حساب الزوايا في مثلث قائم الزاوية. كيف تجد أضلاع المثلث القائم؟ أساسيات الهندسة

في الهندسة ، غالبًا ما توجد مشاكل تتعلق بجوانب المثلثات. على سبيل المثال ، غالبًا ما يكون من الضروري إيجاد ضلع المثلث إذا كان الاثنان الآخران معروفين.

المثلثات متساوية الساقين ومتساوية الأضلاع ومتساوية الأضلاع. من بين جميع الأنواع ، في المثال الأول ، نختار مستطيلًا (في مثل هذا المثلث ، إحدى الزوايا 90 درجة ، والجوانب المجاورة لها تسمى الأرجل ، والثالث هو الوتر).

التنقل السريع بين المقالات

طول ضلعي المثلث القائم

يأتي حل المشكلة من نظرية عالم الرياضيات العظيم فيثاغورس. تقول أن مجموع مربعات الساقين مثلث قائميساوي مربع الوتر: أ² + ب² = ج²

• أوجد مربع طول الساق أ ؛
• أوجد مربع الساق ب ؛
• نجمعهم معًا.
• من النتيجة التي تم الحصول عليها ، نستخرج جذر الدرجة الثانية.

مثال: أ = 4 ، ب = 3 ، ج =؟

• أ² = 4² = 16 ؛
• ب² = 3² = 9 ؛
• 16+9=25;
• √25 = 5. أي أن طول وتر هذا المثلث يساوي 5.

إذا لم يكن للمثلث زاوية قائمة ، فإن أطوال الضلعين غير كافية. يتطلب هذا معلمة ثالثة: يمكن أن تكون زاوية ، ارتفاع ، مساحة مثلث ، نصف قطر دائرة منقوشة فيه ، إلخ.

إذا كان المحيط معروفًا

في هذه الحالة ، تكون المهمة أسهل. المحيط (P) هو مجموع كل جوانب المثلث: P = a + b + c. وهكذا ، من خلال حل معادلة رياضية بسيطة ، نحصل على النتيجة.

مثال: P = 18 ، أ = 7 ، ب = 6 ، ج =؟

1) نحل المعادلة وننقل كل شيء المعلمات المعروفةإلى جانب واحد من علامة التساوي:

2) استبدل القيم بدلاً منها واحسب الضلع الثالث:

ج = 18-7-6 = 5 ، المجموع: الضلع الثالث من المثلث يساوي 5.

إذا كانت الزاوية معروفة

لحساب الضلع الثالث من المثلث بمعلومية الزاوية والضلعين الآخرين ، يكون الحل هو الحساب المعادلة المثلثية. من السهل حساب الضلع الثالث بمعرفة العلاقة بين أضلاع المثلث وجيب الزاوية. للقيام بذلك ، تحتاج إلى تربيع الجانبين وإضافة نتائجهما معًا. ثم اطرح من الناتج الناتج للأضلاع مضروبًا في جيب تمام الزاوية: C = √ (a² + b²-a * b * cosα)

إذا كانت المنطقة معروفة

في هذه الحالة ، صيغة واحدة لا تكفي.

1) أولاً ، نحسب sin γ بالتعبير عنها من صيغة مساحة المثلث:

الخطيئة γ = 2S / (أ * ب)

2) باستخدام الصيغة التالية ، نحسب جيب التمام لنفس الزاوية:

sin² α + cos² α = 1

cos α = √ (1 - sin² α) = √ (1- (2S / (a ​​* b)) ²)

3) ومرة ​​أخرى نستخدم نظرية الجيب:

C = √ ((a² + b²) -a * b * cosα)

C = √ ((a² + b²) -a * b * √ (1- (S / (a ​​* b)) ²))

بالتعويض عن قيم المتغيرات في هذه المعادلة ، نحصل على إجابة المشكلة.

الأولى هي المقاطع المجاورة لـ زاوية مستقيمة، والوتر هو أطول جزء من الشكل ومقابل للزاوية 90 درجة. مثلث فيثاغورس هو مثلث متساوي الأضلاع الأعداد الطبيعية؛ أطوالهم في هذه الحالة تسمى "ثلاثية فيثاغورس".

المثلث المصري

إلى الجيل الحاليعلمت الهندسة بالشكل الذي تُدرس به في المدرسة الآن ، وقد تطورت لعدة قرون. النقطة الأساسية هي نظرية فيثاغورس. جوانب المستطيل معروفة للعالم كله) هي 3 ، 4 ، 5.

قلة من الناس ليست على دراية بعبارة "سروال فيثاغورس متساوون في كل الاتجاهات." ومع ذلك ، في الواقع ، تبدو النظرية كما يلي: c 2 (مربع الوتر) \ u003d a 2 + b 2 (مجموع مربعات الساقين).

بين علماء الرياضيات ، يسمى المثلث ذو الأضلاع 3 ، 4 ، 5 (سم ، م ، إلخ) "مصري". من المثير للاهتمام أن ما هو مكتوب في الشكل يساوي واحدًا. نشأ الاسم في القرن الخامس قبل الميلاد تقريبًا ، عندما سافر الفلاسفة اليونانيون إلى مصر.

عند بناء الأهرامات ، استخدم المهندسون المعماريون والمساحون النسبة 3: 4: 5. اتضح أن هذه الهياكل متناسبة وممتعة للنظر وواسعة ، ونادراً ما انهارت.

من أجل بناء الزاوية اليمنى ، استخدم البناة حبلًا تم ربط 12 عقدة عليه. في هذه الحالة ، زاد احتمال إنشاء مثلث قائم الزاوية إلى 95٪.

علامات تساوي الشخصيات

• الزاوية الحادة في المثلث القائم والجانب الكبير ، والتي تساوي نفس العناصر في المثلث الثاني ، هي علامة لا جدال فيها على مساواة الأشكال. مع الأخذ في الاعتبار مجموع الزوايا ، من السهل إثبات أن الزوايا الحادة الثانية متساوية أيضًا. وبالتالي ، فإن المثلثات متطابقة في المعيار الثاني.
• عندما يتم تثبيت شكلين على بعضهما البعض ، فإننا نقوم بتدويرهما بطريقة تجعلهما ، عند الجمع بينهما ، مثلثًا متساوي الساقين. وفقًا لخاصيتها ، فإن الأضلاع ، أو بالأحرى الوتر ، متساوية ، وكذلك الزوايا في القاعدة ، مما يعني أن هذه الأشكال هي نفسها.

من خلال الإشارة الأولى ، من السهل جدًا إثبات أن المثلثات متساوية حقًا ، والشيء الرئيسي هو أن الضلعين الأصغر (أي الساقين) متساويان.

ستكون المثلثات هي نفسها وفقًا للعلامة II ، والتي يتمثل جوهرها في المساواة بين الساق والزاوية الحادة.

خصائص مثلث الزاوية اليمنى

الارتفاع ، الذي تم خفضه من الزاوية اليمنى ، يقسم الشكل إلى جزأين متساويين.

من السهل التعرف على أضلاع المثلث القائم الزاوية ووسيطه من خلال القاعدة: الوسيط ، الذي ينخفض ​​إلى الوتر ، يساوي نصفه. يمكن إيجادها من خلال صيغة هيرون وبيان أنها تساوي نصف حاصل ضرب الساقين.

في المثلث القائم الزاوية ، تنطبق خصائص الزوايا 30 o و 45 o و 60 o.

• بزاوية 30 درجة ، يجب أن نتذكر ذلك الساق المعاكسةسيساوي 1/2 الضلع الأكبر.
• إذا كانت الزاوية 45 درجة ، فإن الزاوية الحادة الثانية هي أيضًا 45 درجة. يشير هذا إلى أن المثلث متساوي الساقين وساقيه متساويتان.
• خاصية الزاوية التي قياسها 60 درجة هي أن قياس الزاوية الثالثة 30 درجة.

من السهل العثور على المنطقة بإحدى الصيغ الثلاث:

1. من خلال الارتفاع والجانب الذي ينزل عليه ؛
2. حسب صيغة هيرون.
3. على طول الجانبين والزاوية بينهما.

تتلاقى جوانب المثلث القائم ، أو بالأحرى الأرجل ، بارتفاعين. لإيجاد المثلث الثالث ، من الضروري مراعاة المثلث الناتج ، ثم باستخدام نظرية فيثاغورس ، احسب الطول المطلوب. بالإضافة إلى هذه الصيغة ، هناك أيضًا نسبة ضعف المساحة وطول الوتر. التعبير الأكثر شيوعًا بين الطلاب هو التعبير الأول ، حيث يتطلب عمليات حسابية أقل.

النظريات التي تنطبق على مثلث قائم الزاوية

تتضمن هندسة المثلث الأيمن استخدام نظريات مثل:

بتعبير أدق ، من اسم المثلث "القائم الزاوية" ، يتضح أن إحدى زواياه تساوي 90 درجة. يمكن إيجاد الزوايا المتبقية من خلال استدعاء نظريات بسيطة وخصائص المثلثات.

سوف تحتاج

• جدول الجيب وجيب التمام ، جدول Bradis

تعليمات

1. دعنا نشير إلى زوايا المثلث بالأحرف A و B و C ، كما هو موضح في الشكل. الزاوية BAC تساوي 90º ، ويُرمز إلى الزاويتين الأخريين بالحرفين α و. سيشار إلى أرجل المثلث بالحرفين أ وب ، والوتر بالحرف ج.

2. ثم sinα = b / c ، و cosα = a / c. وبالمثل بالنسبة للزاوية الحادة الثانية للمثلث: sinβ = a / c ، و cosβ = b / c. اعتمادًا على الجوانب التي نعرفها ، نحسب الجيب أو جيب التمام من الزوايا وننظر إلى جدول Bradis لقيمة α و.

3. بعد العثور على أحد الزوايا ، يُسمح بتذكر ذلك المجموع الزوايا الداخليةالمثلث 180 درجة. هذا يعني أن مجموع α و يساوي 180º - 90º = 90º. وبعد ذلك ، بعد حساب قيمة α من الجداول ، يمكننا استخدام الصيغة التالية لإيجاد β: β = 90º - α

4. إذا كان أحد جوانب المثلث غير مألوف ، فإننا نطبق نظرية فيثاغورس: a² + b² = c². نشتق منه تعبيرًا عن ضلع غير مألوف من خلال الاثنين الآخرين ونعوضه في الصيغة لإيجاد جيب أو جيب الزاوية لإحدى الزوايا.

نصيحة 2: كيفية إيجاد الوتر في مثلث قائم الزاوية

الوتر هو الضلع في مثلث قائم الزاوية الذي يقع مقابل الزاوية القائمة. الوتر هو أطول ضلع في مثلث قائم الزاوية. تسمى الأضلاع المتبقية في المثلث القائم بالأرجل.

سوف تحتاج

• المعرفة الأساسية للهندسة.

تعليمات

1. مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعات الساقين. أي لإيجاد مربع طول الوتر ، عليك أن تربيع طول الساقين وتجمع.

2. طول الوتر يساوي الجذر التربيعي لمربع طوله. لإيجاد طوله ، نستخرج الجذر التربيعي لعدد يساوي مجموع مربعات الأرجل. سيكون الرقم الناتج هو طول الوتر.

فيديوهات ذات علاقة

ملحوظة!
طول الوتر صحيح ، لذلك عند استخراج الجذر ، يجب أن يكون التعبير الجذري أكبر من الصفر.

نصيحة مفيدة
في مثلث قائم الزاوية متساوي الساقين ، يمكن حساب طول الوتر بضرب الساق في جذر 2.

النصيحة 3: كيفية اكتشاف الزاوية الحادة في المثلث القائم

مباشرة فحميربما يكون المثلث الأكثر شهرة من وجهة نظر تاريخية ، الأشكال الهندسية. "سراويل" فيثاغورس يمكنها فقط منافسة "يوريكا!" أرخميدس.

سوف تحتاج

• - رسم مثلث.
• - مسطرة؛
• - منقلة.

تعليمات

1. كالعادة ، يُشار إلى رؤوس زوايا المثلث بأحرف كبيرة. بأحرف لاتينية(أ ، ب ، ج) ، والضلع المقابل لها بأحرف لاتينية صغيرة (أ ، ب ، ج) أو بأسماء رؤوس المثلث التي تشكل هذا الضلع (AC ، BC ، AB).

2. مجموع زوايا المثلث يساوي 180 درجة. في مستطيل مثلثزاوية واحدة (يمين) ستكون دائمًا 90 درجة ، والباقي سيكون حادًا ، أي أقل من 90 درجة. من أجل تحديد الزاوية في المستطيل مثلثمستقيم ، قس جوانب المثلث بمساعدة المسطرة وحدد الأكبر. يطلق عليه الوتر (AB) ويقع مقابل الزاوية اليمنى (C). يشكل الجانبان المتبقيان زاوية قائمة وتسمى الأرجل (AC ، BC).

3. بمجرد تحديد الزاوية الحادة ، يمكنك إما قياس الزاوية بالمنقلة أو الحساب بدعم من الصيغ الرياضية.

4. من أجل تحديد قيمة الزاوية مع دعم المنقلة ، قم بمحاذاة قمتها (المشار إليها بالحرف A) بعلامة خاصة على المسطرة في وسط المنقلة ، يجب أن يتطابق الساق AC مع الحافة العلوية. ضع علامة على الجزء نصف الدائري من المنقلة على النقطة التي يمر من خلالها الوتر AB. تتوافق القيمة عند هذه النقطة مع قيمة الزاوية بالدرجات. إذا تمت الإشارة إلى قيمتين على المنقلة ، فمن الضروري اختيار قيمة أصغر للزاوية الحادة ، لزاوية حادة - قيمة كبيرة.

6. ابحث عن القيمة الناتجة في جداول Bradis المرجعية وحدد الزاوية التي تتوافق مع الزاوية المستلمة قيمة عددية. استخدمت جداتنا هذه الطريقة.

7. في الوقت الحاضر ، يكفي أن تأخذ آلة حاسبة مع وظيفة حسابية الصيغ المثلثية. دعنا نقول الآلة الحاسبة المضمنة في Windows. قم بتشغيل تطبيق "الآلة الحاسبة" ، في عنصر القائمة "عرض" ، حدد عنصر "الهندسة". احسب جيب الزاوية المرغوبة ، لنقل sin (A) = BC / AB = 2/4 = 0.5

8. قم بتبديل الآلة الحاسبة إلى وظائف معكوسة، بالنقر على زر INV على شاشة الآلة الحاسبة ، ثم انقر فوق الزر لحساب وظيفة القوس (على الشاشة يُشار إليها بالخطيئة إلى الدرجة الأولى ناقص). سيظهر نقش آخر في نافذة الحساب: asind (0.5) = 30. أي ، قيمة الزاوية المرغوبة 30 درجة.

نصيحة 4: كيفية إيجاد الضلع المجهول في المثلث

لا تعتمد طريقة حساب الجانب المجهول للمثلث على شروط المهمة فحسب ، بل تعتمد أيضًا على الغرض الذي يتم من أجله. مهمة مماثلة لا يواجهها تلاميذ المدارس فقط في دروس الهندسة ، ولكن أيضًا من قبل المهندسين العاملين في مختلف الصناعات ، ومصممي الديكور الداخلي ، والقواطع ، وممثلي العديد من المهن الأخرى. قد تكون دقة الحسابات لأغراض مختلفة مختلفة ، لكن قواعدها تظل كما هي في كتاب مشاكل المدرسة.

سوف تحتاج

• - مثلث مع معلمات معينة ؛
• - آلة حاسبة؛
• - قلم؛
• - قلم؛
• - منقلة
• - ورق؛
• - جهاز كمبيوتر مزود ببرنامج AutoCAD ؛
• - نظريات الجيب وجيب التمام.

تعليمات

1. ارسم مثلثًا يتوافق مع شروط المهمة. يمكن بناء المثلث من ثلاثة جوانب ، وضلعان وزاوية بينهما ، أو جانب وزاويتان متجاورتان. أطروحة العمل في دفتر ملاحظات وعلى جهاز كمبيوتر في برنامج AutoCAD متطابقة في هذا الصدد. لذلك من الضروري في المهمة تحديد أبعاد جانب واحد أو جانبين وزاوية واحدة أو زاويتين.

2. عند البناء على جانبين وزاوية ، ارسم مقطعًا على الورقة يساوي جانب المقدمة. مع دعم المنقلة جانبا زاوية معينةوتقضي الثانية جانب، وتأجيل الحجم المعطى في الشرط. إذا تم إعطاؤك جانبًا وزاويتان بجواره ، ارسم أولاً جانب، ثم من طرفي المقطع الناتج ، ضع الزوايا جانبًا وارسم الجانبين الآخرين. قم بتسمية المثلث على أنه ABC.

3. في برنامج AutoCAD ، يكون من المريح للجميع بناء مثلث غير صحيح بمساعدة أداة Segment. ستجده من خلال علامة التبويب الرئيسية ، مفضلاً نافذة الرسم. قم بتعيين إحداثيات الضلع الذي تعرفه ، بعد ذلك - النقطة الأخيرة للجزء الثاني المحدد.

4. حدد نوع المثلث. إذا كان مستطيلًا ، فسيتم حساب الجانب غير المألوف باستخدام نظرية فيثاغورس. الوتر هو الجذر التربيعيمن مجموع مربعات الأرجل ، أي c =؟ a2 + b2. وفقًا لذلك ، ستكون كل من أرجلهم مساوية للجذر التربيعي للفرق بين مربعي الوتر والضلع الشهير: a =؟ c2-b2.

5. لحساب الضلع المجهول لمثلث بمعلومية جانب وزاويتين متضمنتين ، استخدم نظرية الجيب. الضلع أ مرتبط بالخطيئة ؟، كما الضلع ب هو الخطيئة؟. ؟ و؟ في هذه القضيةزوايا متقابلة. يمكن إيجاد الزاوية غير المعطاة من خلال شروط المسألة بتذكر أن مجموع الزوايا الداخلية للمثلث يساوي 180 درجة. اطرح منه مجموع الزاويتين اللتين تعرفهما. يكتشف مجهوللك جانبب ، حل النسبة بالطريقة المعتادة ، أي بضرب الشهير جانبوعلى الخطيئة؟ وتقسيم هذا المنتج على المعصية؟. تحصل على الصيغة b = a * sin؟ / sin؟.

6. إذا كنت مشهورًا بالجانبين أ وب والزاوية؟ بينهما ، استخدم قانون جيب التمام. الضلع غير المألوف c يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعي الضلعين الآخرين ، مطروحًا منه ضعف حاصل ضرب هذين الضلعين ، مضروبًا في جيب تمام الزاوية بينهما. هذا هو c =؟ a2 + b2-2ab * cos ؟.

فيديوهات ذات علاقة

نصيحة 5: كيفية حساب الزاوية في مثلث قائم الزاوية

مباشرة فحمييتكون المثلث من زاويتين حادتين ، وتعتمد قيمتهما على أطوال الجانبين ، بالإضافة إلى زاوية واحدة بقيمة ثابتة ثابتة تبلغ 90 درجة. حساب حجم الزاوية الحادة بالدرجات المسموح باستخدامها الدوال المثلثيةأو نظريات حول مجموع الزوايا عند رؤوس المثلث في الفضاء الإقليدي.

تعليمات

1. استخدم الدوال المثلثية إذا كانت أبعاد أضلاع المثلث معطاة فقط في ظروف المسألة. لنفترض أنه وفقًا لطول قدمين (جوانب قصيرة متجاورة لزاوية قائمة) ، من الممكن حساب أي من الزاويتين الحادتين. يمكن إيجاد ظل تلك الزاوية (؟) ، المجاور للضلع A ، بقسمة طول الضلع المقابل (الضلع B) على طول الضلع A: tg (؟) = B / A. وبمعرفة المماس ، من الممكن حساب قيمة الزاوية المقابلة بالدرجات. لهذا ، تم إعداد وظيفة قوس ظل:؟ = arctg (tg (؟)) = arctg (B / A).

2. باستخدام نفس الصيغة ، من الممكن اكتشاف قيمة زاوية حادة أخرى ملقاة على الساق المقابلة أ. قم بتغيير تسميات الجوانب بشكل أولي. ولكن من الممكن أيضًا القيام بذلك بالعكس ، بمساعدة زوج آخر من الدوال المثلثية - ظل التمام وظل التمام القوسي. يتم تحديد ظل التمام للزاوية b بقسمة طول الضلع المجاور A على طول الضلع المقابل B: tg (؟) = A / B. وسيساعد الظل القوسي في الاستخراج من القيمة التي تم الحصول عليها للزاوية بالدرجات:؟ = arcctg (ctg (؟)) = arcctg (A / B).

3. إذا تم إعطاء طول أحد الساقين (A) والوتر (C) في الظروف الأولية ، ثم لحساب الزوايا ، استخدم الدوال المعكوسة للجيب وجيب التمام - القوس والجيب القوسي. جيب الزاوية الحادة؟ يساوي النسبةطول الساق B التي تقع مقابل طول الوتر C: sin (؟) \ u003d B / C. لذلك ، لحساب قيمة هذه الزاوية بالدرجات ، استخدم الصيغة التالية: = arcsin (V / C).

4. ما هي قيمة جيب التمام لزاوية؟ يتم تحديدها من خلال نسبة طول الساق A المجاورة لرأس المثلث هذا إلى طول الوتر C. وهذا يعني أنه لحساب الزاوية بالدرجات ، بالقياس مع الصيغة السابقة ، عليك تطبيق ما يلي المساواة: = arccos (A / C).

5. إن نظرية مجموع زوايا المثلث تجعل من غير المناسب استخدام الدوال المثلثية إذا تم إعطاء قيمة إحدى الزوايا الحادة في ظروف المشكلة. في هذه الحالة ، لحساب الزاوية المجهولة (؟) ، اطرح بسهولة من 180 درجة قيم زاويتين معروفتين - يمين (90 درجة) وحادة (؟): = 180 درجة - 90 درجة -؟ = 90 درجة - ؟.

ملحوظة!
الارتفاع h يقسم المثلث ABC إلى مثلثين قائم الزاوية مشابهين له. هنا تعمل علامة تشابه المثلثات في الزوايا الثلاث.

آلة حاسبة على الانترنت.
حل المثلثات.

حل المثلث هو إيجاد كل عناصره الستة (أي ثلاثة جوانب وثلاث زوايا) بأي ثلاثة عناصر محددة تحدد المثلث.

يعثر برنامج الرياضيات هذا على الجوانب \ (c \) والزوايا \ (\ alpha \) و \ (\ beta \) نظرًا للجوانب التي يحددها المستخدم \ (a ، b \) والزاوية بينهما \ (\ gamma \)

لا يعطي البرنامج الإجابة على المشكلة فحسب ، بل يعرض أيضًا عملية إيجاد حل.

يمكن أن تكون هذه الآلة الحاسبة عبر الإنترنت مفيدة لطلاب المدارس الثانوية مدارس التعليم العاماستعدادا ل مراقبة العملوالامتحانات ، عند اختبار المعرفة قبل الامتحان ، يتحكم الآباء في حل العديد من المشكلات في الرياضيات والجبر. أو ربما يكون استئجار مدرس أو شراء كتب مدرسية جديدة مكلفًا للغاية؟ أم أنك تريد إنجازه في أسرع وقت ممكن؟ واجب منزليالرياضيات أم الجبر؟ في هذه الحالة ، يمكنك أيضًا استخدام برامجنا مع حل مفصل.

بهذه الطريقة ، يمكنك إجراء تدريبك الخاص و / أو تدريب الأخوة الأصغر سناأو الأخوات ، بينما يرتفع مستوى التعليم في مجال المهام التي يتم حلها.

إذا لم تكن على دراية بقواعد إدخال الأرقام ، نوصيك بالتعرف عليها.

قواعد إدخال الأرقام

يمكن تعيين الأعداد ليس فقط بالكلية ، ولكن أيضًا على الكسور.
يمكن فصل الأجزاء الصحيحة والكسرية في الكسور العشرية إما بنقطة أو فاصلة.
على سبيل المثال ، يمكنك الدخول الكسور العشرية 2.5 أو 2.5

أدخل الجانبين \ (أ ، ب \) والزاوية بينهما \ (\ جاما \)

\ (أ = \)
\ (ب = \)
\ (\ جاما = \)	(على درجات)

حل المثلث

تم العثور على أن بعض البرامج النصية اللازمة لحل هذه المهمة لم يتم تحميلها ، وقد لا يعمل البرنامج.
قد يكون لديك AdBlock ممكّنًا.
في هذه الحالة ، قم بتعطيله وتحديث الصفحة.

تم تعطيل JavaScript في المستعرض الخاص بك.
يجب تمكين JavaScript حتى يظهر الحل.
فيما يلي إرشادات حول كيفية تمكين JavaScript في متصفحك.

لان هناك الكثير من الأشخاص الذين يرغبون في حل المشكلة ، يتم وضع طلبك في قائمة الانتظار.
بعد بضع ثوانٍ ، سيظهر الحل أدناه.
انتظر من فضلك ثانية ...

اذا أنت لاحظت وجود خطأ في الحل، ثم يمكنك الكتابة عنها في نموذج الملاحظات.
لا تنسى تشير إلى أي مهمةعليك أن تقرر ماذا أدخل في الحقول.

ألعابنا وألغازنا ومحاكياتنا:

قليلا من النظرية.

نظرية الجيب

نظرية

تتناسب جوانب المثلث مع جيوب الزوايا المقابلة:
$$ \ frac (a) (\ sin A) = \ frac (b) (\ sin B) = \ frac (c) (\ sin C) $$

نظرية جيب التمام

نظرية
لنفترض أن المثلث ABC AB = c ، BC = a ، CA = b. ثم
مربع أحد أضلاع المثلث يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين مطروحًا منه ضعف حاصل ضرب هذين الضلعين في جيب تمام الزاوية بينهما.
$$ a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2-2ba \ cos A $$

حل المثلثات

حل المثلث هو إيجاد كل عناصره الستة (أي ثلاثة جوانب وثلاث زوايا) بأي ثلاثة عناصر محددة تحدد المثلث.

ضع في اعتبارك ثلاث مسائل لحل المثلث. في هذه الحالة ، سنستخدم الترميز التالي لأضلاع المثلث ABC: AB = c ، BC = a ، CA = b.

حل مثلث بمعلومية ضلعين وزاوية بينهما

معطى: \ (أ ، ب ، \ الزاوية ج \). أوجد \ (ج ، \ الزاوية أ ، \ الزاوية ب \)

المحلول
1. بموجب قانون جيب التمام نجد \ (ج \):

$$ c = \ sqrt (a ^ 2 + b ^ 2-2ab \ cos C) $$ 2. باستخدام نظرية جيب التمام ، لدينا:
$$ \ cos A = \ frac (b ^ 2 + c ^ 2-a ^ 2) (2bc) $$

3. \ (\ الزاوية ب = 180 ^ \ الدائرة - \ الزاوية أ - \ الزاوية ج \)

حل مثلث بمعلومية أحد أضلاعه وزواياه المجاورة

معطى: \ (أ ، \ الزاوية ب ، \ الزاوية ج \). ابحث عن \ (\ الزاوية أ ، ب ، ج \)

المحلول
1. \ (\ الزاوية أ = 180 ^ \ الدائرة - \ الزاوية ب - \ الزاوية ج \)

2. باستخدام نظرية الجيب ، نحسب ب وج:
$$ b = a \ frac (\ sin B) (\ sin A) ، \ quad c = a \ frac (\ sin C) (\ sin A) $$

حل مثلث بثلاثة أضلاع

معطى: \ (أ ، ب ، ج \). ابحث عن \ (\ الزاوية أ ، \ الزاوية ب ، \ الزاوية ج \)

المحلول
1. وفقًا لنظرية جيب التمام ، نحصل على:
$$ \ cos A = \ frac (b ^ 2 + c ^ 2-a ^ 2) (2bc) $$

بواسطة \ (\ cos A \) نجد \ (\ الزاوية أ \) باستخدام آلة حاسبة صغيرة أو من جدول.

2. بالمثل ، نجد الزاوية B.
3. \ (\ الزاوية C = 180 ^ \ الدائرة - \ الزاوية أ - \ الزاوية ب \)

حل مثلث بمعرفة ضلعين وزاوية مقابل ضلع معروف

معطى: \ (أ ، ب ، \ الزاوية أ \). أوجد \ (ج ، \ الزاوية ب ، \ الزاوية ج \)

المحلول
1. من خلال نظرية الجيب نجد \ (\ sin B \) نحصل على:
$$ \ frac (a) (\ sin A) = \ frac (b) (\ sin B) \ Rightarrow \ sin B = \ frac (b) (a) \ cdot \ sin A $$

دعنا نقدم الترميز: \ (D = \ frac (b) (a) \ cdot \ sin A \). اعتمادًا على الرقم D ، تكون الحالات التالية ممكنة:
إذا كانت D> 1 ، فإن مثل هذا المثلث غير موجود ، لأن لا يمكن أن يكون \ (\ sin B \) أكبر من 1
إذا كانت D = 1 ، فهناك \ (\ زاوية B: \ quad \ sin B = 1 \ Rightarrow \ angle B = 90 ^ \ circ \)
إذا كانت D إذا كانت D 2. \ (\ زاوية C = 180 ^ \ دائرة - \ زاوية أ - \ زاوية ب \)

3. باستخدام نظرية الجيب ، نحسب الضلع c:
$$ c = a \ frac (\ sin C) (\ sin A) $$

كتب (كتب مدرسية) ملخصات امتحانات الدولة الموحدة واختبارات OGE الألعاب عبر الإنترنت والألغاز بناء الرسوم البيانية للوظائف قاموس الهجاء لقاموس اللغة الروسية للغة العامية للشباب دليل المدارس الروسية فهرس المدارس الثانوية في روسيا فهرس الجامعات الروسية قائمة المهام

في الهندسة ، الزاوية هي شكل يتكون من شعاعين ينبثقان من نقطة واحدة (رأس الزاوية). في أغلب الأحيان ، تُقاس الزوايا بالدرجات ، بزاوية كاملة ، أو دورة ، تساوي 360 درجة. يمكنك حساب زاوية المضلع إذا كنت تعرف نوع المضلع وحجم زواياه الأخرى ، أو في حالة المثلث القائم الزاوية ، طول ضلعين من ضلعه.

خطوات

حساب زوايا المضلع

احسب عدد الزوايا في المضلع.

أوجد مجموع كل زوايا المضلع.صيغة إيجاد مجموع كل الزوايا الداخلية للمضلع هي (ن - 2) × 180 ، حيث ن هو عدد أضلاع وزوايا المضلع. فيما يلي مجاميع الزوايا لبعض المضلعات الشائعة:

• مجموع زوايا المثلث (مضلع ثلاثي الأضلاع) يساوي 180 درجة.
• مجموع زوايا الشكل الرباعي (المضلع رباعي الأضلاع) هو 360 درجة.
• مجموع زوايا البنتاغون (مضلع خماسي الأضلاع) هو 540 درجة.
• مجموع زوايا الشكل السداسي (مضلع سداسي الأضلاع) هو 720 درجة.
• مجموع زوايا الشكل الثماني (المضلع الثماني) هو 1080 درجة.

1. حدد ما إذا كان المضلع منتظمًا.المضلع المنتظم هو المضلع الذي تتساوى فيه جميع الأضلاع والزوايا. أمثلة على المضلعات المنتظمة هي مثلث متساوي الأضلاع ومربع ، بينما مبنى البنتاغون في واشنطن مبني على شكل خماسي منتظم ، و علامة طريق"قف" له شكل ثماني منتظم.

   اجمع الزوايا المعروفة للمضلع ، ثم اطرح هذا المجموع من المجموع الكلي لجميع زواياه.في معظم المسائل الهندسية من هذا النوع نحن نتكلمحول المثلثات أو الكواد لأنها تتطلب مدخلات أقل ، لذلك سنفعل الشيء نفسه.

   • إذا كانت زاويتان في المثلث تساوي 60 درجة و 80 درجة على التوالي ، اجمع هذين العددين. احصل على 140 درجة. ثم اطرح هذا المجموع من المجموع الكلي لجميع زوايا المثلث ، أي من 180 درجة: 180-140 = 40 درجة. (يسمى المثلث ، الذي تكون جميع زواياه غير متساوية مع بعضها البعض ، غير متساوي الأضلاع).
   • يمكنك كتابة هذا الحل بالصيغة a = 180 - (b + c) ، حيث a هي الزاوية التي تريد إيجادها ، b و c هي الزاويتان المعروفتان. بالنسبة للمضلعات التي تحتوي على أكثر من ثلاثة جوانب ، استبدل 180 بمجموع زوايا النوع المحدد من المضلع ، وأضف مصطلحًا واحدًا إلى المجموع بين قوسين لكل زاوية معروفة.
   • بعض المضلعات لها "حيلها" الخاصة بها لمساعدتك في حساب الزاوية المجهولة. فمثلا، مثلث متساوي الساقينمثلث ضلعين متساويين وزاويتين متساويتين. متوازي الأضلاع هو شكل رباعي الأضلاع المتقابلة مع الزوايا المتقابلة متساوية.

   حساب زوايا المثلث القائم

   1. حدد البيانات التي تعرفها.يسمى المثلث القائم الزاوية لأن إحدى زواياه قائمة. يمكنك إيجاد قيمة إحدى الزاويتين المتبقيتين إذا كنت تعرف إحدى القيم التالية:

      حدد الدالة المثلثية التي تريد استخدامها.تعبر الدوال المثلثية عن نسب ضلعين من أضلاع المثلث الثلاثة. هناك ست دوال مثلثيّة ، لكن الدوال التالية هي الأكثر استخدامًا: