Quy tắc chia các phân số thường có mẫu số khác nhau. Phân số. Nhân và chia phân số
Phân số là một hoặc nhiều phần của một tổng thể, thường được coi là một (1). Đối với số tự nhiên, bạn có thể thực hiện tất cả các phép tính số học cơ bản (cộng, trừ, chia, nhân) với phân số; để làm được điều này, bạn cần biết các đặc điểm khi làm việc với phân số và phân biệt giữa các loại của chúng. Có một số loại phân số: thập phân và thông thường, hoặc đơn giản. Mỗi loại phân số đều có những đặc điểm riêng, nhưng khi bạn đã hiểu kỹ cách xử lý chúng, bạn sẽ có thể giải bất kỳ ví dụ nào bằng phân số, vì bạn sẽ biết các nguyên tắc thực hiện cơ bản phép tính số học với phân số. Chúng ta hãy xem các ví dụ về cách chia một phân số cho một số nguyên bằng các loại phân số khác nhau.
Làm thế nào để chia phân số đơn giản TRÊN số tự nhiên?Phân số thông thường hoặc phân số đơn giản là phân số được viết dưới dạng tỷ lệ của các số trong đó số bị chia (tử số) ghi ở đầu phân số và số chia (mẫu số) của phân số ghi ở dưới cùng. Làm thế nào để chia một phân số như vậy cho một số nguyên? Hãy xem một ví dụ! Giả sử chúng ta cần chia 12/8 cho 2.
Để làm điều này, chúng ta phải thực hiện một số hành động:
Vì vậy, nếu chúng ta phải đối mặt với nhiệm vụ chia một phân số cho một số nguyên, sơ đồ giải pháp sẽ trông giống như sau: 
Theo cách tương tự, bạn có thể chia bất kỳ phân số thông thường (đơn giản) nào cho một số nguyên.
Làm thế nào để chia một số thập phân cho một số nguyên?
Số thập phân là một phân số thu được bằng cách chia một đơn vị thành mười, một nghìn, v.v. Các phép tính toán học với phân số thập phân khá đơn giản.
Hãy xem một ví dụ về cách chia một phân số cho một số nguyên. Giả sử chúng ta cần chia phần thập phân 0,925 cho số tự nhiên 5.
Tóm lại, chúng ta hãy tập trung vào hai điểm chính quan trọng khi thực hiện phép chia số thập phânđến một số nguyên: - để chia một phần thập phân cho một số tự nhiên, sử dụng phép chia dài;
- Dấu phẩy được đặt trong thương khi phép chia toàn bộ phần bị chia được hoàn thành.
Cộng các phân số cùng mẫu số
Có hai cách cộng phân số:
- Cộng các phân số cùng mẫu số
- Cộng các phân số với mẫu số khác nhau
Đầu tiên chúng ta cùng tìm hiểu phép cộng các phân số cùng mẫu số. Mọi thứ đều đơn giản ở đây. Để cộng các phân số có cùng mẫu số, bạn cần cộng các tử số của chúng và giữ nguyên mẫu số. Ví dụ: hãy cộng các phân số và . Cộng các tử số và giữ nguyên mẫu số:
Ví dụ này có thể dễ hiểu nếu chúng ta nhớ đến chiếc bánh pizza được chia thành bốn phần. Nếu bạn thêm pizza vào pizza, bạn sẽ nhận được pizza:
Ví dụ 2. Cộng các phân số và .
Câu trả lời là không phần thích hợp. Khi nhiệm vụ kết thúc, người ta thường loại bỏ những phân số không đúng. Để loại bỏ một phần không chính xác, bạn cần chọn toàn bộ phần của nó. Trong trường hợp của chúng tôi, toàn bộ phần có thể dễ dàng bị cô lập - hai chia cho hai bằng một:
Ví dụ này có thể dễ hiểu nếu chúng ta nhớ về một chiếc bánh pizza được chia thành hai phần. Nếu bạn thêm nhiều pizza hơn vào pizza, bạn sẽ có được một chiếc pizza nguyên vẹn:
Ví dụ 3. Cộng các phân số và .
Một lần nữa, chúng ta cộng các tử số và giữ nguyên mẫu số:
Ví dụ này có thể dễ hiểu nếu chúng ta nhớ đến chiếc bánh pizza được chia thành ba phần. Nếu bạn thêm nhiều pizza vào pizza, bạn sẽ nhận được pizza:
Ví dụ 4. Tìm giá trị của một biểu thức 
Ví dụ này được giải theo cách tương tự như những ví dụ trước. Các tử số phải được thêm vào và mẫu số không thay đổi:
Hãy thử mô tả giải pháp của chúng tôi bằng bản vẽ. Nếu bạn thêm pizza vào một chiếc pizza và thêm nhiều pizza hơn, bạn sẽ nhận được 1 chiếc pizza nguyên con và nhiều chiếc pizza hơn.
Như bạn có thể thấy, không có gì phức tạp khi cộng các phân số có cùng mẫu số. Chỉ cần hiểu các quy tắc sau là đủ:
- Để cộng các phân số có cùng mẫu số, bạn cần cộng các tử số của chúng và giữ nguyên mẫu số;
Cộng các phân số có mẫu số khác nhau
Bây giờ chúng ta hãy học cách cộng các phân số có mẫu số khác nhau. Khi cộng các phân số thì mẫu số của các phân số phải bằng nhau. Nhưng chúng không phải lúc nào cũng giống nhau.
Ví dụ: có thể cộng các phân số vì chúng có cùng mẫu số.
Nhưng các phân số không thể được cộng ngay lập tức vì các phân số này có mẫu số khác nhau. Trong những trường hợp như vậy, các phân số phải được rút gọn về cùng mẫu số (chung).
Có một số cách để quy các phân số về cùng mẫu số. Hôm nay chúng ta sẽ chỉ xem xét một trong số chúng, vì các phương pháp khác có vẻ phức tạp đối với người mới bắt đầu.
Bản chất của phương pháp này là trước tiên LCM của mẫu số của cả hai phân số được tìm kiếm. LCM sau đó được chia cho mẫu số của phân số thứ nhất để thu được hệ số bổ sung đầu tiên. Họ làm tương tự với phân số thứ hai - LCM được chia cho mẫu số của phân số thứ hai và thu được hệ số bổ sung thứ hai.
Tử số và mẫu số của các phân số sau đó được nhân với các thừa số bổ sung của chúng. Kết quả của những hành động này là các phân số có mẫu số khác nhau sẽ biến thành các phân số có cùng mẫu số. Và chúng ta đã biết cách cộng các phân số như vậy.
ví dụ 1. Hãy cộng các phân số và
Trước hết, chúng ta tìm bội số chung nhỏ nhất của mẫu số của cả hai phân số. Mẫu số của phân số thứ nhất là số 3 và mẫu số của phân số thứ hai là số 2. Bội số chung nhỏ nhất của các số này là 6
BCNN (2 và 3) = 6
Bây giờ hãy quay lại phân số và . Đầu tiên, chia LCM cho mẫu số của phân số thứ nhất và lấy thừa số bổ sung đầu tiên. LCM là số 6, mẫu số của phân số thứ nhất là số 3. Chia 6 cho 3 ta được 2.
Số kết quả 2 là số nhân bổ sung đầu tiên. Chúng tôi viết nó xuống phân số đầu tiên. Để làm điều này, hãy tạo một đường xiên nhỏ trên phân số và viết ra hệ số bổ sung được tìm thấy phía trên nó:
Chúng tôi làm tương tự với phần thứ hai. Chúng tôi chia LCM cho mẫu số của phân số thứ hai và nhận được hệ số bổ sung thứ hai. LCM là số 6, mẫu số của phân số thứ hai là số 2. Chia 6 cho 2 ta được 3.
Kết quả số 3 là số nhân bổ sung thứ hai. Chúng tôi viết nó xuống phân số thứ hai. Một lần nữa, chúng ta tạo một đường xiên nhỏ trên phân số thứ hai và viết ra hệ số bổ sung được tìm thấy ở trên nó:
Bây giờ chúng tôi đã có mọi thứ sẵn sàng để bổ sung. Vẫn còn nhân tử số và mẫu số của phân số với các thừa số bổ sung của chúng:
Hãy nhìn kỹ vào những gì chúng ta đã đến. Chúng ta đi đến kết luận rằng các phân số có mẫu số khác nhau sẽ trở thành những phân số có cùng mẫu số. Và chúng ta đã biết cách cộng các phân số như vậy. Hãy lấy ví dụ này đến cuối:
Điều này hoàn thành ví dụ. Hóa ra là thêm .
Hãy thử mô tả giải pháp của chúng tôi bằng bản vẽ. Nếu bạn thêm bánh pizza vào một chiếc bánh pizza, bạn sẽ có được một chiếc bánh pizza nguyên vẹn và một phần sáu chiếc bánh pizza khác:
Việc giảm các phân số về cùng mẫu số (chung) cũng có thể được mô tả bằng hình ảnh. Rút gọn các phân số về mẫu số chung, ta được phân số và . Hai phân số này sẽ được thể hiện bằng những miếng bánh pizza giống nhau. Điểm khác biệt duy nhất là lần này chúng sẽ được chia thành các phần bằng nhau (giảm về cùng mẫu số).
Hình vẽ đầu tiên biểu thị một phân số (bốn mảnh trong số sáu) và hình vẽ thứ hai biểu thị một phân số (ba mảnh trong số sáu). Thêm những mảnh này, chúng tôi nhận được (bảy trong số sáu mảnh). Phân số này không đúng nên chúng tôi đã đánh dấu toàn bộ phần đó. Kết quả là chúng tôi có (một chiếc bánh pizza và một chiếc bánh pizza thứ sáu khác).
Xin lưu ý rằng chúng tôi đã mô tả ví dụ này quá chi tiết. TRONG cơ sở giáo dục Nó không phải là thông lệ để viết chi tiết như vậy. Bạn cần có khả năng nhanh chóng tìm LCM của cả mẫu số và các thừa số bổ sung của chúng, cũng như nhân nhanh các thừa số bổ sung tìm thấy với tử số và mẫu số của bạn. Nếu chúng ta đang ở trường, chúng ta sẽ phải viết ví dụ này như sau:
Nhưng cũng có mặt sau huy chương. Nếu bạn không ghi chú chi tiết trong giai đoạn đầu học toán, thì những câu hỏi kiểu này sẽ bắt đầu xuất hiện. “Con số đó đến từ đâu?”, “Tại sao các phân số đột nhiên biến thành những phân số hoàn toàn khác nhau? «.
Để cộng các phân số có mẫu số khác nhau dễ dàng hơn, bạn có thể làm theo hướng dẫn từng bước sau:
- Tìm BCNN của mẫu số của phân số;
- Chia LCM cho mẫu số của mỗi phân số và lấy hệ số bổ sung cho mỗi phân số;
- Nhân tử số và mẫu số của phân số với các thừa số bổ sung của chúng;
- Cộng các phân số có cùng mẫu số;
- Nếu câu trả lời là một phân số không đúng thì hãy đánh dấu toàn bộ phần của nó;
Ví dụ 2. Tìm giá trị của một biểu thức 
.
Hãy sử dụng các hướng dẫn được đưa ra ở trên.
Bước 1. Tìm BCNN của mẫu số của các phân số
Tìm BCNN của mẫu số của cả hai phân số. Mẫu số của các phân số là 2, 3 và 4
Bước 2. Chia LCM cho mẫu số của mỗi phân số và lấy thừa số bổ sung cho mỗi phân số
Chia LCM cho mẫu số của phân số thứ nhất. LCM là số 12 và mẫu số của phân số thứ nhất là số 2. Chia 12 cho 2, ta được 6. Ta có thừa số bổ sung đầu tiên 6. Ta viết nó phía trên phân số thứ nhất:
Bây giờ chúng ta chia LCM cho mẫu số của phân số thứ hai. LCM là số 12 và mẫu số của phân số thứ hai là số 3. Chia 12 cho 3, ta được 4. Ta được thừa số thứ hai 4. Ta viết nó phía trên phân số thứ hai:
Bây giờ chúng ta chia LCM cho mẫu số của phân số thứ ba. LCM là số 12 và mẫu số của phân số thứ ba là số 4. Chia 12 cho 4, ta được 3. Ta lấy thừa số thứ ba 3. Ta viết nó phía trên phân số thứ ba:
Bước 3. Nhân tử số và mẫu số của phân số với thừa số bổ sung của chúng
Chúng tôi nhân các tử số và mẫu số với các thừa số bổ sung của chúng:
Bước 4. Cộng các phân số cùng mẫu số
Chúng tôi đi đến kết luận rằng các phân số có mẫu số khác nhau sẽ trở thành phân số có cùng mẫu số (chung). Tất cả những gì còn lại là thêm các phân số này. Thêm nó lên:
Phần bổ sung không vừa trên một dòng, vì vậy chúng tôi đã chuyển biểu thức còn lại sang dòng tiếp theo. Điều này được cho phép trong toán học. Khi một biểu thức không vừa trên một dòng, nó sẽ được chuyển sang dòng tiếp theo và cần đặt dấu bằng (=) ở cuối dòng đầu tiên và ở đầu dòng mới. Dấu bằng ở dòng thứ hai cho biết đây là phần tiếp theo của biểu thức ở dòng đầu tiên.
Bước 5. Nếu câu trả lời là một phân số không đúng thì hãy chọn toàn bộ phần đó
Chúng tôi đã nhận được một phần không chính xác trong câu trả lời của chúng tôi. Chúng ta phải làm nổi bật toàn bộ một phần của nó. Chúng tôi đánh dấu:
Chúng tôi đã nhận được câu trả lời
Phép trừ các phân số cùng mẫu số
Có hai loại phép trừ phân số:
- Phép trừ các phân số cùng mẫu số
- Phép trừ các phân số có mẫu số khác nhau
Đầu tiên chúng ta cùng tìm hiểu cách trừ các phân số cùng mẫu số. Mọi thứ đều đơn giản ở đây. Để trừ một phân số khác từ một phân số, bạn cần trừ tử số của phân số thứ hai khỏi tử số của phân số thứ nhất, nhưng giữ nguyên mẫu số.
Ví dụ: hãy tìm giá trị của biểu thức . Để giải ví dụ này, bạn cần trừ tử số của phân số thứ hai khỏi tử số của phân số thứ nhất và giữ nguyên mẫu số. Làm thôi nào:
Ví dụ này có thể dễ hiểu nếu chúng ta nhớ đến chiếc bánh pizza được chia thành bốn phần. Nếu bạn cắt pizza từ một chiếc bánh pizza, bạn sẽ có được những chiếc pizza:
Ví dụ 2. Tìm giá trị của biểu thức.
Một lần nữa, từ tử số của phân số thứ nhất, trừ tử số của phân số thứ hai và giữ nguyên mẫu số:
Ví dụ này có thể dễ hiểu nếu chúng ta nhớ đến chiếc bánh pizza được chia thành ba phần. Nếu bạn cắt pizza từ một chiếc bánh pizza, bạn sẽ có được những chiếc pizza:
Ví dụ 3. Tìm giá trị của một biểu thức 
Ví dụ này được giải theo cách tương tự như các ví dụ trước. Từ tử số của phân số thứ nhất, bạn cần trừ tử số của các phân số còn lại:
Như bạn có thể thấy, không có gì phức tạp khi trừ các phân số có cùng mẫu số. Chỉ cần hiểu các quy tắc sau là đủ:
- Để trừ một phân số khác khỏi một phân số, bạn cần trừ tử số của phân số thứ hai khỏi tử số của phân số thứ nhất và giữ nguyên mẫu số;
- Nếu câu trả lời là một phân số không đúng thì bạn cần đánh dấu toàn bộ phần đó.
Phép trừ các phân số có mẫu số khác nhau
Ví dụ: bạn có thể trừ một phân số khỏi một phân số vì các phân số đó có cùng mẫu số. Nhưng bạn không thể trừ một phân số từ một phân số, vì những phân số này có mẫu số khác nhau. Trong những trường hợp như vậy, các phân số phải được rút gọn về cùng mẫu số (chung).
Mẫu số chung được tìm thấy bằng cách sử dụng cùng một nguyên tắc mà chúng ta đã sử dụng khi cộng các phân số có mẫu số khác nhau. Trước hết, hãy tìm LCM của mẫu số của cả hai phân số. Sau đó, LCM được chia cho mẫu số của phân số thứ nhất và thu được thừa số bổ sung đầu tiên, được viết phía trên phân số thứ nhất. Tương tự, LCM được chia cho mẫu số của phân số thứ hai và thu được thừa số bổ sung thứ hai, được viết phía trên phân số thứ hai.
Các phân số sau đó được nhân với các thừa số bổ sung của chúng. Kết quả của các phép toán này là các phân số có mẫu số khác nhau được chuyển đổi thành các phân số có cùng mẫu số. Và chúng ta đã biết cách trừ những phân số như vậy.
Ví dụ 1. Tìm ý nghĩa của biểu thức:
Các phân số này có mẫu số khác nhau nên bạn cần quy chúng về cùng mẫu số (chung).
Đầu tiên chúng ta tìm LCM của mẫu số của cả hai phân số. Mẫu số của phân số thứ nhất là số 3 và mẫu số của phân số thứ hai là số 4. Bội số chung nhỏ nhất của các số này là 12
BCNN (3 và 4) = 12
Bây giờ chúng ta hãy quay trở lại phân số và
Hãy tìm một thừa số bổ sung cho phân số thứ nhất. Để làm điều này, hãy chia LCM cho mẫu số của phân số thứ nhất. LCM là số 12 và mẫu số của phân số thứ nhất là số 3. Chia 12 cho 3, ta được 4. Viết số 4 phía trên phân số thứ nhất:
Chúng tôi làm tương tự với phần thứ hai. Chia LCM cho mẫu số của phân số thứ hai. LCM là số 12 và mẫu số của phân số thứ hai là số 4. Chia 12 cho 4, ta được 3. Viết số ba lên phân số thứ hai:
Bây giờ chúng ta đã sẵn sàng cho phép trừ. Vẫn còn nhân các phân số với các hệ số bổ sung của chúng:
Chúng ta đi đến kết luận rằng các phân số có mẫu số khác nhau sẽ trở thành những phân số có cùng mẫu số. Và chúng ta đã biết cách trừ những phân số như vậy. Hãy lấy ví dụ này đến cuối:
Chúng tôi đã nhận được câu trả lời
Hãy thử mô tả giải pháp của chúng tôi bằng bản vẽ. Nếu bạn cắt pizza từ một chiếc pizza, bạn sẽ có được một chiếc pizza
Đây là phiên bản chi tiết của giải pháp. Nếu chúng ta ở trường, chúng ta sẽ phải giải ví dụ này ngắn hơn. Một giải pháp như vậy sẽ trông như thế này:
Việc giảm phân số về mẫu số chung cũng có thể được mô tả bằng hình ảnh. Giảm các phân số này về mẫu số chung, chúng ta có các phân số và . Các phân số này sẽ được thể hiện bằng các lát bánh pizza giống nhau, nhưng lần này chúng sẽ được chia thành các phần bằng nhau (giảm về cùng mẫu số):
Bức tranh đầu tiên thể hiện một phân số (tám phần trong số mười hai) và bức tranh thứ hai hiển thị một phân số (ba phần trong số mười hai). Bằng cách cắt ba mảnh từ tám mảnh, chúng ta có được năm mảnh trong số mười hai mảnh. Phân số mô tả năm phần này.
Ví dụ 2. Tìm giá trị của một biểu thức 
Các phân số này có mẫu số khác nhau, vì vậy trước tiên bạn cần quy chúng về cùng mẫu số (chung).
Hãy tìm BCNN của mẫu số của các phân số này.
Mẫu số của các phân số là các số 10, 3 và 5. Bội số chung nhỏ nhất của các số này là 30
BCNN(10, 3, 5) = 30
Bây giờ chúng ta tìm các thừa số bổ sung cho mỗi phân số. Để làm điều này, hãy chia LCM cho mẫu số của mỗi phân số.
Hãy tìm một thừa số bổ sung cho phân số thứ nhất. LCM là số 30 và mẫu số của phân số thứ nhất là số 10. Chia 30 cho 10, ta được thừa số bổ sung đầu tiên 3. Chúng ta viết nó phía trên phân số thứ nhất:
Bây giờ chúng ta tìm một thừa số bổ sung cho phân số thứ hai. Chia LCM cho mẫu số của phân số thứ hai. LCM là số 30 và mẫu số của phân số thứ hai là số 3. Chia 30 cho 3, ta được thừa số thứ hai 10. Chúng ta viết nó phía trên phân số thứ hai:
Bây giờ chúng ta tìm một thừa số bổ sung cho phân số thứ ba. Chia LCM cho mẫu số của phân số thứ ba. LCM là số 30 và mẫu số của phân số thứ ba là số 5. Chia 30 cho 5, ta được thừa số thứ ba 6. Chúng ta viết nó phía trên phân số thứ ba:
Bây giờ mọi thứ đã sẵn sàng để trừ. Vẫn còn nhân các phân số với các hệ số bổ sung của chúng:
Chúng tôi đi đến kết luận rằng các phân số có mẫu số khác nhau sẽ trở thành phân số có cùng mẫu số (chung). Và chúng ta đã biết cách trừ những phân số như vậy. Hãy kết thúc ví dụ này.
Phần tiếp theo của ví dụ sẽ không vừa trên một dòng, vì vậy chúng ta chuyển phần tiếp theo sang dòng tiếp theo. Đừng quên dấu bằng (=) trên dòng mới:
Câu trả lời hóa ra là một phân số thông thường, và mọi thứ dường như đều phù hợp với chúng ta, nhưng nó quá cồng kềnh và xấu xí. Chúng ta nên làm cho nó đơn giản hơn. Những gì có thể được thực hiện? Bạn có thể rút ngắn phân số này.
Để rút gọn một phân số, bạn cần chia tử số và mẫu số của nó cho (GCD) của các số 20 và 30.
Vì vậy, chúng ta tìm được gcd của số 20 và 30:
Bây giờ chúng ta quay lại ví dụ của mình và chia tử số và mẫu số của phân số cho gcd tìm thấy, nghĩa là cho 10
Chúng tôi đã nhận được câu trả lời
Nhân một phân số với một số
Để nhân một phân số với một số, bạn cần nhân tử số của phân số đã cho với số đó và giữ nguyên mẫu số.
ví dụ 1. Nhân một phân số với số 1.
Nhân tử số của phân số với số 1
Việc ghi âm có thể hiểu là chụp 1 nửa thời gian. Ví dụ: nếu bạn ăn pizza một lần, bạn sẽ nhận được pizza
Từ định luật nhân ta biết rằng nếu số nhân và thừa số đổi chỗ cho nhau thì tích sẽ không thay đổi. Nếu biểu thức được viết là , thì tích vẫn bằng . Một lần nữa, quy tắc nhân một số nguyên và một phân số có tác dụng:
Ký hiệu này có thể hiểu là lấy một nửa. Ví dụ: nếu có 1 chiếc bánh pizza nguyên con và chúng ta lấy một nửa số đó thì chúng ta sẽ có bánh pizza:
Ví dụ 2. Tìm giá trị của một biểu thức
Nhân tử số của phân số với 4
Câu trả lời là một phân số không chính xác. Hãy làm nổi bật toàn bộ phần của nó:
Biểu thức có thể hiểu là lấy hai phần tư 4 lần. Ví dụ: nếu bạn lấy 4 chiếc pizza, bạn sẽ nhận được hai chiếc pizza nguyên vẹn
Và nếu đổi chỗ số nhân và số nhân, chúng ta sẽ có biểu thức . Nó cũng sẽ bằng 2. Biểu thức này có thể được hiểu là lấy hai chiếc pizza từ bốn chiếc pizza nguyên vẹn:
Nhân phân số
Để nhân các phân số, bạn cần nhân tử số và mẫu số của chúng. Nếu đáp án là một phân số không chính xác, bạn cần đánh dấu toàn bộ phần đó.
Ví dụ 1. Tìm giá trị của biểu thức.
Chúng tôi đã nhận được câu trả lời. Đó là khuyến khích để giảm phần này. Phân số có thể giảm đi 2. Khi đó nghiệm cuối cùng sẽ có dạng sau:
Cách diễn đạt có thể hiểu là lấy một chiếc bánh pizza từ một nửa chiếc bánh pizza. Giả sử chúng ta có một nửa chiếc bánh pizza:
Làm thế nào để lấy hai phần ba từ nửa này? Đầu tiên bạn cần chia nửa này thành ba phần bằng nhau:
Và lấy hai từ ba mảnh này:
Chúng ta sẽ làm pizza. Hãy nhớ chiếc bánh pizza trông như thế nào khi được chia thành ba phần:
Một miếng bánh pizza này và hai miếng chúng tôi lấy sẽ có cùng kích thước:
Nói cách khác, Chúng ta đang nói về về cùng một chiếc bánh pizza có kích thước. Do đó giá trị của biểu thức là
Ví dụ 2. Tìm giá trị của một biểu thức
Nhân tử số của phân số thứ nhất với tử số của phân số thứ hai và mẫu số của phân số thứ nhất với mẫu số của phân số thứ hai:
Câu trả lời là một phân số không chính xác. Hãy làm nổi bật toàn bộ phần của nó:
Ví dụ 3. Tìm giá trị của một biểu thức
Nhân tử số của phân số thứ nhất với tử số của phân số thứ hai và mẫu số của phân số thứ nhất với mẫu số của phân số thứ hai:
Câu trả lời hóa ra là một phân số thông thường, nhưng sẽ tốt hơn nếu nó được rút ngắn lại. Để rút gọn phân số này, bạn cần chia tử số và mẫu số của phân số này cho số lớn nhất ước số chung(GCD) số 105 và 450.
Vì vậy, hãy tìm gcd của các số 105 và 450:
Bây giờ chúng ta chia tử số và mẫu số của câu trả lời cho gcd mà chúng ta đã tìm thấy, tức là cho 15
Biểu diễn số nguyên dưới dạng phân số
Bất kỳ số nguyên nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng phân số. Ví dụ: số 5 có thể được biểu diễn dưới dạng . Điều này sẽ không làm thay đổi ý nghĩa của số năm, vì biểu thức này có nghĩa là “số năm chia cho một” và như chúng ta biết, số này bằng năm:
số đối ứng
Bây giờ chúng ta sẽ làm quen với rất chủ đề thú vị Trong toán học. Nó được gọi là "số đảo ngược".
Sự định nghĩa. Đảo ngược sốMột là một số mà khi nhân vớiMột đưa ra một.
Hãy thay thế định nghĩa này thay vì biến Một số 5 và thử đọc định nghĩa:
Đảo ngược số 5 là một số mà khi nhân với 5 đưa ra một.
Có thể tìm được một số mà khi nhân với 5 sẽ bằng 1 không? Hóa ra là có thể. Hãy tưởng tượng năm là một phân số:
Sau đó nhân phân số này với chính nó, chỉ cần hoán đổi tử số và mẫu số. Nói cách khác, hãy nhân phân số với chính nó, chỉ lộn ngược:
Điều gì sẽ xảy ra như là kết quả của việc này? Nếu chúng ta tiếp tục giải ví dụ này, chúng ta sẽ nhận được một:
Điều này có nghĩa là nghịch đảo của số 5 là số , vì khi bạn nhân 5 với bạn sẽ được một.
Nghịch đảo của một số cũng có thể được tìm thấy cho bất kỳ số nguyên nào khác.
Bạn cũng có thể tìm nghịch đảo của bất kỳ phân số nào khác. Để làm điều này, chỉ cần lật nó lại.
Chia một phân số cho một số
Giả sử chúng ta có một nửa chiếc bánh pizza:
Hãy chia đều cho hai người. Mỗi người sẽ nhận được bao nhiêu pizza?
Có thể thấy rằng sau khi chia một nửa chiếc bánh pizza, người ta thu được hai phần bằng nhau, mỗi phần tạo thành một chiếc bánh pizza. Vì vậy, mọi người đều nhận được một chiếc bánh pizza.
Việc chia phân số được thực hiện bằng cách sử dụng nghịch đảo. Số nghịch đảo cho phép bạn thay thế phép chia bằng phép nhân.
Để chia một phân số cho một số, bạn cần nhân phân số đó với nghịch đảo của số chia.
Sử dụng quy tắc này, chúng ta sẽ viết ra cách chia một nửa chiếc bánh pizza của chúng ta thành hai phần.
Vì vậy, bạn cần chia phân số cho số 2. Ở đây số bị chia là phân số và số chia là số 2.
Để chia một phân số cho số 2, bạn cần nhân phân số này với nghịch đảo của ước số 2. Nghịch đảo của ước số 2 là phân số. Vì vậy bạn cần nhân với
Để giải các bài toán khác nhau trong các môn toán và vật lý, bạn phải chia phân số. Điều này rất dễ thực hiện nếu bạn biết quy tắc nhất định thực hiện phép toán này.
Trước khi chuyển sang xây dựng quy tắc chia phân số, chúng ta hãy nhớ một số thuật ngữ toán học:
- Phần trên của phân số gọi là tử số, phần dưới gọi là mẫu số.
- Khi chia, các số được gọi như sau: số bị chia: số chia = thương
Cách chia phân số: phân số đơn giản
Để chia hai phân số đơn giản, hãy nhân số bị chia với nghịch đảo của số chia. Phân số này còn được gọi là phân số nghịch đảo vì nó thu được bằng cách hoán đổi tử số và mẫu số. Ví dụ:
3/77: 1/11 = 3 /77 * 11 /1 = 3/7
Cách chia phân số: hỗn số
Nếu phải chia hỗn số thì mọi việc ở đây cũng khá đơn giản và rõ ràng. Đầu tiên chúng ta chuyển đổi phân số hỗn hợp thành phân số thông thường phân số không chính xác. Để làm điều này, nhân mẫu số của một phân số như vậy với một số nguyên và cộng tử số vào tích thu được. Kết quả là chúng ta đã nhận được một tử số mới của phân số hỗn hợp, nhưng mẫu số của nó sẽ không thay đổi. Hơn nữa, việc chia các phân số sẽ được thực hiện giống hệt như cách chia các phân số đơn giản. Ví dụ:
10 2/3: 4/15 = 32/3: 4/15 = 32/3 * 15 /4 = 40/1 = 40
Cách chia một phân số cho một số
Để chia một phân số đơn giản cho một số, số sau phải được viết dưới dạng phân số (không đều). Điều này rất dễ thực hiện: số này được viết thay cho tử số và mẫu số của phân số đó bằng một. Việc phân chia tiếp theo được thực hiện theo cách thông thường. Hãy xem xét điều này với một ví dụ:
5/11: 7 = 5/11: 7/1 = 5/11 * 1/7 = 5/77
Cách chia số thập phân
Thông thường người lớn gặp khó khăn khi chia một số nguyên hoặc một phần thập phân cho một phần thập phân nếu không có sự trợ giúp của máy tính.
Vì vậy, để chia số thập phân, bạn chỉ cần gạch bỏ dấu phẩy ở số chia và không cần để ý đến nó nữa. Trong số bị chia, dấu phẩy phải được chuyển sang bên phải đúng nhiều vị trí như trong phần phân số của số chia, thêm số 0 nếu cần. Và sau đó họ thực hiện phép chia thông thường cho một số nguyên. Để làm rõ hơn điều này, hãy xem xét ví dụ sau.
Nhân và chia phân số.
Chú ý!
Có thêm
tài liệu trong Mục Đặc biệt 555.
Dành cho những người rất "không..."
Và đối với những người “rất nhiều…”)
Thao tác này hay hơn nhiều so với phép cộng trừ! Bởi vì nó dễ dàng hơn. Xin nhắc lại, để nhân một phân số với một phân số, bạn cần nhân tử số (đây sẽ là tử số của kết quả) và mẫu số (đây sẽ là mẫu số). Đó là:
Ví dụ:
Mọi thứ đều cực kỳ đơn giản. Và xin đừng tìm kiếm một mẫu số chung! Ở đây không cần có anh ta...
Để chia một phân số cho một phân số, bạn cần đảo ngược thứ hai(điều này quan trọng!) phân số và nhân chúng, tức là:
Ví dụ:
Nếu bạn gặp phép nhân hoặc chia với số nguyên và phân số thì không sao. Giống như phép cộng, chúng ta tạo một phân số từ một số nguyên có mẫu số là 1 - và tiếp tục! Ví dụ:
Ở trường trung học, bạn thường phải giải các phân số ba tầng (thậm chí bốn tầng!). Ví dụ:
Làm thế nào tôi có thể làm cho phân số này trông đẹp mắt? Vâng, rất đơn giản! Sử dụng phép chia hai điểm:
Nhưng đừng quên thứ tự phân chia! Không giống như phép nhân, điều này rất quan trọng ở đây! Tất nhiên, chúng tôi sẽ không nhầm lẫn giữa 4:2 hoặc 2:4. Nhưng rất dễ mắc lỗi trong một đoạn ba câu chuyện. Xin lưu ý ví dụ:
Trong trường hợp đầu tiên (biểu thức bên trái):
Trong phần thứ hai (biểu thức bên phải):
Bạn có cảm thấy sự khác biệt? 4 và 1/9!
Điều gì quyết định thứ tự phân chia? Hoặc bằng dấu ngoặc hoặc (như ở đây) với độ dài của các đường ngang. Phát triển mắt của bạn. Và nếu không có dấu ngoặc hoặc dấu gạch ngang, như:
sau đó chia và nhân theo thứ tự từ trái qua phải!
Và một kỹ thuật rất đơn giản và quan trọng khác. Trong những hành động có độ, nó sẽ rất hữu ích cho bạn! Hãy chia một cho bất kỳ phân số nào, ví dụ: cho 15/13:
Cú sút đã bị đảo ngược! Và điều này luôn xảy ra. Khi chia 1 cho bất kỳ phân số nào thì kết quả đều bằng phân số đó, chỉ có điều ngược lại.
Đó là các phép tính với phân số. Sự việc khá đơn giản nhưng lại gây ra quá nhiều lỗi. Ghi chú lời khuyên thiết thực, và sẽ có ít lỗi hơn (lỗi)!
Những mẹo có ích:
1. Điều quan trọng nhất khi làm việc với biểu thức phân số là độ chính xác và sự chú ý! Không phải những từ thông dụng, lời chúc không tốt! Đây là một sự cần thiết cấp thiết! Thực hiện mọi phép tính trong Kỳ thi Thống nhất như một bài tập đầy đủ, tập trung và rõ ràng. Sẽ tốt hơn nếu viết thêm hai dòng trong bản nháp của bạn hơn là gây rối khi thực hiện các phép tính nhẩm.
2. Trong ví dụ với các loại khác nhau phân số - chuyển sang phân số thông thường.
3. Chúng tôi giảm tất cả các phân số cho đến khi chúng dừng lại.
4. Nhiều tầng biểu thức phân số rút gọn thành các phép chia thông thường bằng phép chia cho hai điểm (xem thứ tự chia!).
5. Hãy nhẩm trong đầu một đơn vị cho một phân số, chỉ cần lật lại phân số đó.
Dưới đây là những nhiệm vụ mà bạn nhất định phải hoàn thành. Câu trả lời được đưa ra sau tất cả các nhiệm vụ. Sử dụng các tài liệu về chủ đề này và những lời khuyên thiết thực. Ước tính có bao nhiêu ví dụ bạn có thể giải đúng. Lần đầu tiên! Không có máy tính! Và rút ra kết luận đúng đắn...
Hãy nhớ - câu trả lời đúng là nhận được từ lần thứ hai (đặc biệt là lần thứ ba) không được tính! Cuộc sống khắc nghiệt là vậy.
Vì thế, giải ở chế độ thi ! Nhân tiện, đây là sự chuẩn bị cho Kỳ thi Quốc gia Thống nhất. Chúng tôi giải quyết ví dụ, kiểm tra nó, giải quyết vấn đề tiếp theo. Chúng tôi đã quyết định mọi thứ - kiểm tra lại từ đầu đến cuối. Nhưng chỉ Sau đó nhìn vào những câu trả lời.
Tính toán:
Bạn đã quyết định?
Chúng tôi đang tìm kiếm câu trả lời phù hợp với bạn. Tôi đã cố tình viết chúng ra một cách lộn xộn, để tránh bị cám dỗ, có thể nói như vậy... Đây là câu trả lời, được viết bằng dấu chấm phẩy.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
Bây giờ chúng ta rút ra kết luận. Nếu mọi việc suôn sẻ, tôi mừng cho bạn! Các phép tính cơ bản với phân số không phải là vấn đề của bạn! Bạn có thể làm những việc nghiêm túc hơn. Nếu không...
Vì vậy, bạn có một trong hai vấn đề. Hoặc cả hai cùng một lúc.) Thiếu kiến thức và (hoặc) thiếu chú ý. Nhưng điều này tan Các vấn đề.
Nếu bạn thích trang web này...
Nhân tiện, tôi có thêm một số trang web thú vị dành cho bạn.)
Bạn có thể thực hành giải các ví dụ và tìm hiểu trình độ của mình. Kiểm tra với xác minh ngay lập tức. Hãy cùng tìm hiểu - với sự quan tâm!)
Bạn có thể làm quen với các hàm và đạo hàm.
TRONG lần cuối cùng Chúng ta đã học cách cộng và trừ phân số (xem bài “Cộng và trừ phân số”). Hầu hết khoảnh khắc khó khăn những hành động đó liên quan đến việc đưa phân số về mẫu số chung.
Bây giờ là lúc giải quyết vấn đề nhân và chia. Tin tốt là những phép toán này thậm chí còn đơn giản hơn phép cộng và phép trừ. Đầu tiên, chúng ta hãy nhìn vào trường hợp đơn giản nhất, khi có hai phân số dương không có phần nguyên tách biệt.
Để nhân hai phân số, bạn phải nhân riêng tử số và mẫu số của chúng. Số đầu tiên sẽ là tử số của phân số mới và số thứ hai sẽ là mẫu số.
Để chia hai phân số, bạn cần nhân phân số thứ nhất với phân số thứ hai “đảo ngược”.
Chỉ định:
Từ định nghĩa, việc chia phân số sẽ rút gọn thành phép nhân. Để “lật” một phân số, chỉ cần hoán đổi tử số và mẫu số. Vì vậy, trong suốt bài học chúng ta sẽ chủ yếu xem xét phép nhân.
Kết quả của phép nhân, một phân số có thể rút gọn có thể phát sinh (và thường phát sinh) - tất nhiên, nó phải được giảm đi. Nếu sau tất cả các lần giảm, phân số không chính xác thì toàn bộ phần sẽ được đánh dấu. Nhưng điều chắc chắn sẽ không xảy ra với phép nhân là quy giản về mẫu số chung: không có phương pháp đan xen, thừa số lớn nhất và bội số chung nhỏ nhất.
Theo định nghĩa ta có:
Nhân phân số với phần nguyên và phân số âm
Nếu phân số chứa phần nguyên, chúng phải được chuyển đổi thành phần không chính xác - và chỉ sau đó được nhân theo sơ đồ đã nêu ở trên.
Nếu có dấu trừ ở tử số, mẫu số hoặc ở phía trước nó thì có thể lấy ra khỏi phép nhân hoặc loại bỏ hoàn toàn theo nguyên tắc sau:
- Cộng với trừ cho ra trừ;
- Hai phủ định tạo nên một khẳng định.
Cho đến nay, những quy tắc này chỉ được gặp khi cộng và trừ các phân số âm, khi cần loại bỏ toàn bộ phần. Đối với một tác phẩm, chúng có thể được khái quát hóa để “đốt cháy” một số nhược điểm cùng một lúc:
- Chúng tôi gạch bỏ các tiêu cực theo cặp cho đến khi chúng biến mất hoàn toàn. Trong những trường hợp cực đoan, một điểm trừ có thể tồn tại - điểm không có bạn đời;
- Nếu không còn điểm trừ nào, thao tác đã hoàn tất - bạn có thể bắt đầu nhân. Nếu dấu trừ cuối cùng không bị gạch bỏ vì không có cặp nào cho nó thì chúng ta đưa nó ra ngoài giới hạn của phép nhân. Kết quả là một phân số âm.
Nhiệm vụ. Tìm ý nghĩa của biểu thức:
Chúng tôi chuyển đổi tất cả các phân số thành phân số không chính xác và sau đó loại bỏ các điểm trừ trong phép nhân. Chúng tôi nhân những gì còn lại theo các quy tắc thông thường. Chúng tôi nhận được:
Hãy để tôi nhắc bạn một lần nữa rằng dấu trừ xuất hiện trước phân số được đánh dấu Toàn bộ phần, đề cập cụ thể đến toàn bộ phân số chứ không chỉ toàn bộ phần của nó (điều này áp dụng cho hai ví dụ cuối).
Cũng lưu ý số âm: Khi nhân, chúng được đặt trong ngoặc đơn. Điều này được thực hiện để tách các dấu trừ khỏi dấu nhân và làm cho toàn bộ ký hiệu chính xác hơn.
Giảm phân số một cách nhanh chóng
Phép nhân là một hoạt động tốn rất nhiều công sức. Các con số ở đây hóa ra khá lớn và để đơn giản hóa vấn đề, bạn có thể thử giảm phân số hơn nữa trước khi nhân. Thật vậy, về bản chất, tử số và mẫu số của phân số là các thừa số thông thường và do đó, chúng có thể được rút gọn bằng cách sử dụng tính chất cơ bản của phân số. Hãy xem các ví dụ:
Nhiệm vụ. Tìm ý nghĩa của biểu thức:
Theo định nghĩa ta có:
Trong tất cả các ví dụ, số đã giảm và số còn lại được đánh dấu màu đỏ.
Xin lưu ý: trong trường hợp đầu tiên, số nhân đã giảm hoàn toàn. Ở vị trí của chúng vẫn còn những đơn vị mà nói chung không cần phải viết. Trong ví dụ thứ hai, không thể đạt được mức giảm hoàn toàn nhưng tổng lượng tính toán vẫn giảm.
Tuy nhiên, đừng bao giờ sử dụng kỹ thuật này khi cộng và trừ các phân số! Đúng, đôi khi có những con số tương tự mà bạn chỉ muốn giảm bớt. Đây, nhìn xem:
Bạn không thể làm điều đó!
Lỗi xảy ra là do khi cộng, tử số của phân số ra tổng chứ không phải tích của các số. Do đó, không thể áp dụng tính chất cơ bản của một phân số, vì tính chất này liên quan cụ thể đến phép nhân các số.
Đơn giản là không có lý do nào khác để giảm phân số, vì vậy lời giải đúng cho bài toán trước sẽ như sau:
Giải pháp đúng:
Như bạn có thể thấy, câu trả lời đúng hóa ra lại không đẹp lắm. Nói chung, hãy cẩn thận.