Стивън Строгац Удоволствието от X. Завладяващо пътешествие в света на математиката от един от най-добрите учители в света

основният проблемучилищната математика е, че в нея няма проблеми. Да, знам какво минава за проблеми в класната стая: тези безвкусни, скучни упражнения. „Ето задачата. Ето как да го решите. Да, случват се на изпити. Домашни задачи 1-15. Какъв мрачен начин да научите математика: станете обучено шимпанзе.
Пол Локхард
от есето "Плачът на математика"

Математиката може би е един от най-странните клонове на науката. В нито един друг предмет противоположностите не се комбинират толкова силно: от строгостта на формалните доказателства до способността да се „виждат“ определени конструкции. Математиката има както вътрешна красота, така и външна красота. Няма нищо по-вълнуващо от решаването на математически задачи. И никой друг предмет не се преподава в училище толкова некомпетентно.

Как обикновено започва изучаването на математика в училище? От издаването на неразбираем набор от символи и дефиниции на 7-8 годишни деца и система от алгоритми за използване на тази абракадабра. Запомнят се отделни неща, например таблицата за умножение.

В следващите класове, базирани на тази система, учениците ще бъдат разказвани и принудени да запомнят набор от шамански ритуали, които им позволяват да решават трудни проблеми. Ще се появят нови дефиниции, като " правилна фракция" И " неправилна дроббез най-малкото обяснение откъде идва и най-важното защо. Специално вниманиеще бъдат посветени на решаването на безполезни и трудни текстови проблеми, които имат същата връзка с реалността като самите алгоритми.

Като малък тест можем да предложим да запомните: колко пъти в живота си трябваше да определите правилната или неправилната дроб?

Бях принуден да науча наизуст: квадратът от сбора на две числа е равен на сбора от техните квадрати, увеличен с двойното им произведение. Нямах и най-малка представа какво може да означава това; когато не можех да си спомня тези думи, учителят ме удари с книга по главата, което обаче ни най-малко не стимулираше интелекта ми.
Бертран Ръсел
Английски философ, логик и математик

В същото време учителите безмилостно ще потискат всяко несъгласие. Опитайте да напишете 5/2 вместо 2 1/2 (на което винаги искате да възразите: ако имам три ябълки, всяка от които е разделена наполовина, тогава ще взема 5 половини, а не 2 ябълки и 1 половина).

Тази тема може да бъде продължена още доста време. Нещо повече, това вече е направено в есето на Пол Локхарт „Плачът на математика“. Показва доста добре "Кой е виновен". Но на втория отговор не беше даден важен въпрос- "Какво да правя".

Отговор на този въпрос е даден в една прекрасна книга, наскоро преведена на руски. Книгата се казва The Pleasure of x.

Удоволствие от х

Ако не можете да обясните нещо на шестгодишно дете, вие самият не го разбирате.
Алберт Айнщайн

Това е книгата, която трябва да е настоленза всеки учител по всякакъв технически предмет, било то математика или информатика.

Авторът на това лакомство Стивън Строгац е математик и учител от световна класа приложна математикав университета Корнел САЩ (един от водещите технически университетимир). И, ако се съди по книгата, този човек съчетава две прекрасни качества, които правят тази работа бестселър: Стивън Строгац е силен математик и учител в едно лице.

Можете да преподавате, но не познавате добре предмета. Можете да знаете добре предмета, но не можете да преподавате. Можете да направите и двете, но посредствено. Стивън Строгац принадлежи към различен тип: той знае и знае как да преподава правилно.

За какво е тази книга? Всъщност за всичко, което по някакъв начин е свързано с математиката. Разделите на книгата на пръв поглед са подбрани хаотично (числа, съотношения, цифри, време на промените, разнообразни данни, граници са възможни), но докато четете, започвате да разбирате какво е искал да предаде авторът. Книгата е базирана на изследвания. Изследване, проведено от автора съвместно с читателя.

Обхватът на разглежданите задачи е огромен. Всеки човек, дори отлични познания по математика, ще научи нещо ново от нея. В същото време те се считат за практически задачи(например изчисляване на лихвите, получени от акции, инвестирани на фондовия пазар), и абсолютно абстрактни.

Много задачи са дадени в исторически контекст. Бих искал да се спра тук отделно: сега историята на развитието на математиката е изхвърлена от почти всички учебници. Междувременно, само чрез разбиране на историческия контекст, човек може да премине целия път – от най-простата аритметика до съвременните математически теории.

Припомнете си, напр. квадратни уравнения. Колко сълзи бяха проляти както от ученици, така и от учители в опит да запомнят заклинанието: X едно-две е равно на минус ba плюс или минус коренът от ba на квадрат минус четири a-tse и разделете всичко на две a.

Впрочем този начин на писане вече не е правилен според новите математически стандарти - ок. редактор.

Хората с добра памет и/или "в темата" все още могат да си спомнят теоремата на Vieta. Но вместо всичко това Стивън Строгац дава елегантно обяснение, измислено от ал-Хорезми, с помощта на което, без никакви формули, може лесно и естествено да се намери решение (макар и непълно: в онези дни отрицателни числавсе още не се използва широко). И ви уверявам, всеки, който прочете това решение, ще го запомни завинаги. Първият път.

От глава на глава сложността на задачите се увеличава. Но разбирането не се губи, което е особеното удоволствие от четенето на „Удоволствието на х“. Читателят се потапя в атмосферата, която авторът е създал за него, на практика, в един прекрасен нов свят.

Не знам с какво да сравня тази книга. Може би с известните лекции на Фейман по физика или с „Сигурно се шегувате, г-н Фейман“. Но едно е сигурно: тази книга ще остави своя отпечатък в душите на тези, които я четат.

Колко полезни са числата за изучаване на света около нас, каква е красотата на геометрията, колко елегантни са интегралните изчисления и колко важна е статистиката? Стивън Строгац говори за всичко това в книгата си The Pleasure of X. Авторът обяснява основните математически идеи просто и елегантно, като дава примери, които всеки може да разбере. сайтът публикува една от главите на книгата, издадена от издателство Ман, Иванов и Фербер.

Статистиката изведнъж стана модерна. С появата на интернет, електронната търговия, социални мрежи, проект за дешифриране на човешкия геном, и във връзка с развитието на дигиталната култура като цяло, светът започна да се задушава в данни. Маркетолозите изучават нашите вкусове и навици. Разузнавателните служби събират информация за нашето местонахождение, имейли и телефонни обаждания. Спортните статистици жонглират с числа, за да решат кои играчи да купят, кой да наемат и кой да пейка. Всеки се стреми да комбинира точките в графика и да открие закономерност в хаотичното натрупване на данни.

Не е изненадващо, че тези тенденции се отразяват в ученето. „Нека да преминем към статистиката“, увещава Грег Манкиу, икономист от Харвардския университет, в колона на New York Times.

„В учебна програмапо математика при гимназияпрекарва се твърде много време традиционни теми, като евклидова геометрия и тригонометрия. Те са полезни за обикновен човекумствените упражнения обаче нямат голяма полза в Ежедневието. За студентите би било много по-полезно да научат повече за теорията на вероятностите и статистиката." Дейвид Брукс отива още по-далеч. В статията си за дисциплини, които заслужават внимание за получаване на достойно образование, той пише: „Вземете статистика. Ще видите, оказва се, че да знаете какво е стандартно отклонение ще ви бъде много полезно в живота.

Напълно възможно е, а също така е добре да разберем какво е разпределение. Това е първото нещо, за което смятам да говоря. И бих искал да се съсредоточа върху него, защото това е един от основните уроци на статистиката: нещата изглеждат безнадеждно случайни и непредвидими, когато се разглеждат поотделно, но в съвкупност те разкриват закономерност и предвидимост.

Може да сте виждали демонстрация на този принцип в някой научен музей (ако не, видеоклиповете могат да бъдат намерени онлайн). Типичен експонат е измислица, наречена дъска на Галтън, която донякъде прилича на машина за флипер, само без плавниците. Вътре в него на равни интервали има равни редове от щифтове.

Галтон дъска

Опитът започва с Горна част Galton дъските са пуснати стотици топки. Когато падат, те се сблъскват с щифтовете и с еднаква вероятност отскачат или надясно, или наляво, а след това се разпределят в долната част на дъската, попадайки в отделения със същата ширина. Височината на колоната от топки показва вероятността, с която топката може да бъде на дадено място. Повечето топчета са поставени приблизително в средата, вече са по-малко отстрани и още по-малко по краищата.

Като цяло картината е изключително предсказуема: топките винаги образуват разпределение във формата на камбана, въпреки че е невъзможно да се предвиди къде ще попадне всяка отделна топка.

Как се превръщат индивидуалните злополуки общи модели? Но така работи произволността. В средната колона са се натрупали най-много топки, защото преди да се търкалят надолу, много от тях ще направят приблизително еднакъв брой скокове надясно и наляво и в резултат ще бъдат някъде по средата. Няколко единични топки, разположени по ръбовете, образуват разпределителни опашки - това са топките, които при сблъсък с щифтовете винаги отскачат в една и съща посока. Такива отскоци са малко вероятни, поради което има толкова малко топки около ръбовете.

Точно както местоположението на всяка топка се определя от сбора от много случайни събития, толкова много явления в този свят са резултат от много малки обстоятелства и също се подчиняват на кривата на камбаната. Този принцип работи Застрахователни компании. Те С висока прецизностмогат да посочат броя на своите клиенти, които умират всяка година. Те обаче не знаят кой точно няма да има късмет този път.

Или вземете, например, височината на човек. Зависи от безброй инциденти, свързани с генетиката, биохимията, храненето и заобикаляща среда. Ето защо е вероятно, когато се разглеждат заедно, височината на възрастните мъже и жени ще бъде извивка с форма на камбана.

В публикация в блога, озаглавена „Фалшиви данни, които хората съобщават за себе си онлайн“, статистиката на сайта за запознанства OkCupid наскоро публикува графика на растежа на своите клиенти, или по-скоро стойностите, които са докладвали. Установено е, че темповете на растеж и на двата пола, както се очаква, образуват крива с форма на камбана. Изненадващо обаче и двете разпределения бяха изкривени вдясно с около два инча от очакваните стойности.

Строгац С. Удоволствие от Х. - М. : Ман, Иванов и Фербер, 2014.

По този начин или височината на анкетираните от OkCupid клиенти е над средната, или те добавят няколко инча към ръста си, когато се описват онлайн.

Идеализирана версия на тези камбанови криви е това, което математиците наричат нормално разпределение. Това е едно от най-важните понятия в статистиката, което има теоретична обосновка. Може да се докаже, че нормална дистрибуциявъзниква при добавяне Голям броймалки случайни фактори, всеки от които действа независимо от другите. И много неща се случват по този начин.

Но не всички. И това е вторият момент, на който бих искал да обърна внимание. Нормалното разпределение не е толкова повсеместно, колкото изглежда. В продължение на сто години и особено през последните няколко десетилетия учените и статистиците отбелязват съществуването на много явления, които се отклоняват от тази крива и следват своя собствен график. Любопитно е, че подобни видове разпределения практически не се споменават в учебниците по елементарна статистика и ако се появят, обикновено се считат за някаква патология.

Това е странно. Ще се опитам да обясня толкова много явления модерен животимат по-голям смисъл, ако се разберат тези "патологични" разпределения. Това е новото нормално. Вземете например разпределението на размерите на градовете в Съединените щати. Вместо да се групират около някаква средна крива на камбаната, по-голямата част от градовете са малки и следователно се групират от лявата страна на графиката.

Строгац С. Удоволствие от Х. - М. : Ман, Иванов и Фербер, 2014.

И колкото по-голямо е населението на града, толкова по-рядко се срещат такива градове. С други думи, в съвкупност, разпределението ще бъде L-образна крива, а не крива на камбана.

И в това няма нищо изненадващо. Всеки знае, че има много по-малко мегаполиси, отколкото малките градове. Въпреки че не е толкова очевидно, размерите на градовете следват просто красиво разпределение - ако ги погледнете в логаритмичен мащаб.

Ще приемем, че разликата между два града е една и съща, ако населението им се различава с еднакъв брой пъти (както всеки два клавиша на пиано, разделени с октава, винаги се различават два пъти по честота). И ние ще направим същото по вертикалната ос.

Строгац С. Удоволствие от Х. - М. : Ман, Иванов и Фербер, 2014.

Сега данните са на крива, която е почти идеална права линия. Въз основа на свойствата на логаритмите е лесно да се заключи, че оригиналната L-образна крива е степенна зависимост, която се описва с функция от вида

където x е населението на града, y е броят на градовете с този размер, c е константа, а степента a (степенна степен) определя отрицателния наклон на правата линия.

Разпределението на мощността има някои нелогични, от гледна точка на традиционната статистика, свойства. Например, за разлика от нормалното разпределение, техните модове, медиани и средни стойности не съвпадат поради изкривената, изкривена форма на L-образните криви.

Президентът Буш извлече голяма полза от това, като обяви през 2003 г., че намаляването на данъците е спестило на всяко семейство средно 1586 долара. Макар и математически правилен, тук той в своя полза взе за основа средната дедукция, която криеше огромните удръжки от стотици хиляди долари, получавани от 0,1% от най-богатото население в страната. Известно е, че "опашката" от дясната страна на разпределението на дохода следва степенен закон и в такава ситуация използването на средната стойност е подвеждащо, тъй като е далеч от нейната стойност. реална стойност. В действителност повечето семейства получиха по-малко от $650 обратно. При това разпределение медианата е много по-малка от средната.

Този пример демонстрира най-важното свойство на разпределенията по степенен закон: те имат "тежки опашки" в сравнение с най-малко малките "течни опашки" на нормално разпределение. Големи опашки като тази, макар и редки, са по-чести в разпределението на данните, отколкото обикновените криви на камбана.

На Черния понеделник, 19 октомври 1987 г., Dow Jones Industrial Average падна с 22%. В сравнение с обичайното ниво на волатилност на фондовия пазар, този спад беше повече от двадесет стандартни отклонения. Според традиционната статистика (която използва нормалното разпределение) подобно събитие е почти невъзможно: вероятността му е по-малка от едно на 100,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,00 на степента. Това обаче се случи – защото колебанията на цените на фондовия пазар не следваха нормално разпределение.

Разпределенията с "тежка опашка" са по-подходящи за тяхното описание. Това се случва при земетресения, пожари и наводнения, което затруднява застрахователните компании да управляват риска.

Същото математически моделописва броя на загиналите от войни и терористични атаки, както и други, много по-мирни неща, като броя на думите в роман или броя на сексуалните партньори, които човек има.

Въпреки че прилагателните, използвани за описване дълги опашки, излагат ги в не особено благоприятна светлина, "опашатите" разпределения гордо носят опашките си. Смел, тежък и дълъг? Да, така е. Но в този случай ми покажете кое е нормално?

Тази книга е добре допълнена от:

Quanta

Скот Патерсън

Brainiac

Кен Дженингс

парична топка

Майкъл Луис

Гъвкав ум

Карол Дуек

Физиката на фондовия пазар

Джеймс Уедърол

Радостта от х

Обиколка с екскурзовод по математика, от едно до безкрайност

Стивън Строгац

удоволствие от х

Забавно пътуванев света на математиката от един от най-добрите учители в света

Информация от издателството

Публикува се за първи път на руски език

Публикувано с разрешение от Стивън Строгац, c/o Brockman, Inc.

Строгац, П.

удоволствие от х. Едно вълнуващо пътешествие в света на математиката от един от най-добрите учители в света / Стивън Строгац; per. от английски. - М. : Ман, Иванов и Фербер, 2014.

ISBN 978-500057-008-1

Тази книга е в състояние да промени радикално вашето отношение към математиката. Състои се от кратки глави, във всяка от които ще откриете нещо ново. Ще научите колко полезни са числата за изучаване на света около вас, ще разберете красотата на геометрията, ще се запознаете с елегантността на интегралното смятане, ще видите важността на статистиката и ще се докоснете до безкрайността. Авторът обяснява основните математически идеи просто и елегантно, като дава брилянтни примери, които всеки може да разбере.

Всички права запазени.

Никоя част от тази книга не може да бъде възпроизвеждана под каквато и да е форма без писменото разрешение на притежателите на авторските права.

Правната подкрепа на издателството се осъществява от адвокатска кантора "Вегас-Лекс"

Предговор

Имам приятел, който въпреки занаята си (той е художник) е запален по науката. Винаги, когато се събираме, той с ентусиазъм говори за най-новите разработки в психологията или квантовата механика. Но щом заговорим за математика, той усеща треперене в коленете си, което силно го разстройва. Той се оплаква, че тези странни математически символи не само му се противопоставят, но понякога дори не знае как да ги произнесе.

Всъщност причината за неприязънта му към математиката е много по-дълбока. Той никога няма да разбере какво правят математиците като цяло и какво имат предвид, когато казват, че това доказателство е елегантно. Понякога се шегуваме, че трябва просто да седна и да започна да го уча от самите основи, буквално от 1 + 1 = 2, и да се занимавам с математика, доколкото може.

И въпреки че тази идея изглежда налудничава, това е, което ще се опитам да реализирам в тази книга. Ще ви преведа през всички основни клонове на науката, от аритметика до напреднала математика, така че тези, които искаха втори шанс, най-накрая да го използват. И този път не е нужно да сядате на бюрото си. Тази книга няма да ви направи експерт по математика. Но това ще помогне да се разбере какво изучава тази дисциплина и защо е толкова вълнуваща за тези, които я разбират.

Ще научим как забиванията на Майкъл Джордан могат да помогнат за обяснението на основите на смятането. Ще ви покажа един прост и невероятен начин да разберете основната теорема на евклидовата геометрия - Питагоровата теорема. Ще се опитаме да стигнем до дъното на някои от мистериите на живота, големи и малки: Джей Симпсън уби ли жена си; как да изместите матрака, така че да издържи възможно най-дълго; колко партньори трябва да се сменят преди да се играе сватба - и ще видим защо някои безкрайности са по-големи от други.

Математиката е навсякъде, просто трябва да се научите да я разпознавате. Можете да видите синусоидата на гърба на зебра, можете да чуете ехо от теоремите на Евклид в Декларацията за независимост; какво да кажа, дори в сухите доклади, предшестващи Първата световна война, има отрицателни числа. Можете също да видите как новите области на математиката влияят на живота ни днес, например, когато търсим ресторанти с помощта на компютър или се опитваме поне да разберем, или още по-добре, да преживеем плашещите колебания на фондовия пазар.

Поредица от 15 статии под често срещано имеОсновите на математиката се появиха онлайн в края на януари 2010 г. В отговор на публикацията им се изсипаха писма и коментари от читатели от всички възрасти, сред които имаше много ученици и учители. Имаше и просто любознателни хора, които по една или друга причина „загубиха пътя” в разбирането на математическата наука; сега се чувстват сякаш са пропуснали нещо. относнои бих искал да опитам отново. Бях особено доволен от благодарността от родителите ми за факта, че с моя помощ успяха да обяснят математиката на децата си, а самите те започнаха да я разбират по-добре. Изглежда, че дори моите колеги и другари, запалени почитатели на тази наука, с удоволствие четат статиите, с изключение на онези моменти, когато се надпреварваха помежду си, за да предложат всякакви препоръки за подобряване на моето потомство.

Въпреки общоприетото схващане, в обществото има ясен интерес към математиката, въпреки че се обръща малко внимание на това явление. Чуваме само за страха от математиката и въпреки това мнозина с удоволствие биха се опитали да го разберат по-добре. И след като това се случи, ще бъде трудно да ги откъснете.

Тази книга ще ви запознае с най-сложните и усъвършенствани идеи от света на математиката. Главите са кратки, лесни за четене и всъщност не зависят една от друга. Сред тях са тези, включени в първата поредица от статии в New York Times. Така че веднага щом почувствате лек математически глад, не се колебайте да преминете към следващата глава. Ако искате да разберете въпроса, който ви интересува по-подробно, тогава в края на книгата има бележки с Допълнителна информацияи предложения какво още да прочетем за него.

За удобство на читателите, които предпочитат подход стъпка по стъпка, разделих материала на шест части в съответствие с традиционния ред на темите.

Част I "Числа" започва нашето пътуване с аритметика в детска градинаИ начално училище. Показва колко полезни могат да бъдат числата и как са магически ефективни при описването на света около нас.

Част II „Съотношения“ измества вниманието от самите числа към връзките между тях. Тези идеи са в основата на алгебрата и са първите инструменти за описание на това как едното влияе върху другото, показвайки причинно-следствената връзка на различни неща: предлагане и търсене, стимул и реакция - накратко, всички видове взаимоотношения, които правят света толкова разнообразна и богата..

Част III „Фигури“ не е за числата и символите, а за фигурите и пространството – областта на геометрията и тригонометрията. Тези теми, заедно с описанието на всички наблюдавани обекти чрез форми, с помощта на логически разсъждения и доказателства, издигат математиката до ново нивоточност.

В част IV "Време на промяната" ще разгледаме смятането - най-впечатляващата и многостранна област на математиката. Изчислението дава възможност да се предскажат траекторията на планетите, циклите на приливите и отливите и прави възможно разбирането и описанието на всички периодично променящи се процеси и явления във Вселената и вътре в нас. Важно място в тази част е посветено на изучаването на безкрайността, чието успокояване беше пробив, който позволи на изчисленията да работят. Компютрите помогнаха за решаването на много проблеми, възникнали в древния свят, и това в крайна сметка доведе до революция в науката и съвременния свят.

Част V "Много лица на данните" се занимава с вероятности, статистика, мрежи и обработка на данни - това са все още сравнително млади полета, генерирани от не винаги подредените аспекти на нашия живот, като възможности и късмет, несигурност, риск, нестабилност, случайност , взаимозависимост. Използвайки правилните математически инструменти и правилните типове данни, ще се научим да забелязваме модели в поток от произволност.

В края на нашето пътуване, в част VI „Границите на възможното“, ще се приближим до границите на математическото познание, граничната област между това, което вече е известно и това, което все още е неуловим и неизвестно. Отново ще преминем през темите в познатия ни вече ред: числа, съотношения, форми, промени и безкрайност – но в същото време ще разгледаме всяка една от тях по-задълбочено, в нейното съвременно въплъщение.

Математиката е най-точният и универсален език на науката, но възможно ли е да се обяснят човешките чувства с помощта на числа? Любовни формули, семена на хаоса и романтични диференциални уравнения - T&P публикува глава от книгата "Удоволствието от X" на един от най-добрите учители по математика в света Стивън Строгац, издадена от Ман, Иванов и Фербер.

През пролетта, пише Тенисън, въображение млад мъжлесно се обръща към мисли за любов. Уви, потенциален партньор на млад мъж може да има свои собствени представи за любовта и тогава връзката им ще бъде пълна с бурни възходи и падения, които правят любовта толкова вълнуваща и толкова болезнена. Някои страдащи от несподелените търсят обяснение на тези любовни люлки във виното, други – в поезията. И ние ще се консултираме с изчисленията.

Анализът по-долу ще бъде насмешливо ироничен, но засяга сериозни теми. Освен това, ако разбирането на законите на любовта може да ни убягне, тогава законите на неодушевения свят сега са добре проучени. Те са под формата на диференциални уравнения, описващи как взаимосвързаните променливи се променят от момент на момент в зависимост от техните текущи стойности. Може би подобни уравнения нямат нищо общо с романтиката, но поне могат да хвърлят светлина върху това защо, по думите на друг поет, „начинът истинска любовникога не е било гладко. За да илюстрираме метода на диференциалните уравнения, да предположим, че Ромео обича Жулиета, но в нашата версия на историята Жулиета е ветровита любовница. Колкото повече Ромео я обича, толкова повече тя иска да се крие от него. Но когато Ромео се охлажда към нея, той започва да й се струва необичайно привлекателен. Младият любовник обаче е склонен да отразява нейните чувства: той свети, когато тя го обича, и се охлажда, когато тя го мрази.

Какво се случва с нашите нещастни любовници? Как любовта ги поглъща и напуска с времето? Ето къде диференциално смятанеидва на помощ. Като правим уравнения, обобщаващи нарастването и отслабването на чувствата на Ромео и Жулиета и след това ги решавайки, можем да предвидим хода на връзката на двойката. Последната прогноза за нея ще бъде трагично безкраен цикъл от любов и омраза. Поне една четвърт от това време ще имат взаимна любов.

За да стигна до това заключение, предположих, че поведението на Ромео може да се моделира с диференциално уравнение,

която описва как любовта му ® се променя в следващия момент (dt). Според това уравнение броят на промените (dR) е право пропорционален (с коефициент на пропорционалност а) на любовта на Жулиета (J). Тази връзка отразява това, което вече знаем: любовта на Ромео се увеличава, когато Жулиета го обича, но също така предполага, че любовта на Ромео расте право пропорционално на това колко много го обича Жулиета. Това допускане за линейна връзка е емоционално неправдоподобно, но прави възможно значително да се опрости решението на уравнението.

Обратно, поведението на Жулиета може да се моделира с помощта на уравнението

Отрицателният знак пред константата b отразява, че любовта й се охлажда, когато любовта на Ромео се засилва.

Единственото, което остава да се определи, е първоначалните им чувства (тоест стойностите на R и J в момент t = 0). След това ще бъдат зададени всички необходими параметри. Можем да използваме компютър, за да се движим бавно напред, стъпка по стъпка, променяйки стойностите на R и J според диференциалните уравнения, описани по-горе. Всъщност с помощта на основната теорема на интегралното смятане можем да намерим решението аналитично. Тъй като моделът е прост, интегралното смятане произвежда двойка изчерпателни формуликоито ни казват колко много Ромео и Жулиета ще се обичат (или мразят) един друг във всеки един момент в бъдеще.

Представените по-горе диференциални уравнения трябва да са познати на студентите по физика: Ромео и Жулиета се държат като прости хармонични осцилатори. По този начин моделът предвижда, че функциите R(t) и J(t), описващи промяната в тяхната връзка с течение на времето, ще бъдат синусоиди, всяка от които се повишава и намалява, но максимални стойностине съвпадат.

„Глупава идея за описание любовна връзкас помощта на диференциални уравнения ми дойде на ум, когато бях влюбен за първи път и се опитах да разбера неразбираемото поведение на моята приятелка "

Моделът може да бъде направен по-реалистичен по много начини. Например, Ромео може да отговори не само на чувствата на Жулиета, но и на своите. Ами ако той е от онези момчета, които толкова се страхуват да не бъдат изоставени, че ще охлади чувствата си. Или се отнася до друг тип момчета, които обичат да страдат - затова той я обича.

Добавете към тези сценарии още две поведения на Ромео – той отговаря на привързаността на Жулиета или като засилва, или отслабва собствената си привързаност – и ще видите, че в любовната връзка има четири различен стилповедение. Моите ученици и учениците от групата на Питър Кристофър от Уорчестър политехнически институтпредложи да се назоват представители на тези типове, както следва: Отшелникът или Злият мизантроп за Ромео, който охлажда чувствата си и се отдалечава от Жулиета, и Нарцистичния драскулка и Флиртуващият Финк за този, който подгрява пламването му, но е отхвърлен от Жулиета. (Можете да измислите собствени именаза всички тези видове).

Въпреки че дадените примери са фантастични, видовете уравнения, които ги описват, са много информативни. Те представляват най-много мощни инструментисъздавани някога от човечеството за разбиране материален свят. Сър Исак Нютон използва диференциални уравнения, за да открие тайните на движението на планетите. С помощта на тези уравнения той комбинира земните и небесни сфери, което показва, че едни и същи закони за движение важат и за двете.

Почти 350 години след Нютон човечеството разбира, че законите на физиката винаги се изразяват на езика на диференциалните уравнения. Това важи за уравненията, описващи потоците на топлина, въздух и вода, за законите на електричеството и магнетизма, дори за атома, където царува квантовата механика.

Във всички случаи теоретичната физика трябва да намери правилните диференциални уравнения и да ги реши. Когато Нютон открива този ключ към мистериите на Вселената и осъзнава голямото му значение, той го публикува като латинска анаграма. В свободен превод звучи така: „Полезно е да се решават диференциални уравнения“.

Тъпата идея да опиша любовните отношения с помощта на диференциални уравнения ми хрумна, когато бях влюбен за първи път и се опитвах да разбера неразбираемото поведение на моята приятелка. Беше летен романс в края на втората ми година в колежа. Тогава много напомнях на първия Ромео, а тя беше първата Жулиета. Цикличността на връзката ни ме подлуди, докато не осъзнах, че и двамата действаме по инерция, в съответствие с просто правило"Натисни Дръпни". Но до края на лятото моето уравнение започна да се разпада и бях още по-озадачен. Оказа се, че се е случило значимо събитие, което не взех предвид: нея бивш любовникискаше да го върна.

В математиката ние наричаме такъв проблем проблем с трите тела. Очевидно е неразрешим, особено в контекста на астрономията, където е възникнал за първи път. След като Нютон решава диференциалните уравнения за проблема с две тела (което обяснява защо планетите се движат по елиптични орбити около Слънцето), той насочва вниманието си към проблема с трите тела за Слънцето, Земята и Луната. Нито той, нито други учени са успели да го решат. По-късно се оказа, че проблемът за трите тела съдържа семената на хаоса, тоест в дългосрочен план поведението им е непредвидимо.

Нютон не знае нищо за динамиката на хаоса, но според неговия приятел Едмънд Халей, той се оплаква, че проблемът с трите тела му причинява главоболие и го държи буден толкова често, че никога повече няма да мисли за това.

Ето ме с вас, сър Айзък.

Удоволствието на X. Вълнуващо пътешествие в света на математиката от един от най-добрите учители в светаСтивън Строгац

(все още няма оценки)

Заглавие: Удоволствието на X. Едно увлекателно пътешествие в света на математиката от един от най-добрите учители в света

За удоволствието от X. Вълнуващо пътешествие из математиката от един от най-добрите учители в света от Стивън Строгац

Публикувана за първи път на руски език.

На нашия сайт за книги lifeinbooks.net можете да изтеглите безплатно без регистрация или да четете онлайн книга„Удоволствието от X. Завладяващо пътешествие в света на математиката от един от най-добрите учители в света“ Стивън Строгац в epub, fb2, txt, rtf, pdf формати за iPad, iPhone, Android и Kindle. Книгата ще ви донесе много приятни моменти и истинско удоволствие за четене. Купува пълна версияможете да имате наш партньор. Освен това тук ще намерите последни новиниот литературен свят, разберете биографията на любимите си автори. За начинаещи писатели има отделен раздел с полезни съветии препоръки интересни статии, благодарение на което и вие сами можете да се пробвате в литературните умения.