Sumea logiikka - matemaattiset perusteet. Sumeiden joukkojen teoria

Huomautus: Luento esittelee menetelmiä taloudellisten ongelmien mallintamiseen sumeiden joukkojen avulla Mathcad-ympäristössä. Esitetään sumeiden joukkojen teorian peruskäsitteet. Esimerkeissä esitetään operaatioita joukkoilla, ominaisuuksien laskeminen. Alkuperäisiä ongelmia tarkastellaan, joissa päätöksentekoprosessissa sovelletaan sumea-multiple-lähestymistapaa. Mallinnustekniikka toteutetaan Mathcad-ohjelman matriiseilla.

Luennon tarkoitus. Esittele sumeat sarjat. Opettaa asettamaan tehtävä sumean usean mallin rakentamiseen. Näytä, kuinka luodaan sumeita joukkoja ja miten niitä käytetään Mathcadissa. Esittää menetelmiä sumean moninkertaisen mallin ratkaisemiseksi ongelmien ratkaisuprosessissa.

6.1 Fuzzy-multiple -mallinnus

Kun mallinnetaan laajaa luokkaa todellisia esineitä, on tarpeen tehdä päätöksiä epätäydellisen sumean tiedon olosuhteissa. Mallintamisen nykyaikainen perspektiivisuunta erilainen epävarmuustekijät on sumeiden joukkojen teoria. Sumean joukkoteorian puitteissa on kehitetty menetelmiä inhimillisen päättelyn formalisoimiseksi ja mallintamiseksi, kuten käsitteet "enemmä tai vähemmän korkea inflaatio", "vakaa asema markkinoilla", "arvokkaampi" jne.

Amerikkalainen tiedemies L.A. Zade (1965) ehdotti ensimmäistä kertaa sumeiden joukkojen käsitettä. Hänen ideansa kehittivät sumeaa logiikkaa. Toisin kuin tavallinen logiikka, jossa on kaksi binääritilaa (1/0, Kyllä/Ei, Tosi/Epätosi), sumean logiikan avulla voit määrittää väliarvot standardipisteiden välillä. Esimerkkejä tällaisista arvioinneista ovat: "todennäköisemmin kuin ei", "todennäköisesti kyllä", "hieman oikealle", "jyrkästi vasemmalle" toisin kuin tavalliset: "oikealle" tai "vasemmalle", "Joo". Sumeiden joukkojen teoriassa sumeat luvut otetaan käyttöön erikoistyypin sumeina osajoukkoina, jotka vastaavat lauseita, kuten "muuttujan arvo on suunnilleen yhtä suuri kuin a". Harkitse esimerkkinä kolmion muotoista sumeaa lukua , jossa on kolme pistettä: pienin mahdollinen, odotetuin ja maksimi mahdollinen merkitys tekijä a. Kolmioluvut ovat käytännössä yleisimmin käytetty sumea lukutyyppi, lisäksi niitä käytetään useimmiten ennustavina parametriarvoina. Esimerkiksi seuraavan vuoden inflaation odotusarvo. Olkoon todennäköisin arvo 10%, pienin mahdollinen arvo 5% ja suurin mahdollinen arvo 20%, niin kaikki nämä arvot voidaan vähentää sumean osajoukon tai sumean luvun A muotoon: A: ( 5, 10, 20)

Sumeiden lukujen käyttöönoton myötä osoittautui mahdolliseksi ennustaa parametrien tulevat arvot, jotka muuttuvat määritetyn lasketun alueen sisällä. Esitetään joukko operaatioita sumeille luvuille, jotka pelkistetään algebrallisiksi operaatioiksi tavallisilla luvuilla, kun tietty luottamusväli (jäsentaso) on määritetty. Sumeiden lukujen käytön avulla voit asettaa ennustettujen parametrien arvojen arvioidun käytävän. Sitten asiantuntija arvioi odotetun vaikutuksen myös sumeana lukuna, jolla on oma laskennallinen hajonta (sumeusaste).

Sumea logiikka ihmisen ajatteluprosessien mallina on rakennettu tekoälyjärjestelmiin ja automaattisiin tukityökaluihin päätöksenteko(erityisesti ohjausjärjestelmissä teknisiä prosesseja).

6.2 Sumean joukkoteorian peruskäsitteet

Joukko on määrittelemätön matematiikan käsite. Georg Cantor (1845-1918) saksalainen matemaatikko, jonka työn taustalla moderni teoria asettaa, antaa sellaisen käsitteen: "... joukko on paljon, ajateltavissa yhtenä."

Joukkoa, joka sisältää kaikki tehtävässä käsitellyt objektit, kutsutaan universaaliksi joukoksi. Universaali setti on yleensä merkitty kirjaimella . Universaali setti on maksimaalinen joukko siinä mielessä, että kaikki objektit ovat sen elementtejä, ts. ongelman väite on aina totta. Minimisarja on tyhjä setti– joka ei sisällä mitään elementtiä. Kaikki muut käsiteltävän tehtävän joukot ovat joukon osajoukkoja. Muista, että joukkoa kutsutaan joukon osajoukoksi, jos kaikki elementit ovat myös joukon elementtejä. Joukon osoitus on sääntö, jonka avulla voidaan yksiselitteisesti määrittää minkä tahansa universaalin joukon elementin suhteen, kuuluuko se joukkoon vai ei. Toisin sanoen se on sääntö sen määrittämiseksi, mikä kahdesta väittämästä tai , on tosi ja mikä epätosi. Yksi tapa määrittää joukkoja on käyttää ominaisfunktiota.

Joukon tunnusfunktio on funktio, joka on määritetty yleisjoukolle ja joka saa arvon yksi niille joukon alkioille, jotka kuuluvat joukon alkioihin, ja arvon nolla niille alkioille, jotka eivät kuulu:

(6.1)

Esimerkkinä harkitse universaali setti ja sen kaksi osajoukkoa: - lukujen joukko, jotka ovat pienempiä kuin 7, ja - joukko lukuja, jotka ovat hieman pienempiä kuin 7. Joukon tunnusfunktiolla on muoto

(6.2)

Aseta sisään tämä esimerkki on tavallinen setti.

On mahdotonta kirjoittaa joukon ominaisfunktiota käyttämällä vain 0 ja 1. Pitäisikö esimerkiksi numerot 1 ja 2 sisällyttää? Onko 3 vähemmän kuin 7 "paljon" vai "ei paljon"? Näihin ja vastaaviin kysymyksiin voidaan saada vastauksia riippuen ongelman olosuhteista, joissa joukkoja ja käytetään, sekä tämän ongelman ratkaisevan subjektiivisen näkemyksen mukaan. Joukkoa kutsutaan sumeaksi joukoksi. Käytettäessä sumean joukon ominaisfunktiota ongelmanratkaisu(asiantuntija) voi ilmaista mielipiteensä siitä, missä määrin jokainen joukon numero kuuluu joukkoon . Jäsenyyden asteena voit valita minkä tahansa numeron segmentistä. Samalla se tarkoittaa asiantuntijan täydellistä luottamusta, että - on aivan yhtä täydellistä luottamusta, mikä tarkoittaa, että asiantuntijan on vaikea vastata kysymykseen kuuluuko hän joukkoon vai ei. Jos , niin asiantuntija on taipuvainen viittaamaan joukkoon , jos , sitten ei ole taipuvainen.

Sumean joukon jäsenyysfunktio on funktio, joka

Tällaista funktiota kutsutaan jäsenyystoiminto sumeaa settiä. - Suurin arvo joukossa olevaa jäsenfunktiota - ylärajaa - kutsutaan supremumiksi. Jäsenyystoiminto heijastaa asiantuntijan subjektiivista näkemystä tehtävästä, tuo yksilöllisyyttä sen ratkaisuun.

Tavallisen joukon ominaisfunktiota voidaan pitää tämän joukon jäsenyyden funktiona, mutta toisin kuin sumeassa joukossa, se saa vain kaksi arvoa: 0 tai 1.

Sumea joukko on pari , missä - universaali setti, - jäsenyystoiminto sumeaa settiä.

Kantoaaltojoukko tai sumean joukon kantoaalto on joukon osajoukko, joka koostuu elementeistä, joilla .

Sumean joukon siirtymäkohtaa kutsutaan set elementti, johon .

Tarkasteltavassa esimerkissä, jossa , on joukko pienempiä lukuja kuin 7, on joukko lukuja, jotka ovat hieman pienempiä kuin 7, valitsemme subjektiivisesti arvot joukolle, joka muodostaa jäsenyysfunktion. Taulukko 6.1 luettelee jäsentoiminnot for ja for ja .

Taulukko 6.1.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	1	1	1	1	1	0	0	0	0
0	0	0,5	0,6	0,8	0,9	0	0	0	0

Usein käytetään äärellisten tai laskettavien sumeiden joukkojen kompaktimpaa merkintää. Joten yllä olevan osajoukkojen ja taulukkoesityksen sijaan nämä osajoukot voidaan kirjoittaa seuraavalla tavalla.

Hei kansalaiset ja kansalaiset. Vasemman kantapään käskystä päätin aloittaa populaaritieteellisten artikkelien sarjan, jossa selitän tekoälyn perusteet. Siksi tulen jatkossa kokeilemaan vierailevan luennoitsijan roolia kertoen miten avaruusaluksia kyntää Bolshoi-teatterin laajuuksia.

En voi julkaista yhtä artikkelia päivässä, joten en lupaa mitään, jotta en nolaa itseäni näillä velvoitteilla. Ainoa asia: en kiusaa muita runsaalla matematiikan kanssa, yritän ilmaista kaiken mahdollisimman helposti, mutta ilman kiroilua. Aloitan syklin sumean logiikan laitteistolla, jossa selitän mikä on sen älykkyys.

Aloittaa lyhyt poikkeama joukkoteoriassa. Joukko on kokoelma useita objekteja, joilla on tietty ominaisuus. Esimerkiksi joukko ihmisiä planeetallamme. Sarja Audi-autoja RGB-värikoordinaateilla (255, 165, 0). Sarja kaikista uroskakaduista, jotka istuvat oksalla yhdellä käpälällä täsmälleen klo 15.39 GMT. Terävien settien ydin on niiden ehdottomassa luokittelussa. Eli sen määrittämiseksi, kuuluuko objekti johonkin joukkoon, on vastattava kysymykseen, onko sillä ominaisuus, joka määrittää tämän joukon. Ei oikeastaan. Ei enempää ei vähempää. Onko yksikkö suurempi kuin nolla? Joo. Joten se kuuluu positiivisten lukujen joukkoon.

Siirrytään lähemmäksi kehoa, sumeiden joukkojen teoriaa. Sen loi azerbaidžanilaista alkuperää oleva amerikkalainen tiedemies Lotfi Zadeh mukauttaakseen joukkoteoriaa ihmisen ajattelutapaan. Loppujen lopuksi, miten ihminen ajattelee? Jos rannalla ollessasi kysyt uimarilta: "Kerro minulle, rakas mies, mikä on veden lämpötila Fahrenheit-asteikolla, asteen kymmenesosaan?" - hän katsoo sinua kuin olisit henkisesti sairas. Ja jos kysyt: "Kuinka vesi on tänään?", Hän sanoo: "Kylmä / kuuma / lämmin" tai mutisee "märkä", jos tämä päivä ei ole hengessä. Koko tsimes on sitä" kylmä vesi"on melko epämääräinen sanamuoto. Toinen paistattelee autuudessa, jossa toinen juoksee rantaan paistattelemaan kahdessa minuutissa. Näin ihminen toimii, subjektivismia ja puutetta selkeät rajat- tämä koskee meitä.

Jotkut ovat jo pystyneet selvittämään, miksi sumeat sarjat. On erittäin vaikeaa määrittää, kuinka monella ihmisellä on omaisuus "korkealla". Minulle, kaksimetriselle komealle miehelle, olkapäässä vino syvyys, pitkä ei ainakaan ole alempana kuin korvani. Ja lyhyt puolitoistametrinen mies katsoo 170 cm:n pituista henkilöä pää ylhäällä - hänelle korkea kasvu alkaa paljon aikaisemmin. Tässä on kyse subjektiivisuudesta.

Toinen vaikeus on rajojen hämärtyminen. Onko mahdollista määrittää tarkasti senttimetrien lukumäärä, joka erottaa keskipitkän henkilön lyhyestä? 170 ja puoli? 172 ja kolme neljäsosaa? Jako on hyvin, hyvin ehdollinen. Olemme siis tulleet lähelle eroa sumeiden ja selkeiden joukkojen välillä.

Rumpunpyörintä, Mkhatovin tauko… Sumeat joukot eroavat siis terävistä siinä, että sumeisiin sarjoihin kuuluvilla objekteilla voi olla ominaisuus, joka määrittelee ne eriasteisesti. Sovimme, että katsomme tämän jäsenasteen olevan alueella nollasta yhteen, mutta jos se on jollekin mukavampaa, niin hän voi kertoa 100:lla, niin saat prosentteja.

Oletetaan, että juot palavaa kahvia, kuppi savuaa. Varmuudella 0,99 (99 prosenttia - ensimmäinen ja viimeinen kerta, kun teen työn puolestasi), voidaan väittää, että kahvilla on "kuuma" ominaisuus. Jos sen (tässä mielessä kahvin) lämpötila on 50 celsiusastetta, kiinteistön "kuuma" hallussapitoaste on paljon pienempi, esimerkiksi 0,76 (laske nyt itse). Samaan aikaan on objekteja, jotka kuuluvat "kuumaan" joukkoon nollalla tai yhdellä asteella. Esimerkiksi puolijäädytettyä kahvia voi kutsua kuumaksi vain hullu tai se, joka ei osaa venäjän kieltä, ja keittäminen on sata kiloa kuumaa. Esimerkkejä on loputon määrä, onneksi melkein mikä tahansa arkielämässä käytetty ihmiskategoria on sumeaa. Rikkaaseen mielikuvitukseenne luottaen jätän tehtäväkseni etsiä muita esimerkkejä itsenäiseen ratkaisuun.

Miksi tällaisen teorian luominen oli niin tärkeää, miksi siihen kiinnitettiin niin suurta huomiota? Vastaus on yksinkertainen: tänne on piilotettu kultakaivos. Valtava sovellusalue. Oletetaan, että olet insinööri ja tehtäväsi on suunnitella mikroaaltouuni. Mihin lämpötilaan ihminen lämmittää ruoan? Jopa 40,2 °C? Vittu siellä. Jopa kuuma, että on sumea joukko. Ja mikroaaltouunin tehtävänä on antaa muffinssille lämpötila, joka yhdellä varmuusasteella kuuluisi joukkoon "kuuma".

Sitten alkaa hauskin, matematiikan tuntien väliin jääneet voivat hajahtaa sivuille ulvoen. MUTTA? Mitä? Lupasinko tulla ilman? Kuten vanha Arnie sanoi kuuluisa elokuva- "Valehtelin". Jäsenyysaste on yleensä merkitty kreikkalaisella kirjaimella "mu" - μ. Jotta ei kyllästyisi, esitellään kielellisen muuttujan käsite - tämä on sellainen muuttuja, joka voi saada arvon sanojen muodossa ihmiskielellä. Toisin sanoen kielimuuttuja "kasvu" voi saada seuraavat arvot: "korkea", "keskitaso", "matala". Kielellisen muuttujan arvoja kutsutaan termijoukoiksi, kiinnitän huomionne siihen, että ne ovat sumeita. Ja lopuksi on olemassa yleisen joukon käsite - tavallinen, terävä joukko, joka sisältää kaikki arvot, jotka tavallinen muuttuja voi ottaa. Tavallinen muuttuja "henkilön korkeus" voi ottaa arvot nollasta "kuinka monta Guinnessin ennätystä on, en muista".

Jäsenyysfunktion (FP) tehtävänä on määrittää, missä määrin tavallinen muuttuja kuuluu kielellisen muuttujan arvoon. Koska aloin polkemaan pituuden aihetta, kehitän: FP määrittää, missä määrin 184 cm pitkä henkilö kuuluu "keskimääräiseen" termijoukkoon. Näyttäkäämme siis isoäideiltä. Meillä on kielellinen muuttuja. Meillä on useita sen arvoja, joista jokainen on sumea joukko. Lopuksi meillä on universaali joukko - tavallisen muuttujan numeeristen arvojen joukko. Edessämme on seuraava tavoite: määrittää kullekin sumealle joukolle oma jäsenyysfunktionsa, ts. määritä jokaiselle yleisjoukon elementille jäsenyyden aste vastaavaan sumeaan joukkoon. Sitten voimme etsiä muuttujan tiettyä arvoa ja nähdä, missä määrin se kuuluu mihin tahansa sumeaan joukkoon. Kaikki, myrsky on ohi, voit pyyhkiä hiki pois ja rentoutua hetken. Sitten lähtee hauskoja kuvia, jonka jälkeen jatketaan hauskanpitoa vielä hetken. Kuvissa havainnollistan jäsenfunktion merkitystä, näytän minkälaisia nämä eläimet ovat, minkä kanssa ne syövät ja selitän kuinka näitä eläimiä rakennetaan. Palataanpa suosikkiaiheeseesi ihmisen kasvusta. Otetaan esimerkkinä "keskiarvo" ja piirretään jäsenfunktiokaavio.

Nyt aseistettuna teroitetulla kynällä voit valita minkä tahansa arvon "x" ja katsoa, missä määrin tämä x täyttää keskipituuden ehdon. Se, että kahdeksankymmentä metriä on rautaa. Mittari seitsemänkymmentäkaksi - asteella 0,5. Viisikymmenen metrin kasvu ei ole keskimääräistä, joten kuuluvuusaste on nolla. Ja niin edelleen. Huomaa, että pelkistettyä funktiota kutsutaan kolmiomaiseksi. Vaikea uskoa, mutta kuitenkin.

Mutta otimme valmiin toiminnon, jonka joku (joku!) ystävällisesti tarjosi meille. Kuinka rakentaa vastaava toiminto itse? On kaksi tapaa: yksinkertainen ja ongelmallinen. Ilmeisistä syistä kuvailen vain yksinkertaista. Ensin sinun on koottava asiantuntijaryhmä. Eli ne laiskut, jotka uskovat ymmärtävänsä kaiken ja tietävänsä kuinka maailma todella toimii. Anna jokaiselle asiantuntijalle kynä ja muistilehtiö. Listaa sitten muuttujan arvot ja pyydä laittamaan "1" (tikku, risti - valinnainen) tämän arvon eteen, jos asiantuntija uskoo, että muuttujan arvo kuuluu sumeaan joukkoon. Nolla - muuten. Sitten jokaiselle muuttujan arvolle summaa nollat ja ykköset ja ota keskiarvo - eli jaa saatu määrä joutokäyntien lukumäärällä. Tuloksena oleva arvo on alueella nollasta yhteen (molemmat arvot ovat mukana). Jotkut saattavat arvata, että saimme jäsenfunktion arvon muuttujan tietylle arvolle. Saatuasi FP-arvot kaikille muuttujan x arvoille, voit rakentaa kaavion. Tai älä rakenna, jos olet liian laiska.

Sumeiden joukkojen matemaattinen teoria, luotu 60-luvulla. Ratkaisemaan kapea utilitaristinen kuviontunnistuksen ongelma, sillä on tällä hetkellä sovelluksia eniten eri aloilla tieteellinen ja Taloudellinen aktiivisuus- tekoälyn luomisesta viidennen sukupolven tietokoneissa monimutkaisten teknisten prosessien hallintaan.
Tämä teoria perustuu sumean joukon ja jäsenfunktion käsitteisiin, joiden määritelmä on annettu alla.

Olkoon E joukko, laskettava tai ei, niiden: - E:n alkio. Sitten joukon E sumea osajoukko A määritellään joukoksi järjestettyjä pareja - tunnusomaista jäsenyysfunktiota, joka ottaa arvonsa kaivossa. järjestysjoukko M, joka ilmaisee elementin x jäsenyysasteen osajoukossa A. Joukkoa M kutsutaan jäsenjoukoksi.
Havainnollistamme sumeiden joukkojen teorian soveltamista taloustieteessä esimerkkinä, jossa lasketaan tukkuliikkeen tuleva valikoima yhdessä tuoteprofiilissa, jossa on kiinteä kauppa-alue. Lupaavan alueen alle Tämä tapaus ymmärretään joukoksi tavaroita, joilla on varmasti kysyntää kuluttajien keskuudessa - tässä tapauksessa vähittäiskaupan yrityksissä, jotka kuuluvat tukkukaupan organisaation tehokkaan kaupallisen toiminnan alueelle. Lupaavan valikoiman löytäminen takaa tukkuorganisaatiolle sellaisen valikoimaytimen muodostumisen, joka myydään markkinoille minimaalisella riskillä ja auttaa myös heijastamaan sen yleisiä trendejä. kuluttajamarkkinat johon organisaatio Tukkukauppa harjoittaa kaupallista toimintaansa.
Onnistunut ratkaisu Tehtävä löytää lupaava valikoima antaa sinun tehdä päätöksen kaupan tekemisestä analysoidessasi saapuvaa Mainostarjous.
Annettu:
X = \xr x2,..., xn) - joukko tavaroita, jotka ovat saatavilla tukkukaupan yrityksen varastossa tai esitetään kaupallisina tarjouksina.
Y = (yy y2,..., yur) on tavaroiden attribuuttien joukko.
Z = (zr z2,., zm) on joukko katsottuja vähittäiskaupan yrityksiä - tukkukaupan organisaation kuluttajia.
On määritettävä tukkukaupan organisaation mahdollinen valikoima, ts. asettaa x; tyydyttääkseen Z:n oletetut pyynnöt.
Malli on rakennettu seuraavilla oletuksilla:

markkinoilla on toimittajia ja kuluttajia - vastaavasti tukku- ja vähittäiskaupan organisaatioita;
vähittäiskauppiaiden zt, z2,..., zm kaupalliset pyynnöt huomioidaan ja mahdollisuuksien mukaan tyydytetään niiden vastaanottoajasta riippumatta.
liiketoimia tukku- ja vähittäiskauppiaiden välillä kauppajärjestöt on erilainen järjestys, joka määräytyy vähittäiskauppaorganisaatioiden painofunktion mukaan käyttämällä esim
vertaisarviointi, joka perustuu aikaisemman kaupallisen toiminnan tuloksiin;
tavarat xp x2,...,xn ovat ominaisia p-ominaisuuksilla;
attribuuttien yy y2,...,ur kuuluvuus tavaroihin vaihtelee yksittäisten tavaroiden xp x2,..., xn välillä;
yhtä hyödykettä pidetään parempana toiselle aina, kun sen ominaisuudet ovat v. tärkeyden suhteen ovat lähempänä kuluttajan z. (jälleenmyyjä).

Olkoon l x Y -gt; - sumean binäärirelaation R jäsenyysfunktio, määritetty asiantuntijan avulla.
Suhde R esitetään matriisimuodossa seuraavasti:
.U, U2 " * * Ur ¦

%r(xi'Y i)^r(xpY2) ^r(xi"Ur)

X2
*„1,іzh(\'Uі) y2-gt; suosikki
Tässä matriisissa kunkin rivin elementit ilmaisevat ominaisuuksien suhteellisia kuulumisasteita tiettyihin tuotteisiin. Mitä suurempi arvo, sitä tärkeämpi attribuutti.
Olkoon fs:7xZ-gt; on sumean binäärirelaation S jäsenyysfunktio. Kaikille y є Y ja kaikille zeZ φ5(y, z) on yhtä suuri kuin vähittäiskauppayrityksen z yhteensopivuus attribuutin y kanssa. Mitä suurempi funktion arvo on, sitä paremmin tämä ominaisuus on yhteensopiva tietyn yrityksen kanssa. jälleenmyynti.
Matriisimuodossa tällä suhteella on muoto:
Matriisin S arvo heijastaa ominaisuuksien Yt suhteellista merkitystä yrityksen päätöksenteossa
minkä tahansa tuotteen erän ostamisesta harkitsemamme tukkuliikkeeltä.

Z, ... Z
2 p
Matriiseista R ja S saadaan matriisi T:
jonka elementit määrää jäsenyysfunktio
? IR(X, Y) -f(Y, Z,)
Pl/Xgt; zi) =¦
, kaikille xe X, ye Y, zi Z.
Summa 2, fv(x, y) on yhtä suuri kuin sumean osajoukon aste,
klo
ilmaisee tuotteen d:n tärkeimpien ominaisuuksien lukumäärän y: jälleenmyyjän näkökulmasta. Seuraava matriisi on rakennettu:
^A,(xl'zl) L 1*A7(X1-z2gt; - Iі L /*/¦ zm-l) L Ml (xl'zm)\
'*m-i t
minä
\!lAt(xn'Zl)^ltA7(xn-z2) - ,(xn-zm-l) L TA (xn-zm)\
"1*t-1t"
jossa konjunktio A tarkoittaa parikohtaista minimioperaatiota. Jako-/aluekynnystä rajoittaa ehto
i.j X ЯІ ‘ Aj 3
Kun kynnys I on valittu, on mahdollista määrittää mille tahansa z:lle asetettu taso:
M\ \u003d (x \u, (x) gt; tіptachtіn (u (x, z), u (x, z))),
I 1 L, j x I 1 L] J
YxeMr
Olkoon oj(z) painotusfunktio, joka antaa kullekin jälleenmyyjälle sen painon aikaisemman kaupallisen toiminnan perusteella.

Tukkukaupan yrityksen valikoimaa kuvaa tasojoukkojen liitto:
m = U 0) (z) Mr
І
Mahdollisen valikoiman laskelma auttaa tukkumyyjää määrittämään:
miten tuotevalikoimaa optimoidaan (mitä tuotteita on pidettävä varastossa säilyttäen samalla kuluttajarakenne);
kuinka muuttaa valikoimakonseptia tietylle palvelualueen muutokselle, ts. mihin strategisiin toimenpiteisiin on ryhdyttävä, jos yksittäisten vähittäiskauppaorganisaatioiden palveltujen kuluttajien määrä poistuu;
kuinka optimoida palvelualue (tässä tapauksessa tämä on tehokkaan kaupallisen toiminnan alue) jättäen valikoimasta pois tuotteet, joiden ominaisuudet eivät tyydytä tukkumyyntiorganisaatiota, tai mukaan lukien tavarat, joiden ominaisuudet sopivat siihen).
Havainnollistaaksesi tätä ongelmaa, harkitse yksinkertaistettua numeerista esimerkkiä.
Anna tukkukaupan organisaatiossa olla 6 kulutustavaraa varastossa (x „ x2, ..., x6) ja toimita ne kolmelle kuluttajalle - Zj (iso tavaratalo), z2 ( pieni kauppa) ja z3 (teltta).
Otetaan seuraavat tarkasteltavien tavaroiden ominaisuuksiksi:
yt - "hinta", y3 - "ulkonäkö"
y2-"laatu", y4-"kausiluonteisuus",
y5-"vaihe elinkaari tavarat".
Olkoon: X x Y -gt; ja f5: Y x Z-gt; [O, 1] saadaan seuraavilla matriiseilla:

1	0,8	0,5	1	0,2		1	0,5	noin
0,8	0,7	1	0,1	0,7		1	0,5	0
0,5	0,5 0,3		1	0,7	gt;	1	0,3	1
0,5	0,3	0,9	0,1	0,2	5 =	0	1	0.5
0,3	0,4 0,1		0	0		1	0	0,5
0,5 0,5		1	1	0,5/		,		і

ja painofunktion arvot ovat:
co(Zj) = 30, w(z) = 20, co(z,) = 15.

Tavaran ominaisuudet matriisissa R osoittavat esimerkiksi, että tuote x on kallis, laadukas, ulkoisesti huomaamaton, sesonkiajan mukainen, mutta teknisesti hieman vanhentunut (tai päinvastoin vasta tulossa markkinoille ja on ostajille vielä tuntematon).
Matriisin 5 myymälöiden ominaisuudet osoittavat esimerkiksi, että toinen kuluttaja, kauppa z2, on ahtaalla varastoissa ja käy siksi mieluummin kauppaa tiettyä vuodenaikaa vastaavilla tavaroilla, mikä seuraa funktion φ$(y4, zJ.
Laskemme matriisin T:

/0,714	0,586	0,314
0,97	0,348	0,41
0,667	0,53	0,234
0,95	0,34	0,525
1	0,475	0,125
\ 0,714	0,514	0,5

Huomaamme tarkkaavaiselle lukijalle etukäteen, että jo tässä vaiheessa voidaan olettaa, että tuotteen x6, kuten matriisin T viimeisestä rivistä seuraa, ostavat todennäköisesti kaikki kolme kuluttajaa.
Parittaisella tiedolla saadaan matriisi W:

(0,586	0,314	0,314
0,348	0,41	0,348
0,53	0,234	0,234
0,34	0,525	0,34
0,475	0,125	0,125
№,514	0,5	0,5

Laskelmien tässä vaiheessa otetaan huomioon kilpailu kuluttajien ja myymälöiden zr z2 ja z) välillä.
Seuraavaksi löydämme maksimielementit kustakin matriisin W sarakkeesta:
maxmin(nAi(x, zl)tjiAJx, z2)) = 0,586; maxmm(nA](x, zl), nAJx, z3)) = 0,525; maxminfnAJx, r2),cA](x, z))) = 0,5.

(x, x2, x3, x4, x), x6,) ,
(Xg x3, xy x6),
(x4,x6,),
Suuressa zt-tavaratalossa on siis hyvät mahdollisuudet käydä kauppaa koko irtotavarana tarjottavalla tuotevalikoimalla, z2-myymälä välttyy varastotilan puutteen vuoksi ostamasta tavaroita, joiden myynti kestää kauan ja z3-teltta kestää vain näyttäviä ja suhteellisen edullisia tavaroita. X6-tuotteen suuri kysyntä ei ole sattumaa, se on todellakin loistavilla ominaisuuksilla varustettu tuote: sen hinta on keskimääräinen, se näyttää hyvältä, vastaa sesonkia ja on varsin tuttu vähittäisostajalle.
Painofunktion arvojen avulla saamme valikoiman arvot:
M = (50xp 30x2, 50x3, 45x4, 50x), 105x6)
Tämän tehtävän tuloksia on helppo käyttää, kun teet päätöstä kaupan tekemisestä (analysoitaessa saapuvaa kaupallista tarjousta).
Tätä varten, kun olet määrittänyt ehdotetun tuotteen xn + jäsenyysfunktion, suorita laskenta yllä olevan algoritmin mukaisesti ja määritä, missä määrin tämä tuote kuuluu lupaavan valikoiman tavaroiden joukkoon, ja jos kuuluu, niin syrjäyttääkö se mitään tavaraa sarjasta xr,...,xn jo tukkukauppiaan varastossa.
Tämän arvion perusteella kaupan toteuttamisesta vastaava henkilö voi tehdä positiivisen, odottavan tai kielteisen päätöksen.

K. Hirota (valtio- ja oikeusinstituutti)

Yli neljännesvuosisata on kulunut siitä, kun L. A. Zade Kalifornian yliopistosta ehdotti sumeiden joukkojen teoriaa. Tämä teoria on kehittynyt moniin suuntiin, joten kestää melko kauan omaksua kaikki sen ideat. Sen soveltamiseksi tietyllä alueella riittää kuitenkin pieni määrä käsitteitä. Alla tarkastellaan sumeiden joukkojen teorian pääsäännöksiä sen nopean hallitsemiseksi sovelletulla alalla. Ensinnäkin tutkimme terävien joukkojen teoriaa ja kaksiarvoista Boolen logiikkaa. Sitten niiden pohjalta siirrytään sumean joukkoteorian ja sumean logiikan käsitteisiin. Lisäksi kiinnitetään huomiota sumeisiin johtopäätöksiin, jotka ovat erityisen tärkeitä tämän teorian soveltamisen kannalta, sekä sumeisiin tuotantosääntöihin ja sumeisiin suhteisiin.

2.1. TYHJENNÄ ASETUKSET

Englanninkielinen sana fuzz, josta adjektiivi fuzzy (fuzzy) on johdettu, tarkoittaa "kasaa" - erikoistermiä, joka määrittelee kankaiden ominaisuuden. Kun katsomme fleecy-kankaalla olevaa piirustusta, se näyttää meistä epäselvältä, joten kun sanomme "sumea", tarkoitamme "epäselvää", "sumeaa". Esimerkiksi sumeaa settiä kutsumme kaikki japanilaiset kaunottaret. Tämän määritelmän merkitys on meille selvä, mutta meidän on vaikea sanoa, kuuluuko tämä vai tuo tyttö tähän joukkoon yksiselitteisesti, vain sanojen "kyllä" tai "ei" avulla; siis kyseessä on tutkimuksen kohteiden määrittelemättömät, ei-tiukat ominaisuudet.

Sitä vastoin maailmaa, jonka ominaisuudet voidaan määritellä tiukasti kahdella sanalla, esimerkiksi "mies vai nainen?", kutsutaan selkeäksi maailmaksi. Siksi kutsutaan logiikkaa tietokoneille, jotka käsittelevät 0:ta ja 1:tä

selkeä logiikka ja tavalliset joukot - selkeät joukot. Näiden käsitteiden jatkeena voidaan harkita sumeaa logiikkaa ja sumeita joukkoja. Valmistautuaksemme näiden käsitteiden ymmärtämiseen, tutkimme ensin terävien joukkojen teoriaa.

Terävien joukkojen teoria sisältää yleensä aksiomaattisen joukkoteorian ja alkeisjoukkoteorian. Ensimmäinen on yksi matematiikan perusteorioista, se vaatii tarpeeksi korkeatasoinen filosofinen ajattelu. Tässä meille kuitenkin riittää, että laajennamme koulussa opitun joukon käsitteen alkeisjoukkoteorian käsitteisiin. Lisäksi sumeiden joukkojen teorian ymmärtämiseksi tarvitsemme ominaisfunktion käsitteen.

Selitetään ensin muutama perustermi ja merkintä. Isot kirjaimet (esimerkiksi X) merkitsevät joukkoa kohteita, joita käsittelemme, ja pienet kirjaimet (esimerkiksi x) - yksittäisiä rakenneosia. Tässä tapauksessa otamme käyttöön merkinnän

Kiharat aaltosulkeet tarkoittavat kokoelmaa esineitä. Itse kokoelmaa (tässä X) kutsutaan aihealueeksi, täydelliseksi tilaksi tai apujoukoksi. sukunimi käytetään erityisen usein sumean ohjauksen alalla. (Sana "apu" matemaattinen analyysi ja monilla muilla alueilla on hieman erilainen sävy, joten kiinnitämme tähän huomiota.) Yksittäisiä rakenneosia kutsutaan yksinkertaisesti elementeiksi tai esineiksi. Se tosiasia, että x on X:n elementti, merkitään seuraavasti:

Täydellisessä avaruudessa X määrittelemme joukon (clear set). Käytämme joukkojen niminä (etiketteinä). isot kirjaimet A, B, C. Oletetaan esimerkiksi, että koko joukko koostuu kymmenestä numerosta

silloin parillisten numeroiden joukko A on joukko

Samalla numero rakenneosat kutsumme joukon tehoa tai kardinaalilukua; esitellään sen merkintä. Yllä olevissa esimerkeissä

Tässä tapauksessa kutsumme sitä singletoniksi. Joukkoa, jossa on äärellinen, kutsutaan äärelliseksi joukoksi, kaikki tällaisen joukon alkiot voidaan kirjoittaa kuten kaavoissa (2.3) ja (2.4), mutta esimerkiksi luonnollisten tai reaalilukujen, eli äärettömien joukon tapauksessa tämä ei voida tehdä. Tällöin käytetään usein tallennusmenetelmää, jossa kaikki joukon ominaisuudet kirjoitetaan pystypalkin oikealle puolelle. Esimerkiksi kaava (2.4) voidaan kirjoittaa muodossa

Lisäksi Venn-kaavioita käytetään usein kuvaamaan käsitettä kuvan muodossa (kuva 2.1).

Edellä mainittujen menetelmien lisäksi crisp-joukon käsitteiden määrittämiseksi on olemassa menetelmä, jossa käytetään ominaisfunktiota. Ominaisuusfunktio, joka määrittelee joukon A koko avaruudessa X, on kuvaus, jonka X on määritelmäalue ja (kaksiarvoinen joukko 0 ja 1) on arvojen alue:

Lisäksi, jos elementti täyttää ominaisuudet A, ja 0, jos ei. Siksi, jos laitamme X vaaka- ja pystyakselille, saamme kuvan 1 graafisen esityksen. 2.2.

Täydellisessä avaruudessa X voidaan tarkastella erilaisia joukkoja, esimerkiksi A joillakin ominaisuuksilla ja B toisilla ominaisuuksilla. Kaikkien tällaisten joukkojen liittoa kutsutaan potenssijoukoksi ja sitä merkitään Esimerkiksi let

sitten tehosarja on

Riisi. 2.1. Esittää joukkoa käyttämällä Wain-kaaviota.

Riisi. 2.2. Joukon määrittely ominaisfunktiota käyttämällä.

Tässä 0 on erityinen joukko ilman elementtejä, sitä kutsutaan tyhjäksi joukoksi. Sen ominaistoiminto

Tässä V:tä kutsutaan universaaliksi kvantoriksi, se voidaan lukea "kaikkina". (Sen lisäksi on olemassa eksistentiaalinen kvantori 3 merkityksessä "on...".) Näitä kvantoijia käytetään usein logiikassa ja tekoäly. Toisin kuin tyhjällä joukolla, koko joukon X ominaisfunktiolla on muoto

Lisäksi joukon kardinaalisuuden osalta yleisessä tapauksessa lause

Tämä voidaan helposti päätellä kaavoista (2.8) ja (2.9).

Tutkitaan nyt joitain joukkojen operaatioita (kuva 2.3). Ensinnäkin joukkojen sisäkkäisyyden relaatio: jos A:n elementit ovat välttämättä B:n elementtejä, niin A:ta kutsutaan B:n osajoukoksi (tai B on A:n superjoukko), jota merkitään (myös totta, jos , mutta , silloin A:ta kutsutaan B:n oikeaksi osajoukoksi). Jos määrittelemme A c: B ominaisfunktion kautta, saadaan seuraava epäyhtälö:

Joukkojen upotussuhteelle voidaan todistaa

Riisi. 2.3. Upotus (a), komplementti (b), tulo (c) ja joukkojen summa

kolmen ominaisuuden voimassaolo:

1) refleksiivisyys

2) antisymmetria

3) transitiivisuus

Voidaan sanoa, että se muodostaa osittain järjestetyn joukon, tai (joukkojen upotusrelaatiolle, yleensä mielivaltaiselle A:lle, B:lle, ei aina ole totta A ja B tai B a A, joten joukkomme ei ole lineaarisesti järjestettävä tai kokonaan tilattu setti.)

Sumeiden joukkojen avulla on mahdollista määritellä muodollisesti epätarkkoja ja polysemanttisia käsitteitä, kuten "korkea lämpötila", "nuori mies", "keskipituus" tai " Iso kaupunki". Ennen kuin muotoillaan sumean joukon määritelmä, on tarpeen määritellä ns. diskurssin universumi. Epäselvän käsitteen "paljon rahaa" tapauksessa yksi summa tunnustetaan suureksi, jos rajoitamme alueen ja täysin erilaisen - valikoimassa. Päättelyalue, jäljempänä välilyönti tai joukko, merkitään useimmiten symbolilla . On muistettava, että se on selkeä sarja.

Määritelmä 3.1

Sumea joukko jossain (ei-tyhjässä) tilassa , joka on merkitty nimellä , on joukko pareja

, (3.1)

Fuzzy Set -jäsenyystoiminto. Tämä toiminto määrittää kullekin elementille sen kuulumisasteen sumeaan joukkoon, kun taas voidaan erottaa kolme tapausta:

1) tarkoittaa, että elementti kuuluu sumeaan joukkoon, ts. ;

2) tarkoittaa sumeaan joukkoon kuuluvan elementin puuttumista, ts.;

3) tarkoittaa elementin osittaista kuulumista sumeaan joukkoon.

Kirjallisuudessa käytetään sumeiden joukkojen symbolista kuvausta. If on avaruus, jossa on äärellinen määrä elementtejä, ts. , silloin sumea joukko kirjoitetaan muodossa

Yllä oleva merkintä on symbolinen. “–”-merkki ei tarkoita jakautumista, vaan jäsenasteiden määrittämistä tietyille elementeille . Toisin sanoen sisääntulo

tarkoittaa paria

Vastaavasti "+"-merkki lausekkeessa (3.3) ei tarkoita yhteenlaskuoperaatiota, vaan se tulkitaan elementtien moninkertaiseksi summaukseksi (3.5). On huomattava, että teräviä sarjoja voidaan kirjoittaa myös samalla tavalla. Esimerkiksi joukko koulun arvosanoja voidaan esittää symbolisesti muodossa

, (3.6)

joka on sama kuin kirjoittaminen

Jos on avaruus, jossa on ääretön määrä elementtejä, niin sumea joukko kirjoitetaan symbolisesti muodossa

. (3.8)

Esimerkki 3.1

Oletetaan, että se on setti luonnolliset luvut. Määritelkäämme luonnollisten lukujen joukon käsite "lähellä lukua 7". Tämä voidaan tehdä määrittämällä seuraava sumea joukko:

Esimerkki 3.2

Jos , missä on reaalilukujen joukko, niin "lähellä lukua 7" olevien reaalilukujen joukko voidaan määrittää lomakkeen jäsenyysfunktiolla

. (3.10)

Siksi sumeaa reaalilukujen joukkoa "lähellä lukua 7" kuvataan lausekkeella

. (3.11)

Huomautus 3.1

Luonnollisten tai reaalilukujen sumeat joukot "lähellä lukua 7" voidaan kirjoittaa eri tavoin. Esimerkiksi jäsenyysfunktio (3.10) voidaan korvata lausekkeella

(3.12)

Kuvassa Kuvat 3.1a ja 3.1b esittävät kaksi jäsenyysfunktiota sumealle reaalilukujoukolle "lähellä 7".

Riisi. 3.1. Esimerkki 3.2: Sumean reaalilukujoukon jäsenyysfunktiot "lähellä lukua 7".

Esimerkki 3.3

Virallistetaan epätarkka määritelmä "sopiva lämpötila uimiseen Itämerellä". Asetetaan päättelyalue joukon muotoon . Lepo minä, joka voi parhaiten 21 °C:n lämpötilassa, määrittelisi itselle sumean joukon

Lepo II, joka pitää parempana 20°:n lämpötilaa, tarjoaisi tälle sarjalle toisen määritelmän:

Sumeiden sarjojen avulla virallistimme epätarkan määritelmän käsitteelle "sopiva lämpötila uimiseen Itämerellä". Jotkut sovellukset käyttävät vakiolomakkeet jäsenyystoiminnot. Konkretisoidaan nämä funktiot ja tarkastellaan niiden graafisia tulkintoja.

1. Luokkajäsenyysfunktio (Kuva 3.2) määritellään seuraavasti

(3.15)

missä . Tähän luokkaan kuuluvalla jäsenyysfunktiolla on graafinen esitys (kuva 3.2), joka muistuttaa kirjainta "", ja sen muoto riippuu parametrien valinnasta , ja . Pisteessä luokkajäsenyysfunktio saa arvon, joka on yhtä suuri kuin 0,5.

2. Luokkajäsenyysfunktio (Kuva 3.3) määritellään luokkajäsenyysfunktiolla:

(3.16)

Riisi. 3.2. Luokan jäsenyystoiminto.

Riisi. 3.3. Luokan jäsenyystoiminto.

Luokkajäsenyysfunktio ottaa nollan arvoja kohteille ja. Pisteenä sen arvo on 0,5.

3. Luokkajäsenyysfunktio (kuva 3.4) saadaan lausekkeella

(3.17)

Lukija huomaa helposti analogian luokkien jäsenfunktioiden muotojen ja .

4. Luokkajäsenyysfunktio (Kuva 3.5) määritellään seuraavasti

(3.18)

Riisi. 3.4. Luokan jäsenyystoiminto.

Riisi. 3.5. Luokan jäsenyystoiminto.

Joissakin sovelluksissa luokan jäsenyysfunktio voi olla vaihtoehto luokan jäsenyysfunktiolle.

5. Luokkajäsenyysfunktio (kuva 3.6) määritellään lausekkeella

(3.19)

Esimerkki 3.4

Harkitse kolmea epätäsmällistä muotoilua:

1) "ajoneuvon alhainen nopeus";

2) " keskinopeus auto";

3) "auton suuri nopeus".

Päättelyalueena otamme alueen , jossa on maksiminopeus. Kuvassa 3.7 esittää sumeat joukot , ja , jotka vastaavat annettuja formulaatioita. Huomaa, että joukon jäsenyysfunktiolla on tyyppi, joukoilla on tyyppi ja joukoilla on tyyppi. Kiinteässä pisteessä km/h sumean joukon "pieni ajoneuvonopeus" jäsenyysfunktio saa arvon 0,5, ts. . Saman arvon saa sumean joukon "ajoneuvon keskinopeus" jäsenyysfunktio, ts. , kun taas .

Esimerkki 3.5

Kuvassa 3.8 näyttää sumean joukon "iso raha" jäsenyysfunktion. Tämä on luokkafunktio ja , , .

Riisi. 3.6. Luokan jäsenyystoiminto.

Riisi. 3.7. Esimerkki 3.4: Sumeiden joukkojen jäsenyysfunktiot "pieni", "keskikokoinen", "suuri" auton nopeus.

Riisi. 3.8. Esimerkki 3.5: Sumean joukon "iso raha" jäsenyysfunktio.

Siksi yli 10 000 ruplan summia voidaan ehdottomasti pitää "suurina", koska jäsenyysfunktion arvot tulevat yhtä suureksi kuin 1. Alle 1 000 ruplaa olevat summat eivät kuulu "suuriin", koska vastaavat jäsenyyden arvot funktio on yhtä suuri kuin 0. Tällainen sumean joukon "iso raha" määritelmä on tietysti subjektiivinen. Lukijalla voi olla oma käsitys "ison rahan" epäselvästä käsitteestä. Tämä esitys näkyy luokan parametrien ja toimintojen muissa arvoissa.

Määritelmä 3.2

Avaruuden elementtijoukkoa, jolle , kutsutaan sumean joukon kantajaksi ja sitä merkitään (tuki). Sen muodollisella merkinnällä on muoto

. (3.20)

Määritelmä 3.3

Sumean joukon korkeus merkitään ja määritellään seuraavasti

. (3.21)

Esimerkki 3.6

Jos ja

, (3.22)

sitten .

, (3.23)

Määritelmä 3.4

Sumeaa joukkoa kutsutaan normaaliksi silloin ja vain jos . Jos sumea joukko ei ole normaali, se voidaan normalisoida muunnolla

, (3.24)

missä on tämän sarjan korkeus.

Esimerkki 3.7

sumeaa settiä

(3.25)

normalisoinnin jälkeen saa muodon

. (3.26)

Määritelmä 3.5

Sumeaa joukkoa kutsutaan tyhjäksi ja se merkitään jos ja vain jos jokaiselle .

Määritelmä 3.6

Sumea joukko sisältyy sumeaan joukkoon , joka kirjoitetaan muodossa , jos ja vain jos

(3.27)

kaikille .

Esimerkki sumean joukon sisällyttämisestä (sisällöstä) sumeaan joukkoon on kuvattu kuvassa 1. 3.9. Kirjallisuudessa on myös käsite sumeiden joukkojen sisällyttämisasteesta. Sumean joukon sisällyttämisaste sumeaan joukkoon kuvassa 1. 3,9 on yhtä suuri kuin 1 (täysi mukaan lukien). Kuvassa esitetyt sumeat joukot. 3.10 eivät täytä riippuvuutta (3.27), joten se ei sisälly määritelmän (3.6) merkitykseen. Sumea joukko sisältyy kuitenkin sumeaan joukkoon tietyssä määrin

, (3.28)

, kunto

Riisi. 3.12. Sumea kupera sarja.

Riisi. 3.13. Sumea kovera sarja.

Riisi. 3.13 kuvaa sumeaa koveraa joukkoa. On helppo tarkistaa, että sumea joukko on kupera (kovera) silloin ja vain, jos kaikki sen -leikkaukset ovat kuperia (koveria).