلت به طيور البطريق من غرفة أخرى بشكل غير متوقع وطلبت أيضًا نفس الكمية من الأسماك. كم مرة يجب على همفري أن يصرخ بكلمة "سمكة" بعد تلقيه أمرين؟ إذا لم يكن يعرف أي شيء عن الأرقام ، فسيتعين عليه الصراخ عدة مرات حيث يوجد عدد إجمالي من طيور البطريق في كلتا الغرفتين. أو ، باستخدام الأرقام ، يمكنه أن يشرح للطاهي أنه يحتاج إلى ستة أسماك لرقم واحد وستة في رقم آخر. لكن ما يحتاجه حقًا هو مفهوم جديد- إضافة. بمجرد أن يتقن ذلك ، سيقول بفخر إنه يحتاج إلى ستة زائد ستة (أو ، إذا كان متصنعًا ، اثني عشر) سمكة.

هذه هي نفس العملية الإبداعية كما حدث عندما توصلنا للتو إلى الأرقام. مثلما تجعل الأرقام العد أسهل من سردها واحدة تلو الأخرى ، فإن الإضافة تجعل من السهل حساب أي مبلغ. في الوقت نفسه ، يتطور الشخص الذي يقوم بالحسابات كعالم رياضيات. علميًا ، يمكن صياغة هذا الفكر على النحو التالي: يؤدي استخدام الأفكار التجريدية الصحيحة إلى فهم أعمق لجوهر القضية وقوة أكبر في حلها.

قريبًا ، ربما يدرك همفري أنه بإمكانه دائمًا الاعتماد.

ومع ذلك ، على الرغم من هذا المنظور اللامتناهي ، فإن إبداعنا دائمًا ما يكون له بعض القيود. يمكننا أن نقرر ما نعنيه بـ 6 و + ، ولكن بمجرد أن نفعل ذلك ، تصبح نتائج تعبيرات مثل 6 + 6 خارج سيطرتنا. المنطق لا يترك لنا أي خيار هنا. بهذا المعنى ، تتضمن الرياضيات دائمًا كلا الاختراع ، كذا واكتشاف: نحن اختراعالمفاهيم ، ولكن افتحعواقبها. كما سيتضح في الفصول التالية ، تكمن حريتنا في الرياضيات في القدرة على طرح الأسئلة والبحث بإصرار عن إجابات لها ، ولكن دون اختراعها بأنفسنا.

2. حساب الحجر

مثل أي ظاهرة في الحياة ، للحساب جانبان: رسمي وترفيهي (أو مرح).

درسنا الجزء الرسمي في المدرسة. هناك شرحوا لنا كيفية التعامل مع أعمدة الأرقام ، وإضافتها وطرحها ، وكيفية تجريفها عند إجراء العمليات الحسابية في جداول البيانات عند ملء عائدات الضرائبوالتدريب تقارير سنوية. يبدو هذا الجانب من الحساب بالنسبة للكثيرين مهمًا من وجهة نظر عملية ، لكنه كئيب تمامًا.

يمكنك التعرف على الجانب الترفيهي من الحساب فقط في عملية دراسة الرياضيات العليا. {3}. ومع ذلك ، فهي طبيعية مثل فضول الطفل. {4}.

في مقال "رثاء عالم الرياضيات" ، يقترح بول لوكهارت دراسة الأرقام بأمثلة أكثر تحديدًا من المعتاد: يطلب منا تمثيلها في شكل عدد من الأحجار. على سبيل المثال ، الرقم 6 يتوافق مع مجموعة الحصى التالية:

بالكاد سترى أي شيء غير عادي هنا. على ما هو عليه. حتى نبدأ في معالجة الأرقام ، فإنها تبدو متشابهة إلى حد كبير. تبدأ اللعبة عندما نتلقى مهمة.

على سبيل المثال ، لنلقِ نظرة على المجموعات التي تتكون من 1 إلى 10 أحجار ونحاول صنع مربعات منها. يمكن القيام بذلك فقط بمجموعتين من 4 و 9 أحجار ، لأن 4 = 2 × 2 و 9 = 3 × 3. نحصل على هذه الأرقام من خلال تربيع عدد آخر (أي بتربيع الأحجار).

هنا مهمة لديها أكثرالحلول: أنت بحاجة إلى معرفة المجموعات التي ستشكل مستطيلًا إذا وضعت الحجارة في صفين مع عدد متساوٍ من العناصر. مجموعات من 2 أو 4 أو 6 أو 8 أو 10 أحجار مناسبة هنا ؛ يجب أن يكون الرقم زوجيًا. إذا حاولنا ترتيب المجموعات المتبقية بعدد فردي من الأحجار في صفين ، فسنحصل دائمًا على حجر إضافي.

لكن لم نفقد كل شيء بسبب هذه الأرقام غير المريحة! إذا أخذنا مجموعتين من هذه المجموعات ، فستجد العناصر الإضافية زوجًا لها ، وسيكون المجموع زوجيًا: رقم فردي + رقم فردي = عدد زوجي.

إذا قمنا بتوسيع هذه القواعد لتشمل أعدادًا بعد 10 ، واعتبرنا أن عدد الصفوف في المستطيل يمكن أن يكون أكثر من اثنين ، فإن بعض الأرقام الفردية ستسمح بإضافة هذه المستطيلات. على سبيل المثال ، الرقم 15 سيشكل مستطيلاً 3 × 5.

لذلك ، على الرغم من أن الرقم 15 هو بلا شك عدد فردي ، إلا أنه رقم مركب ويمكن تمثيله على شكل ثلاثة صفوف من خمسة أحجار لكل منها. وبالمثل ، فإن أي إدخال في جدول الضرب ينتج مجموعته المستطيلة من الحصى.

لكن بعض الأرقام ، مثل 2 و 3 و 5 و 7 ، ميؤوس منها تمامًا. لا يمكن وضع أي شيء منها ، إلا لترتيبها في شكل سطر بسيط (صف واحد). هؤلاء الناس العنيدون الغريبون هم من الأعداد الأولية المشهورة.

لذلك نرى أن الأرقام يمكن أن يكون لها هياكل غريبة تمنحها طابعًا معينًا. ولكن من أجل تخيل النطاق الكامل لسلوكهم ، يجب على المرء أن يتراجع عن الأرقام الفردية ويلاحظ ما يحدث أثناء تفاعلهم.

على سبيل المثال ، بدلاً من إضافة رقمين فرديين فقط ، دعنا نضيف كل التسلسلات الممكنة للأرقام الفردية ، بدءًا من 1:

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

والمثير للدهشة أن هذه المبالغ دائمًا ما تكون مربعات مثالية. (لقد تحدثنا بالفعل عن كيفية تمثيل 4 و 9 كمربعات ، وهذا صحيح أيضًا لـ 16 = 4 × 4 و 25 = 5 × 5.) يوضح الحساب السريع أن هذه القاعدة تنطبق أيضًا على الأرقام الفردية الأكبر وتميل على ما يبدو إلى ما لا نهاية. ولكن ما هي العلاقة بين الأعداد الفردية بأحجارها "الإضافية" والأرقام المتماثلة تقليديًا التي تشكل المربعات؟ من خلال وضع الأحجار بشكل صحيح ، يمكننا توضيح ما هو السمة المميزةدليل أنيق. {5}

سيكون مفتاح ذلك هو ملاحظة أن الأرقام الفردية يمكن تمثيلها على أنها زوايا متساوية الأضلاع ، حيث يشكل فرضها المتتالي فوق بعضها البعض مربعًا!

تم تقديم طريقة مماثلة في التفكير في كتاب آخر تم نشره مؤخرًا. في رواية يوكو أوغاوا الساحرة The Housekeeper و الالأستاذة تدور حول شابة داهية ولكنها غير متعلمة وابنها البالغ من العمر عشر سنوات. تم تعيين امرأة لرعاية عالم رياضيات مسن لا تحتفظ ذاكرته قصيرة المدى إلا بمعلومات عن آخر 80 دقيقة من حياته بسبب إصابة دماغية. ضائعًا في الوقت الحاضر ، وحيدًا في كوخه القذر لا يملك شيئًا سوى الأرقام ، يحاول الأستاذ التواصل مع مدبرة المنزل بالطريقة الوحيدة التي يعرفها: بالسؤال عن مقاس حذائها أو تاريخ ميلادها ، وإجراء محادثة قصيرة معها حول نفقاتها . للبروفيسور أيضًا إعجابًا خاصًا بابن مدبرة المنزل ، والذي أسماه روث (الجذر - الجذر) ، لأن الصبي لديه رأس مسطح في الأعلى ، وهذا يذكره بالتدوين في الرياضيات الجذر التربيعي √.

في يوم من الأيام يعرض الأستاذ الصبي مهمة بسيطة- ابحث عن مجموع كل الأعداد من 1 إلى 10. بعد أن جمعت راعوث جميع الأرقام معًا بعناية وترجع بالإجابة (55) ، طلب منه الأستاذ البحث عن طريقة أسهل. هل يستطيع أن يجد الجواب بدونإضافة بسيطة للأرقام؟ ركلت روث على كرسي وصرخت ، "هذا ليس عدلاً!"

شيئًا فشيئًا ، تنجذب مدبرة المنزل أيضًا إلى عالم الأرقام وتحاول سرًا حل هذه المشكلة بنفسها. تقول: "لا أفهم لماذا انجرفت بعيدًا في أحجية الأطفال التي ليس لها فائدة عملية". في البداية أردت إرضاء الأستاذ ، لكن هذا النشاط تحول تدريجياً إلى معركة بيني وبين الأرقام. عندما استيقظت في الصباح ، كانت المعادلة تنتظرني بالفعل:

1 + 2 + 3 + … + 9 + 10 = 55,

يكمل هذا الكتاب بشكل جيد:

كوانتا

سكوت باترسون

برينياك

كين جينينغز

المال

مايكل لويس

عقل مرن

كارول دويك

فيزياء سوق الأسهم

جيمس ويذرال

فرحة X

جولة إرشادية في الرياضيات ، من واحد إلى ما لا نهاية

ستيفن ستروغاتز

رحلة مثيرة في عالم الرياضيات من واحدة من أفضل المعلمينفي العالم

معلومات من الناشر

نشرت باللغة الروسية لأول مرة

تم النشر بإذن من Steven Strogatz، c / o Brockman، Inc.

ستراتس ، ب.

متعة X. رحلة مثيرة في عالم الرياضيات من أحد أفضل المعلمين في العالم / ستيفن ستروغاتز ؛ لكل. من الانجليزية. - م: مان ، إيفانوف وفيربر ، 2014.

ردمك 978-500057-008-1

هذا الكتاب قادر على تغيير جذري في موقفك تجاه الرياضيات. يتكون من فصول قصيرة تكتشف في كل منها شيئًا جديدًا. سوف تتعلم مدى فائدة الأرقام في دراسة العالم من حولك ، وفهم جمال الهندسة ، والتعرف على أناقة حساب التفاضل والتكامل ، ومعرفة أهمية الإحصاء ، والتواصل مع اللانهاية. يشرح المؤلف الأفكار الرياضية الأساسية ببساطة وأنيقة ، ويعطي أمثلة رائعة يمكن للجميع فهمها.

لا يجوز إعادة إنتاج أي جزء من هذا الكتاب بأي شكل من الأشكال دون إذن كتابي من أصحاب حقوق النشر.

يتم توفير الدعم القانوني لدار النشر من قبل شركة المحاماة "Vegas-Lex"

مقدمة

سوف نتعلم كيف يمكن أن تساعد ضربات البطولات الاربع لمايكل جوردان في شرح أساسيات حساب التفاضل والتكامل. سأريكم طريقة بسيطة ومدهشة لفهم النظرية الأساسية للهندسة الإقليدية - نظرية فيثاغورس. سنحاول الوصول إلى الجزء السفلي من بعض ألغاز الحياة ، كبيرها وصغيرها: هل قتل جاي سيمبسون زوجته؟ كيفية تغيير المرتبة بحيث تدوم لأطول فترة ممكنة ؛ كم عدد الشركاء الذين يجب تغييرهم قبل إقامة حفل الزفاف - وسنرى لماذا تكون بعض اللانهايات أكبر من غيرها.

الرياضيات موجودة في كل مكان ، ما عليك سوى تعلم كيفية التعرف عليها. يمكنك رؤية الجيب على ظهر الحمار الوحشي ، ويمكنك سماع أصداء نظريات إقليدس في إعلان الاستقلال ؛ ماذا يمكنني أن أقول ، حتى في التقارير الجافة التي سبقت الحرب العالمية الأولى ، هناك أرقام سالبة. يمكنك أيضًا أن ترى كيف تؤثر مجالات الرياضيات الجديدة على حياتنا اليوم ، على سبيل المثال ، عندما نبحث عن مطاعم تستخدم جهاز كمبيوتر أو نحاول على الأقل أن نفهم ، أو الأفضل من ذلك ، أن نتغلب على التقلبات المخيفة في سوق الأوراق المالية.

سلسلة من 15 مقالة تحت اسم شائعظهرت أساسيات الرياضيات على الإنترنت في نهاية يناير 2010. واستجابة لنشرهم ، تدفقت الرسائل والتعليقات من القراء من جميع الأعمار ، وكان من بينهم العديد من الطلاب والمعلمين. كان هناك أيضًا أشخاص فضوليون ببساطة ، لسبب أو لآخر ، "فقدوا طريقهم" في فهم العلوم الرياضية ؛ الآن يشعرون أنهم فقدوا شيئًا ما ويرغبون في المحاولة مرة أخرى. لقد سررت بشكل خاص بامتنان والديّ على حقيقة أنهما بفضل مساعدتي تمكنوا من شرح الرياضيات لأطفالهم ، وبدأوا هم أنفسهم في فهمها بشكل أفضل. يبدو أنه حتى زملائي ورفاقي ، المعجبين المتحمسين لهذا العلم ، استمتعوا بقراءة المقالات ، باستثناء تلك اللحظات التي تنافسوا فيها مع بعضهم البعض لتقديم جميع أنواع التوصيات لتحسين ذريتي.

على الرغم من الاعتقاد السائد ، هناك اهتمام واضح بالرياضيات في المجتمع ، على الرغم من قلة الاهتمام بهذه الظاهرة. نحن نسمع فقط عن الخوف من الرياضيات ، ومع ذلك ، سيحاول الكثيرون بكل سرور فهمها بشكل أفضل. وبمجرد حدوث ذلك ، سيكون من الصعب تمزيقهم.

سيقدم لك هذا الكتاب أكثر الأفكار تعقيدًا وتقدماً من عالم الرياضيات. الفصول قصيرة وسهلة القراءة ولا تعتمد على بعضها البعض. من بينها تلك الواردة في تلك السلسلة الأولى من المقالات في صحيفة نيويورك تايمز. وبمجرد أن تشعر بجوع بسيط في الرياضيات ، لا تتردد في تناول الفصل التالي. إذا كنت تريد فهم المشكلة التي تهمك بمزيد من التفاصيل ، ففي نهاية الكتاب توجد ملاحظات بها معلومة اضافيةواقتراحات حول ما يجب أن تقرأ عنه أيضًا.

من أجل راحة القراء الذين يفضلون النهج التدريجي ، قمت بتقسيم المادة إلى ستة أجزاء وفقًا للترتيب التقليدي للموضوعات.

الجزء الأول "الأرقام" يبدأ رحلتنا بالحساب في روضة أطفالو مدرسة إبتدائية. إنه يوضح كيف يمكن أن تكون الأرقام مفيدة وكيف تكون فعالة بشكل سحري في وصف العالم من حولنا.

الجزء الثاني "النسب" ينقل الانتباه من الأرقام نفسها إلى العلاقات فيما بينها. تقع هذه الأفكار في صميم الجبر وهي الأدوات الأولى لوصف كيفية تأثير أحدهما على الآخر ، وإظهار العلاقة السببية لمجموعة متنوعة من الأشياء: العرض والطلب ، والتحفيز ورد الفعل - باختصار ، جميع أنواع العلاقات التي تصنع العالم متنوعة وغنية.

الجزء الثالث "الأشكال" لا يتعلق بالأرقام والرموز ، ولكنه يتعلق بالأشكال والفضاء - مجال الهندسة وعلم المثلثات. هذه الموضوعات ، جنبًا إلى جنب مع وصف جميع الأشياء التي يمكن ملاحظتها من خلال النماذج ، بمساعدة التفكير المنطقي والإثبات ، ترفع الرياضيات إلى مستوى جديدصحة.

في الجزء الرابع "وقت التغيير" سنلقي نظرة على حساب التفاضل والتكامل - أكثر مجالات الرياضيات إثارة للإعجاب ومتعددة الأوجه. يجعل حساب التفاضل والتكامل من الممكن التنبؤ بمسار الكواكب ، ودورات المد والجزر ، ويجعل من الممكن فهم ووصف جميع العمليات والظواهر المتغيرة بشكل دوري في الكون وفي داخلنا. تم تخصيص مكان مهم في هذا الجزء لدراسة اللانهاية ، والتي كان تهدئتها اختراقًا سمح للحسابات بالعمل. ساعدت الحوسبة في حل العديد من المشكلات التي نشأت في العالم القديم ، وهذا أدى في النهاية إلى ثورة في العلوم و العالم الحديث.

الجزء الخامس "وجوه متعددة من البيانات" يتعامل مع الاحتمالات والإحصاءات والشبكات ومعالجة البيانات - وهذه الحقول لا تزال حديثة نسبيًا ، ولدت من الجوانب غير المنظمة دائمًا في حياتنا ، مثل الفرص والحظ وعدم اليقين والمخاطر والتقلب والعشوائية ، الاعتماد المتبادل. باستخدام أدوات الرياضيات الصحيحة وأنواع البيانات الصحيحة ، سنتعلم كيفية تحديد الأنماط في تدفق عشوائي.

في نهاية رحلتنا ، في الجزء السادس "حدود الممكن" ، سنقترب من حدود المعرفة الرياضية ، المنطقة الحدودية بين ما هو معروف بالفعل وما لا يزال بعيد المنال وغير معروف. سنتناول مرة أخرى الموضوعات بالترتيب الذي نعرفه بالفعل: الأرقام والنسب والأشكال والتغييرات واللانهاية - ولكن في نفس الوقت سننظر في كل منها بمزيد من العمق ، في تجسدها الحديث.

أتمنى أن تجد كل الأفكار الواردة في هذا الكتاب مثيرة وتجعلك تقول ، "حسنًا ، حسنًا!" أكثر من مرة. لكن عليك دائمًا أن تبدأ من مكان ما ، لذلك لنبدأ بعمل بسيط ولكنه رائع مثل العد.

1. أساسيات العدد: إضافة سمكة

أفضل عرض لمفهوم الأرقام رأيته على الإطلاق (أوضح وأطرف شرح لماهية الأرقام ولماذا نحتاج إليها) رأيته في إحدى حلقات برنامج الأطفال الشهير شارع سمسم بعنوان 123: العد معًا »(123 Counter معي). X ...

الرياضيات هي لغة العلم الأكثر دقة وشمولية ، لكن هل من الممكن شرح المشاعر الإنسانية بمساعدة الأرقام؟ معادلات الحب ، بذور الفوضى والمعادلات التفاضلية الرومانسية - تنشر T&P فصلًا من كتاب "متعة X" لأحد أفضل معلمي الرياضيات في العالم ، ستيفن ستروغاتز ، الذي نشره مان وإيفانوف وفيربر.

في الربيع كتب تينيسون الخيال شابيتحول بسهولة إلى أفكار الحب. للأسف ، قد يكون لدى الشريك المحتمل لشاب أفكاره الخاصة حول الحب ، وبعد ذلك ستكون علاقتهما مليئة بالتقلبات المضطربة التي تجعل الحب مثيرًا ومؤلماً للغاية. يبحث بعض الذين يعانون من الذين لا مقابل لهم عن تفسير لتقلبات الحب هذه في الخمر ، والبعض الآخر - في الشعر. وسوف نتشاور مع الحسابات.

سيكون التحليل أدناه ساخرًا بشكل ساخر ، لكنه يمس مواضيع جادة. علاوة على ذلك ، إذا كان من الممكن أن يراوغنا فهم قوانين الحب ، فإن قوانين عالم الجماد أصبحت الآن مدروسة جيدًا. يأخذون شكل المعادلات التفاضلية التي تصف كيف تتغير المتغيرات المترابطة من لحظة إلى أخرى اعتمادًا على قيمها الحالية. ربما لا علاقة لمثل هذه المعادلات بالرومانسية ، لكنها على الأقل يمكن أن تلقي الضوء على السبب ، على حد تعبير شاعر آخر ، "الطريقة حب حقيقيلم يكن سلسًا أبدًا. لتوضيح طريقة المعادلات التفاضلية ، افترض أن روميو يحب جولييت ، ولكن في نسختنا من القصة ، جولييت هي حبيبة القلب. كلما أحبها روميو ، زادت رغبتها في الاختباء منه. ولكن عندما تهدأ روميو تجاهها ، بدأ يبدو جذابًا بشكل غير عادي بالنسبة لها. ومع ذلك ، فإن العاشق الشاب يميل إلى عكس مشاعرها: فهو يضيء عندما تحبه ، ويبرد عندما تكرهه.

ماذا يحدث لمحبينا التعساء؟ كيف يمتصهم الحب ويتركهم بمرور الوقت؟ هذا هو المكان حساب التفاضليأتي للإنقاذ. من خلال عمل معادلات تلخص صعود وسقوط مشاعر روميو وجولييت ، ثم حلها ، يمكننا التنبؤ بمسار علاقة الزوجين. سيكون التكهن النهائي لها حلقة مأساوية لا تنتهي من الحب والكراهية. ما لا يقل عن ربع هذا الوقت سيكون لديهم حب متبادل.

للوصول إلى هذا الاستنتاج ، افترضت أن سلوك روميو يمكن أن يصاغ بمعادلة تفاضلية ،

الذي يصف كيف يتغير حبه ® في اللحظة التالية (dt). وفقًا لهذه المعادلة ، يتناسب عدد التغييرات (dR) بشكل مباشر (مع عامل التناسب أ) مع حب جولييت (J). تعكس هذه العلاقة ما نعرفه بالفعل: يزداد حب روميو عندما تحبه جولييت ، لكنها تشير أيضًا إلى أن حب روميو ينمو بما يتناسب بشكل مباشر مع مدى حبه جولييت. هذا الافتراض لعلاقة خطية غير قابل للتصديق عاطفياً ، لكنه يجعل من الممكن تبسيط حل المعادلة بشكل كبير.

في المقابل ، يمكن نمذجة سلوك جولييت باستخدام المعادلة

تعكس العلامة السلبية قبل الثابت ب أن حبها يهدأ مع اشتداد حب روميو.

الشيء الوحيد المتبقي لتحديد مشاعرهم الأولية (أي قيم R و J في الوقت t = 0). بعد ذلك ، سيتم تعيين جميع المعلمات الضرورية. يمكننا استخدام الكمبيوتر للمضي قدمًا ببطء ، خطوة بخطوة ، وتغيير قيم R و J وفقًا للمعادلات التفاضلية الموضحة أعلاه. في الواقع ، بمساعدة النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل ، يمكننا إيجاد الحل تحليليًا. نظرًا لأن النموذج بسيط ، فإن حساب التفاضل والتكامل ينتج زوجًا صيغ شاملةالتي تخبرنا عن مدى حب (أو كره) روميو وجولييت لبعضهما البعض في أي وقت في المستقبل.

يجب أن تكون المعادلات التفاضلية المذكورة أعلاه مألوفة لطلاب الفيزياء: يتصرف روميو وجولييت مثل المذبذبات التوافقية البسيطة. وهكذا ، يتنبأ النموذج بأن الدالتين R (t) و J (t) ، اللتين تصفان التغيير في علاقتهما بمرور الوقت ، ستكونان شبيهات جيبية ، كل منها يرتفع وينخفض ، ولكن القيم القصوىلا يتطابقون.

"فكرة غبية لوصفها علاقه حببمساعدة المعادلات التفاضلية خطرت في بالي عندما كنت في حالة حب لأول مرة وحاولت أن أفهم السلوك غير المفهوم لصديقتي "

يمكن جعل النموذج أكثر واقعية من نواح كثيرة. على سبيل المثال ، قد يستجيب روميو ليس فقط لمشاعر جولييت ، ولكن أيضًا لمشاعره. ماذا لو كان أحد هؤلاء الرجال الذين يخافون من التخلي عنهم لدرجة أنه سيهدئ مشاعره. أو يشير إلى نوع آخر من الرجال الذين يحبون أن يتألموا - ولهذا السبب يحبها.

أضف إلى هذه السيناريوهات سلوكين آخرين لروميو - فهو يستجيب لعاطفة جولييت إما عن طريق تقوية عاطفته أو إضعافها - وسترى أنه في علاقة الحب هناك أربعة اسلوب مختلفسلوك. طلابي وطلاب مجموعة بيتر كريستوفر من ووستر معهد البوليتكنيكاقترح تسمية ممثلين من هذه الأنواع على النحو التالي: Hermit أو Evil Misanthrope لروميو الذي يهدئ مشاعره ويبتعد عن جولييت ، و Narcissistic Doodle and Flirtatious Fink للشخص الذي يسخن حماسته ، لكن جولييت رفضته. (يمكنك الخروج بـ أسماء العلملجميع هذه الأنواع).

على الرغم من أن الأمثلة المقدمة رائعة ، إلا أن أنواع المعادلات التي تصفها مفيدة للغاية. يمثلون أكثر أدوات قويةمن أي وقت مضى التي خلقها البشر للتفاهم العالم المادي. استخدم السير إسحاق نيوتن معادلات تفاضلية لاكتشاف أسرار حركة الكواكب. بمساعدة هذه المعادلات ، جمع بين الأرض و المجالات السماوية، مما يدل على أن نفس قوانين الحركة تنطبق على كليهما.

بعد ما يقرب من 350 عامًا من نيوتن ، أدركت البشرية أن قوانين الفيزياء يتم التعبير عنها دائمًا بلغة المعادلات التفاضلية. هذا صحيح بالنسبة للمعادلات التي تصف تدفقات الحرارة والهواء والماء ، لقوانين الكهرباء والمغناطيسية ، حتى بالنسبة للذرة ، حيث تسود ميكانيكا الكم.

في جميع الأحوال ، يجب على الفيزياء النظرية إيجاد المعادلات التفاضلية الصحيحة وحلها. عندما اكتشف نيوتن مفتاح أسرار الكون وأدرك أهميته الكبيرة ، نشره باعتباره الجناس الناقص اللاتيني. في الترجمة المجانية ، يبدو الأمر كما يلي: "من المفيد حل المعادلات التفاضلية."

خطرت لي الفكرة الغبية لوصف علاقات الحب باستخدام المعادلات التفاضلية عندما كنت في حالة حب لأول مرة وأحاول فهم السلوك غير المفهوم لصديقتي. لقد كانت قصة حب صيفية في نهاية سنتي الثانية في الكلية. كنت أشبه كثيرًا حينها بروميو الأول ، وكانت هي - أول جولييت. دفعتني دورية علاقتنا إلى الجنون حتى أدركت أن كلانا يتصرف من خلال القصور الذاتي ، وفقًا لـ قاعدة بسيطة"الدفع والسحب". لكن بحلول نهاية الصيف ، بدأت معادلتي في الانهيار ، وكنت أكثر حيرة. تبين أنه حدث حدث هامالتي لم آخذها بعين الاعتبار: هي الحبيب السابقأراد إعادته.

في الرياضيات ، نسمي هذه المشكلة مشكلة الأجسام الثلاثة. من الواضح أنه غير قابل للحل ، خاصة في سياق علم الفلك ، حيث نشأ لأول مرة. بعد أن حل نيوتن المعادلات التفاضلية لمشكلة الجسمين (وهو ما يفسر سبب تحرك الكواكب في مدارات إهليلجية حول الشمس) ، حول انتباهه إلى مشكلة الأجسام الثلاثة للشمس والأرض والقمر. لم يتمكن هو ولا غيره من العلماء من حلها. فيما بعد تبين أن مشكلة الجثث الثلاثة تحتوي على بذور الفوضى ، أي على المدى الطويل ، سلوكهم لا يمكن التنبؤ به.

لم يكن نيوتن يعرف شيئًا عن ديناميكيات الفوضى ، ولكن وفقًا لما ذكره صديقه إدموند هالي ، اشتكى من أن مشكلة الأجسام الثلاثة تسبب له في صداع وتجعله يقظًا كثيرًا لدرجة أنه لن يفكر في الأمر مرة أخرى.

ها أنا معك يا سيدي إسحاق.

فرحة X

جولة إرشادية في الرياضيات ، من واحد إلى ما لا نهاية

تم النشر بإذن من Steven Strogatz، c / o Brockman، Inc.

كل الحقوق محفوظة. لا يجوز إعادة إنتاج أي جزء من النسخة الإلكترونية من هذا الكتاب بأي شكل أو بأي وسيلة ، بما في ذلك النشر على الإنترنت وشبكات الشركات ، للاستخدام الخاص والعام ، دون إذن كتابي من مالك حقوق النشر.

يتم توفير الدعم القانوني لدار النشر من قبل شركة المحاماة "Vegas-Lex"

* * *

يكمل هذا الكتاب بشكل جيد:

كوانتا

سكوت باترسون

برينياك

كين جينينغز

المال

مايكل لويس

عقل مرن

كارول دويك

فيزياء سوق الأسهم

جيمس ويذرال

مقدمة

من أجل توضيح ما أعنيه بحياة الأرقام وسلوكهم ، الذي لا يمكننا التحكم فيه ، دعنا نعود إلى فندق Furry Paws. لنفترض أن همفري كان على وشك تسليم الطلب ، ولكن بعد ذلك اتصلت به طيور البطريق من غرفة أخرى بشكل غير متوقع وطلبت أيضًا نفس الكمية من الأسماك. كم مرة يجب على همفري أن يصرخ بكلمة "سمكة" بعد تلقيه أمرين؟ إذا لم يكن يعرف أي شيء عن الأرقام ، فسيتعين عليه الصراخ عدة مرات حيث يوجد عدد إجمالي من طيور البطريق في كلتا الغرفتين. أو ، باستخدام الأرقام ، يمكنه أن يشرح للطاهي أنه يحتاج إلى ستة أسماك لرقم واحد وستة في رقم آخر. لكن ما يحتاجه حقًا هو مفهوم جديد: الإضافة. بمجرد أن يتقن ذلك ، سيقول بفخر إنه يحتاج إلى ستة زائد ستة (أو ، إذا كان متصنعًا ، اثني عشر) سمكة.

قريبًا ، ربما يدرك همفري أنه بإمكانه دائمًا الاعتماد.

2. حساب الحجر

مثل أي ظاهرة في الحياة ، للحساب جانبان: رسمي وترفيهي (أو مرح).

درسنا الجزء الرسمي في المدرسة. هناك شرحوا لنا كيفية التعامل مع أعمدة الأرقام وإضافتها وطرحها وكيفية تجريفها عند إجراء العمليات الحسابية في جداول البيانات عند ملء الإقرارات الضريبية وإعداد التقارير السنوية. يبدو هذا الجانب من الحساب بالنسبة للكثيرين مهمًا من وجهة نظر عملية ، لكنه كئيب تمامًا.

يمكن للمرء أن يتعرف على الجانب الترفيهي من الحساب فقط في عملية دراسة الرياضيات العليا. ومع ذلك ، فهو أمر طبيعي مثل فضول الطفل.

إليك مشكلة لها عدد أكبر من الحلول: تحتاج إلى معرفة المجموعات التي ستشكل مستطيلًا إذا رتبت الحجارة في صفين مع عدد متساوٍ من العناصر. مجموعات من 2 أو 4 أو 6 أو 8 أو 10 أحجار مناسبة هنا ؛ يجب أن يكون الرقم زوجيًا. إذا حاولنا ترتيب المجموعات المتبقية بعدد فردي من الأحجار في صفين ، فسنحصل دائمًا على حجر إضافي.

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

والمثير للدهشة أن هذه المبالغ دائمًا ما تكون مربعات مثالية. (لقد تحدثنا بالفعل عن كيفية تمثيل 4 و 9 كمربعات ، وهذا صحيح أيضًا لـ 16 = 4 × 4 و 25 = 5 × 5.) يوضح الحساب السريع أن هذه القاعدة تنطبق أيضًا على الأرقام الفردية الأكبر وتميل على ما يبدو إلى ما لا نهاية. ولكن ما هي العلاقة بين الأعداد الفردية بأحجارها "الإضافية" والأرقام المتماثلة تقليديًا التي تشكل المربعات؟ من خلال وضع الحجارة بشكل صحيح ، يمكننا توضيحها ، وهي السمة المميزة لإثبات أنيق.

تم تقديم طريقة مماثلة في التفكير في كتاب آخر تم نشره مؤخرًا. رواية يوكو أوغاوا الساحرة ، مدبرة المنزل والأستاذ ، تتبع شابة ذكية ولكنها غير متعلمة وابنها البالغ من العمر عشر سنوات. تم تعيين امرأة لرعاية عالم رياضيات مسن لا تحتفظ ذاكرته قصيرة المدى إلا بمعلومات عن آخر 80 دقيقة من حياته بسبب إصابة دماغية. ضائعًا في الوقت الحاضر ، وحيدًا في كوخه القذر لا يملك شيئًا سوى الأرقام ، يحاول الأستاذ التواصل مع مدبرة المنزل بالطريقة الوحيدة التي يعرفها: بالسؤال عن مقاس حذائها أو تاريخ ميلادها ، وإجراء محادثة قصيرة معها حول نفقاتها . للبروفيسور أيضًا إعجابًا خاصًا بابن مدبرة المنزل ، والذي يسميه Ruth (الجذر - الجذر) ، لأن الصبي لديه رأس مسطح في الأعلى ، وهذا يذكره بالتدوين في الرياضيات للجذر التربيعي √.

في أحد الأيام ، كلف الأستاذ الصبي بمهمة بسيطة - للعثور على مجموع كل الأرقام من 1 إلى 10. بعد أن تجمع روث جميع الأرقام معًا بعناية وتعود بالإجابة (55) ، يطلب منه الأستاذ البحث عن طريقة أسهل. هل يستطيع أن يجد الجواب بدونإضافة بسيطة للأرقام؟ ركلت روث على كرسي وصرخت ، "هذا ليس عدلاً!"

1 + 2 + 3 + … + 9 + 10 = 55,

وتبع ذلك اليوم كله على كعبي ، كما لو كانت محترقة في شبكية عيني ، ولم يكن هناك طريقة لتجاهلها. هناك عدة طرق لحل مشكلة الأستاذ (أتساءل كم يمكنك إيجادها). يقترح الأستاذ نفسه طريقة تفكير سبق أن طبقناها أعلاه. يفسر المجموع من 1 إلى 10 على أنه مثلث من الحصى ، مع حصاة واحدة في الصف الأول ، واثنتان في الصف الثاني ، وهكذا ، حتى عشر حصى في الصف العاشر.

تعطي هذه الصورة فكرة واضحة عن الفضاء السلبي. اتضح أنه نصف ممتلئ فقط ، مما يدل على اتجاه الاختراق الإبداعي. إذا نسخت مثلثًا من الحصى ، وقلبته وربطته بمثلث موجود ، ستحصل على شيء بسيط جدًا: مستطيل به عشرة صفوف من 11 حصاة في كل منها ، و الرقم الإجمالي 110.

بما أن المثلث الأصلي هو نصف هذا المستطيل ، فإن المجموع المحسوب للأعداد من 1 إلى 10 يجب أن يكون نصف 110 ، أي 55.

قد يبدو تمثيل رقم كمجموعة حصى أمرًا غير معتاد ، لكنه في الواقع قديم قدم الرياضيات نفسها. كلمة "احسب" احسب) يعكس هذا التراث ومشتق من اللاتينية حساب التفاضل والتكامل، وتعني "حصاة" ، والتي استخدمها الرومان عند إجراء الحسابات. ليس عليك أن تكون أينشتاين (وهو ما يعني "حجر واحد" باللغة الألمانية) لتستمتع باللعب بالأرقام ، ولكن ربما ستجعلك القدرة على التوفيق بين الأحجار الأمر أسهل بالنسبة لك.

الضربة القاضية هي نوع من رمي كرة السلة حيث يقفز اللاعب لأعلى ويرمي الكرة عبر الطوق من أعلى إلى أسفل بيد واحدة أو بكلتا يديه. ملحوظة. ترجمة.

جاي سيمبسون لاعب كرة قدم أمريكي مشهور. لعب دور المخبر نورثبرج في ثلاثية Naked Gun الشهيرة. اتهم بالقتل الزوجة السابقةوصديقتها وبرئتها رغم الادلة. ملحوظة. ترجمة.

لتتعرف على الفكرة الرائعة التي تعيشها الأرقام الحياة الخاصة، ويمكن اعتبار الرياضيات شكلاً من أشكال الفن ، انظر ب. لوكهارت ، رثاء عالم رياضيات (مطبعة بلفيو الأدبية ، 2009). ملحوظة. محرر: هناك العديد من الترجمات لمقال لوكهارت "رثاء عالم الرياضيات" على الإنترنت الروسي. هنا واحد منهم: http://mrega.ru/biblioteka/obrazovanie/130-plachmatematika.html. هنا وتحت ، تشير الحواشي الموجودة بين قوسين إلى ملاحظات المؤلف.

هذه العبارة الشهيرة مأخوذة من مقال بقلم E.Wigner بعنوان الفعالية غير المعقولة للرياضيات في العلوم الطبيعية ، الاتصالات في الرياضيات البحتة والتطبيقية ، المجلد. 13 ، لا. 1 ، (فبراير 1960) ، ص. 1-14. نسخة على الإنترنت متاحة على http://www.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html. لمزيد من التأملات حول هذا الموضوع ، وما إذا كانت الرياضيات قد تم اختراعها أو اكتشافها ، راجع إم. ليفيو ، هل الله عالم رياضيات؟ (سايمون وشوستر ، 2009) و R.W. Hamming ، الفعالية غير المعقولة للرياضيات ، American Mathematical Monthly ، المجلد. 87 ، لا. 2 (فبراير 1980).

أدين بالكثير من هذا الفصل لكتابين ممتازين: المقال الجدلي بقلم ب. لوكهارت ، رثاء عالم رياضيات (مطبعة بلفيو الأدبية ، 2009) ورواية ي. أوغاوا ، مدبرة المنزل والبروفيسور (بيكادور ، 2009). ملحوظة. محرر: مقال لوكهارت "رثاء عالم رياضيات" مذكور في التعليق 1. لا توجد حتى الآن ترجمة لرواية يوكو أوغاوا إلى الروسية.

للقراء الشباب الذين يرغبون في معرفة المزيد عن الأرقام وهياكلها ، انظر H. M. Enzensberger ، The Number Devil (Holt Paperbacks ، 2000). ملحوظة. محرر: من بين الكتب الروسية العديدة حول مبادئ الرياضيات ، والمناهج غير القياسية لدراستها ، وتنمية الإبداع الرياضي لدى الأطفال ، و مواضيع مماثلةوفقًا للفصول التالية من الكتاب ، نشير الآن إلى ما يلي: Pukhnachev Yu. ، Popov Yu. الرياضيات بدون صيغ. م: "Century" JSC، 1995 ؛ أوستر جي. دليل لا غنى عنه في الرياضيات. م: AST ، 2005 ؛ Ryzhik V. I. 30.000 درس رياضيات: كتاب للمعلم. م .: التنوير ، 2003: Tuchnin N.P. كيف تطرح سؤالاً؟ حول الإبداع الرياضي لأطفال المدارس. ياروسلافل: في الأعلى. - فولزه. كتاب. دار النشر ، 1989.

ممتاز لكن أكثر أمثلة معقدةتم عرض تصورات الصور الرياضية في R.B. Nelsen ، Proofs without Words (Mathematical Association of America، 1997).

يكمل هذا الكتاب بشكل جيد:

كوانتا

سكوت باترسون

برينياك

كين جينينغز

المال

مايكل لويس

عقل مرن

كارول دويك

فيزياء سوق الأسهم

جيمس ويذرال

فرحة X

جولة إرشادية في الرياضيات ، من واحد إلى ما لا نهاية

ستيفن ستروغاتز

من دواعي سروري X

رحلة مثيرة في عالم الرياضيات من أحد أفضل المعلمين في العالم

معلومات من الناشر

نشرت باللغة الروسية لأول مرة

تم النشر بإذن من Steven Strogatz، c / o Brockman، Inc.

ستراتس ، ب.

من دواعي سروري X. رحلة مثيرة في عالم الرياضيات من أحد أفضل المعلمين في العالم / ستيفن ستروغاتز ؛ لكل. من الانجليزية. - م: مان ، إيفانوف وفيربر ، 2014.

ردمك 978-500057-008-1

لا يجوز إعادة إنتاج أي جزء من هذا الكتاب بأي شكل من الأشكال دون إذن كتابي من أصحاب حقوق النشر.

يتم توفير الدعم القانوني لدار النشر من قبل شركة المحاماة "Vegas-Lex"

مقدمة

الرياضيات موجودة في كل مكان ، ما عليك سوى تعلم كيفية التعرف عليها. يمكنك رؤية الجيب على ظهر الحمار الوحشي ، ويمكنك سماع أصداء نظريات إقليدس في إعلان الاستقلال ؛ ماذا يمكنني أن أقول ، حتى في التقارير الجافة التي سبقت الحرب العالمية الأولى ، هناك أرقام سلبية. يمكنك أيضًا أن ترى كيف تؤثر مجالات الرياضيات الجديدة على حياتنا اليوم ، على سبيل المثال ، عندما نبحث عن مطاعم تستخدم جهاز كمبيوتر أو نحاول على الأقل أن نفهم ، أو الأفضل من ذلك ، أن نتغلب على التقلبات المخيفة في سوق الأوراق المالية.

ظهرت سلسلة من 15 مقالة تحت العنوان العام "أساسيات الرياضيات" على الإنترنت في نهاية شهر يناير 2010. واستجابة لنشرهم ، تدفقت الرسائل والتعليقات من القراء من جميع الأعمار ، وكان من بينهم العديد من الطلاب والمعلمين. كان هناك أيضًا أشخاص فضوليون ببساطة ، لسبب أو لآخر ، "فقدوا طريقهم" في فهم العلوم الرياضية ؛ الآن يشعرون أنهم فقدوا شيئًا ما. حولوأود المحاولة مرة أخرى. لقد سررت بشكل خاص بامتنان والديّ على حقيقة أنهما بفضل مساعدتي تمكنوا من شرح الرياضيات لأطفالهم ، وبدأوا هم أنفسهم في فهمها بشكل أفضل. يبدو أنه حتى زملائي ورفاقي ، المعجبين المتحمسين لهذا العلم ، استمتعوا بقراءة المقالات ، باستثناء تلك اللحظات التي تنافسوا فيها مع بعضهم البعض لتقديم جميع أنواع التوصيات لتحسين ذريتي.

سيقدم لك هذا الكتاب أكثر الأفكار تعقيدًا وتقدماً من عالم الرياضيات. الفصول قصيرة وسهلة القراءة ولا تعتمد على بعضها البعض. من بينها تلك الواردة في تلك السلسلة الأولى من المقالات في صحيفة نيويورك تايمز. وبمجرد أن تشعر بجوع بسيط في الرياضيات ، لا تتردد في تناول الفصل التالي. إذا كنت ترغب في فهم المشكلة التي تهمك بمزيد من التفصيل ، ففي نهاية الكتاب توجد ملاحظات بمعلومات إضافية وتوصيات حول ما يمكنك قراءته عنها.

الجزء الأول "الأرقام" تبدأ رحلتنا بالحساب في رياض الأطفال والمدرسة الابتدائية. إنه يوضح كيف يمكن أن تكون الأرقام مفيدة وكيف تكون فعالة بشكل سحري في وصف العالم من حولنا.

الجزء الثالث "الأشكال" لا يتعلق بالأرقام والرموز ، ولكنه يتعلق بالأشكال والفضاء - مجال الهندسة وعلم المثلثات. هذه الموضوعات ، جنبًا إلى جنب مع وصف جميع الأشياء التي يمكن ملاحظتها من خلال النماذج ، من خلال التفكير المنطقي والإثبات ، ترفع الرياضيات إلى مستوى جديد من الدقة.