Fuzzy logic - wiskundige grondslagen. Theorie van vage verzamelingen

annotatie: De lezing presenteert methoden voor het modelleren van economische problemen met behulp van fuzzy sets in de Mathcad-omgeving. De basisconcepten van de theorie van fuzzy sets worden geïntroduceerd. De voorbeelden tonen bewerkingen op sets, berekening van eigenschappen. Oorspronkelijke problemen worden beschouwd waarbij een fuzzy-multiple-benadering wordt toegepast in het besluitvormingsproces. De modelleringstechniek wordt geïmplementeerd met behulp van de matrices van het Mathcad-programma.

Het doel van de lezing. Introduceer fuzzy sets. Om te leren hoe u een taak kunt instellen voor het bouwen van een fuzzy-multiple-model. Laat zien hoe je fuzzy sets kunt bouwen en ermee kunt werken in Mathcad. Methoden presenteren voor het oplossen van een fuzzy-multiple-model tijdens het oplossen van problemen.

6.1 Fuzzy-multiple-modellering

Bij het modelleren van een brede klasse van echte objecten, wordt het noodzakelijk om beslissingen te nemen in omstandigheden van onvolledige vage informatie. Moderne perspectiefrichting van modellering ander soort onzekerheden is de theorie van vage verzamelingen. In het kader van de vage verzamelingenleer zijn methoden ontwikkeld voor het formaliseren en modelleren van menselijk redeneren, zoals concepten als "min of meer hoge inflatie", "stabiele positie in de markt", "meer waard", enz.

Voor het eerst werd het concept van fuzzy sets voorgesteld door de Amerikaanse wetenschapper L.A. Zade (1965). Zijn ideeën dienden om vage logica te ontwikkelen. In tegenstelling tot standaardlogica met twee binaire toestanden (1/0, Ja/Nee, Waar/Onwaar), kunt u met fuzzy logic tussenliggende waarden tussen standaardscores definiëren. Voorbeelden van dergelijke beoordelingen zijn: "waarschijnlijker wel dan niet", "waarschijnlijk wel", "iets naar rechts", "scherp naar links" in tegenstelling tot de standaardbeoordelingen: "naar rechts" of "naar links", "ja". In de theorie van vage verzamelingen worden vage getallen geïntroduceerd als vage subsets van een gespecialiseerd type, overeenkomend met uitspraken als "de waarde van de variabele is ongeveer gelijk aan a". Beschouw als voorbeeld een driehoekig fuzzy-getal , waarbij drie punten worden toegekend: het minimaal mogelijke, het meest verwachte en het maximale mogelijke betekenis factor een. Driehoekige getallen zijn in de praktijk het meest gebruikte type fuzzy getallen, bovendien worden ze het meest gebruikt als voorspellende parameterwaarden. Bijvoorbeeld de verwachte waarde van de inflatie voor het komende jaar. Laat de meest waarschijnlijke waarde 10% zijn, de minimaal mogelijke waarde 5% en de maximaal mogelijke waarde 20%, dan kunnen al deze waarden worden teruggebracht tot de vorm van een vage subset of een vaag getal A: A: ( 5, 10, 20)

Met de introductie van fuzzy numbers bleek het mogelijk om de toekomstige waarden te voorspellen van parameters die veranderen binnen het vastgestelde berekende bereik. Er wordt een reeks bewerkingen op vage getallen geïntroduceerd, die worden teruggebracht tot algebraïsche bewerkingen met gewone getallen wanneer een bepaald betrouwbaarheidsinterval (lidmaatschapsniveau) is gespecificeerd. Door het gebruik van fuzzy-nummers kunt u de geschatte corridor van de waarden van de voorspelde parameters instellen. Dan wordt het verwachte effect door de deskundige ook ingeschat als een vaag getal met een eigen berekende spreiding (mate van vaagheid).

Fuzzy logic, als een model van menselijke denkprocessen, is ingebouwd in kunstmatige-intelligentiesystemen en geautomatiseerde ondersteuningstools besluitvorming(met name in besturingssystemen) technologische processen).

6.2 Basisconcepten van de vage verzamelingenleer

Een verzameling is een ondefinieerbaar begrip van de wiskunde. Georg Cantor (1845-1918) Duitse wiskundige wiens werk ten grondslag lag aan moderne theorie sets, geeft zo'n concept: "... een set is veel, denkbaar als één."

Een verzameling die alle objecten omvat die in het probleem worden beschouwd, wordt een universele verzameling genoemd. universele set wordt meestal aangegeven met de letter . universele set is een maximale verzameling in de zin dat alle objecten zijn elementen zijn, d.w.z. de bewering binnen het probleem is altijd waar. De minimale set is lege verzameling– die geen enkel element bevat. Alle andere verzamelingen in het beschouwde probleem zijn subverzamelingen van de verzameling. Bedenk dat een verzameling een deelverzameling van een verzameling wordt genoemd als alle elementen ook elementen zijn van . De toewijzing van een verzameling is een regel die het mogelijk maakt om met betrekking tot elk element van een universele verzameling ondubbelzinnig te bepalen of het tot de verzameling behoort of niet. Met andere woorden, het is een regel om te bepalen welke van de twee uitspraken, of , waar is en welke niet. Een van de manieren om verzamelingen te definiëren, is door een karakteristieke functie te gebruiken.

De karakteristieke functie van een verzameling is een functie gedefinieerd op een universele verzameling en de waarde één neemt voor de elementen van de verzameling die behoren tot , en de waarde nul voor de elementen die niet behoren tot:

(6.1)

Denk bijvoorbeeld aan: universele set en zijn twee deelverzamelingen: - de reeks getallen kleiner dan 7, en - de reeks getallen iets kleiner dan 7. De karakteristieke functie van de verzameling heeft de vorm

(6.2)

Zet in dit voorbeeld is de gebruikelijke set.

Het is onmogelijk om de karakteristieke functie van de verzameling te schrijven met alleen 0 en 1. Moeten bijvoorbeeld de nummers 1 en 2 worden opgenomen? Is 3 minder dan 7 "veel" of "niet veel"? Antwoorden op deze en soortgelijke vragen kunnen worden verkregen afhankelijk van de omstandigheden van het probleem waarin de sets en worden gebruikt, evenals van de subjectieve kijk van degene die dit probleem oplost. De set wordt de fuzzy set genoemd. Bij het samenstellen van de karakteristieke functie van een fuzzy set probleemoplossing(expert) kan zijn mening geven over de mate waarin elk van de nummers in de set tot de set behoort. Als lidmaatschapsgraad kunt u elk nummer uit het segment kiezen. Tegelijkertijd betekent het het volledige vertrouwen van de expert dat - net zo volledig vertrouwen is, wat betekent dat de expert het moeilijk vindt om de vraag te beantwoorden of hij tot de set behoort of niet. Als een , dan is de expert geneigd om naar de verzameling te verwijzen, als , dan niet geneigd.

De lidmaatschapsfunctie van een fuzzy set is een functie die:

Zo'n functie heet lidmaatschap functie vage reeks. - Maximale waarde lidmaatschapsfunctie, aanwezig in de set - de bovengrens - wordt het supremum genoemd. Lidmaatschap functie weerspiegelt de subjectieve kijk van een specialist op de taak, brengt individualiteit naar zijn oplossing.

De karakteristieke functie van een gewone verzameling kan worden beschouwd als een functie van het lidmaatschap van deze verzameling, maar in tegenstelling tot een vage verzameling heeft deze slechts twee waarden: 0 of 1.

Een fuzzy set is een paar , waar - universele set, - lidmaatschap functie vage reeks.

Een dragerset of een drager van een fuzzy set is een subset van de set die bestaat uit elementen waarop: .

Het overgangspunt van een fuzzy set heet stel element in, waarop .

In het beschouwde voorbeeld, waar , is de reeks getallen kleiner dan 7, is de reeks getallen iets minder dan 7, kiezen we subjectief de waarden voor de set die de lidmaatschapsfunctie zal vormen . Tabel 6.1 geeft een overzicht van de lidmaatschapsfuncties voor en voor en .

Tabel 6.1.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	1	1	1	1	1	0	0	0	0
0	0	0,5	0,6	0,8	0,9	0	0	0	0

Een compactere notatie van eindige of aftelbare fuzzy sets wordt vaak gebruikt. Dus, in plaats van de bovenstaande tabelweergave van subsets en , kunnen deze subsets worden geschreven op de volgende manier.

Hallo burgers en burgers. In opdracht van de linkerhiel besloot ik een reeks populairwetenschappelijke artikelen te beginnen, waarin ik de basisprincipes van kunstmatige intelligentie zal uitleggen. Daarom zal ik in de toekomst de rol van gastdocent proberen, vertellend over hoe ruimteschepen ploeg de uitgestrektheid van het Bolshoi Theater.

Ik kan niet één artikel per dag publiceren, dus ik beloof niets, om mezelf niet in verlegenheid te brengen met deze verplichtingen. Het enige: ik zal anderen niet kwellen met een overvloed aan wiskunde, ik zal proberen alles zo toegankelijk mogelijk te formuleren, maar zonder godslastering. Ik zal de cyclus beginnen met het apparaat van fuzzy logic, waar ik zal uitleggen wat de intellectualiteit ervan is.

Beginnen korte uitweiding in de verzamelingenleer. Een set is een verzameling van meerdere objecten die een bepaalde eigenschap hebben. Bijvoorbeeld de verzameling van alle mensen op onze planeet. Een set Audi-auto's met RGB-kleurcoördinaten (255, 165, 0). De verzameling van alle mannelijke kaketoes zittend op een tak op één poot om precies 15:39 GMT. De essentie van scherpe sets ligt in hun absolute categoriciteit. Dat wil zeggen, om te bepalen of een object tot een verzameling behoort, moet de vraag worden beantwoord of het een eigenschap heeft die deze verzameling definieert. Niet echt. Niet meer niet minder. Is de eenheid groter dan nul? Ja. Het behoort dus tot de verzameling positieve getallen.

Laten we dichter bij het lichaam gaan, naar de theorie van vage verzamelingen. Het is gemaakt door een Amerikaanse wetenschapper van Azerbeidzjaanse afkomst Lotfi Zadeh om de theorie van verzamelingen aan te passen aan de manier van menselijk denken. Hoe denkt een mens tenslotte? Als je op het strand aan een zwemmer vraagt: "Vertel me, lieve persoon, welke temperatuur heeft het water op de schaal van Fahrenheit, tot op de tiende graad nauwkeurig?" - hij zal je aankijken alsof je mentaal ziek. En als je de vraag stelt: “Hoe is het water vandaag?”, dan zal hij zeggen: “Koud/heet/warm”, of mompelen “nat”, als het vandaag niet in de geest is. De hele tijd is dat " koud water" is een nogal vage formulering. De een zal zich in gelukzaligheid koesteren, terwijl de ander naar de kust zal rennen om binnen twee minuten te zonnebaden. Zo werkt een mens, subjectivisme en gebrek aan duidelijke grenzen- dit gaat over ons.

Sommigen hebben al kunnen achterhalen waarom fuzzy sets. Het is uiterst moeilijk om te bepalen hoeveel mensen het pand "hoog" hebben. Voor mij, een knappe man van twee meter, schuin in de schouders, is lang in ieder geval niet lager dan het niveau van mijn oor. En een korte man van anderhalve meter kijkt naar een persoon met een lengte van 170 cm met zijn hoofd omhoog - voor hem begint hoge groei veel eerder. Dit gaat over subjectiviteit.

De tweede moeilijkheid ligt in het vervagen van de grenzen. Is het mogelijk om nauwkeurig het aantal centimeters te specificeren dat een persoon van gemiddelde lengte zal scheiden van een korte persoon? 170 en een half? 172 en driekwart? De verdeling is zeer, zeer voorwaardelijk. We zijn dus dicht bij het verschil tussen vage sets en heldere sets.

Tromgeroffel, Mkhatovs pauze... Dus, vage sets verschillen van heldere sets doordat objecten die tot vage sets behoren een eigenschap kunnen hebben die ze in verschillende mate definieert. We hebben afgesproken om deze mate van lidmaatschap te beschouwen als liggend in het bereik van nul tot één, maar als het voor iemand handiger is, dan kan hij vermenigvuldigen met 100, en je krijgt percentages.

Laten we zeggen dat je brandende koffie drinkt, de kop rookt. Met een zekerheid van 0,99 (99 procent - de eerste en laatste keer dat ik het werk voor je doe), kan worden gesteld dat koffie de "hete" eigenschap heeft. Als het (koffie in de zin van het woord) een temperatuur heeft van 50 graden Celsius, dan zal de mate van bezit van het eigendom "heet" veel lager zijn, zeg 0,76 (tel nu voor jezelf). Tegelijkertijd zijn er objecten die behoren tot de "hete" verzameling met nul of één graad. Halfbevroren koffie kan bijvoorbeeld alleen heet worden genoemd door een gek, of iemand die de Russische taal niet kent, en koken is honderd pond heet. Er zijn een eindeloos aantal voorbeelden, gelukkig is bijna elke menselijke categorie die in het dagelijks leven wordt gebruikt vaag. Vertrouwend op uw rijke verbeeldingskracht, laat ik de taak over om andere voorbeelden te vinden voor een onafhankelijke oplossing.

Waarom was de totstandkoming van zo'n theorie zo belangrijk, waarom werd er zo veel aandacht aan besteed? Het antwoord is simpel: hier is een goudmijn verborgen. Enorme toepassingsmogelijkheden. Stel dat u een ingenieur bent en dat het uw taak is om een magnetron te ontwerpen. Tot welke temperatuur zal een persoon voedsel opwarmen? Tot 40,2 °C? Neuk daar. Tot heet dat er een fuzzy set is. En de taak van de magnetron is om de muffin een temperatuur te geven die, met een enkele graad van zekerheid, zou behoren tot de reeks "heet".

Dan begint het meeste plezier, spijbelaars van wiskundelessen kunnen zich met een gehuil naar de zijkanten verspreiden. MAAR? Wat? Heb ik beloofd het zonder te doen? Zoals de oude Arnie zei in beroemde film- "Ik loog". De mate van lidmaatschap wordt meestal aangegeven met de Griekse letter "mu" - μ. Laten we, om ons niet te vervelen, het concept van een linguïstische variabele introduceren - dit is zo'n variabele die een waarde kan aannemen in de vorm van woorden in een menselijke taal. Dat wil zeggen, de taalkundige variabele "groei" kan de volgende waarden aannemen: "hoog", "gemiddeld", "laag". De waarden van de taalvariabele worden termensets genoemd, ik vestig uw aandacht op het feit dat ze vaag zijn. En tot slot is er het concept van een universele set - een gewone, heldere set die alle waarden bevat die een gewone variabele kan aannemen. De gebruikelijke variabele "lengte van een persoon" kan waarden aannemen van nul tot "hoeveel er een Guinness-record is, ik weet het niet meer".

De taak van de lidmaatschapsfunctie (FP) is om te bepalen in hoeverre een gewone variabele behoort tot de waarde van een taalvariabele. Sinds ik het onderwerp lengte ben gaan trappen, zal ik verder ontwikkelen: FP bepaalt de mate waarin een persoon met een lengte van 184 cm tot de "gemiddelde" termenset behoort. Laten we er dus uitzien als grootmoeders. We hebben een taalvariabele. We hebben verschillende van zijn waarden, die elk een vage verzameling zijn. Ten slotte hebben we een universele set - de set numerieke waarden van een gewone variabele. We staan voor het volgende doel: voor elk van de fuzzy sets zijn eigen lidmaatschapsfunctie bepalen, d.w.z. specificeer voor elk van de elementen van de universele verzameling de mate van lidmaatschap van de corresponderende vage verzameling. Dan kunnen we naar een specifieke waarde van de variabele porren en zien in hoeverre deze bij een willekeurige fuzzy set hoort. Alles, de storm is voorbij, je kunt het zweet van je afvegen en even ontspannen. Dan komen er grappige foto's, waarna we ons nog even kunnen amuseren. Op de foto's zal ik de betekenis van de lidmaatschapsfunctie illustreren, laten zien welke soorten van deze dieren zijn, waar ze mee eten en uitleggen hoe deze dieren te bouwen. Laten we terugkeren naar uw favoriete onderwerp van menselijke groei. Laten we de "gemiddelde" set als voorbeeld nemen en de lidmaatschapsfunctiegrafiek plotten.

Nu, gewapend met een geslepen potlood, kun je elke waarde van "x" kiezen en kijken in hoeverre deze x voldoet aan de voorwaarde van gemiddelde lengte. Dat tachtig meter ijzer is. Meter tweeënzeventig - met een graad van 0,5. De groei van een meter vijftig is niet gemiddeld, dus de mate van erbij horen is nul. Enzovoort. Merk op dat de gereduceerde functie driehoekig wordt genoemd. Het is moeilijk te geloven, maar toch.

Maar we namen een kant-en-klare functie die iemand (iemand!) zo vriendelijk was voor ons. Hoe bouw je zelf een soortgelijke functie? Er zijn twee manieren: eenvoudig en met problemen. Om voor de hand liggende redenen zal ik slechts een eenvoudige beschrijven. Eerst moet je een groep experts samenstellen. Nou ja, dat zijn die nietsnutten die denken dat ze alles begrijpen en weten hoe de wereld eigenlijk werkt. Geef elke expert een potlood en een notitieblok. Maak vervolgens een lijst van de waarden van de variabele en vraag om "1" (stok, kruis - optioneel) voor deze waarde te plaatsen, als de expert van mening is dat de waarde van de variabele tot de fuzzy set behoort. Nul - anders. Tel vervolgens voor elke waarde van de variabele de nullen en enen op en neem het gemiddelde - dat wil zeggen, deel het resulterende bedrag door het aantal leeglopers. De resulterende waarde ligt in het bereik van nul tot één (beide waarden zijn inclusief). Sommigen zouden kunnen vermoeden dat we de waarde van de lidmaatschapsfunctie hebben gekregen voor een bepaalde waarde van de variabele. Nadat u de FP-waarden voor alle waarden van de variabele x hebt ontvangen, kunt u een grafiek maken. Of bouw niet als je te lui bent.

Wiskundige theorie van fuzzy sets, gemaakt in de jaren 60. voor het oplossen van een smal utilitair probleem van patroonherkenning, heeft momenteel toepassingen in de meeste verschillende gebieden wetenschappelijk en economische activiteit- van werken aan het creëren van kunstmatige intelligentie in computers van de vijfde generatie tot het beheer van complexe technologische processen.
Deze theorie is gebaseerd op de concepten fuzzy set en lidmaatschapsfunctie, waarvan de definitie hieronder wordt gegeven.

Laat E een verzameling zijn, telbaar of niet, hun: - een element van E. Dan wordt een vage deelverzameling A van de verzameling E gedefinieerd als een verzameling geordende paren - karakteristieke lidmaatschapsfunctie, die zijn waarden in een goed- geordende verzameling M, die de mate van lidmaatschap van het element x in de deelverzameling A aangeeft. De verzameling M wordt de lidmaatschapsverzameling genoemd.
We zullen de toepassing van de theorie van fuzzy sets in de economie illustreren aan de hand van het voorbeeld van het berekenen van het toekomstige assortiment van een groothandelsonderneming in één productprofiel met een vast handelsgebied. Onder het veelbelovende bereik in deze zaak wordt opgevat als een reeks goederen waar zeker veel vraag naar zal zijn bij consumenten - in dit geval detailhandelsondernemingen die zijn opgenomen op het gebied van effectieve commerciële activiteit van de groothandelsorganisatie. Het vinden van een kansrijk assortiment garandeert de groothandelsorganisatie de vorming van een assortimentskern die met minimaal risico op de markt wordt verkocht, en helpt ook om de algemene trends daarvan weer te geven consumenten markt waarop de organisatie groothandel haar commerciële activiteiten uitoefent.
succesvolle oplossing de taak om een veelbelovend assortiment te vinden, stelt u in staat om een beslissing te nemen over het sluiten van een deal bij het analyseren van de inkomende commercieel aanbod.
Gegeven:
X = \xr x2,..., xn) - een set goederen die beschikbaar is in het magazijn van een groothandel of als commercieel aanbod wordt aangeboden.
Y = (yy y2,..., yur) is de verzameling attributen van goederen.
Z = (zr z2,., zm) is de verzameling beschouwde detailhandelsondernemingen - consumenten van de groothandelsorganisatie.
Het is nodig om het toekomstige assortiment van de groothandelsorganisatie te bepalen, d.w.z. stel x in; om te voldoen aan vermeende verzoeken van Z.
Het model is gebouwd onder de volgende aannames:

er zijn leveranciers en consumenten op de markt - respectievelijk groothandels- en detailhandelsorganisaties;
commerciële verzoeken van detailhandelaren zt, z2,..., zm worden in overweging genomen en, indien mogelijk, ingewilligd, ongeacht het tijdstip van ontvangst.
transacties tussen groothandelaren en detailhandelaren handelsorganisaties een andere volgorde hebben, die wordt bepaald door de gewichtsfunctie van retailorganisaties met ex
peer assessment op basis van de resultaten van eerdere commerciële activiteiten;
goederen xp x2,...,xn worden gekenmerkt door p kenmerken;
de mate waarin de attributen yy y2,...,ur tot goederen behoren varieert tussen individuele goederen xp x2,..., xn;
het ene goed heeft de voorkeur boven het andere wanneer de kenmerken ervan v. qua belangrijkheid dichter bij de beoordeling van consument z liggen. (dealer).

Laat l x Y -gt; - lidmaatschapsfunctie van fuzzy binaire relatie R, bepaald met behulp van een deskundige.
De verhouding R wordt als volgt in matrixvorm weergegeven:
.U, U2 " * * Ur

%r(xi' Y i)^r(xpY2) ^r(xi" Ur)

X2
*„1,іzh(\'Uі) y2-gt; favoriet.
In deze matrix drukken de elementen van elke rij de relatieve mate uit waarin kenmerken tot bepaalde goederen behoren. Hoe hoger de waarde, hoe belangrijker het attribuut.
Laat fs:7xZ-gt; is de lidmaatschapsfunctie van de vage binaire relatie S. Voor alle y є Y en alle zeZ is φ5(y, z) gelijk aan de mate van compatibiliteit van de detailhandelsonderneming z met het attribuut y. Hoe hoger de waarde van de functie, hoe meer deze functie compatibel is met een bepaalde onderneming. detailhandel.
In matrixvorm heeft deze relatie de vorm:
De waarde van de matrix S weerspiegelt het relatieve belang van de kenmerken Yt bij het nemen van een beslissing door de onderneming
bij de aankoop van een partij van een product bij de groothandel die we overwegen.

Z, ... Z
2 p
Uit de matrices R en S verkrijgen we de matrix T:
waarvan de elementen worden bepaald door de lidmaatschapsfunctie
? IR(X, Y) -f(Y, Z,)
Pl/Xgt; zi) =¦
, voor alle xe X, ye Y, zi Z.
De som 2, fv(x, y) is gelijk aan de graad van de vage deelverzameling,
Bij
met aanduiding van het aantal van de belangrijkste kenmerken y, dat inherent is aan het product d: vanuit het oogpunt van de detailhandelaar. De volgende matrix is opgebouwd:
^A,(xl'zl) L 1*A7(X1-z2gt; - Iі L /*/¦ zm-l) L Ml (xl'zm)\
'*m-ik t
l
\!lAt(xn‘Zl)^ltA7(xn-z2) - ,(xn-zm-l) L TA (xn-zm)\
"1*t-1t"
waarbij het voegwoord A de paarsgewijze minimale bewerking betekent. De drempel voor deling/bereik wordt beperkt door de voorwaarde
i.j X ЯІ ‘ Aj 3
Nadat de drempel I is gekozen, is het mogelijk om het ingestelde niveau voor elke z te bepalen:
M\ \u003d (x \ u, (x) gt; tіptachtіn (u (x, z), u (x, z))),
I 1 L, j x I 1 L] J
YxeMr
Laat oj(z) een wegingsfunctie zijn die elke detailhandelaar zijn gewicht geeft op basis van eerdere commerciële activiteiten.

Het assortiment van een groothandel wordt beschreven door de unie van niveausets:
m = U 0)(z)Mr
І
De prospectieve assortimentsberekening helpt de groothandel bij het bepalen van:
hoe het assortiment te optimaliseren (welke producten moeten op voorraad worden gehouden met behoud van de bestaande structuur van consumenten);
hoe het assortimentconcept te wijzigen voor een bepaalde verandering in het servicegebied, d.w.z. welke strategische acties te ondernemen bij uittreding uit het aantal bediende consumenten van individuele retailorganisaties;
hoe het servicegebied te optimaliseren (in ons geval is dit het gebied van effectieve commerciële activiteit) en tegelijkertijd die goederen uit te sluiten waarvan de kenmerken niet voldoen aan de groothandelsorganisatie, of inclusief die goederen waarvan de kenmerken bij het assortiment passen).
Bekijk een vereenvoudigd numeriek voorbeeld om dit probleem te illustreren.
Laat de groothandelsorganisatie 6 consumptiegoederen op voorraad hebben (x „ x2, ..., x6) en leveren aan drie consumenten - Zj (groot warenhuis), z2 ( kleine winkel) en z3 (tent).
Laten we het volgende nemen als de kenmerken van goederen in overweging:
yt - "prijs", y3 - "uiterlijk"
y2-"kwaliteit", y4-"seizoensgebonden",
y5-"stage levenscyclus goederen".
Laat: X x Y -gt; en f5: Y x Z-gt; [O, 1] worden gegeven door de volgende matrices:

1	0,8	0,5	1	0,2		1	0,5	wat betreft
0,8	0,7	1	0,1	0,7		1	0,5	0
0,5	0,5 0,3		1	0,7	gt;	1	0,3	1
0,5	0,3	0,9	0,1	0,2	5 =	0	1	0.5
0,3	0,4 0,1		0	0		1	0	0,5
0,5 0,5		1	1	0,5/		,		і

en de waarden van de gewichtsfunctie zijn:
co(Zj) = 30, w(z) = 20, co(z,) = 15.

De kenmerken van de goederen in de matrix R geven bijvoorbeeld aan dat het product x duur, hoogwaardig, uiterlijk onopvallend is, past bij het seizoen, maar technisch wat achterhaald is (of juist net op de markt komt en nog onbekend bij kopers).
De kenmerken van winkels in matrix 5 geven bijvoorbeeld aan dat de tweede consument, winkel z2, krap is in magazijnen en daarom bij voorkeur handelt in goederen die overeenkomen met een bepaald seizoen, wat volgt uit de waarde van de functie φ$(y4, zJ.
We berekenen de matrix T:

/0,714	0,586	0,314
0,97	0,348	0,41
0,667	0,53	0,234
0,95	0,34	0,525
1	0,475	0,125
\ 0,714	0,514	0,5

Voor de oplettende lezer merken we alvast op dat al in dit stadium kan worden aangenomen dat het product x6, zoals volgt uit de laatste rij van de matrix T, hoogstwaarschijnlijk door alle drie de consumenten zal worden gekocht.
Door paarsgewijze informatie verkrijgen we de matrix W:

(0,586	0,314	0,314
0,348	0,41	0,348
0,53	0,234	0,234
0,34	0,525	0,34
0,475	0,125	0,125
№,514	0,5	0,5

In dit stadium van de berekeningen wordt rekening gehouden met concurrentie tussen consumenten-winkels zr z2 en z).
Vervolgens vinden we de maximale elementen in elk van de kolommen van de matrix W:
maxmin(nAi(x, zl)tjiAJx, z2))= 0,586; maxmm(nA](x, zl),nAJx, z3)) =0,525; maxminfnAJx, r2),cA](x, z))) = 0,5.

(x, x2, x3, x4, x), x6,) ,
(Xg x3, xy x6),
(x4,x6,),
Zo heeft het grote warenhuis zt voldoende mogelijkheden om het hele assortiment aangeboden producten in bulk te verhandelen, vermijdt de z2-winkel wegens gebrek aan opslagruimte de aankoop van goederen die lang duren om te verkopen, en de z3-tent neemt slechts flitsende en relatief goedkope goederen. De grote vraag naar het x6-product is niet toevallig, het is echt een product met briljante eigenschappen: het heeft een lage prijs met een gemiddelde kwaliteit, ziet er geweldig uit, komt overeen met het seizoen en is vrij goed bekend bij de retailkoper.
Met behulp van de waarden van de gewichtsfunctie verkrijgen we de waarden van het assortiment:
M = (50xp 30x2, 50x3, 45x4, 50x), 105x6)
De resultaten van deze taak zijn gemakkelijk te gebruiken bij het nemen van een beslissing om een deal te sluiten (bij het analyseren van een inkomend commercieel aanbod).
Om dit te doen, nadat u de lidmaatschapsfunctie van het voorgestelde product xn + hebt bepaald, voert u de berekening uit volgens het bovenstaande algoritme en bepaalt u in hoeverre dit product tot de reeks goederen van het veelbelovende assortiment behoort, en zo ja, dan of het goederen uit de set xr,...,xn die al in het magazijn van de groothandel staan, zal verdringen.
Op basis van deze beoordeling kan de persoon die verantwoordelijk is voor het sluiten van de transactie een positieve, afwachtende of negatieve beslissing nemen.

K. Hirota (Instituut voor Staat en Recht)

Meer dan een kwart eeuw is verstreken sinds L.A. Zade van de Universiteit van Californië de theorie van vage verzamelingen voorstelde. Deze theorie heeft zich in vele richtingen ontwikkeld, dus het zal behoorlijk lang duren om al zijn ideeën te absorberen. Om het echter in een specifiek gebied toe te passen, is een klein aantal concepten voldoende. De belangrijkste bepalingen van de theorie van fuzzy sets worden hieronder besproken om het snel onder de knie te krijgen in het toegepaste veld. Allereerst zullen we de theorie van scherpe verzamelingen en tweewaardige Booleaanse logica bestuderen. Op basis daarvan gaan we verder met de concepten van de vage verzamelingenleer en de vage logica. Laten we daarnaast aandacht besteden aan vage conclusies, die vooral belangrijk zijn vanuit het oogpunt van de toepassing van deze theorie, evenals aan vage productieregels en vage relaties.

2.1. WISSEN SETS

Het Engelse woord fuzz, waarvan het adjectief fuzzy (fuzzy) is afgeleid, betekent "stapel" - een speciale term die de eigenschap van stoffen definieert. Als we naar een tekening op een wollige stof kijken, lijkt deze ons wazig, dus als we 'vaag' zeggen, bedoelen we 'onduidelijk', 'wazig'. Een fuzzy set zullen we bijvoorbeeld alle Japanse schoonheden noemen. De betekenis van deze definitie is ons duidelijk, maar het is moeilijk voor ons om eenduidig te zeggen of dit of dat meisje tot deze set behoort, alleen met behulp van de woorden "ja" of "nee"; dus hebben we te maken met onbepaalde, niet-strikte eigenschappen van de studieobjecten.

Daarentegen, de wereld, waarvan de eigenschappen strikt kunnen worden gedefinieerd in twee woorden, bijvoorbeeld "man of vrouw?", Laten we een heldere wereld noemen. Daarom wordt de logica van computers die met 0 en 1 te maken hebben, genoemd

duidelijke logica en gewone sets - duidelijke sets. Als uitbreiding van deze concepten kan men fuzzy logic en fuzzy sets beschouwen. Om ons voor te bereiden op het begrip van deze concepten, zullen we eerst de theorie van crisp sets bestuderen.

De theorie van scherpe verzamelingen omvat over het algemeen axiomatische verzamelingenleer en elementaire verzamelingenleer. De eerste is een van de fundamentele theorieën van de wiskunde, er is genoeg voor nodig hoog niveau filosofisch denken. Hier is het echter voldoende voor ons om het concept van een verzameling, bestudeerd op school, uit te breiden tot de concepten van de elementaire verzamelingenleer. Om de theorie van vage verzamelingen te begrijpen, hebben we bovendien het concept van een karakteristieke functie nodig.

Laten we eerst een paar basistermen en notatie uitleggen. Hoofdletters (bijvoorbeeld X) geven de reeks objecten aan waarmee we zullen omgaan, en kleine letters (bijvoorbeeld x) - individuele structurele elementen. In dit geval introduceren we de notatie

Een accolade betekent een verzameling objecten. De verzameling zelf (hier X) wordt het onderwerpgebied, de volledige ruimte of de hulpverzameling genoemd. achternaam vooral vaak gebruikt op het gebied van vage controle. (Het woord "hulp" in wiskundige analyse en een aantal andere gebieden heeft een iets andere tint, dus daar letten we op.) Individuele structurele elementen zullen eenvoudigweg elementen of objecten worden genoemd. Het feit dat x een element van X is, wordt als volgt aangegeven:

In een volledige ruimte X definiëren we een verzameling (clear set). Als namen (labels) van sets zullen we gebruiken hoofdletters A, B, C. Laat de volledige set bijvoorbeeld uit tien cijfers bestaan

dan is de verzameling even cijfers A de verzameling

Tegelijkertijd is het nummer structurele elementen we zullen de kracht van de set of het hoofdnummer noemen; laten we de notatie ervoor introduceren. In de bovenstaande voorbeelden

In dat geval zullen we het een singleton noemen. Een verzameling met eindig heet een eindige verzameling, alle elementen in zo'n verzameling kunnen worden geschreven zoals in formules (2.3) en (2.4), maar bijvoorbeeld in het geval van natuurlijke of reële getallen, d.w.z. oneindige verzamelingen, dit kan niet gedaan worden. In dit geval wordt vaak een opnamemethode gebruikt, waarbij alle eigenschappen van de set rechts van de verticale balk worden geschreven. Formule (2.4) kan bijvoorbeeld worden geschreven als

Daarnaast worden Venn-diagrammen vaak gebruikt om een concept in de vorm van een afbeelding aan te duiden (Fig. 2.1).

Naast de bovenstaande methoden voor het definiëren van de concepten van een scherpe set, is er een methode voor definitie met behulp van de karakteristieke functie. De karakteristieke functie die de verzameling A in de volledige ruimte X definieert, is een afbeelding waarvoor X het definitiedomein is en (tweewaardige verzameling van 0 en 1) het domein van waarden is:

Bovendien, als het element voldoet aan eigenschappen A, en 0 als dat niet het geval is. Daarom, als we X op de horizontale en op de verticale as plaatsen, krijgen we een grafische weergave zoals weergegeven in Fig. 2.2.

In de volledige ruimte X kan men verschillende verzamelingen beschouwen, bijvoorbeeld A met enkele eigenschappen en B met andere eigenschappen. De vereniging van al dergelijke verzamelingen wordt een machtsverzameling genoemd en wordt bijvoorbeeld aangegeven: let

dan is de vermogensset

Rijst. 2.1. Vertegenwoordigen van een set met behulp van een Wain-diagram.

Rijst. 2.2. Definitie van een verzameling met behulp van de karakteristieke functie.

Hier is 0 een speciale verzameling zonder elementen, het wordt de lege verzameling genoemd. Zijn karakteristieke functie:

Hier wordt V de universele kwantor genoemd, het kan worden gelezen als "alle". (Daarnaast is er een existentiële kwantor 3 in de zin "er is ...".) Deze kwantoren worden vaak gebruikt in logica en kunstmatige intelligentie. In tegenstelling tot de lege verzameling heeft de karakteristieke functie van de volledige verzameling X de vorm

Bovendien, voor de kardinaliteit van een set, in het algemene geval, de verklaring

Dit is eenvoudig af te leiden uit formules (2.8) en (2.9).

Laten we nu enkele bewerkingen op verzamelingen bestuderen (Fig. 2.3). Allereerst de inbeddingsrelatie van verzamelingen: als elementen van A noodzakelijkerwijs elementen van B zijn, dan wordt A een deelverzameling van B genoemd (of B is een superverzameling van A), wat wordt aangeduid als (ook waar voor , als , maar , dan wordt A een echte deelverzameling van B genoemd). Als we A c: B definiëren via de karakteristieke functie, krijgen we de volgende ongelijkheid:

Voor de inbeddingsrelatie van verzamelingen kan men bewijzen:

Rijst. 2.3. Inbedding (a), complement (b), product (c) en som van sets

geldigheid van drie eigenschappen:

1) reflexiviteit

2) antisymmetrie

3) transitiviteit

We kunnen zeggen dat het een gedeeltelijk geordende verzameling vormt, of (Voor een inbeddingsrelatie van verzamelingen, meestal voor willekeurige A, B, is het niet altijd waar A met B of B a A, dus onze verzameling is niet lineair geordend of volledig bestelde set.)

Met behulp van fuzzy sets kan men formeel onnauwkeurige en dubbelzinnige concepten definiëren, zoals "hoge temperatuur", "jonge man", "gemiddelde lengte" of " Grote stad". Alvorens de definitie van een vage verzameling te formuleren, is het noodzakelijk om het zogenaamde universum van discours te definiëren. In het geval van het ambigue begrip "veel geld" zal één bedrag als groot worden erkend als we ons beperken tot het assortiment en volledig anders - in het assortiment. Het gebied van redeneren, hierna spatie of set genoemd, wordt meestal aangeduid met het symbool . Er moet aan worden herinnerd dat dit een duidelijke set is.

Definitie 3.1

Een fuzzy set in een (niet-lege) ruimte , die wordt aangeduid als , is een set paren

, (3.1)

Fuzzy Set-lidmaatschapsfunctie . Deze functie kent aan elk element de mate toe waarin het tot een vage verzameling behoort, waarbij drie gevallen kunnen worden onderscheiden:

1) betekent dat het element tot de fuzzy set behoort, d.w.z. ;

2) betekent de afwezigheid van een element dat tot een vage verzameling behoort, d.w.z.;

3) betekent dat een element gedeeltelijk tot een vage verzameling behoort.

In de literatuur wordt een symbolische beschrijving van fuzzy sets gebruikt. Als is een ruimte met een eindig aantal elementen, d.w.z. , dan wordt de vage verzameling geschreven als

Bovenstaande vermelding is symbolisch. Het "-" teken betekent niet deling, maar betekent het toekennen van graden van lidmaatschap aan specifieke elementen . Met andere woorden, de invoer

betekent koppel

Evenzo betekent het "+"-teken in uitdrukking (3.3) niet de optelbewerking, maar wordt het geïnterpreteerd als meervoudige sommatie van elementen (3.5). Opgemerkt moet worden dat scherpe sets ook op een vergelijkbare manier kunnen worden geschreven. Een reeks schoolcijfers kan bijvoorbeeld symbolisch worden weergegeven als:

, (3.6)

wat hetzelfde is als schrijven

Als een ruimte is met een oneindig aantal elementen, dan wordt de vage verzameling symbolisch geschreven als

. (3.8)

Voorbeeld 3.1

Laten we zeggen dat het een set is natuurlijke getallen. Laten we het concept van de verzameling natuurlijke getallen definiëren "dicht bij het getal 7". Dit kan door de volgende fuzzy set te definiëren:

Voorbeeld 3.2

Als , waar is de verzameling reële getallen, dan kan de verzameling reële getallen "dicht bij het getal 7" worden bepaald door de lidmaatschapsfunctie van het formulier

. (3.10)

Daarom wordt de vage verzameling reële getallen "dicht bij het getal 7" beschreven door de uitdrukking

. (3.11)

Opmerking 3.1

Fuzzy sets van natuurlijke of reële getallen "dicht bij het getal 7" kunnen op verschillende manieren worden geschreven. De lidmaatschapsfunctie (3.10) kan bijvoorbeeld worden vervangen door de uitdrukking

(3.12)

Op afb. Figuren 3.1a en 3.1b presenteren twee lidmaatschapsfuncties voor een vage reeks reële getallen "dicht bij 7".

Rijst. 3.1. Illustratie bijvoorbeeld 3.2: lidmaatschapsfuncties van een vage reeks reële getallen "dicht bij het getal 7".

Voorbeeld 3.3

Laten we de onnauwkeurige definitie van "geschikte temperatuur om te zwemmen in de Oostzee" formaliseren. Laten we het gebied van redeneren instellen in de vorm van een set . In rust zou ik, die me het beste voel bij een temperatuur van 21°C, voor zichzelf de fuzzy set definiëren

Rust II, die de voorkeur geeft aan een temperatuur van 20°, zou een andere definitie van deze set bieden:

Met behulp van fuzzy sets en formaliseerde we een onnauwkeurige definitie van het concept van "geschikte temperatuur om te zwemmen in de Oostzee". Sommige toepassingen gebruiken standaardformulieren lidmaatschap functies. Laten we deze functies concretiseren en hun grafische interpretaties bekijken.

1. De functie voor klassenlidmaatschap (Fig. 3.2) wordt gedefinieerd als:

(3.15)

waar . De lidmaatschapsfunctie die tot deze klasse behoort, heeft een grafische weergave (Fig. 3.2), die lijkt op de letter "", en de vorm hangt af van de selectie van parameters , en . Bij het punt de klasselidmaatschapsfunctie heeft een waarde gelijk aan 0,5.

2. De functie klaslidmaatschap (Fig. 3.3) wordt gedefinieerd via de functie klaslidmaatschap:

(3.16)

Rijst. 3.2. Klasse lidmaatschap functie.

Rijst. 3.3. Klasse lidmaatschap functie.

De functie voor klassenlidmaatschap heeft nulwaarden voor en . In punten is de waarde 0,5.

3. De functie voor klassenlidmaatschap (Fig. 3.4) wordt gegeven door de uitdrukking

(3.17)

De lezer zal gemakkelijk de analogie opmerken tussen de vormen van lidmaatschapsfuncties van klassen en .

4. De functie voor klassenlidmaatschap (Fig. 3.5) wordt gedefinieerd als:

(3.18)

Rijst. 3.4. Klasse lidmaatschap functie.

Rijst. 3.5. Klasse lidmaatschap functie.

In sommige toepassingen kan de lidmaatschapsfunctie van een klas een alternatief zijn voor de lidmaatschapsfunctie van de klas.

5. De functie voor klassenlidmaatschap (Fig. 3.6) wordt gedefinieerd door de uitdrukking

(3.19)

Voorbeeld 3.4

Overweeg drie onnauwkeurige formuleringen:

1) "lage voertuigsnelheid";

2) " gemiddelde snelheid auto";

3) "hoge snelheid van de auto."

Als redeneergebied nemen we het bereik, waar is de maximale snelheid. Op afb. 3.7 presenteert fuzzy sets , en , overeenkomend met de gegeven formuleringen. Merk op dat de lidmaatschapsfunctie van een set type heeft, sets hebben type en sets hebben type. Op een vast punt km/h neemt de lidmaatschapsfunctie van de fuzzy set "lage voertuigsnelheid" de waarde 0,5 aan, d.w.z. . Dezelfde waarde wordt genomen door de lidmaatschapsfunctie van de fuzzy set "gemiddelde voertuigsnelheid", d.w.z. , terwijl .

Voorbeeld 3.5

Op afb. 3.8 toont de lidmaatschapsfunctie van de fuzzy set "big money". Dit is een klassefunctie, en , , .

Rijst. 3.6. Klasse lidmaatschap functie.

Rijst. 3.7. Illustratie bijvoorbeeld 3.4: lidmaatschapsfuncties van fuzzy sets "kleine", "gemiddelde", "grote" autosnelheid.

Rijst. 3.8. Illustratie bijvoorbeeld 3.5: De lidmaatschapsfunctie van de fuzzy set "big money".

Daarom kunnen bedragen van meer dan 10.000 roebel zeker als "groot" worden beschouwd, aangezien de waarden van de lidmaatschapsfunctie gelijk worden aan 1. Sommen van minder dan 1.000 roebel behoren niet tot "groot", aangezien de bijbehorende waarden van de lidmaatschapsfunctie zijn 0. Natuurlijk is een dergelijke definitie van de vage verzameling "groot geld" subjectief. De lezer heeft misschien zijn eigen idee van het ambigue concept van "groot geld". Deze weergave wordt weerspiegeld door andere waarden van de parameters en functies van de klasse.

Definitie 3.2

De verzameling elementen van de ruimte , waarvoor , wordt de drager van de vage verzameling genoemd en wordt aangeduid met (ondersteuning). De formele notatie heeft de vorm

. (3.20)

Definitie 3.3

De hoogte van een fuzzy set wordt aangeduid en gedefinieerd als

. (3.21)

Voorbeeld 3.6

Als een en

, (3.22)

dan .

, (3.23)

Definitie 3.4

Een fuzzy set wordt normaal genoemd als en slechts als . Als de vage verzameling niet normaal is, kan deze worden genormaliseerd met behulp van de transformatie

, (3.24)

waar is de hoogte van deze set.

Voorbeeld 3.7

vage set

(3.25)

nadat normalisatie de vorm aanneemt

. (3.26)

Definitie 3.5

Een fuzzy set wordt leeg genoemd en wordt aangegeven als en slechts als voor elk .

Definitie 3.6

De fuzzy set zit in de fuzzy set , die wordt geschreven als , als en slechts als

(3.27)

voor iedereen .

Een voorbeeld van opname (inhoud) van een fuzzy set in een fuzzy set wordt geïllustreerd in Fig. 3.9. In de literatuur is er ook het concept van de mate van inclusie van fuzzy sets. De mate van inclusie van een fuzzy set in een fuzzy set in Fig. 3.9 is gelijk aan 1 (volledige opname). De fuzzy sets gepresenteerd in Fig. 3.10 voldoet niet aan afhankelijkheid (3.27), dus er is geen inclusie in de zin van definitie (3.6). De fuzzy set zit echter tot op de graad in de fuzzy set

, (3.28)

, de conditie

Rijst. 3.12. Fuzzy convexe set.

Rijst. 3.13. Fuzzy concave set.

Rijst. 3.13 illustreert een vage concave verzameling. Het is gemakkelijk om te controleren of een fuzzy set convex (concaaf) is dan en slechts dan als alle -cuts convex (concaaf) zijn.