Pyramidia, jonka pohjalla on kolmio, kutsutaan. Säännöllinen nelikulmainen pyramidi

Pyramidi. Katkaistu pyramidi

Pyramidi on monitaho, jonka yksi pinoista on monikulmio ( pohja ), ja kaikki muut pinnat ovat kolmioita, joilla on yhteinen kärki ( sivupinnat ) (Kuva 15). Pyramidi on ns oikea , jos sen kanta on säännöllinen monikulmio ja pyramidin huippu on projisoitu pohjan keskelle (kuva 16). Kutsutaan kolmiomaista pyramidia, jonka kaikki reunat ovat yhtä suuret tetraedri .

Lateraalinen kylkiluu pyramidin sivupinnan se puoli, joka ei kuulu pohjaan Korkeus pyramidi on etäisyys sen huipulta pohjan tasoon. Säännöllisen pyramidin kaikki sivureunat ovat keskenään yhtä suuret, kaikki sivupinnat ovat yhtä suuret tasakylkiset kolmiot. Huippupisteestä vedetyn säännöllisen pyramidin sivupinnan korkeutta kutsutaan apoteemi . Diagonaalinen leikkaus kutsutaan pyramidin poikkileikkaukseksi, jonka taso kulkee kahden sivureunan läpi, jotka eivät kuulu samaan pintaan.

Sivuttaispinta-ala pyramidi on kaikkien sivupintojen pinta-alojen summa. Alue koko pinta kutsutaan kaikkien sivupintojen ja pohjan pinta-alojen summaksi.

Lauseet

1. Jos pyramidissa kaikki sivureunat ovat yhtä vinossa pohjan tasoon nähden, niin pyramidin huippu heijastuu pohjan lähellä olevan ympyrän keskelle.

2. Jos pyramidin kaikki sivureunat ovat yhtä pitkiä, niin pyramidin huippu heijastuu ympyrän keskelle, joka on rajattu lähellä kantaa.

3. Jos pyramidin kaikki pinnat ovat yhtä kallistettuja kannan tasoon nähden, niin pyramidin huippu projisoidaan pohjaan piirretyn ympyrän keskelle.

Mielivaltaisen pyramidin tilavuuden laskemiseksi oikea kaava on:

Missä V- tilavuus;

S pohja– peruspinta-ala;

H– pyramidin korkeus.

Normaalille pyramidille seuraavat kaavat ovat oikein:

Missä s– pohjakehä;

h a- apoteemi;

H- korkeus;

S täynnä

S puoli

S pohja– peruspinta-ala;

V– säännöllisen pyramidin tilavuus.

Katkaistu pyramidi kutsutaan pyramidin osaksi, joka on suljettu pohjan ja pyramidin pohjan kanssa yhdensuuntaisen leikkaustason väliin (kuva 17). Tavallinen katkaistu pyramidi kutsutaan säännöllisen pyramidin osaksi, joka on suljettu pohjan ja pyramidin pohjan kanssa yhdensuuntaisen leikkaustason väliin.

Perusteet katkaistu pyramidi - samanlaisia polygoneja. Sivukasvot - puolisuunnikkaat. Korkeus Katkaistun pyramidin etäisyys on sen kantojen välinen etäisyys. Diagonaalinen katkaistu pyramidi on segmentti, joka yhdistää sen kärjet, jotka eivät ole samalla pinnalla. Diagonaalinen leikkaus on katkaistun pyramidin poikkileikkaus tasosta, joka kulkee kahden sivureunan läpi, jotka eivät kuulu samaan pintaan.

Katkaistulle pyramidille ovat voimassa seuraavat kaavat:

(4)

Missä S 1 , S 2 – ylä- ja alapohjan alueet;

S täynnä– kokonaispinta-ala;

S puoli– sivupinta-ala;

H- korkeus;

V– katkaistun pyramidin tilavuus.

Normaalille katkaistulle pyramidille kaava on oikea:

Missä s 1 , s 2 – pohjan kehät;

h a– säännöllisen katkaistun pyramidin apoteemi.

Esimerkki 1. Säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin kaksitahoinen kulma on 60º. Etsi sivureunan kaltevuuskulman tangentti pohjan tasoon nähden.

Ratkaisu. Tehdään piirustus (kuva 18).

Pyramidi on säännöllinen, mikä tarkoittaa, että pohjassa on tasasivuinen kolmio ja kaikki sivupinnat ovat yhtäläisiä tasakylkisiä kolmioita. Dihedraalinen kulma pohjassa on pyramidin sivupinnan kaltevuuskulma pohjan tasoon nähden. Lineaarinen kulma on kulma a kahden kohtisuoran välissä: jne. Pyramidin huippu projisoidaan kolmion keskelle (ympyrän keskipiste ja kolmion piirretty ympyrä ABC). Sivureunan kaltevuuskulma (esim S.B.) on itse reunan ja sen pohjan tasoon projektion välinen kulma. Kylkiluulle S.B. tämä kulma on kulma SBD. Tangentin löytämiseksi sinun on tunnettava jalat NIIN Ja O.B.. Olkoon segmentin pituus BD on yhtä kuin 3 A. Piste NOIN Jana BD on jaettu osiin: ja Mistä löydämme NIIN: Meiltä löydät:

Vastaus:

Esimerkki 2. Laske säännöllisen katkaistun nelikulmaisen pyramidin tilavuus, jos sen kantat ovat yhtä suuria kuin cm ja cm ja sen korkeus on 4 cm.

Ratkaisu. Katkaistun pyramidin tilavuuden selvittämiseksi käytämme kaavaa (4). Pohjien alueen löytämiseksi sinun on löydettävä perusneliöiden sivut, kun tiedät niiden lävistäjät. Pohjien sivut ovat vastaavasti 2 cm ja 8 cm. Tämä tarkoittaa pohjan pinta-alaa ja korvaamalla kaikki tiedot kaavaan laskemme katkaistun pyramidin tilavuuden:

Vastaus: 112 cm 3.

Esimerkki 3. Etsi säännöllisen kolmion muotoisen katkaistun pyramidin sivupinnan pinta-ala, jonka pohjien sivut ovat 10 cm ja 4 cm ja pyramidin korkeus on 2 cm.

Ratkaisu. Tehdään piirustus (kuva 19).

Tämän pyramidin sivupinta on tasakylkinen puolisuunnikkaan muotoinen. Puolisuunnikkaan alueen laskemiseksi sinun on tiedettävä pohja ja korkeus. Pohjat on annettu kunnon mukaan, vain korkeus on tuntematon. Löydämme hänet mistä A 1 E kohtisuorassa pisteestä A 1 alemman alustan tasossa, A 1 D– kohtisuoraan alkaen A 1 per AC. A 1 E= 2 cm, koska tämä on pyramidin korkeus. Löytää DE Tehdään lisäpiirros, joka näyttää ylhäältä katsottuna (kuva 20). Piste NOIN– ylemmän ja alemman alustan keskipisteiden projektio. koska (katso kuva 20) ja Toisaalta OK– ympyrään merkitty säde ja OM– ympyrään merkitty säde:

MK = DE.

Pythagoraan lauseen mukaan

Kasvojen sivualue:

Vastaus:

Esimerkki 4. Pyramidin pohjassa on tasakylkinen puolisuunnikkaan muotoinen puolisuunnikas, jonka kantat A Ja b (a> b). Jokainen sivupinta muodostaa kulman, joka on yhtä suuri kuin pyramidin pohjan taso j. Etsi pyramidin kokonaispinta-ala.

Ratkaisu. Tehdään piirustus (kuva 21). Pyramidin kokonaispinta-ala SABCD yhtä suuri kuin pintojen summa ja puolisuunnikkaan pinta-ala ABCD.

Käytetään väitettä, että jos pyramidin kaikki pinnat ovat yhtä kallistettuja kannan tasoon nähden, niin kärki projisoidaan kantaan piirretyn ympyrän keskelle. Piste NOIN– kärkiprojektio S pyramidin juurella. Kolmio SOD on kolmion ortogonaalinen projektio CSD pohjan tasoon. Käyttämällä lausetta tasokuvan ortogonaalisen projektion alueella saamme:

Samoin se tarkoittaa Siten ongelma rajoittui puolisuunnikkaan alueen löytämiseen ABCD. Piirretään puolisuunnikkaan muotoinen ABCD erikseen (kuva 22). Piste NOIN– puolisuunnikkaan piirretyn ympyrän keskipiste.

Koska ympyrä voidaan kirjoittaa puolisuunnikkaan, niin tai Pythagoraan lauseesta meillä on

Johdanto

Kun aloimme tutkia stereometrisiä lukuja, kosketimme aihetta "Pyramid". Pidimme tästä aiheesta, koska pyramidia käytetään hyvin usein arkkitehtuurissa. Ja meistä lähtien tuleva ammatti arkkitehti, tämän hahmon innoittamana, uskomme, että hän voi viedä meidät kohti mahtavia projekteja.

Arkkitehtonisten rakenteiden vahvuus on niiden tärkein ominaisuus. Yhdistämällä lujuus ensinnäkin materiaaleihin, joista ne on luotu, ja toiseksi suunnitteluratkaisujen ominaisuuksiin, käy ilmi, että rakenteen lujuus liittyy suoraan geometriseen muotoon, joka sille on perusmuoto.

Toisin sanoen, me puhumme siitä geometrisesta hahmosta, jota voidaan pitää vastaavan arkkitehtonisen muodon mallina. Siitä käy ilmi geometrinen muoto määrittää myös arkkitehtonisen rakenteen lujuuden.

Muinaisista ajoista lähtien egyptiläisiä pyramideja on pidetty kestävimpinä arkkitehtonisina rakenteina. Kuten tiedät, ne ovat muodoltaan säännöllisiä nelikulmaisia pyramideja.

Juuri tämä geometrinen muoto tarjoaa suurimman vakauden suuren pohjapinta-alan ansiosta. Toisaalta pyramidin muoto varmistaa, että massa pienenee, kun korkeus maanpinnasta kasvaa. Nämä kaksi ominaisuutta tekevät pyramidista vakaan ja siksi vahvan painovoiman olosuhteissa.

Hankkeen tavoite: opi jotain uutta pyramideista, syvennä tietosi ja löydä käytännön sovellusta.

Tämän tavoitteen saavuttamiseksi oli tarpeen ratkaista seuraavat tehtävät:

· Opi historiallista tietoa pyramidista

· Pidä pyramidia muodossa geometrinen kuvio

· Etsi sovellusta elämässä ja arkkitehtuurissa

· Etsi pyramidien yhtäläisyydet ja erot eri osat Sveta

Teoreettinen osa

Historiallista tietoa

Pyramidin geometrian alku laskettiin kuitenkin muinaisessa Egyptissä ja Babylonissa aktiivista kehitystä vastaanotettu sisään Muinainen Kreikka. Ensimmäinen, joka määritti pyramidin tilavuuden, oli Demokritos, ja Eudoxus Knidosta todisti sen. Muinainen kreikkalainen matemaatikko Euclid systematisoi tiedon pyramidista "Elementtien" XII osaan ja johti myös pyramidin ensimmäisen määritelmän: kiinteän hahmon, jota rajoittavat tasot, jotka suppenevat yhdestä tasosta yhteen pisteeseen.

Egyptin faaraoiden haudat. Suurimpia niistä - Cheopsin, Khafren ja Mikerinin pyramideja El Gizassa - pidettiin muinaisina aikoina yhtenä maailman seitsemästä ihmeestä. Pyramidin rakentaminen, jossa kreikkalaiset ja roomalaiset näkivät jo muistomerkin kuninkaiden ennennäkemättömälle ylpeydelle ja julmuudelle, joka tuomittiin koko Egyptin kansan merkityksettömään rakentamiseen, oli tärkein kulttiteko, ja sen piti ilmeisesti ilmaista maan ja sen hallitsijan mystinen identiteetti. Maan väestö työskenteli haudan rakentamisessa maataloustöistä vapaan osan vuodesta. Useat tekstit todistavat siitä huomiosta ja huolenpidosta, jota kuninkaat itse (tosin myöhempään aikaan) kiinnittivät haudansa rakentamiseen ja sen rakentajiin. Se tunnetaan myös erityisistä kulttikunnioista, jotka annettiin itse pyramidille.

Peruskonseptit

Pyramidi on monitahoinen, jonka kanta on monikulmio, ja loput pinnat ovat kolmioita, joilla on yhteinen kärki.

Apothem- säännöllisen pyramidin sivupinnan korkeus sen kärjestä vedettynä;

Sivukasvot- kolmiot kohtaavat kärjessä;

Sivukylkiluut- sivupintojen yhteiset puolet;

Pyramidin huippu- piste, joka yhdistää sivurivat ja joka ei ole pohjan tasossa;

Korkeus- kohtisuora segmentti, joka on vedetty pyramidin yläosan läpi sen pohjan tasoon (tämän segmentin päät ovat pyramidin yläosa ja kohtisuoran kanta);

Pyramidin diagonaalinen leikkaus- pyramidin poikkileikkaus, joka kulkee pohjan yläosan ja diagonaalin läpi;

Pohja- monikulmio, joka ei kuulu pyramidin kärkeen.

Tavallisen pyramidin perusominaisuudet

Sivureunat, sivupinnat ja apoteemit ovat vastaavasti samat.

Dihedraaliset kulmat pohjassa ovat yhtä suuret.

Dihedraaliset kulmat sivureunoissa ovat yhtä suuret.

Jokainen korkeuspiste on yhtä kaukana kaikista kannan kärjeistä.

Jokainen korkeuspiste on yhtä kaukana kaikista sivupinnoista.

Pyramidin peruskaavat

Pyramidin sivu- ja kokonaispinnan pinta-ala.

Pyramidin (täysi ja katkaistu) sivupinnan pinta-ala on sen kaikkien sivupintojen pinta-alojen summa, kokonaispinta-ala on sen kaikkien pintojen pintojen summa.

Lause: Säännöllisen pyramidin sivupinnan pinta-ala on puolet pyramidin kannan kehän ja apoteemin tulosta.

s- pohjakehä;

h- apoteemi.

Katkaistun pyramidin sivu- ja täyspinnan pinta-ala.

p 1, s 2 - pohjakehät;

h- apoteemi.

R- säännöllisen katkaistun pyramidin kokonaispinta-ala;

S puoli- säännöllisen katkaistun pyramidin sivupinnan pinta-ala;

S 1 + S 2- perusalue

Pyramidin tilavuus

Lomake tilavuus ulaa käytetään kaikenlaisiin pyramideihin.

H- pyramidin korkeus.

Pyramidin kulmat

Pyramidin sivupinnan ja pohjan muodostamia kulmia kutsutaan dihedraalisiksi kulmiksi pyramidin pohjassa.

Dihedraalinen kulma muodostuu kahdesta kohtisuorasta.

Tämän kulman määrittämiseksi sinun on usein käytettävä kolmen kohtisuoran lausetta.

Kutsutaan kulmia, jotka muodostavat sivureuna ja sen projektio kantatasoon kulmat sivureunan ja pohjan tason välillä.

Kahden sivureunan muodostamaa kulmaa kutsutaan kaksitahoinen kulma pyramidin sivureunassa.

Kulmaa, jonka muodostavat pyramidin yhden pinnan kaksi sivureunaa, kutsutaan kulma pyramidin huipulla.

Pyramidin osat

Pyramidin pinta on monitahoisen pinta. Jokainen sen pinta on taso, joten leikkaustason määrittelemä pyramidin leikkaus on katkoviiva, joka koostuu yksittäisistä suorista viivoista.

Diagonaalinen leikkaus

Pyramidin poikkileikkaus tasosta, joka kulkee kahden sivureunan läpi, jotka eivät ole samalla pinnalla, on ns. diagonaalinen leikkaus pyramidit.

Rinnakkaiset osat

Lause:

Jos pyramidin leikkaa taso, joka on yhdensuuntainen kannan kanssa, niin pyramidin sivureunat ja korkeudet jaetaan tällä tasolla suhteellisiin osiin;

Tämän tason leikkaus on kantaa vastaava monikulmio;

Leikkauksen ja kannan pinta-alat ovat suhteessa toisiinsa niiden etäisyyksien neliöinä kärjestä.

Pyramidin tyypit

Oikea pyramidi– pyramidi, jonka kanta on säännöllinen monikulmio ja pyramidin huippu projisoituu pohjan keskelle.

Tavallinen pyramidi:

1. sivurivat ovat yhtä suuret

2. sivupinnat ovat yhtä suuret

3. apoteemit ovat tasa-arvoisia

4. dihedral kulmat pohjassa ovat yhtä suuret

5. sivureunojen kaksikulmaiset kulmat ovat yhtä suuret

6. jokainen korkeuspiste on yhtä kaukana kaikista kannan pisteistä

7. jokainen korkeuspiste on yhtä kaukana kaikista sivureunoista

Katkaistu pyramidi- osa pyramidista, joka on suljettu sen pohjan ja pohjan kanssa yhdensuuntaisen leikkaustason väliin.

Katkaistun pyramidin kantaa ja sitä vastaavaa osaa kutsutaan katkaistun pyramidin pohjat.

Kutsutaan kohtisuoraa, joka on vedetty mistä tahansa kannan pisteestä toisen kantaan katkaistun pyramidin korkeus.

Tehtävät

Nro 1. Säännöllisen nelikulmaisen pyramidin piste O on kannan keskipiste, SO=8 cm, BD=30 cm. Etsi sivureuna SA.

Ongelmanratkaisu

Nro 1. Tavallisessa pyramidissa kaikki pinnat ja reunat ovat yhtä suuret.

Harkitse OSB:tä: OSB on suorakaiteen muotoinen suorakulmio, koska.

SB 2 = SO 2 + OB 2

SB 2 = 64 + 225 = 289

Pyramidi arkkitehtuurissa

Pyramidi on monumentaalinen rakenne tavallisen säännöllisen geometrisen pyramidin muodossa, jossa sivut lähentyä yhdessä kohdassa. Tekijä: toiminnallinen tarkoitus Pyramidit olivat muinaisina aikoina hautauspaikkoja tai kultin palvontapaikkoja. Pyramidin kanta voi olla kolmion muotoinen, nelikulmainen tai monikulmion muotoinen, jossa on mielivaltainen määrä pisteitä, mutta yleisin versio on nelikulmainen kanta.

Pyramideja on rakennettu huomattava määrä erilaiset kulttuurit Muinainen maailma lähinnä temppeleinä tai monumentteina. Suuriin pyramideihin kuuluvat Egyptin pyramidit.

Kaikkialla maapallolla voit nähdä arkkitehtonisia rakenteita pyramidien muodossa. Pyramidirakennukset muistuttavat muinaisia aikoja ja näyttävät erittäin kauniilta.

Egyptin pyramidit suurin arkkitehtonisia monumentteja Muinainen Egypti, joista yksi "maailman seitsemästä ihmeestä" on Cheopsin pyramidi. Jalusta huipulle se saavuttaa 137,3 metrin korkeuden ja ennen huipun menettämistä sen korkeus oli 146,7 metriä

Slovakian pääkaupungin käännettyä pyramidia muistuttava radioasemarakennus on rakennettu vuonna 1983. Toimisto- ja palvelutilojen lisäksi volyymin sisällä on melko tilava konserttisali, jossa on yksi Slovakian suurimmista urkuista.

Louvre, joka on "hiljainen, muuttumaton ja majesteettinen, kuin pyramidi", on käynyt läpi monia muutoksia vuosisatojen aikana ennen kuin siitä on tullut maailman suurin museo. Se syntyi Philip Augustuksen vuonna 1190 rakentamana linnoituksena, josta tuli pian kuninkaallinen asuinpaikka. Vuonna 1793 palatsista tuli museo. Kokoelmia täydennetään testamenttien tai ostojen kautta.

Opiskelijat kohtaavat pyramidin käsitteen kauan ennen geometrian opiskelua. Vika on kuuluisissa Egyptin maailman ihmeissä. Siksi useimmat opiskelijat kuvittelevat sen jo selvästi aloittaessaan tutkimaan tätä upeaa monitahoista. Kaikki yllä mainitut nähtävyydet ovat oikean muotoisia. Mitä on tapahtunut tavallinen pyramidi, ja mitä ominaisuuksia sillä on, käsitellään myöhemmin.

Yhteydessä

Määritelmä

Pyramidille on olemassa monia määritelmiä. Muinaisista ajoista lähtien se on ollut erittäin suosittu.

Esimerkiksi Eukleides määritteli sen keholliseksi hahmoksi, joka koostuu tasoista, jotka yhdestä alkaen konvergoivat tietyssä pisteessä.

Heron tarjosi tarkemman muotoilun. Hän väitti, että tämä oli se luku on tukikohta ja lentokoneet sisään kolmioiden muodossa, lähentyvät yhdessä vaiheessa.

Luottaa johonkin moderni tulkinta, pyramidi esitetään avaruudellisena monitahoisena, joka koostuu tietystä k-gonista ja k:stä litteitä hahmoja kolmion muotoinen, jossa on yksi yhteinen piste.

Katsotaanpa sitä tarkemmin, mistä elementeistä se koostuu:

K-gonia pidetään kuvion perustana;
3-kulmaiset muodot ulkonevat sivuosan reunoilla;
yläosaa, josta sivuelementit ovat peräisin, kutsutaan huipuksi;
kaikkia kärkeä yhdistäviä segmenttejä kutsutaan reunoiksi;
jos suora lasketaan pisteestä kuvion tasoon 90 asteen kulmassa, niin sen osa, joka on suljettu sisäinen tila- pyramidin korkeus;
missä tahansa lateraalisessa elementissä kohtisuora, jota kutsutaan apoteemiksi, voidaan vetää monitahoisen sivulle.

Reunojen lukumäärä lasketaan kaavalla 2*k, jossa k on k-gonin sivujen lukumäärä. Kuinka monta pintaa monitahoisella, kuten pyramidilla, on, voidaan määrittää lausekkeella k+1.

Tärkeä! Pyramidi oikea muoto kutsutaan stereometriseksi hahmoksi, jonka kantataso on k-gon, jolla on yhtäläiset sivut.

Perusominaisuudet

Oikea pyramidi on monia ominaisuuksia, jotka ovat hänelle ainutlaatuisia. Listataan ne:

Perusta on oikean muotoinen hahmo.
Pyramidin reunoilla, jotka rajoittavat sivuelementtejä, on samat numeroarvot.
Sivuelementit ovat tasakylkisiä kolmioita.
Kuvan korkeuden kanta osuu monikulmion keskelle, kun se on samanaikaisesti piirretyn ja rajatun keskipiste.
Kaikki sivurivat on kallistettu alustan tasoon nähden samassa kulmassa.
Kaikilla sivupinnoilla on sama kaltevuuskulma pohjaan nähden.

Kaikkien lueteltujen ominaisuuksien ansiosta elementtilaskelmien suorittaminen on paljon yksinkertaisempaa. Yllä olevien ominaisuuksien perusteella kiinnitämme huomiota kaksi merkkiä:

Siinä tapauksessa, että monikulmio sopii ympyrään, sivupinnoilla on pohja yhtäläiset kulmat.
Kun kuvataan ympyrää monikulmion ympärillä, kaikilla kärjestä lähtevillä pyramidin reunoilla on yhtä pitkä ja yhtä suuret kulmat alustan kanssa.

Pohja on neliö

Säännöllinen nelikulmainen pyramidi - monitahoinen, jonka kanta on neliö.

Siinä on neljä sivupintaa, jotka ovat ulkonäöltään tasakylkisiä.

Neliö on kuvattu tasossa, mutta se perustuu kaikkiin säännöllisen nelikulmion ominaisuuksiin.

Jos esimerkiksi on tarpeen suhteuttaa neliön sivu sen lävistäjään, käytä seuraavaa kaavaa: diagonaali on yhtä suuri kuin neliön sivun ja kahden neliöjuuren tulo.

Se perustuu säännölliseen kolmioon

Säännöllinen kolmiopyramidi on monitahoinen, jonka kanta on säännöllinen 3 kulmio.

Jos pohja on säännöllinen kolmio ja sivureunat ovat yhtä suuret kuin pohjan reunat, niin tällainen kuva kutsutaan tetraedriksi.

Kaikki tetraedrin pinnat ovat tasasivuisia 3 kulmia. SISÄÄN tässä tapauksessa Sinun on tiedettävä joitain kohtia eikä tuhlata aikaa niihin laskettaessa:

kylkiluiden kaltevuuskulma mihin tahansa alustaan on 60 astetta;
kaikkien sisäpintojen koko on myös 60 astetta;
kaikki kasvot voivat toimia pohjana;
, jotka on piirretty kuvion sisään, nämä ovat samanarvoisia elementtejä.

Monitahoisen osat

Missä tahansa polyhedronissa niitä on useita tyyppejä tasainen. Usein koulun geometriakurssilla he työskentelevät kahden kanssa:

aksiaalinen;
rinnakkain perustan kanssa.

Aksiaalinen leikkaus saadaan leikkaamalla monitahoinen taso, joka kulkee kärjen, sivureunojen ja akselin läpi. Tässä tapauksessa akseli on kärjestä vedetty korkeus. Leikkaustasoa rajoittavat leikkausviivat kaikkien pintojen kanssa, jolloin tuloksena on kolmio.

Huomio! Säännöllisen pyramidin aksiaalinen leikkaus on tasakylkinen kolmio.

Jos leikkaustaso kulkee yhdensuuntaisesti alustan kanssa, tuloksena on toinen vaihtoehto. Tässä tapauksessa meillä on pohjan kaltainen poikkileikkauskuva.

Esimerkiksi, jos jalustassa on neliö, pohjan suuntainen osa on myös neliö, mutta sen mitat ovat pienemmät.

Ratkaistaessaan ongelmia tässä tilanteessa he käyttävät kuvioiden samankaltaisuuden merkkejä ja ominaisuuksia, perustuu Thalesin lauseeseen. Ensinnäkin on tarpeen määrittää samankaltaisuuskerroin.

Jos taso piirretään samansuuntaisesti alustan kanssa ja se leikkautuu pois yläosa monitahoinen, niin alaosaan saadaan säännöllinen katkaistu pyramidi. Tällöin katkaistun monitahoisen kantapään sanotaan olevan samanlaisia polygoneja. Tässä tapauksessa sivupinnat ovat tasakylkisiä puolisuunnikkaita. Myös aksiaalinen leikkaus on tasakylkinen.

Katkaistun monitahoisen korkeuden määrittämiseksi on tarpeen piirtää korkeus aksiaalileikkaukseen, toisin sanoen puolisuunnikkaan.

Pinta-alueet

Tärkeimmät geometriset ongelmat, jotka koulun geometriakurssilla on ratkaistava, ovat pyramidin pinta-alan ja tilavuuden löytäminen.

Pinta-ala-arvoja on kahdenlaisia:

sivuelementtien pinta-ala;
koko pinnan alueella.

Itse nimestä käy selväksi, mistä puhumme. Sivupinta sisältää vain sivuelementtejä. Tästä seuraa, että sen löytämiseksi sinun on yksinkertaisesti laskettava yhteen sivutasojen pinta-alat, toisin sanoen tasakylkisten 3 kulmien alueet. Yritetään johtaa sivuelementtien pinta-alan kaava:

Tasakylkisen 3 kulman pinta-ala on Str=1/2(aL), missä a on kannan sivu, L on apoteemi.
Sivutasojen määrä riippuu pohjan k-gonin tyypistä. Esimerkiksi säännöllisessä nelikulmaisessa pyramidissa on neljä sivutasoa. Siksi on tarpeen lisätä neljän alueen luvut Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L. Lauseke yksinkertaistuu tällä tavalla, koska arvo on 4a = Rosn, missä Rosn on kannan ympärysmitta. Ja lauseke 1/2*Rosn on sen puolikehä.
Joten päätämme, että säännöllisen pyramidin sivuelementtien pinta-ala on yhtä suuri kuin pohjan puolikehän ja apoteemin tulo: Sside = Rosn * L.

Pyramidin kokonaispinnan pinta-ala koostuu sivutasojen ja pohjan pinta-alojen summasta: Sp.p = Sside + Sbas.

Mitä tulee pohjan pinta-alaan, kaavaa käytetään tässä monikulmion tyypin mukaan.

Säännöllisen pyramidin tilavuus yhtä suuri kuin perustason pinta-alan ja korkeuden tulo jaettuna kolmella: V=1/3*Sbas*H, missä H on monitahoisen korkeus.

Mikä on säännöllinen pyramidi geometriassa

Säännöllisen nelikulmaisen pyramidin ominaisuudet

Kolmiopyramidi on pyramidi, jonka pohjassa on kolmio. Tämän pyramidin korkeus on kohtisuora, joka lasketaan pyramidin huipulta sen pohjaan.

Pyramidin korkeuden löytäminen

Kuinka löytää pyramidin korkeus? Erittäin yksinkertainen! Minkä tahansa korkeuden löytämiseksi kolmion muotoinen pyramidi voit käyttää tilavuuskaavaa: V = (1/3)Sh, missä S on pohjan pinta-ala, V on pyramidin tilavuus, h on sen korkeus. Tästä kaavasta johdetaan korkeuskaava: kolmion muotoisen pyramidin korkeuden löytämiseksi sinun on kerrottava pyramidin tilavuus kolmella ja jaettava sitten saatu arvo pohjan pinta-alalla, se on: h = (3V)/S. Koska kolmion muotoisen pyramidin kanta on kolmio, voit laskea kolmion alueen kaavan avulla. Jos tiedämme: kolmion S pinta-ala ja sen sivu z, niin pinta-alan kaavan S=(1/2)γh mukaan: h = (2S)/γ, missä h on pyramidin korkeus, γ on kolmion reuna; kolmion sivujen ja itse kahden sivun välinen kulma, sitten seuraavalla kaavalla: S = (1/2)γφsinQ, missä γ, φ ovat kolmion sivut, löydämme kolmion alueen. Kulman Q sinin arvoa on tarkasteltava sinitaulukosta, joka on saatavilla Internetissä. Seuraavaksi korvataan pinta-ala korkeuskaavassa: h = (2S)/γ. Jos tehtävä edellyttää kolmiopyramidin korkeuden laskemista, pyramidin tilavuus on jo tiedossa.

Säännöllinen kolmiopyramidi

Etsi säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin korkeus, eli pyramidin, jonka kaikki pinnat ovat tasasivuisia kolmioita, tietäen reunan γ koon. Tässä tapauksessa pyramidin reunat ovat tasasivuisten kolmioiden sivuja. Säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin korkeus on: h = γ√(2/3), missä γ on tasasivuisen kolmion reuna, h on pyramidin korkeus. Jos kannan pinta-ala (S) on tuntematon ja vain monitahoisen reunan pituus (γ) ja tilavuus (V) on annettu, on edellisen vaiheen kaavassa tarvittava muuttuja korvattava sen vastineella, joka ilmaistaan reunan pituudella. Kolmion pinta-ala (säännöllinen) on yhtä suuri kuin 1/4 tämän kolmion sivun pituuden tulosta 3:n neliöjuurella. Korvaamme tämän kaavan edellisen kannan pinta-alan sijaan kaava, ja saamme seuraavan kaavan: h = 3V4/(γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). Tetraedrin tilavuus voidaan ilmaista sen reunan pituuden kautta, sitten kuvion korkeuden laskentakaavasta voit poistaa kaikki muuttujat ja jättää vain kuvan kolmiomaisen pinnan sivun. Tällaisen pyramidin tilavuus voidaan laskea jakamalla 12:lla sen pinnan kuutiopituus 2:n neliöjuurella.

Kun tämä lauseke korvataan edellisellä kaavalla, saadaan seuraava laskentakaava: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ √(2/3) = (1/3)γ√6. Myös oikein Kolmisivuinen prisma voidaan kirjoittaa palloon, ja tietäen vain pallon säteen (R) voidaan löytää itse tetraedrin korkeus. Tetraedrin reunan pituus on: γ = 4R/√6. Korvataan muuttuja γ tällä lausekkeella edellisessä kaavassa ja saadaan kaava: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. Sama kaava voidaan saada tietämällä tetraedriin piirretyn ympyrän säde (R). Tässä tapauksessa kolmion reunan pituus on yhtä suuri kuin 12 suhdetta neliöjuuri 6 ja säde. Korvaamme tämän lausekkeen edelliseen kaavaan ja saamme: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.

Kuinka löytää säännöllisen nelikulmaisen pyramidin korkeus

Vastataksesi kysymykseen, kuinka löytää pyramidin korkeuden pituus, sinun on tiedettävä, mikä on tavallinen pyramidi. Nelikulmainen pyramidi on pyramidi, jonka pohjassa on nelikulmio. Jos ongelman olosuhteissa meillä on: pyramidin tilavuus (V) ja pohjan pinta-ala (S), niin monitahoisen korkeuden (h) laskentakaava on seuraava - jaa tilavuus kerrottuna 3:lla alueella S: h = (3V)/S. Kun on annettu pyramidin neliökanta, jonka tilavuus (V) ja sivun pituus γ, korvaa edellisen kaavan pinta-ala (S) sivun pituuden neliöllä: S = γ 2 ; H = 3 V/y2. Säännöllisen pyramidin korkeus h = SO kulkee tarkalleen sen ympyrän keskustan läpi, joka on rajattu lähellä kantaa. Koska tämän pyramidin kanta on neliö, piste O on diagonaalien AD ja BC leikkauspiste. Meillä on: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. Seuraavaksi olemme mukana suorakulmainen kolmio Löydämme SOC (käyttäen Pythagoraan lausetta): SO = √(SC 2 -OC 2). Nyt tiedät kuinka löytää säännöllisen pyramidin korkeus.

Täältä löydät perustietoa pyramideista ja niihin liittyvistä kaavoista ja käsitteistä. Niitä kaikkia opiskellaan matematiikan tutorin kanssa valmisteltaessa yhtenäistä valtionkoetta.

Harkitse tasoa, monikulmiota , makaa siinä ja piste S, ei makaa siinä. Yhdistetään S monikulmion kaikkiin pisteisiin. Tuloksena olevaa monitahoista kutsutaan pyramidiksi. Segmenttejä kutsutaan sivuripoiksi. Monikulmiota kutsutaan pohjaksi ja pistettä S on pyramidin huippu. Numerosta n riippuen pyramidia kutsutaan kolmiomaiseksi (n=3), nelikulmaiseksi (n=4), viisikulmaiseksi (n=5) ja niin edelleen. Vaihtoehtoinen nimi kolmiopyramidille on tetraedri. Pyramidin korkeus on kohtisuora, joka laskee sen huipulta pohjan tasoon.

Pyramidia kutsutaan säännölliseksi jos säännöllinen monikulmio, ja pyramidin korkeuden kanta (pystysuoran kanta) on sen keskipiste.

Opettajan kommentti:
Älä sekoita käsitteitä "säännöllinen pyramidi" ja "säännöllinen tetraedri". Tavallisessa pyramidissa sivureunat eivät välttämättä ole yhtä suuret kuin pohjan reunat, mutta säännöllisessä tetraedrissä kaikki 6 reunaa ovat yhtä suuret. Tämä on hänen määritelmänsä. On helppo todistaa, että yhtäläisyys tarkoittaa, että monikulmion keskipiste P osuu yhteen jonka kantakorkeus, joten säännöllinen tetraedri on säännöllinen pyramidi.

Mikä on apoteemi?
Pyramidin apoteemi on sen sivupinnan korkeus. Jos pyramidi on säännöllinen, niin kaikki sen apoteemit ovat yhtä suuret. Käänteinen ei ole totta.

Matematiikan ohjaaja terminologiastaan: 80 % työstä pyramidien parissa on rakennettu kahdentyyppisten kolmioiden kautta:
1) Sisältää apothemin SK ja korkeuden SP
2) Sisältää sivureunan SA ja sen projektion PA

Näiden kolmioiden viittausten yksinkertaistamiseksi matematiikan opettajan on helpompi kutsua niistä ensimmäinen apoteellista, ja toinen kylki-. Valitettavasti tätä terminologiaa ei löydy mistään oppikirjoista, ja opettajan on esitettävä se yksipuolisesti.

Pyramidin tilavuuden kaava:
1) , missä on pyramidin pohjan pinta-ala ja pyramidin korkeus
2) , missä on piirretyn pallon säde ja on pyramidin kokonaispinnan pinta-ala.
3) , jossa MN on kahden risteävän reunan välinen etäisyys ja on suunnikkaan pinta-ala, jonka muodostavat neljän jäljellä olevan reunan keskipisteet.

Pyramidin korkeuden pohjan ominaisuus:

Piste P (katso kuva) osuu pyramidin pohjassa olevan ympyrän keskipisteen kanssa, jos jokin seuraavista ehdoista täyttyy:
1) Kaikki apoteemit ovat samanarvoisia
2) Kaikki sivupinnat ovat tasaisesti kaltevassa pohjassa
3) Kaikki apoteemit ovat yhtä kallistuneet pyramidin korkeuteen
4) Pyramidin korkeus on tasaisesti kalteva kaikille sivupinnoille

Matematiikan opettajan kommentti: Huomaa, että kaikilla pisteillä on yksi yhteinen piirre yleinen omaisuus: tavalla tai toisella, sivupinnat ovat mukana kaikkialla (apoteemit ovat niiden elementtejä). Siksi ohjaaja voi tarjota vähemmän tarkan, mutta oppimisen kannalta helpomman muotoilun: piste P osuu yhteen piirretyn ympyrän keskipisteen, pyramidin pohjan kanssa, jos sen sivupinnasta on yhtä paljon tietoa. Sen todistamiseksi riittää, kun osoitetaan, että kaikki apoteemikolmiot ovat yhtä suuria.

Piste P on sama kuin pyramidin pohjan lähellä olevan ympyrän keskipiste, jos yksi kolmesta ehdosta on totta:
1) Kaikki sivureunat ovat yhtä suuret
2) Kaikki sivurivat ovat tasaisesti kaltevassa pohjassa
3) Kaikki sivurivat ovat yhtä kallistuneet korkeuteen