Kõik ülesande prototüübid on 20 põhitasemega. Bioloogid on avastanud mitmesuguseid amööbe. Moore'i empiirilise seaduse järgi keskmine transistoride arv mikroskeemidel

Kogu ühtseks riigieksamiks valmistumiseks ( algtase)

Ülesande nr 20 prototüüp

1. Vahetuskontoris saate teha ühe kahest toimingust:

2 kuldmündi eest saate 3 hõbedat ja ühe vaskmündi;

5 hõbemündi eest saate 3 kulda ja ühe vaskmündi.

Nikolasel olid ainult hõbemündid. Pärast mitmeid vahetuspunkti külastusi muutusid tema hõbemündid väiksemaks, kuldmünte ei ilmunud, küll aga ilmus 50 vaskmünti. Kui palju Nikolai hõbemüntide arv vähenes?

2. Pulk on tähistatud punaste, kollaste ja ristjoontega Roheline värv. Kui lõikate pulga mööda punaseid jooni, saate 5 tükki, kui mööda kollaseid jooni - 7 tükki ja kui mööda rohelisi jooni - 11 tükki. Mitu tükki saad, kui lõikad pulga kõigi joonte järgi kolm värvi?

3. Korvis on 40 seeni: safrani piimakübarad ja piimaseened. On teada, et iga 17 seene hulgas on vähemalt üks safrani piimakübar ja 25 seene hulgas vähemalt üks piimaseen. Mitu safranist piimakorki on korvis?

4. Korvis on 40 seeni: safrani piimakübarad ja piimaseened. On teada, et iga 17 seene hulgas on vähemalt üks safrani piimakübar ja 25 seene hulgas vähemalt üks piimaseen. Mitu safranist piimakorki on korvis?

5. Omanik leppis töölistega kokku, et nad kaevavad talle kaevu järgmistel tingimustel: esimese meetri eest maksab ta neile 4200 rubla ja iga järgneva meetri eest 1300 rubla rohkem kui eelmise meetri eest. Kui palju raha peab omanik töötajatele maksma, kui nad kaevavad 11 meetri sügavuse kaevu?

6. Tigu ronib päevaga 3 m puu otsa, ööga laskub 2 m. Puu kõrgus on 10 m. Mitu päeva kulub teol puu otsa ronimiseks?

7. Maakera pinnale tõmmatakse viltpliiatsiga 12 paralleeli ja 22 meridiaani. Mitmeks osaks jagasid tõmmatud jooned maakera pinna?

8. Korvis on 30 seeni: safrani piimakübarad ja piimaseened. On teada, et iga 12 seene hulgas on vähemalt üks safrani piimakübar ja iga 20 seene hulgas on vähemalt üks piimaseen. Mitu safranist piimakorki on korvis?

1) 2 kuldmündi eest 3 hõbedat ja üks vask;

2) 5 hõbemündi eest saad 3 kulda ja ühe vaskmündi.

10. Kodumasinate kaupluses on külmikute müük hooajaline. Jaanuaris müüdi 10 ja järgneva kolme kuuga 10 külmikut. Alates maist on müük eelmise kuuga võrreldes kasvanud 15 ühiku võrra. Alates septembrist hakkas müügimaht eelmise kuuga võrreldes vähenema 15 külmiku võrra kuus. Mitu külmkappi müüs pood aastaga?

11. Korvis on 25 seeni: safrani piimakübarad ja piimaseened. On teada, et iga 11 seene hulgas on vähemalt üks safrani piimakübar ja iga 16 seene hulgas on vähemalt üks piimaseen. Mitu safranist piimakorki on korvis?

12. Viktoriini ülesannete nimekiri koosnes 25 küsimusest. Iga õige vastuse eest sai õpilane 7 punkti, vale vastuse eest arvati temalt maha 10 punkti, vastuse puudumise eest 0 punkti. Mitu õiget vastust andis 42 punkti kogunud õpilane, kui on teada, et ta eksis vähemalt korra?

13. Rohutirts hüppab ühe hüppega piki koordinaatjoont suvalises suunas ühikulise lõigu suunas. Rohutirts hakkab päritolult hüppama. Mitu erinevat punkti on koordinaatide sirgel, kuhu võib rohutirts pärast täpselt 11 hüpet jõuda?

14. Vahetuskontoris saate teha ühe kahest toimingust:

· 2 kuldmündi eest saad 3 hõbedat ja ühe vaskmündi;

· 5 hõbemündi eest saad 3 kulda ja ühe vaskmündi.

Nikolasel olid ainult hõbemündid. Pärast mitmeid vahetuspunkti külastusi muutusid tema hõbemündid väiksemaks, kuldmünte ei ilmunud, küll aga ilmus 100 vaskmünti. Kui palju Nikolai hõbemüntide arv vähenes?

15. Korvis on 45 seeni: safrani piimakübarad ja piimaseened. On teada, et iga 23 seene hulgas on vähemalt üks safrani piimakübar ja iga 24 seene hulgas on vähemalt üks piimaseen. Mitu safranist piimakorki on korvis?

16. Omanik leppis töölistega kokku, et nad kaevavad talle kaevu järgmistel tingimustel: esimese meetri eest maksab ta neile 3700 rubla ja iga järgneva meetri eest 1700 rubla rohkem kui eelmise meetri eest. Kui palju raha peab omanik töötajatele maksma, kui nad kaevavad 8 meetri sügavuse kaevu?

17. Arst määras patsiendile ravimi võtmise vastavalt järgmisele skeemile: esimesel päeval peaks ta võtma 20 tilka ja igal järgmisel päeval - 3 tilka rohkem kui eelmisel päeval. Pärast 15-päevast kasutamist teeb patsient 3-päevase pausi ja jätkab ravimi võtmist vastupidises skeemis: 19. päeval võtab ta sama arvu tilka kui 15. päeval ja seejärel vähendab iga päev annust 3 tilka, kuni annus jääb alla 3 tilga päevas. Mitu pudelit ravimit peaks patsient ostma kogu ravikuuri jaoks, kui igas pudelis on 200 tilka?

18. Korvis on 50 seeni: safrani piimakübarad ja piimaseened. On teada, et iga 28 seene hulgas on vähemalt üks safrani piimakübar ja iga 24 seene hulgas on vähemalt üks piimaseen. Mitu piimaseent on korvis?

19. Sasha kutsus Petya külla, öeldes, et ta elas korteris nr 333 kümnendas sissepääsus, kuid unustas sõna öelda. Majale lähenedes avastas Petya, et maja on üheksakorruseline. Mis korrusel Sasha elab? (Kõikidel korrustel on korterite arv sama, korterite numbrid algavad majas ühega.)

20. Vahetuskontoris saate teha ühe kahest toimingust:

1) 5 kuldmündi eest saate 6 hõbedat ja ühe vaskmündi;

2) 8 hõbemündi eest saad 6 kulda ja ühe vaskmündi.

Nikolasel olid ainult hõbemündid. Pärast mitmeid vahetuspunkti külastusi muutusid tema hõbemündid väiksemaks, kuldmünte ei ilmunud, küll aga ilmus 55 vaskmünti. Kui palju Nikolai hõbemüntide arv vähenes?

21. Treener soovitas Andreyl veeta esimesel tundide päeval jooksulindil 22 minutit ja igal järgneval tunnil suurendada jooksulindil veedetud aega 4 minuti võrra, kuni see jõuab 60 minutini, ja seejärel jätkata iga päev 60 minutit treenimist. . Mitmel seansil, alates esimesest, veedab Andrey jooksulindil kokku 4 tundi ja 48 minutit?

22. Iga sekund jaguneb bakter kaheks uueks bakteriks. On teada, et bakterid täidavad kogu ühe klaasi mahu 1 tunniga. Mitme sekundiga täitub klaas pooleldi bakteritega?

23. Restoranimenüüs on 6 sorti salateid, 3 tüüpi esimest rooga, 5 tüüpi teist rooga ja 4 tüüpi magustoitu. Mitu lõunasööki salatist, esimesest, teisest käigust ja magustoidust saavad selle restorani külastajad valida?

24. Tigu roomab päevas 4 m puu otsas, öö jooksul libiseb puu otsas 3 m. Puu kõrgus on 10 m. Mitu päeva võtab aega, et tigu puu otsa roomaks esimene kord?

25. Mitmel viisil saab ritta panna kahte ühesugust punast kuubikut, kolme identset rohelist kuubikut ja ühte sinist kuubikut?

26. Kümne järjestikuse arvu korrutis jagatakse 7-ga. Millega saab jääk olla võrdne?

27. Kinosaali esimeses reas on 24 istekohta ja igas järgmises reas on 2 kohta rohkem kui eelmises. Mitu kohta on kaheksandas reas?

28. Viktoriini ülesannete nimekiri koosnes 33 küsimusest. Iga õige vastuse eest sai õpilane 7 punkti, vale vastuse eest arvati temalt maha 11 punkti, vastuse puudumise eest 0 punkti. Mitu õiget vastust andis õpilane, kes kogus 84 punkti, kui on teada, et ta eksis vähemalt korra?

29. Maakera pinnale joonistati viltpliiatsiga 13 paralleeli ja 25 meridiaani. Mitmeks osaks jagasid tõmmatud jooned maakera pinna?

Meridiaan on ringi kaar, mis ühendab põhja- ja lõunapoolust. Paralleel on ringjoon, mis asub ekvaatori tasandiga paralleelsel tasapinnal.

30. Ringteel on neli tanklat: A, B, C ja D. Vahemaa A ja B vahel on 35 km, A ja C vahel 20 km, C ja D vahel 20 km, D ja A vahel 30 km. km (kõik vahemaad mõõdetud mööda ringteed lühimas suunas). Leidke kaugus B ja C vahel. Esitage oma vastus kilomeetrites.

31. Sasha kutsus Petya külla, öeldes, et ta elas korteris nr 462 seitsmendas sissepääsus, kuid unustas sõna öelda. Majale lähenedes avastas Petya, et maja on seitsmekorruseline. Mis korrusel Sasha elab? (Kõikidel korrustel on korterite arv sama, korterite numeratsioon majas algab ühest.)

32. Korvis on 30 seeni: safrani piimakübarad ja piimaseened. On teada, et iga 12 seene hulgas on vähemalt üks safrani piimakübar ja iga 20 seene hulgas on vähemalt üks piimaseen. Mitu safranist piimakorki on korvis?

33. Omanik leppis töölistega kokku, et nad kaevavad kaevu järgmistel tingimustel: esimese meetri eest maksab ta neile 3500 rubla ja iga järgmise meetri eest 1600 rubla rohkem kui eelmise meetri eest. Kui palju raha peab omanik töötajatele maksma, kui nad kaevavad 9 meetri sügavuse kaevu?

34. Sasha kutsus Petya külla, öeldes, et ta elas korteris nr 333 kümnendas sissepääsus, kuid unustas sõna öelda. Majale lähenedes avastas Petya, et maja on üheksakorruseline. Mis korrusel Sasha elab? (Igal korrusel on korterite arv sama, korterite numbrid majas algavad ühega.)

35. Arst määras patsiendile ravimi võtmise vastavalt järgmisele skeemile: esimesel päeval peaks ta võtma 3 tilka ja igal järgmisel päeval - 3 tilka rohkem kui eelmisel päeval. Pärast 30 tilga võtmist joob ta veel 3 päeva 30 tilka ravimit ja vähendab seejärel tarbimist 3 tilka päevas. Mitu pudelit ravimit peaks patsient ostma kogu ravikuuri jooksul, kui iga pudel sisaldab 20 ml ravimit (mis on 250 tilka)?

36. Ristkülik jagatakse kahe sirge lõikega neljaks väiksemaks ristkülikuks. Neist kolme ümbermõõt, alustades ülalt vasakult ja seejärel päripäeva, on 24, 28 ja 16. Leia neljanda ristküliku ümbermõõt.

37. Ringteel on neli tanklat: A, B, C ja D. Vahemaa A ja B vahel on 50 km, A ja B vahel 30 km, B ja D vahel 25 km, G ja A vahel 45 km. km (kõik vahemaad mõõdetud mööda ringteed mööda lühimat kaaret).

Leidke kaugus (kilomeetrites) B ja C vahel.

38. Naftafirma puurib nafta tootmiseks kaevu, mis geoloogiliste uuringute andmetel asub 3 km sügavusel. Tööpäeva jooksul lähevad puurijad 300 meetri sügavusele, kuid üleöö “mudab” kaev uuesti, ehk täitub 30 meetri sügavuselt pinnasega. Mitu tööpäeva kulub naftameestel kaevu naftasügavuseni puurimiseks?

39. Grupp turiste ületas mäekuru. Esimese tõusukilomeetri läbisid nad 50 minutiga ning iga järgnev kilomeeter võttis eelmisest 15 minutit kauem aega. Viimane kilomeeter enne tippu läbiti 95 minutiga. Pärast kümneminutilist puhkust tipus alustasid turistid laskumist, mis kulges järk-järgult. Esimene kilomeeter pärast tippkohtumist läbiti tunniga ning iga järgmine kilomeeter oli eelmisest 10 minutit kiirem. Mitu tundi kulus grupil kogu marsruudil, kui viimane laskumiskilomeeter läbiti 10 minutiga?

40. Vahetuskontoris saate teha ühe kahest toimingust:

3 kuldmündi eest saate 4 hõbedat ja ühe vaskmündi;

7 hõbemündi eest saate 4 kulda ja ühe vaskmündi.

Nikolasel olid ainult hõbemündid. Pärast mitmeid vahetuspunkti külastusi muutusid tema hõbemündid väiksemaks, kuldmünte ei ilmunud, küll aga ilmus 42 vaskmünti. Kui palju Nikolai hõbemüntide arv vähenes?

41. Pulk on tähistatud punase, kollase ja rohelise põikjoontega. Kui lõikate pulga mööda punaseid jooni, saate 15 tükki, kui mööda kollaseid jooni - 5 tükki ja kui mööda rohelisi jooni - 7 tükki. Mitu tükki saad, kui lõikad pulga kõigi kolme värvi joont mööda?

42. Vahetuskontoris saate teha ühe kahest toimingust:

1) 4 kuldmündi eest 5 hõbedat ja üks vask;

2) 8 hõbemündi eest saad 5 kulda ja ühe vaskmündi.

Nikolasel olid ainult hõbemündid. Pärast mitmeid vahetuspunkti külastusi muutusid tema hõbemündid väiksemaks, kuldmünte ei ilmunud, küll aga ilmus 45 vaskmünti. Kui palju Nikolai hõbemüntide arv vähenes?

43. Rohutirts hüppab piki koordinaatjoont mis tahes suunas ühikulise lõigu jaoks hüppe kohta. Mitu erinevat punkti on koordinaatide sirgel, kuhu võib rohutirts sattuda pärast täpselt 12 hüpet, alustades lähtepunktist?

44. Täis ämbritäis vett mahuga 8 liitrit valatakse iga tund alates kella 12-st 38-liitrisesse paaki. Aga paagi põhjas on väike vahe ja tunniga voolab sealt 3 liitrit välja. Mis ajahetkel (tundides) paak täielikult täidetakse?

45. Korvis on 40 seeni: safrani piimakübarad ja piimaseened. On teada, et iga 17 seene hulgas on vähemalt üks safrani piimakübar ja 25 seene hulgas vähemalt üks piimaseen. Mitu safranist piimakorki on korvis?

46. Kui suur on väikseim järjestikuste arvude arv, mis tuleb võtta, et nende korrutis jaguks 7-ga?

47. Rohutirts hüppab piki koordinaatjoont mis tahes suunas ühikulise lõigu jaoks hüppe kohta. Mitu erinevat punkti on koordinaatsirgel, kuhu võib rohutirts sattuda pärast täpselt 11 hüpet, alustades lähtepunktist?

48. Tigu roomab päevas 4 m puu otsas, öö jooksul libiseb puu otsas 1 m. Puu kõrgus on 13 m. Mitu päeva võtab aega, et tigu puu otsa roomaks esimene kord?

49. Maakerale joonistati viltpliiatsiga 17 paralleeli (sh ekvaator) ja 24 meridiaani. Mitmeks osaks jagavad tõmmatud jooned maakera pinna?

50. Maakera pinnale tõmmatakse viltpliiatsiga 12 paralleeli ja 22 meridiaani. Mitmeks osaks jagasid tõmmatud jooned maakera pinna?

Meridiaan on ringi kaar, mis ühendab põhja- ja lõunapoolust. Paralleel on ringjoon, mis asub ekvaatori tasandiga paralleelsel tasapinnal.

Ülesande nr 20 prototüübi vastused

Vastus: 117700
Vastus: 77200
Vastus: 3599
Vastus: 89100

Keskmine Üldharidus

Liin UMK G. K. Muravin. Algebra ja algus matemaatiline analüüs(10–11) (põhjalik)

UMK Merzlyak liin. Algebra ja analüüsi algus (10-11) (U)

Matemaatika

Ettevalmistus matemaatika ühtseks riigieksamiks ( profiili tase): ülesanded, lahendused ja selgitused

Analüüsime ülesandeid ja lahendame koos õpetajaga näiteid

Eksamitöö profiili tase kestab 3 tundi 55 minutit (235 minutit).

Minimaalne lävi- 27 punkti.

Eksamitöö koosneb kahest osast, mis erinevad nii sisu, keerukuse kui ka ülesannete arvu poolest.

Iga tööosa määravaks tunnuseks on ülesannete vorm:

1. osa sisaldab 8 ülesannet (ülesanded 1-8) lühikese vastusega täisarvu või kümnendmurru kujul;
2. osa sisaldab 4 ülesannet (ülesanded 9-12) lühikese vastusega täisarvu või kümnendmurru kujul ja 7 ülesannet (ülesanded 13-19) üksikasjaliku vastusega ( täielik rekord otsused koos tehtud toimingute põhjendusega).

Panova Svetlana Anatolevna, matemaatikaõpetaja kõrgeim kategooria koolid, töökogemus 20 aastat:

"Et saada koolitunnistus aastal peab lõpetaja sooritama kaks kohustuslikku eksamit Ühtne riigieksami vorm, millest üks on matemaatika. Vastavalt matemaatikahariduse arendamise kontseptsioonile aastal Venemaa Föderatsioon Matemaatika ühtne riigieksam jaguneb kaheks tasemeks: põhi- ja erialaeksam. Täna vaatame profiilitaseme valikuid.

Ülesanne nr 1- kontrollib Ühtse riigieksami osalejad oskust rakendada praktilises tegevuses 5. - 9. klassi algmatemaatika kursustel omandatud oskusi. Osaleja peab omama arvutusoskusi, oskama sellega töötada ratsionaalsed arvud, oskama ümardada kümnendkohad, suutma teisendada ühe mõõtühiku teiseks.

Näide 1. Korterisse, kus Peter elab, paigaldati voolumõõtur külm vesi(loendur). 1. mail näitas arvesti kuluks 172 kuupmeetrit. m vett ja esimesel juunil - 177 kuupmeetrit. m Kui palju peaks Peeter maksma külma vee eest mais, kui hind on 1 kuupmeeter? m külm vesi on 34 rubla 17 kopikat? Esitage oma vastus rublades.

Lahendus:

1) Leidke kuus kulutatud vee kogus:

177–172 = 5 (kuupm)

2) Leiame, kui palju raha nad raisatud vee eest maksavad:

34,17 5 = 170,85 (hõõru)

Vastus: 170,85.

Ülesanne nr 2- on üks lihtsamaid eksamiülesandeid. Suurem osa lõpetajaid tuleb sellega edukalt toime, mis viitab funktsiooni mõiste definitsiooni tundmisele. Ülesande liik nr 2 nõuete kodifitseerija järgi on ülesanne omandatud teadmiste ja oskuste kasutamise kohta praktilises tegevuses ja Igapäevane elu. Ülesanne nr 2 seisneb suuruste erinevate reaalsete seoste kirjeldamises, kasutamises ja nende graafikute tõlgendamises. Ülesanne nr 2 testib tabelite, diagrammide ja graafikutena esitatud teabe eraldamise võimet. Lõpetajad peavad suutma määrata funktsiooni väärtuse selle argumendi väärtuse järgi millal erinevatel viisidel funktsiooni täpsustamine ning selle graafiku alusel funktsiooni käitumise ja omaduste kirjeldamine. Samuti peate suutma funktsioonigraafikust leida suurima või väikseima väärtuse ja koostama uuritud funktsioonide graafikud. Probleemi tingimuste lugemisel, diagrammi lugemisel on tehtud vead juhuslikud.

#ADVERTISING_INSERT#

Näide 2. Joonisel on näha kaevandusettevõtte ühe aktsia vahetusväärtuse muutus 2017. aasta aprilli esimesel poolel. 7. aprillil ostis ärimees selle ettevõtte 1000 aktsiat. 10. aprillil müüs ta kolmveerand ostetud aktsiatest ja 13. aprillil kõik ülejäänud aktsiad. Kui palju ärimees nende operatsioonide tulemusel kaotas?

Lahendus:

2) 1000 · 3/4 = 750 (aktsiad) - moodustavad 3/4 kõigist ostetud aktsiatest.

6) 247500 + 77500 = 325000 (hõõruda) - ärimees sai pärast müüki 1000 aktsiat.

7) 340 000 – 325 000 = 15 000 (hõõru) - ärimees kaotas kõigi toimingute tulemusena.

Vastus: 15000.

Ülesanne nr 3- on esimese osa algtaseme ülesanne, testib võimet sooritada toiminguid geomeetrilised kujundid kursuse “Planimeetria” sisu kohta. Ülesandes 3 testitakse ruudulisel paberil oleva kujundi pindala arvutamise oskust, nurkade astmemõõtude arvutamise oskust, perimeetrite arvutamist jne.

Näide 3. Leidke ruudulisele paberile joonistatud ristküliku pindala, mille lahtri suurus on 1 cm x 1 cm (vt joonist). Esitage oma vastus ruutsentimeetrites.

Lahendus: Antud joonise pindala arvutamiseks võite kasutada Peak valemit:

Antud ristküliku pindala arvutamiseks kasutame Peaki valemit:

S= B +	G
	2

kus B = 10, G = 6, seega

S = 18 +	6
	2

Vastus: 20.

Loe ka: Füüsika ühtne riigieksam: võnkumiste alaste ülesannete lahendamine

Ülesanne nr 4- kursuse “Tõenäosusteooria ja statistika” eesmärk. Testitakse oskust arvutada sündmuse tõenäosust kõige lihtsamas olukorras.

Näide 4. Ringile on märgitud 5 punast ja 1 sinine täpp. Määrake, millised hulknurgad on suuremad: need, mille kõik tipud on punased või need, mille üks tippudest on sinine. Oma vastuses märkige, kui palju ühtesid on rohkem kui teisi.

Lahendus: 1) Kasutame kombinatsioonide arvu valemit n elemendid poolt k:

mille tipud on kõik punased.

3) Üks viisnurk, mille kõik tipud on punased.

4) 10 + 5 + 1 = 16 hulknurka kõigi punaste tippudega.

millel on punased pealsed või ühe sinise ülaosaga.

8) Üks punaste tippudega kuusnurk ja üks sinine tipp.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 hulknurka, millel on kõik punased tipud või üks sinine tipp.

10) 42–16 = 26 hulknurka, kasutades sinist punkti.

11) 26 – 16 = 10 hulknurka – mitu hulknurka, mille üks tippudest on sinine täpp, on rohkem kui hulknurki, mille kõik tipud on ainult punased.

Vastus: 10.

Ülesanne nr 5- esimese osa algtase kontrollib lihtsate võrrandite (irratsionaalne, eksponentsiaalne, trigonomeetriline, logaritmiline) lahendamise oskust.

Näide 5. Lahendage võrrand 2 3 + x= 0,4 5 3 + x .

Lahendus. Jagage selle võrrandi mõlemad pooled 5 3 +-ga X≠ 0, saame

2 3 + x	= 0,4 või		2		3 + X	=	2	,
5 3 + X			5				5

millest järeldub, et 3 + x = 1, x = –2.

Vastus: –2.

Ülesanne nr 6 planimeetrias geomeetriliste suuruste (pikkuste, nurkade, pindalade) leidmiseks, reaalsete olukordade modelleerimine geomeetria keeles. Ehitatud mudelite uurimine geomeetriliste mõistete ja teoreemide abil. Raskuste allikaks on reeglina planimeetria vajalike teoreemide teadmatus või vale rakendamine.

Kolmnurga pindala ABC võrdub 129-ga. DE– küljega paralleelne keskjoon AB. Leidke trapetsi pindala VOODI.

Lahendus. Kolmnurk CDE sarnane kolmnurgaga TAKSO kahe nurga all, kuna nurk tipus Cüldine, nurk СDE võrdne nurgaga TAKSO kui vastavad nurgad DE || AB sekant A.C.. Sest DE on kolmnurga keskjoon tingimuse, seejärel keskjoone omaduse järgi | DE = (1/2)AB. See tähendab, et sarnasuse koefitsient on 0,5. Sarnaste arvude pindalad on seega seotud sarnasuskordaja ruuduna

Seega S ABED = S Δ ABC – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Ülesanne nr 7- kontrollib tuletise rakendamist funktsiooni uurimisel. Sest edukas rakendamine nõutav on tuletise mõiste mõtestatud, mitteformaalne valdamine.

Näide 7. Funktsiooni graafikule y = f(x) abstsisspunktis x 0 tõmmatakse puutuja, mis on risti selle graafiku punkte (4; 3) ja (3; –1) läbiva sirgega. Otsi f′( x 0).

Lahendus. 1) Kasutame kahte antud punkti läbiva sirge võrrandit ja leiame punkte (4; 3) ja (3; –1) läbiva sirge võrrandi.

(y – y 1)(x 2 – x 1) = (x – x 1)(y 2 – y 1)

(y – 3)(3 – 4) = (x – 4)(–1 – 3)

(y – 3)(–1) = (x – 4)(–4)

–y + 3 = –4x+ 16| · (-1)

y – 3 = 4x – 16

y = 4x– 13, kus k 1 = 4.

2) Leidke puutuja kalle k 2, mis on joonega risti y = 4x– 13, kus k 1 = 4, vastavalt valemile:

3) Puutenurk on funktsiooni tuletis puutepunktis. Tähendab, f′( x 0) = k 2 = –0,25.

Vastus: –0,25.

Ülesanne nr 8- kontrollib eksamil osalejate teadmisi elementaarsest stereomeetriast, oskust rakendada valemeid kujundite pindalade ja mahtude, kahetahuliste nurkade leidmiseks, võrrelda sarnaste kujundite ruumalasid, teha toiminguid geomeetriliste kujundite, koordinaatide ja vektoritega jne.

Ümber kera ümbritsetud kuubi ruumala on 216. Leia sfääri raadius.

Lahendus. 1) V kuubik = a 3 (kus A– kuubi serva pikkus), seega

A 3 = 216

A = 3 √216

2) Kuna kera on kantud kuubi, tähendab see, et kera läbimõõdu pikkus on võrdne kuubi serva pikkusega, seega d = a, d = 6, d = 2R, R = 6: 2 = 3.

Ülesanne nr 9- eeldab lõpetajalt algebraliste avaldiste teisendamise ja lihtsustamise oskust. Ülesanne nr 9 kõrgem tase Raskused lühikese vastusega. Ühtse riigieksami jaotise „Arvutused ja teisendused” ülesanded on jagatud mitut tüüpi:

numbrilised teisendused ratsionaalsed väljendid;

algebraliste avaldiste ja murdude teisendamine;

numbriliste/tähtede irratsionaalsete avaldiste teisendamine;

toimingud kraadidega;

muutumine logaritmilised avaldised;

numbriliste/tähtede trigonomeetriliste avaldiste teisendamine.

Näide 9. Arvutage tanα, kui on teada, et cos2α = 0,6 ja

3π	< α < π.
4

Lahendus. 1) Kasutame topeltargumendi valemit: cos2α = 2 cos 2 α – 1 ja leiame

tan 2 α =	1	– 1 =	1	– 1 =	10	– 1 =	5	– 1 = 1	1	– 1 =	1	= 0,25.
	cos 2 α		0,8		8		4		4		4

See tähendab tan 2 α = ± 0,5.

3) Tingimuste järgi

3π	< α < π,
4

see tähendab, et α on teise kvartali ja tgα nurk< 0, поэтому tgα = –0,5.

Vastus: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# Ülesanne nr 10- testib õpilaste oskust kasutada omandatud varaseid teadmisi ja oskusi praktilises tegevuses ja igapäevaelus. Võime öelda, et need on ülesanded füüsikas ja mitte matemaatikas, kuid tingimuses on kõik vajalikud valemid ja suurused antud. Ülesanded taandatakse lineaarsete või ruutvõrrand, või lineaarne või ruutvõrratus. Seetõttu on vaja selliseid võrrandeid ja võrratusi lahendada ning vastus määrata. Vastus tuleb esitada täisarvu või lõpliku kümnendmurruna.

Kaks massilist keha m= 2 kg igaüks, liikudes sama kiirusega v= 10 m/s üksteise suhtes 2α nurga all. Nende absoluutselt mitteelastsel kokkupõrkel vabanev energia (džaulides) määratakse avaldise järgi K = mv 2 sin 2 α. Millise väikseima nurga 2α (kraadides) all peavad kehad liikuma, et kokkupõrke tagajärjel vabaneks vähemalt 50 džauli?
Lahendus.Ülesande lahendamiseks tuleb lahendada ebavõrdsus Q ≥ 50, intervallil 2α ∈ (0°; 180°).

mv 2 sin 2 α ≥ 50

2 10 2 sin 2 α ≥ 50

200 sin 2 α ≥ 50

Kuna α ∈ (0°; 90°), siis me ainult lahendame

Esitame ebavõrdsuse lahenduse graafiliselt:

Kuna tingimuse α ∈ (0°; 90°) järgi tähendab see 30° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Ülesanne nr 11- on tüüpiline, kuid osutub õpilastele keeruliseks. Peamine raskuste allikas on matemaatilise mudeli koostamine (võrrandi koostamine). Ülesandes nr 11 testitakse tekstülesannete lahendamise oskust.

Näide 11. 11. klassi õpilane Vasja pidi kevadvaheajal ühtseks riigieksamiks valmistumiseks lahendama 560 harjutusülesannet. 18. märtsil, viimasel koolipäeval, lahendas Vasja 5 ülesannet. Siis lahendas ta iga päev sama palju probleeme rohkem kui eelmisel päeval. Tehke kindlaks, kui palju probleeme Vasya 2. aprillil, pühade viimasel päeval, lahendas.

Lahendus: Tähistame a 1 = 5 – probleemide arv, mille Vasya 18. märtsil lahendas, d- igapäevane Vasya lahendatud ülesannete arv, n= 16 – päevade arv 18. märtsist 2. aprillini kaasa arvatud, S 16 = 560 – kokkuülesanded, a 16 – probleemide arv, mille Vasya 2. aprillil lahendas. Teades, et Vasja lahendas iga päev sama arvu ülesandeid võrreldes eelmise päevaga rohkem, saame summa leidmiseks kasutada valemeid aritmeetiline progressioon:

560 = (5 + a 16) 8,

5 + a 16 = 560: 8,

5 + a 16 = 70,

a 16 = 70 – 5

a 16 = 65.

Vastus: 65.

Ülesanne nr 12- need kontrollivad õpilaste võimet teha funktsioonidega tehteid ja kasutada tuletist funktsiooni uurimisel.

Leia funktsiooni maksimumpunkt y= 10ln( x + 9) – 10x + 1.

Lahendus: 1) Leidke funktsiooni määratluspiirkond: x + 9 > 0, x> –9, see tähendab x ∈ (–9; ∞).

2) Leidke funktsiooni tuletis:

4) Leitud punkt kuulub intervalli (–9; ∞). Määrame funktsiooni tuletise märgid ja kujutame funktsiooni käitumist joonisel:

Soovitud maksimumpunkt x = –8.

Laadige tasuta alla õppematerjalide rea G.K. matemaatika tööprogramm. Muravina, K.S. Muravina, O.V. Muravina 10-11 Laadige alla tasuta algebra õppevahendeid

Ülesanne nr 13-kõrgendatud keerukuse tase üksikasjaliku vastusega, võrrandite lahendamise võime testimine, kõige edukamalt lahendatud ülesannete hulgas, millel on kõrgendatud keerukusastmega üksikasjalik vastus.

a) Lahendage võrrand 2log 3 2 (2cos x) – 5log 3 (2cos x) + 2 = 0

b) Leia kõik selle võrrandi juured, mis kuuluvad segmenti.

Lahendus: a) Olgu log 3 (2cos x) = t, siis 2 t 2 – 5t + 2 = 0,

logi 3(2cos x) =	2	⇔	2cos x = 9	⇔	cos x =	4,5	⇔ sest \|cos x\| ≤ 1,

logi 3(2cos x) =	1		2cos x = √3		cos x =	√3
	2					2

siis cos x =	√3
	2

x =	π	+ 2π k
	6

x = –	π	+ 2π k, k ∈ Z
	6

b) Leia juured, mis asuvad lõigul .

Joonisel on näha, et antud segmendi juured kuuluvad

11π	Ja	13π	.
6		6

Vastus: A)	π	+ 2π k; –	π	+ 2π k, k ∈ Z; b)	11π	;	13π	.
	6		6		6		6

Ülesanne nr 14-kõrgtase viitab üksikasjaliku vastusega ülesannetele teises osas. Ülesandes testitakse oskust sooritada toiminguid geomeetriliste kujunditega. Ülesanne sisaldab kahte punkti. Esimeses punktis tuleb ülesanne tõestada ja teises punktis arvutada.

Silindri aluse ringi läbimõõt on 20, silindri generatriks on 28. Tasapind lõikub selle põhjaga piki kõõlu pikkusega 12 ja 16. Kõõlude vaheline kaugus on 2√197.

a) Tõesta, et silindri aluste keskpunktid asuvad selle tasapinna ühel küljel.

b) Leidke nurk selle tasandi ja silindri aluse tasapinna vahel.

Lahendus: a) Kõõl pikkusega 12 asub põhiringi keskpunktist kaugusel = 8 ja kõõl pikkusega 16 on samamoodi kaugusel 6. Seetõttu on nende projektsioonide vaheline kaugus ringjoonega paralleelsele tasapinnale. silindrite põhi on kas 8 + 6 = 14 või 8 - 6 = 2.

Siis on akordide vahekaugus kas

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

Vastavalt tingimusele realiseeriti teine juhtum, kus kõõlude projektsioonid asuvad ühel pool silindri telge. See tähendab, et telg ei ristu silindri sees selle tasapinnaga, see tähendab, et alused asuvad selle ühel küljel. Mida oli vaja tõestada.

b) Tähistame aluste keskpunktid O 1 ja O 2. Joonistame aluse keskpunktist 12 pikkuse kõõluga risti poolitaja selle kõõlule (selle pikkus on 8, nagu juba märgitud) ja teise aluse keskpunktist teise kõõluni. Need asuvad samal tasapinnal β, mis on nende akordidega risti. Nimetame väiksema kõõlu B keskpunkti, suurema kõõlu A ja A projektsiooni teisele alusele - H (H ∈ β). Siis on AB,AH ∈ β ja seega AB,AH risti kõõlu ehk aluse lõikesirge antud tasandiga.

See tähendab, et nõutav nurk on võrdne

∠ABH = arctaan	A.H.	= arctan	28	= arctg14.
	B.H.		8 – 6

Ülesanne nr 15- üksikasjaliku vastusega suurenenud keerukuse tase, testib ebavõrdsuse lahendamise võimet, mis on kõige edukamalt lahendatud kõrgendatud keerukusastmega üksikasjaliku vastusega ülesannete hulgas.

Näide 15. Lahenda ebavõrdsus | x 2 – 3x| logi 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 .

Lahendus: Selle ebavõrdsuse määratluspiirkond on intervall (–1; +∞). Mõelge kolmele juhtumile eraldi:

1) Lase x 2 – 3x= 0, st. X= 0 või X= 3. Sel juhul muutub see ebavõrdsus tõeseks, seetõttu kaasatakse need väärtused lahendusse.

2) Lase nüüd x 2 – 3x> 0, st. x∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). Lisaks saab selle ebavõrdsuse ümber kirjutada järgmiselt ( x 2 – 3x) logi 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 ja jaga positiivse avaldisega x 2 – 3x. Saame logi 2 ( x + 1) ≤ –1, x + 1 ≤ 2 –1 , x≤ 0,5 –1 või x≤ –0,5. Võttes arvesse määratlusvaldkonda, on meil x ∈ (–1; –0,5].

3) Lõpuks kaaluge x 2 – 3x < 0, при этом x∈ (0; 3). Sel juhul kirjutatakse algne ebavõrdsus ümber kujul (3 x – x 2) logi 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2. Pärast positiivsega 3 jagamist x – x 2, saame logi 2 ( x + 1) ≤ 1, x + 1 ≤ 2, x≤ 1. Piirkonda arvesse võttes on meil x ∈ (0; 1].

Saadud lahendusi kombineerides saame x ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Vastus: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Ülesanne nr 16- kõrgtase viitab üksikasjaliku vastusega ülesannetele teises osas. Ülesandes testitakse oskust sooritada toiminguid geomeetriliste kujundite, koordinaatide ja vektoritega. Ülesanne sisaldab kahte punkti. Esimeses punktis tuleb ülesanne tõestada ja teises punktis arvutada.

IN võrdhaarne kolmnurk ABC nurgaga 120° tipus A tõmmatakse poolitaja BD. Ristkülik DEFH on kantud kolmnurka ABC nii, et külg FH asub lõigul BC ja tipp E asub lõigul AB. a) Tõesta, et FH = 2DH. b) Leidke ristküliku DEFH pindala, kui AB = 4.

Lahendus: A)

1) ΔBEF – ristkülikukujuline, EF⊥BC, ∠B = (180° – 120°): 2 = 30°, siis EF = BE 30° nurga vastas asuva jala omaduse järgi.

2) Olgu EF = DH = x, siis BE = 2 x, BF = x√3 Pythagorase teoreemi järgi.

3) Kuna ΔABC on võrdhaarne, tähendab see ∠B = ∠C = 30˚.

BD on ∠B poolitaja, mis tähendab, et ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) Vaatleme ΔDBH – ristkülikukujulist, sest DH⊥BC.

2x	=	4 – 2x
2x(√3 + 1)	=	4

1	=	2 – x
√3 + 1	=	2

√3 – 1 = 2 – x

x = 3 – √3

EF = 3 – √3

2) S DEFH = ED EF = (3 – √3 ) 2 (3 – √3 )

S DEFH = 24–12√3.

Vastus: 24 – 12√3.

Ülesanne nr 17- üksikasjaliku vastusega ülesanne, selle ülesandega testitakse teadmiste ja oskuste rakendamist praktilises tegevuses ja igapäevaelus, oskust ehitada ja uurida matemaatilisi mudeleid. See ülesanne on majandusliku sisuga tekstiprobleem.

Näide 17. 20 miljoni rubla suurune hoius plaanitakse avada neljaks aastaks. Pank suurendab iga aasta lõpus hoiust 10% võrreldes selle aasta alguse suurusega. Lisaks täiendab investor kolmanda ja neljanda aasta alguses hoiust igal aastal aasta võrra X miljonit rubla, kus X - terve number. Otsi kõrgeim väärtus X, milles pangale laekub hoiusele nelja aasta jooksul vähem kui 17 miljonit rubla.

Lahendus: Esimese aasta lõpus on sissemakse 20 + 20 · 0,1 = 22 miljonit rubla ja teise aasta lõpus - 22 + 22 · 0,1 = 24,2 miljonit rubla. Kolmanda aasta alguses on sissemakse (miljonites rublades) (24,2+ X) ja lõpus - (24,2 + X) + (24,2 + X)· 0,1 = (26,62 + 1,1 X). Neljanda aasta alguses on sissemakse (26,62 + 2,1 X), ja lõpus - (26,62 + 2,1 X) + (26,62 + 2,1X) · 0,1 = (29,282 + 2,31 X). Tingimuse järgi tuleb leida suurim täisarv x, mille kohta ebavõrdsus kehtib

(29,282 + 2,31x) – 20 – 2x < 17

29,282 + 2,31x – 20 – 2x < 17

0,31x < 17 + 20 – 29,282

0,31x < 7,718

x <	7718
	310

x <	3859
	155

x < 24	139
	155

Selle ebavõrdsuse suurim täisarvlahend on arv 24.

Vastus: 24.

Ülesanne nr 18- üksikasjaliku vastusega kõrgendatud keerukusega ülesanne. See ülesanne on mõeldud konkursil osalemiseks ülikoolidesse, kus on kõrgendatud nõuded kandideerijate matemaatilisele ettevalmistusele. Kõrge keerukusega ülesanne ei ole mitte ühe lahendusmeetodi, vaid kombinatsiooni kasutamine erinevaid meetodeid. Ülesande 18 edukaks sooritamiseks on vaja lisaks kindlatele matemaatilistele teadmistele ka kõrget matemaatilist kultuuri.

Mille juures a ebavõrdsuse süsteem

	x 2 + y 2 ≤ 2jah – a 2 + 1

	y + a ≤ \|x\| – a

on täpselt kaks lahendust?

Lahendus: Seda süsteemi saab vormis ümber kirjutada

	x 2 + (y– a) 2 ≤ 1

	y ≤ \|x\| – a

Kui joonistada tasapinnale esimese võrratuse lahendite hulk, saame raadiusega 1 ringi sisemuse (piiriga), mille keskpunkt on punktis (0, A). Teise võrratuse lahendite hulk on tasandi osa, mis asub funktsiooni graafiku all y = | x| – a, ja viimane on funktsiooni graafik
y = | x| , nihutatud allapoole A. Selle süsteemi lahendus on iga ebavõrdsuse lahenduste kogumite ristumiskoht.

Seega kaks lahendust see süsteem on ainult joonisel fig. 1.

Ringi ja joonte kokkupuutepunktid on süsteemi kaks lahendust. Iga sirgjoon on telgede suhtes 45° nurga all. Nii et see on kolmnurk PQR– ristkülikukujulised võrdhaarsed. Punkt K on koordinaadid (0, A) ja punkt R– koordinaadid (0, – A). Lisaks segmendid PR Ja PQ võrdne ringi raadiusega 1. See tähendab

QR= 2a = √2, a =	√2	.
	2

Vastus: a =	√2	.
	2

Ülesanne nr 19- üksikasjaliku vastusega kõrgendatud keerukusega ülesanne. See ülesanne on mõeldud konkursil osalemiseks ülikoolidesse, kus on kõrgendatud nõuded kandideerijate matemaatilisele ettevalmistusele. Kõrge keerukusega ülesanne on ülesanne mitte ühe lahendusmeetodi kasutamisel, vaid erinevate meetodite kombinatsioonil. Ülesande 19 edukaks täitmiseks peate suutma otsida lahendust valides erinevaid lähenemisviise teadaolevate hulgast, modifitseerides uuritud meetodeid.

Lase Sn summa P aritmeetilise progressiooni terminid ( a p). On teada, et S n + 1 = 2n 2 – 21n – 23.

a) Esitage valem P selle edenemise tähtaeg.

b) Leia väikseim absoluutsumma S n.

c) Leia väikseim P, mille juures S n on täisarvu ruut.

Lahendus: a) On selge, et a n = S n – S n- 1 . Seda valemit kasutades saame:

S n = S (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n,

S n – 1 = S (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n+ 27

Tähendab, a n = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.

B) Alates S n = 2n 2 – 25n, siis kaaluge funktsiooni S(x) = | 2x 2 – 25x|. Selle graafik on näha joonisel.

Ilmselt saavutatakse väikseim väärtus täisarvu punktides, mis asuvad funktsiooni nullidele kõige lähemal. Ilmselgelt on need punktid X= 1, X= 12 ja X= 13. Alates S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12 | = |2 · 144 – 25 · 12| = 12, S(13) = |S 13 | = |2 · 169 – 25 · 13| = 13, siis on väikseim väärtus 12.

c) Eelmisest lõigust järeldub, et Sn positiivne, alates n= 13. Alates S n = 2n 2 – 25n = n(2n– 25), siis ilmne juhtum, kui see avaldis on täiuslik ruut, realiseerub siis, kui n = 2n– 25, see tähendab kl P= 25.

Jääb üle kontrollida väärtusi vahemikus 13 kuni 25:

S 13 = 13 1, S 14 = 14 3, S 15 = 15 5, S 16 = 16 7, S 17 = 17 9, S 18 = 18 11, S 19 = 19 13, S 20 = 20 13, S 21 = 21 17, S 22 = 22 19, S 23 = 23 21, S 24 = 24 23.

Selgub, et väiksemate väärtuste puhul P täielikku ruutu ei saavutata.

Vastus: A) a n = 4n– 27; b) 12; c) 25.

________________

*Alates 2017. aasta maist on ühendatud kirjastuskontsern "DROFA-VENTANA" osa korporatsioonist Russian Textbook. Korporatsiooni alla kuuluvad ka kirjastus Astrel ja digitaalne haridusplatvorm LECTA. Peadirektor määrati Aleksander Brõtškin, lõpetaja Finantsakadeemia Vene Föderatsiooni valitsuse alluvuses, kandidaat majandusteadused, kirjastuse DROFA uuenduslike projektide juht digihariduse valdkonnas (õpikute elektroonilised vormid, Vene Elektrooniline Kool, digitaalne haridusplatvorm LECTA). Enne DROFA kirjastusega liitumist töötas ta aasta asepresidendina strateegiline areng ja kirjastusettevõtte "EXMO-AST" investeeringud. Täna on Venemaa õpikute kirjastuse korporatsioonil suurim föderaalsesse nimekirja kantud õpikute portfell - 485 nimetust (umbes 40%, välja arvatud õpikud paranduskool). Korporatsiooni kirjastustele kuuluvad vene koolide populaarseimad füüsika, joonistamise, bioloogia, keemia, tehnoloogia, geograafia, astronoomia õpikukomplektid – need on teadmised, mida on vaja riigi tootmispotentsiaali arendamiseks. Korporatsiooni portfelli kuuluvad õpikud ja õppevahendid Sest Põhikool, pälvis presidendi preemia haridusvaldkonnas. Need on õpikud ja käsiraamatud ainevaldkondades, mis on vajalikud Venemaa teadusliku, tehnilise ja tootmispotentsiaali arendamiseks.

Ülesanne 20 Põhiline Ühtne riigieksami tase

1) Tigu roomab päevas 4 m puu otsas, öö jooksul libiseb puu otsas 1 m. Puu kõrgus on 13 m. Mitu päeva võtab aega, et tigu puu otsa roomaks puu esimest korda? (4-1 = 3, 4. päeva hommik on 9m kõrgusel ja ööpäevaga roomab 4m.Vastus: 4 )

2) Tigu roomab ööpäevaga 4 m puu otsas, öö jooksul libiseb puu otsas 3 m. Puu kõrgus on 10 m. Mitu päeva võtab aega, et tigu puu otsa roomaks puu esimest korda? Vastus: 7

3) Tigu ronib päeval 3 m puu otsa, öösel laskub 2 m. Puu kõrgus on 10 m Mitu päeva võtab teol puu otsa ronimine? Vastus: 8

4) Pulk on tähistatud punase, kollase ja rohelise põikjoontega. Kui lõikate pulga mööda punaseid jooni, saate 15 tükki, kui mööda kollaseid jooni - 5 tükki ja kui mööda rohelisi jooni - 7 tükki. Mitu tükki saad, kui lõikad pulga kõigi kolme värvi joont mööda? ? (Kui lõikate pulga mööda punaseid jooni, saate 15 tükki, järelikult on ridu 14. Kui lõikate pulga mööda kollaseid jooni, saate 5 tükki, seega on 4 rida. Kui lõikate seda mööda rohelisi jooni, saad 7 tükki, seega ridu on 6. Ridasid kokku: 14 + 4 + 6 = 24 rida. Vastus:25 )

5) Pulk on tähistatud punase, kollase ja rohelise põikjoontega. Kui lõikate pulga mööda punaseid jooni, saate 5 tükki, kui mööda kollaseid jooni - 7 tükki ja kui mööda rohelisi jooni - 11 tükki. Mitu tükki saad, kui lõikad pulga kõigi kolme värvi joont mööda? Vastus : 21

6) Pulk on tähistatud punase, kollase ja rohelise põikjoontega. Kui lõikate pulga mööda punaseid jooni, saate 10 tükki, kui mööda kollaseid jooni - 8 tükki, kui mööda rohelist - 8 tükki. Mitu tükki saad, kui lõikad pulga kõigi kolme värvi joont mööda? Vastus : 24

7) Vahetuspunktis saate teha ühe kahest toimingust:

2 kuldmündi eest saate 3 hõbedat ja ühe vaskmündi;

5 hõbemündi eest saate 3 kulda ja ühe vaskmündi.

8) Vahetuspunktis saate teha ühe kahest toimingust:

· 2 kuldmündi eest saad 3 hõbedat ja ühe vaskmündi;

· 5 hõbemündi eest saad 3 kulda ja ühe vaskmündi.

9) Vahetuspunktis saate teha ühe kahest toimingust:

1) 3 kuldmündi eest 4 hõbedat ja üks vask;

2) 6 hõbemündi eest saad 4 kulda ja ühe vaskmündi.

Nikolal olid ainult hõbemündid. Pärast vahetuspunkti külastamist muutusid tema hõbemündid väiksemaks, kuldmünte ei ilmunud, küll aga ilmus 35 vaskmünti. Kui palju Nikolai hõbemüntide arv vähenes? Vastus: 10

10) Vahetuspunktis saate teha ühe kahest toimingust:

1) 3 kuldmündi eest 4 hõbedat ja üks vask;

2) 7 hõbemündi eest saad 4 kulda ja ühe vaskmündi.

Nikolal olid ainult hõbemündid. Pärast vahetuspunkti külastamist muutusid tema hõbemündid väiksemaks, kuldmünte ei ilmunud, küll aga ilmus 42 vaskmünti. Kui palju Nikolai hõbemüntide arv vähenes? Vastus: 30

11) Vahetuspunktis saate teha ühe kahest toimingust:

1) 4 kuldmündi eest 5 hõbedat ja üks vask;

2) 8 hõbemündi eest saad 5 kulda ja ühe vaskmündi.

12) Korvis on 50 seeni: safrani piimakübarad ja piimaseened. On teada, et iga 28 seene hulgas on vähemalt üks safrani piimakübar ja iga 24 seene hulgas on vähemalt üks piimaseen. Mitu piimaseent on korvis? ( (50-28)+1=23 - peavad olema safranist piimakorgid. (50-24)+1=27 - piimaseened peavad olema. Vastus: piimaseened korvis 27 .)

13) Korvis on 40 seeni: safrani piimakübarad ja piimaseened. On teada, et iga 17 seene hulgas on vähemalt üks safrani piimakübar ja 25 seene hulgas vähemalt üks piimaseen. Mitu safranist piimakorki on korvis? ( Vastavalt probleemsetele tingimustele: (40-17)+1=24 - peavad olema safranist piimakorgid. (40-25)+1=16 24 .)

14) korvis on 30 seeni: safrani piimakübarad ja piimaseened. On teada, et iga 12 seene hulgas on vähemalt üks safrani piimakübar ja iga 20 seene hulgas on vähemalt üks piimaseen. Mitu safranist piimakorki on korvis? (Vastavalt probleemiavaldusele: (30-12)+1=19 - peavad olema safranist piimakorgid. (30-20)+1=11 - piimaseened peavad olema. Vastus: safranist piimakorgid korvis 19 .)

15) Korvis on 45 seeni: safrani piimakübarad ja piimaseened. On teada, et iga 23 seene hulgas on vähemalt üks safrani piimakübar ja iga 24 seene hulgas on vähemalt üks piimaseen. Mitu safranist piimakorki on korvis? ( Vastavalt probleemsetele tingimustele: (45-23)+1=23 - peavad olema safranist piimakorgid. (45-24)+1=22 - piimaseened peavad olema. Vastus: safranist piimakorgid korvis 23 .)

16) Korvis on 25 seeni: safrani piimakübarad ja piimaseened. On teada, et iga 11 seene hulgas on vähemalt üks safrani piimakübar ja iga 16 seene hulgas on vähemalt üks piimaseen. Mitu safranist piimakorki on korvis? ( Kuna iga 11 seene hulgas on vähemalt üks seen, siis piimaseene ei ole rohkem kui 10. Kuna 16 seene hulgas on vähemalt üks piimaseen, siis pole seeni üle 15. Ja kuna seeni on 25 kokku korvis, siis on täpselt 10 piimaseent, ja safrani piimakübarad täpseltVastus: 15.

17) Omanik leppis töölistega kokku, et nad kaevavad talle kaevu järgmistel tingimustel: esimese meetri eest maksab ta neile 4200 rubla ja iga järgneva meetri eest 1300 rubla rohkem kui eelmise meetri eest. Kui palju raha peab omanik töötajatele maksma, kui nad kaevavad 11 meetri sügavuse kaevu? ?(Vastus: 117700)

18) Omanik leppis töölistega kokku, et nad kaevavad talle kaevu järgmistel tingimustel: esimese meetri eest maksab ta neile 3700 rubla ja iga järgneva meetri eest 1700 rubla rohkem kui eelmise meetri eest. Kui palju raha peab omanik töötajatele maksma, kui nad kaevavad 8 meetri sügavuse kaevu? ( 77200 )

19) Omanik leppis töölistega kokku, et nad kaevavad kaevu järgmistel tingimustel: esimese meetri eest maksab ta neile 3500 rubla ja iga järgneva meetri eest 1600 rubla rohkem kui eelmise meetri eest. Kui palju raha peab omanik töötajatele maksma, kui nad kaevavad 9 meetri sügavuse kaevu? ( 89100 )

20) Omanik leppis töölistega kokku, et nad kaevavad talle kaevu järgmistel tingimustel: esimese meetri eest maksab ta neile 3900 rubla ja iga järgneva meetri eest 1200 rubla rohkem kui eelmise eest. Mitu rubla peab omanik töötajatele maksma, kui nad kaevavad 6 meetri sügavuse kaevu? (41400)

21) Treener soovitas Andreyl veeta esimesel tundide päeval jooksulindil 15 minutit ja igal järgneval tunnil suurendada jooksulindil veedetud aega 7 minuti võrra. Kui mitmel seansil veedab Andrey jooksulindil kokku 2 tundi ja 25 minutit, kui ta järgib treeneri nõuandeid? ( 5 )

22) Treener soovitas Andreyl veeta esimesel tundide päeval jooksulindil 22 minutit ja igal järgneval tunnil suurendada jooksulindil veedetud aega 4 minuti võrra, kuni see jõuab 60 minutini, ja seejärel jätkata treenimist 60 minutit. iga päev. Mitmel seansil, alates esimesest, veedab Andrey jooksulindil kokku 4 tundi ja 48 minutit? ( 8 )

23) Kinosaali esimeses reas on 24 istekohta ja igas järgmises reas 2 võrra rohkem kui eelmises. Mitu kohta on kaheksandas reas? ( 38 )

24) Arst määras patsiendile ravimi võtmise vastavalt järgmisele skeemile: esimesel päeval tuleb võtta 3 tilka ja igal järgneval päeval - 3 tilka rohkem kui eelmisel päeval. Pärast 30 tilga võtmist joob ta veel 3 päeva 30 tilka ravimit ja vähendab seejärel tarbimist 3 tilka päevas. Mitu pudelit ravimit peaks patsient ostma kogu ravikuuri jooksul, kui iga pudel sisaldab 20 ml ravimit (mis on 250 tilka)? (2) aritmeetilise progressiooni summa, mille esimene liige on 3, vahe 3 ja viimane liige 30.; 165 + 90 + 135 = 390 tilka; 3+ 3(n-1)=30; n=10 ja 27- 3(n-1)=3; n=9

25) Arst määras patsiendile ravimi võtmise vastavalt järgmisele skeemile: esimesel päeval peaks ta võtma 20 tilka ja igal järgmisel päeval - 3 tilka rohkem kui eelmisel päeval. Pärast 15-päevast kasutamist teeb patsient 3-päevase pausi ja jätkab ravimi võtmist vastupidises skeemis: 19. päeval võtab ta sama arvu tilka kui 15. päeval ja seejärel vähendab iga päev annust 3 tilka, kuni annus jääb alla 3 tilga päevas. Mitu pudelit ravimit peaks patsient ostma kogu ravikuuri jaoks, kui igas pudelis on 200 tilka? ( 7 ) joob 615 + 615 + 55 = 1285 ;1285: 200 = 6,4

26) Kodumasinate kaupluses on külmikute müügimaht hooajaline. Jaanuaris müüdi 10 ja järgneva kolme kuuga 10 külmikut. Alates maist on müük eelmise kuuga võrreldes kasvanud 15 ühiku võrra. Alates septembrist hakkas müügimaht eelmise kuuga võrreldes vähenema 15 külmiku võrra kuus. Mitu külmkappi müüs pood aastaga? (360) (5*10+2*25+2*40+2*55+70=360

27) Maakera pinnale tõmmatakse viltpliiatsiga 12 paralleeli ja 22 meridiaani. Mitmeks osaks jagasid tõmmatud jooned maakera pinna?

Meridiaan on ringi kaar, mis ühendab põhja- ja lõunapoolust. Paralleel on ringjoon, mis asub ekvaatori tasandiga paralleelsel tasapinnal. (13 22=286)

28) Maakera pinnale joonistati viltpliiatsiga 17 paralleeli ja 24 meridiaani. Mitmeks osaks jagasid tõmmatud jooned maakera pinna? Meridiaan on ringi kaar, mis ühendab põhja- ja lõunapoolust. Paralleel on ringjoon, mis asub ekvaatori tasandiga paralleelsel tasapinnal. (18 24 =432)

29) Kui suur on vähim järjestikuste arvude arv, mis tuleb võtta, et nende korrutis jaguks 7-ga? (2) Kui probleemipüstitus kõlaks järgmiselt: „Mis on väikseim järjestikuste arvude arv, mis tuleb võtta, et nende korrutis garanteeritud jagub 7-ga? Siis peaksite võtma seitse järjestikust numbrit.

30) Kui suur on väikseim järjestikuste arvude arv, mis tuleb võtta, et nende korrutis jaguks 9-ga? (2)

31) Kümne järjestikuse arvu korrutis jagatakse 7-ga. Millega saab jääk olla võrdne? (0) 10 järjestikuse arvu hulgas jagub üks neist kindlasti 7-ga, seega on nende arvude korrutis seitsmekordne. Seetõttu on jääk 7-ga jagamisel null.

32) Rohutirts hüppab mööda koordinaatjoont suvalises suunas ühikulõigu hüppe kohta. Mitu erinevat punkti on koordinaatjoonel, kuhu võib rohutirts sattuda pärast täpselt 6 hüpet, alustades lähtepunktist? ( rohutirts võib sattuda punktidesse: −6, −4, −2, 0, 2, 4 ja 6; ainult 7 punkti.)

33) Rohutirts hüppab mööda koordinaatjoont suvalises suunas ühikulõigu hüppe kohta. Mitu erinevat punkti on koordinaatide sirgel, kuhu võib rohutirts sattuda pärast täpselt 12 hüpet, alustades lähtepunktist? ( rohutirts võib olla punktides: −12, −10, −8, −6, −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8, 10 ja 12; ainult 13 punkti.)

34) Rohutirts hüppab mööda koordinaatjoont suvalises suunas ühikulise lõigu jooksul hüppe kohta. Mitu erinevat punkti on koordinaatsirgel, kuhu võib rohutirts sattuda pärast täpselt 11 hüpet, alustades lähtepunktist? (võib esineda punktides: -11, -9, -7, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, 9 ja 11; kokku 12 punkti.)

35) Rohutirts hüppab mööda koordinaatjoont suvalises suunas ühikulõigu hüppe kohta. Mitu erinevat punkti on koordinaatide sirgel, kuhu võib rohutirts sattuda pärast täpselt 8 hüpet, alustades lähtepunktist?

Pange tähele, et rohutirts võib jõuda ainult paariskoordinaatidega punktidesse, kuna hüpete arv on paaris. Maksimaalne rohutirts võib olla punktides, mille moodul ei ületa kaheksat. Seega võib rohutirts sattuda punktidesse: −8, −6,-2 ; −4, 0,2, 4, 6, 8, kokku 9 punkti.

Ülesanne nr 5922.

Omanik leppis töölistega kokku, et nad kaevavad kaevu järgmistel tingimustel: esimese meetri eest maksab ta neile 3500 rubla ja iga järgmise meetri eest 1600 rubla rohkem kui eelmise meetri eest. Kui palju raha peab omanik töötajatele maksma, kui nad kaevavad 9 meetri sügavuse kaevu?

Kuna iga järgmise arvesti tasu erineb sama numbri võrra eelmise eest tasumisest, on meil ees.

Selles järgus - esimese arvesti tasu, - iga järgneva arvesti maksete erinevus, - tööpäevade arv.

Aritmeetilise progressiooni liikmete summa leitakse järgmise valemi abil:

Asendame need probleemid selle valemiga.

Vastus: 89100.

Ülesanne nr 5943.

Vahetuskontoris saate teha ühe kahest toimingust:

· 2 kuldmündi eest saad 3 hõbedat ja ühe vaskmündi;

· 5 hõbemündi eest saad 3 kulda ja ühe vaskmündi.

Ülesanne nr 5960.

Rohutirts hüppab piki koordinaatjoont mis tahes suunas ühikulise lõigu jaoks hüppe kohta. Mitu erinevat punkti on koordinaatsirgel, kuhu võib rohutirts sattuda pärast täpselt 5 hüpet, alustades lähtepunktist?

Kui rohutirts teeb viis hüpet ühes suunas (paremale või vasakule), jõuab ta punktidesse koordinaatidega 5 või -5:

Pange tähele, et rohutirts võib hüpata nii paremale kui ka vasakule. Kui ta teeb 1 hüppe paremale ja 4 hüpet vasakule (kokku 5 hüpet), jõuab ta punkti koordinaadiga -3. Samamoodi, kui rohutirts teeb 1 hüppe vasakule ja 4 hüpet paremale (kokku 5 hüpet), jõuab ta punkti, mille koordinaat on 3:

Kui rohutirts teeb 2 hüpet paremale ja 3 hüpet vasakule (kokku 5 hüpet), jõuab ta punkti koordinaadiga -1. Samamoodi, kui rohutirts teeb 2 hüpet vasakule ja 3 hüpet paremale (kokku 5 hüpet), jõuab ta punkti, mille koordinaat on 1:

Pange tähele, et kui hüpete koguarv on paaritu, siis rohutirts ei naase koordinaatide alguspunkti, see tähendab, et ta pääseb ainult paaritute koordinaatidega punktidesse:

Neid punkte on ainult 6.

Kui hüpete arv oleks paaris, siis saaks rohutirts naasta koordinaatide alguspunkti ja kõik punktid koordinaatjoonel, mida ta saaks tabada, oleksid paariskoordinaadid.

Vastus: 6

Ülesanne nr 5990

Tigu ronib päevaga 2 m puu otsa, ööga libiseb alla 1 m. Puu kõrgus on 9 m. Mitu päeva võtab teol puu otsa roomamine?

Pange tähele, et selles ülesandes peaksime eristama mõistet "päev" ja "päeva" mõistet.

Probleem küsib, kui kaua täpselt päevadel tigu roomab puu otsa.

Ühe päevaga tõuseb tigu kuni 2 m, ja ühe päevaga tõuseb tigu kuni 1 m (päeva jooksul tõuseb see 2 m ja öösel langeb 1 m).

7 päevaga tõuseb tigu 7 meetrit. See tähendab, et 8. päeva hommikul peab ta roomama 2 m tippu ja kaheksandal päeval läbib selle distantsi.

Vastus: 8 päeva.

Probleem nr 6010.

Kõikides maja sissepääsudes sama number korrust ja igal korrusel on sama palju kortereid. Sel juhul on maja korruste arv suurem kui korrusel asuvate korterite arv, korrusel asuvate korterite arv on suurem kui sissepääsude arv ja sissepääsude arv on suurem kui üks. Mitu korrust on majal, kui seal on kokku 105 korterit?

Maja korterite arvu leidmiseks peate korrutama korterite arvu korrusel ( ) korruste arvuga ( ) ja korrutama sissepääsude arvuga ( ).

See tähendab, et peame leidma ( ) järgmiste tingimuste alusel:

(1)

Viimane ebavõrdsus peegeldab seisundit "Maja korruste arv on suurem kui korterite arv ühel korrusel, korterite arv korrusel on suurem kui sissepääsude arv ja sissepääsude arv on rohkem kui üks."

See tähendab, et ( ) on kõige rohkem suurem arv.

Korrigeerime 105 algteguriteks:

Võttes arvesse tingimust (1),.

Vastus: 7.

Ülesanne nr 6036.

Korvis on 30 seeni: safrani piimakübarad ja piimaseened. On teada, et iga 12 seene hulgas on vähemalt üks safrani piimakübar ja iga 20 seene hulgas on vähemalt üks piimaseen. Mitu safranist piimakorki on korvis?

Sest 12 seene hulgas on vähemalt üks kaamelin(või rohkem) piimaseente arv peab olema väiksem või võrdne.

Sellest järeldub, et safranipiimakorkide arv on suurem või võrdne sellega.

Sest 20 seene hulgast vähemalt üks seen(või rohkem), peab safranipiimakorkide arv olema väiksem või võrdne

Siis leidsime, et ühelt poolt on safranipiimakorkide arv suurem või võrdne 19 , ja teisest küljest - väiksem või võrdne 19 .

Seetõttu on safrani piimakorkide arv võrdub 19.

Vastus: 19.

Probleem nr 6047.

Sasha kutsus Petya külla, öeldes, et ta elas korteris nr 333 seitsmendas sissepääsus, kuid unustas sõna öelda. Majale lähenedes avastas Petya, et maja on üheksakorruseline. Mis korrusel Sasha elab? (Igal korrusel on korterite arv sama, korterite numbrid majas algavad ühega.)

Igal korrusel olgu korterid.

Siis on korterite arv esimeses kuues sissepääsus võrdne

Leiame maksimumi loodusväärtus, mis rahuldab ebavõrdsust ( on kuuenda sissepääsu viimase korteri number ja see on väiksem kui 333.)

Siit

Kuuenda sissepääsu viimase korteri number on

Seitsmes sissepääs algab korterist 325.

Seega korter 333 asub teisel korrusel.

Vastus: 2

Ülesanne nr 6060.

Maakera pinnale joonistati viltpliiatsiga 17 paralleeli ja 24 meridiaani. Mitmeks osaks jagavad tõmmatud jooned maakera pinna? Meridiaan on ringi kaar, mis ühendab põhja ja Lõunapoolus. Paralleel on ringjoon, mis asub ekvaatori tasandiga paralleelsel tasapinnal.

Kujutagem ette arbuusi, mille lõikasime tükkideks.

Tehes kaks lõiget ülalt alla (joonistades kaks meridiaani), lõikame arbuusi kaheks viiluks. Seega, tehes 24 lõiget (24 meridiaani), lõikame arbuusi 24 viiluks.

Nüüd lõikame iga viilu.

Kui teeme 1 põikilõike (paralleelselt), siis lõikame ühe viilu 2 osaks.

Kui teeme 2 põiki lõiget (paralleeli), siis lõikame ühe viilu 3 osaks.

See tähendab, et tehes 17 lõiget, lõikame ühe viilu 18 osaks.

Niisiis, lõikasime 24 viilu 18 tükiks ja saime tüki.

Järelikult jagavad 17 paralleeli ja 24 meridiaani maakera pinna 432 osaks.

Vastus: 432.

Probleem nr 6069

Pulk on tähistatud punase, kollase ja rohelise põikjoontega. Kui lõikad pulga mööda punaseid jooni, saad 5 tükki, kui mööda kollaseid jooni, siis 7 tükki ja kui mööda rohelisi jooni, siis 11 tükki. Mitu tükki saad, kui lõikad pulga kõigi kolme värvi joont mööda?

Kui teete 1 lõike, saate 2 tükki.

Kui teed 2 lõiget, saad 3 tükki.

Üldiselt: kui teed lõike, siis saad tüki.

Tagasi: tükkide saamiseks peate tegema lõike.

Leiame joonte koguarvu, mida mööda pulk lõigati.

Kui lõikate pulga mööda punaseid jooni, saate 5 tükki - seetõttu oli seal 4 punast joont;

kui kollasel - 7 tükki - seetõttu oli seal 6 kollast joont;

ja kui rohelistel - 11 tükki - seega oli seal 10 rohelist joont.

Seega on ridade koguarv võrdne . Kui lõikad pulga mööda kõiki jooni, saad 21 tükki.

Vastus: 21.

Probleem nr 9626.

Ringteel on neli tanklat: A, B, B ja D. Vahemaa A ja B vahel on 50 km, A ja B vahel on 40 km, C ja D vahel 25 km, G ja A vahel on 35 km (kõik vahemaad mõõdetakse mööda ringteed lühimas suunas). Leidke kaugus B ja C vahel.

Vaatame, kuidas tanklad paiknevad. Proovime neid korraldada järgmiselt:

Sellise paigutuse korral ei saa G ja A vaheline kaugus olla 35 km.

Proovime seda:

Sellise paigutuse korral ei saa A ja B vaheline kaugus olla 40 km.

Vaatleme seda võimalust:

See valik vastab probleemi tingimustele.

Vastus: 10.

Probleem nr 10041.

Viktoriini ülesannete nimekiri koosnes 25 küsimusest. Iga õige vastuse eest sai õpilane 7 punkti, vale vastuse eest arvati temalt maha 9 punkti, vastuse puudumise eest 0 punkti. Mitu õiget vastust andis õpilane, kes kogus 56 punkti, kui on teada, et ta eksis vähemalt korra?

Las õpilane annab õiged ja valed vastused ( ). Kuna tema vastas võib olla ka muid küsimusi, saame ebavõrdsuse:

Pealegi, olenevalt olukorrast,

Kuna õige vastus lisab 7 punkti ja vale vastus lahutab 9 ning õpilane saab lõpuks 56 punkti, on võrrand järgmine:

See võrrand tuleb lahendada täisarvudes.

Kuna 9 ei jagu 7-ga, peab see olema jagatav 7-ga.

Las siis olla.

Sel juhul on kõik tingimused täidetud.

Probleem nr 10056.

Ristkülik jagatakse kahe sirge lõikega neljaks väikeseks ristkülikuks. Nende kolme pindala, alustades vasakust ülaosast ja seejärel päripäeva, on 15, 18, 24. Leidke neljanda ristküliku pindala.

Ristküliku pindala on võrdne selle külgede korrutisega.

Kollasel ja sinisel ristkülikul on ühine külg, seega on nende ristkülikute pindalade suhe võrdne teiste külgede pikkuste suhtega (ei ole üksteisega võrdne).

Valgel ja rohelisel ristkülikul on ka ühine külg, seega on nende pindalade suhe võrdne teiste külgede suhtega (ei ole üksteisega võrdne), st sama suhe:

Proportsiooni omaduse järgi saame

Siit.

Probleem nr 10071.

Ristkülik jagatakse kahe sirge lõikega neljaks väikeseks ristkülikuks. Neist kolme ümbermõõt, alustades ülalt vasakult ja seejärel päripäeva, on 17, 12, 13. Leidke neljanda ristküliku ümbermõõt.

Ristküliku ümbermõõt on võrdne selle kõigi külgede pikkuste summaga.

Märgime ristkülikute küljed, nagu on näidatud joonisel, ja väljendame ristkülikute ümbermõõte näidatud muutujate kaudu. Saame:

Nüüd peame leidma, mis on avaldise väärtus.

Lahutame kolmandast võrrandist teise ja lisame kolmanda. Saame:

Paremat ja vasakut külge lihtsustades saame:

Niisiis, .

Vastus: 18.

Probleem nr 10086.

Tabelis on kolm veergu ja mitu rida. Tabeli igasse lahtrisse paigutati naturaalarv nii, et esimese veeru kõigi arvude summa on 72, teises 81, kolmandas 91 ja iga rea arvude summa on suurem kui 13. , kuid vähem kui 16. Mitu rida on tabelis?

Leiame kõigi tabelis olevate arvude summa: .

Olgu tabeli ridade arv .

Vastavalt ülesandele iga rea arvude summa rohkem kui 13, kuid vähem kui 16.

Kuna arvude summa on naturaalarv, rahuldavad selle topeltvõrratuse ainult kaks naturaalarvu: 14 ja 15.

Kui eeldame, et iga rea arvude summa on 14, siis on kõigi tabelis olevate arvude summa võrdne ja see summa rahuldab ebavõrdsust.

Kui eeldame, et iga rea arvude summa on 15, siis on kõigi tabelis olevate arvude summa võrdne ja see arv rahuldab ebavõrdsust.

Seega peab naturaalarv täitma ebavõrdsuse süsteemi:

Ainus loomulik, mis seda süsteemi rahuldab, on

Vastus: 17.

Naturaalarvude A, B ja C kohta on teada, et igaüks neist on suurem kui 4, kuid väiksem kui 8. Nad arvasid ära naturaalarvu, korrutasid selle A-ga, lisasid selle saadud korrutisele B ja lahutasid C. tulemus oli 165. Mis numbrit arvati?

Täisarvud A, B ja C võib olla võrdne numbritega 5, 6 või 7.

Olgu tundmatu naturaalarv võrdne .

Saame: ;

Vaatleme erinevaid võimalusi.

Olgu A=5. Siis B=6 ja C=7 või B=7 ja C=6 või B=7 ja C=7 või B=6 ja C=6.

Kontrollime: ; (1)

165 jagub 5-ga.

Arvude B ja C erinevus on 0 või 0, kui need arvud on võrdsed. Kui erinevus on võrdne , siis võrdsus (1) on võimatu. Seetõttu on erinevus 0 ja

Olgu A=6. Siis B=5 ja C=7 või B=7 ja C=5 või B=7 ja C=7 või B=5 ja C=5.

Kontrollime: ; (2)

Arvude B ja C erinevus on 0 või 0, kui need arvud on võrdsed. Kui erinevus on võrdne või 0, siis võrdsus (2) on võimatu, kuna see on paarisarv ja summa (165 + paarisarv) ei saa olla paarisarv.

Olgu A=7. Siis B=5 ja C=6 või B=6 ja C=5 või B=6 ja C=6 või B=5 ja C=5.

Kontrollime: ; (3)

Arvude B ja C erinevus on 0 või 0, kui need arvud on võrdsed. Arv 165 jagamisel 7-ga jätab jäägiks 4. Järelikult ei jagu see ka 7-ga ja võrdsus (3) on võimatu.

Vastus: 33

Raamatust kukkus välja mitu järjestikust lehte. Viimase lehekülje number enne väljalangenud lehti on 352, esimese lehekülje number pärast maha visatud lehti kirjutatakse samade numbritega, kuid erinevas järjekorras. Mitu lina välja kukkus?

Ilmselgelt on esimese lehekülje arv pärast maha visatud lehti suurem kui 352, mis tähendab, et see võib olla kas 532 või 523.

Iga mahakukkunud leht sisaldab 2 lehte. Seetõttu on lehekülgi paarisarv. 352 on paarisarv. Kui liidame paarisarvule paarisarvu, saame paarisarvu. Seetõttu on viimati langenud lehekülje number paarisarv ja esimese lehekülje number pärast väljalangenud lehti peab olema paaritu ehk 523. Seetõttu on viimati välja visatud lehekülje number 522. Siis saadakse tulemuseks linad.

Vastus: 85

Maša ja karu sõid 160 küpsist ja purgi moosi, alustades ja lõpetades samal ajal. Algul sõi Maša moosi ja Karu küpsiseid, kuid mingil hetkel läksid nad ümber. Karu sööb mõlemat kolm korda kiiremini kui Maša. Mitu küpsist sõi Karu, kui nad sõid moosi võrdselt?

Kui Maša ja Karu sõid moosi võrdselt ja karu sõi ajaühiku kohta kolm korda rohkem moosi, siis ta sõi moosi kolm korda lühema ajaga kui Maša. Teisisõnu sõi Maša moosi kolm korda kauem kui Karu. Kuid samal ajal, kui Maša moosi sõi, sõi karu küpsiseid. Järelikult sõi karu küpsiseid kolm korda kauem kui Maša. Kuid pealegi sõi Karu ajaühikus kolm korda rohkem küpsiseid kui Maša, seega sõi ta lõpuks 9 korda rohkem küpsiseid kui Maša.

Nüüd on võrrandi loomine lihtne. Las Maša sööb küpsiseid, siis sõi karu küpsiseid. Koos sõid nad küpsiseid. saame võrrandi:

Vastus: 144

Letil lillepood Roosidega vaasi on 3: oranž, valge ja sinine. Oranžist vaasist vasakul on 15 roosi ja sinisest vaasist paremal 12 roosi. Kokku on vaasides 22 roosi. mitu roosi on oranžis vaasis?

Kuna 15+12=27 ja 27>22, siis loendati ühes vaasis lillede arv kaks korda. Ja see on valge vaas, sest see peaks olema vaas, mis seisab sinisest paremal ja oranžist vasakul. Niisiis, vaasid on järgmises järjekorras:

Siit saame süsteemi:

Lahutades esimese kolmandast võrrandist, saame O = 7.

Vastus: 7

Kümme sammast on omavahel juhtmetega ühendatud nii, et igast sambast tuleb täpselt 8 juhet. Mitu juhet on nende kümne pooluse vahel?

Lahendus

Simuleerime olukorda. Olgu meil kaks sammast ja need on omavahel juhtmetega ühendatud nii, et igast sambast tuleb täpselt 1 juhe. Siis selgub, et postidelt tuleb 2 juhet. Kuid meil on selline olukord:

See tähendab, et kuigi postidelt tuleb 2 juhet, venitatakse postide vahele ainult üks juhe. See tähendab, et pikendatud juhtmete arv on kaks korda väiksem kui väljaminevate juhtmete arv.

Saame: - väljuvate juhtmete arvu.

Tõmmatud juhtmete arv.

Vastus: 40

Kümnest riigist seitse sõlmisid sõpruslepingu täpselt kolme teise riigiga ja kõik ülejäänud kolm sõlmisid sõpruslepingu täpselt seitsme riigiga. Kui palju lepinguid sõlmiti?

See ülesanne on sarnane eelmisele: kaks riiki allkirjastavad ühe üldlepingu. Igal lepingul on kaks allkirja. See tähendab, et allkirjastatud lepingute arv on poole väiksem kui allkirjade arv.

Leiame allkirjade arvu:

Leiame sõlmitud lepingute arvu:

Vastus: 21

Kolm ühest punktist lähtuvat kiirt jagavad tasapinna kolme erineva nurga alla, mõõdetuna kraadide täisarvuna. Suurim nurk on 3 korda väiksem. Mitu väärtust võib keskmine nurk võtta?

Olgu väikseim nurk võrdne , Siis suurim nurk võrdne . Kuna kõigi nurkade summa on võrdne, on keskmise nurga väärtus võrdne.

Keskmine nurk peab olema suurem kui väikseim ja väiksem kui suurim nurk.

Saame ebavõrdsuse süsteemi:

Seetõttu võtab see väärtusi vahemikus 52 kuni 71 kraadi, see tähendab kõiki võimalikke väärtusi.

Vastus: 20

Miša, Kolja ja Lesha mängivad lauatennist: mängu kaotanud mängija annab teed mängijale, kes selles ei osalenud. Lõpuks selgus, et Miša mängis 12 mängu ja Kolja - 25. Mitu mängu Lesha mängis?

Lahendus

Tuleks selgitada, kuidas turniir on üles ehitatud: turniir koosneb kindlast arvust mängudest; antud mängu kaotaja annab teed mängijale, kes selles mängus ei osalenud. Järgmise mängu lõpus võtab kaotaja koha mängija, kes selles ei osalenud. Järelikult osaleb iga mängija vähemalt ühes kahest järjestikusest mängust.

Uurime, kui palju mänge kokku oli.

Kuna Kolja mängis 25 mängu, peeti turniiril seega vähemalt 25 mängu.

Misha mängis 12 mängu. Kuna ta osales kindlasti igas teises mängus, siis ei mängitud rohkem kui geim. See tähendab, et turniir koosnes 25 mängust.

Kui Miša mängis 12 mängu, siis Lesha ülejäänud 13.

Vastus: 13

Veerandi lõpus pani Petya ühe aine kohta kõik oma hinded järjest üles, neid oli 5, ja mõne nende vahele pani korrutusmärgid. Saadud arvude korrutis osutus võrdseks 3495-ga. Millise hinde saab Petja selles aines veerandis, kui õpetaja annab ainult hinded 2, 3, 4 või 5 ja veerandi lõpphindeks on kõigi jooksvate hinnete aritmeetiline keskmine ümardatuna ümardamisreeglite järgi? (Näiteks 3,2 ümardatakse 3-ni; 4,5 - 5-ni; 2,8 - 3-ni)

Korrigeerime 3495 algteguriteks. Arvu viimane koht on 5, seetõttu jagub arv 5-ga; Numbrite summa jagub 3-ga, seega jagub arv 3-ga.

Sain aru

Seetõttu on Petiti hinnangud 3, 5, 2, 3, 3. Leiame aritmeetilise keskmise:

Vastus: 3

Aritmeetiline keskmine 6 erinevat naturaalarvud võrdub 8-ga. Kui palju peaksite nendest arvudest suurimat suurendama, et nende aritmeetiline keskmine oleks 1 suurem?

Aritmeetiline keskmine on võrdne kõigi arvude summaga, mis on jagatud nende arvuga. Olgu kõigi arvude summa võrdne. Vastavalt probleemi tingimustele seega.

Aritmeetiline keskmine sai 1 võrra rohkem, see tähendab, et see võrdub 9-ga. Kui ühte arvudest suurendati võrra, siis summa suurenes võrra ja sai võrdseks .

Numbrite arv ei ole muutunud ja võrdub 6-ga.

Saame võrdsuse: