Kuinka löytää säännöllisen kuusikulmaisen prisman tilavuus. Prisman pohjapinta-ala: kolmiomaisesta monikulmioon

Kolmiossa B E B1 :

• B B1 = h
• B E = 2 ⋅ a- koska E O = O B = a
• ∠ E B B1 = 90 ∘ - oikean suoruuden ominaisuuksien mukaan

Siten käy ilmi, että kolmio B E B1 suorakulmainen. Suorakulmaisen kolmion ominaisuuksien mukaan

E B1 = B B2 1 +B E2 − − − − − − − − − − √ = h2 + 4 ⋅ a2 − − − − − − − − √

Jos h = a, niin sitten

E B1 = 5 √ ⋅ a

Samanlaisen päättelyn jälkeen saamme sen F C1 = A D1 = B E1 = C F1 =D A1 = h2 + 4 ⋅ a2 − − − − − − − − √ .

Löydämme O F1

Kolmiossa F O F1 :

• F F1 = h
• F O = a
• ∠ O F F1 = 90 ∘ - säännöllisen prisman ominaisuuksien mukaan

Siten käy ilmi, että kolmio F O F1 suorakulmainen. Suorakulmaisen kolmion ominaisuuksien mukaan

O F1 = F F2 1 +O F2 − − − − − − − − − − √ = h2 + a2 − − − − − − √

Jos h = a, niin sitten

Geometristen kappaleiden tilavuuksien määrittäminen on yksi tilageometrian tärkeistä ongelmista. Tässä artikkelissa käsitellään kysymystä siitä, mikä on prisma, jossa on kuusikulmainen kanta, ja tarjoaa myös kaavan säännöllisen kuusikulmaisen prisman tilavuudelle.

Prisman määritelmä

Geometrian näkökulmasta prisma on avaruudessa oleva kuvio, jonka muodostavat kaksi identtistä monikulmiota, jotka sijaitsevat yhdensuuntaisissa tasoissa. Ja myös useita suunnikkaita, jotka yhdistävät nämä monikulmiot yhdeksi kuvioksi.

Kolmiulotteisessa avaruudessa mielivaltaisen muotoinen prisma voidaan saada ottamalla mikä tahansa monikulmio ja jana. Lisäksi jälkimmäinen ei kuulu monikulmion tasoon. Sitten asettamalla tämä segmentti jokaisesta monikulmion kärjestä, voit saada jälkimmäisen yhdensuuntaisen siirron toiselle tasolle. Tällä tavalla muodostetusta hahmosta tulee prisma.

Jotta saisimme selkeän käsityksen tarkasteltavana olevasta hahmoluokasta, esitämme piirustuksen nelikulmaisesta prismasta.

Monet ihmiset tuntevat tämän hahmon suuntaissärmiönä. Voidaan nähdä, että kaksi identtistä prisman monikulmiota ovat neliöitä. Niitä kutsutaan kuvion perusteiksi. Sen neljä muuta sivua ovat suorakulmioita, eli se erikoistapaus suunnikkaat.

Kuusikulmainen prisma: määritelmä ja tyypit

Ennen kuin annat kaavan kuusikulmaisen säännöllisen prisman tilavuuden määrittämiseksi, on ymmärrettävä selvästi, millaisesta kuviosta puhumme. on kuusikulmio pohjassa. Eli tasainen monikulmio, jossa on kuusi sivua ja sama määrä kulmia. Kuvan sivut, kuten minkä tahansa prisman, ovat yleensä suunnikkaita. Huomattakoon heti, että kuusikulmio voidaan esittää sekä säännöllisillä että epäsäännöllisillä kuusikulmioilla.

Kuvan kannan välinen etäisyys on sen korkeus. Seuraavassa merkitsemme sitä kirjaimella h. Geometrisesti korkeus h on jana, joka on kohtisuorassa kumpaankin kantaan nähden. Jos tämä on kohtisuorassa:

• jätetty pois yhden pohjan geometrisesta keskustasta;
• leikkaa toisen kannan myös geometrisessa keskipisteessä.

Kuvaa kutsutaan tässä tapauksessa suoraksi. Kaikissa muissa tapauksissa prisma on vino tai kalteva. Ero näiden kuusikulmaisten prismien välillä näkyy yhdellä silmäyksellä.

Oikea kuusikulmio on hahmo, jonka pohjassa on säännölliset kuusikulmiot. Lisäksi se on suora. Katsotaanpa tarkemmin sen ominaisuuksia.

Säännöllisen kuusikulmaisen prisman elementit

Ymmärtääksesi kuinka laskea säännöllisen kuusikulmainen prisman tilavuus (kaava on artikkelissa alla), sinun on myös ymmärrettävä, mistä elementeistä kuva koostuu, sekä mitä ominaisuuksia sillä on. Kuvan analysoinnin helpottamiseksi esitetään se kuvassa.

Sen pääelementit ovat pinnat, reunat ja kärjet. Näiden alkuaineiden suureet noudattavat Eulerin lausetta. Jos merkitsemme P - reunojen lukumäärää, B - kärkien lukumäärää ja G - kasvoja, voimme kirjoittaa yhtälön:

Katsotaanpa se. Kyseisen hahmon pintojen lukumäärä on 8. Kaksi niistä on säännöllisiä kuusikulmioita. Kuusi pintaa ovat suorakulmioita, kuten kuvasta näkyy. Piikkien lukumäärä on 12. Itse asiassa 6 kärkeä kuuluu yhteen kantaan ja 6 toiseen. Kaavan mukaan reunojen lukumäärän tulisi olla 18, mikä on reilua. 12 reunaa on pohjissa ja 6 muodostaa suorakulmion sivuja yhdensuuntaisesti toistensa kanssa.

Siirryttäessä säännöllisen kuusikulmaisen prisman tilavuuden kaavan saamiseen, sinun tulee keskittyä yhteen tämän kuvan tärkeään ominaisuuteen: suorakulmioihin, jotka muodostavat sivupinta, ovat yhtä suuret keskenään ja kohtisuorassa kumpaankin kantaan nähden. Tämä johtaa kahteen tärkeään seuraukseen:

1. Figuurin korkeus on yhtä suuri kuin sen sivureunan pituus.
2. Mikä tahansa poikkileikkaus, joka on tehty leikkaustasolla, joka on yhdensuuntainen kannakkeiden kanssa, on säännöllinen kuusikulmio, joka on yhtä suuri kuin nämä alustat.

Kuusikulmainen alue

Voit intuitiivisesti arvata, että tämä hahmon pohjan alue näkyy säännöllisen kuusikulmainen prisman tilavuuden kaavassa. Siksi artikkelin tästä kohdasta löydämme tämän alueen. Alla näkyy säännöllinen kuusikulmio, joka on jaettu 6 yhtä suureen kolmioon, joiden kärjet leikkaavat sen geometrisessa keskipisteessä:

Jokainen näistä kolmioista on tasasivuinen. Tämän todistaminen ei ole kovin vaikeaa. Koska koko ympyrä on 360 o, kuusikulmion geometrisen keskipisteen lähellä olevien kolmioiden kulmat ovat 360 o /6 = 60 o. Etäisyydet geometrisesta keskipisteestä kuusikulmion kärkipisteisiin ovat samat.

Jälkimmäinen tarkoittaa, että kaikki 6 kolmiota ovat tasakylkisiä. Yhdestä kulmasta lähtien tasakylkiset kolmiot on yhtä suuri kuin 60 o, mikä tarkoittaa, että kaksi muuta kulmaa ovat myös 60 o. ((180 o -60 o)/2) - tasasivuiset kolmiot.

Merkitään kuusikulmion sivun pituus kirjaimella a. Sitten yhden kolmion pinta-ala on yhtä suuri:

S1 = 1/2*√3/2*a*a = √3/4*a2.

Kaava on johdettu kolmion alueen vakiolausekkeesta. Sitten kuusikulmion alue S 6 on:

S6 = 6*S1 = 6*√3/4*a2 = 3*√3/2*a2.

Kaava säännöllisen kuusikulmaisen prisman tilavuuden määrittämiseksi

Kirjataksesi kaavan kyseisen kuvan tilavuudelle, sinun tulee ottaa huomioon yllä olevat tiedot. Mielivaltaiselle prismmalle sen pintojen rajoittama tilan tilavuus lasketaan seuraavasti:

Eli V on yhtä suuri kuin perusalueen S o ja korkeuden h tulo. Koska tiedämme, että korkeus h on yhtä suuri kuin kuusikulmaisen säännöllisen prisman sivureunan b pituus ja sen pohjan pinta-ala vastaa arvoa S 6, niin säännöllisen kuusikulmaisen prisman tilavuuden kaava ottaa muoto:

V 6 = 3*√3/2*a 2 *b.

Esimerkki geometrisen ongelman ratkaisemisesta

Dana kuusikulmainen oikea prisma. Tiedetään, että se on kaiverrettu sylinteriin, jonka säde on 10 cm. Prisman korkeus on kaksi kertaa sen pohjan sivu. Sinun on löydettävä hahmon tilavuus.

Vaaditun arvon löytämiseksi sinun on tiedettävä sivun ja sivureunan pituus. Tarkasteltaessa säännöllistä kuusikulmiota, osoitettiin, että sen geometrinen keskipiste sijaitsee sen ympärillä kuvatun ympyrän keskellä. Jälkimmäisen säde on yhtä suuri kuin etäisyys keskustasta mihin tahansa kärkeen. Eli hän yhtä pitkä kuin pituus kuusikulmion sivut. Nämä väitteet johtavat seuraaviin tuloksiin:

a = r = 10 cm;

b = h = 2*a = 20 cm.

Korvaamalla nämä tiedot säännöllisen kuusikulmaisen prisman tilavuuden kaavaan, saadaan vastaus: V 6 ≈5196 cm 3 eli noin 5,2 litraa.

Oletetaan, että Akhilleus juoksee kymmenen kertaa nopeammin kuin kilpikonna ja on tuhat askelta sen takana. Sinä aikana, kun Akhilleus juoksee tämän matkan, kilpikonna ryömii sata askelta samaan suuntaan. Kun Akhilleus juoksee sata askelta, kilpikonna ryömii vielä kymmenen askelta ja niin edelleen. Prosessi jatkuu loputtomiin, Akhilleus ei koskaan saavuta kilpikonnaa.

Tästä päättelystä tuli looginen shokki kaikille seuraaville sukupolville. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... He kaikki pitivät Zenonin aporiaa tavalla tai toisella. Järkytys oli niin voimakas, että " ...keskustelut jatkuvat tällä hetkellä, tule yleinen mielipide tiedeyhteisö ei ole vielä onnistunut ymmärtämään paradoksien olemusta... he olivat mukana asian tutkimisessa matemaattinen analyysi, joukkoteoria, uudet fyysiset ja filosofiset lähestymistavat; mikään niistä ei tullut yleisesti hyväksyttyä ratkaisua ongelmaan..."[Wikipedia, "Zenon Aporia". Kaikki ymmärtävät, että heitä huijataan, mutta kukaan ei ymmärrä, mistä petos koostuu.

Matemaattisesta näkökulmasta Zeno osoitti aporiassaan selvästi siirtymisen määrästä . Tämä siirtymä edellyttää soveltamista pysyvien sijaan. Ymmärtääkseni matemaattista laitteistoa muuttuvien mittayksiköiden käyttöön ei ole vielä kehitetty tai sitä ei ole sovellettu Zenon aporiaan. Tavanomaisen logiikkamme soveltaminen johtaa meidät ansaan. Ajattelun hitaudesta johtuen käytämme käänteisarvoon vakioaikayksiköitä. Fyysisestä näkökulmasta tämä näyttää ajan hidastumiselta, kunnes se pysähtyy kokonaan sillä hetkellä, kun Akhilleus tavoittaa kilpikonnan. Jos aika pysähtyy, Akhilleus ei voi enää ohittaa kilpikonnaa.

Jos käännämme tavallisen logiikkamme, kaikki loksahtaa paikoilleen. Akhilleus juoksee tasaisella nopeudella. Jokainen seuraava osa hänen polkunsa on kymmenen kertaa lyhyempi kuin edellinen. Näin ollen sen voittamiseen käytetty aika on kymmenen kertaa vähemmän kuin edellinen. Jos sovellamme "äärettömyyden" käsitettä tässä tilanteessa, olisi oikein sanoa: "Achilles tavoittaa kilpikonnan äärettömän nopeasti."

Kuinka välttää tämä looginen ansa? Pysy vakioissa aikayksiköissä äläkä vaihda käänteisyksikköihin. Zenon kielellä se näyttää tältä:

Kun Akhilleus juoksee tuhat askelta, kilpikonna ryömii sata askelta samaan suuntaan. Seuraavan ensimmäisen aikavälin aikana Akhilleus juoksee toiset tuhat askelta ja kilpikonna ryömi sata askelta. Nyt Akhilleus on kahdeksansataa askelta kilpikonnan edellä.

Tämä lähestymistapa kuvaa todellisuutta riittävästi ilman loogisia paradokseja. Mutta se ei ole täydellinen ratkaisu Ongelmia. Einsteinin lausunto valonnopeuden vastustamattomuudesta on hyvin samanlainen kuin Zenon aporia "Achilles ja kilpikonna". Meidän on vielä tutkittava, pohdittava ja ratkaistava tämä ongelma. Ja ratkaisua ei tarvitse etsiä äärettömän suurista luvuista, vaan mittayksiköistä.

Toinen Zenon mielenkiintoinen aporia kertoo lentävästä nuolesta:

Lentävä nuoli on liikkumaton, koska se on joka hetki levossa, ja koska se on levossa joka hetki, se on aina levossa.

Tässä aporiassa looginen paradoksi voitetaan hyvin yksinkertaisesti - riittää selventämään, että lentävä nuoli on jokaisella ajanhetkellä levossa avaruuden eri pisteissä, mikä itse asiassa on liikettä. Tässä on syytä huomioida toinen seikka. Yhdestä valokuvasta tiellä olevasta autosta on mahdotonta määrittää sen liikkeen tosiasiaa tai etäisyyttä siihen. Jotta voit määrittää, onko auto liikkeessä, tarvitset kaksi valokuvaa, jotka on otettu samasta pisteestä eri ajankohtina, mutta et voi määrittää etäisyyttä niistä. Etäisyyden määrittämiseksi autoon tarvitset kaksi valokuvaa, jotka on otettu eri pisteistä avaruudessa samaan aikaan, mutta niistä et voi määrittää liikkeen tosiasiaa (tietenkin tarvitset edelleen lisätietoja laskelmia varten, trigonometria auttaa sinua ). Mitä haluan huomauttaa Erityistä huomiota, on se, että kaksi pistettä ajassa ja kaksi pistettä avaruudessa ovat eri asioita, joita ei pidä sekoittaa, koska ne tarjoavat erilaisia ​​mahdollisuuksia tutkimukselle.

Keskiviikkona 4.7.2018

Erot joukon ja multisetin välillä kuvataan erittäin hyvin Wikipediassa. Katsotaan.

Kuten näette, "joukossa ei voi olla kahta identtistä elementtiä", mutta jos joukossa on identtisiä elementtejä, tällaista joukkoa kutsutaan "multisetiksi". Järkevät olennot eivät koskaan ymmärrä tällaista absurdia logiikkaa. Tämä on puhuvien papukaijojen ja koulutettujen apinoiden taso, joilla ei ole älykkyyttä sanasta "täysin". Matemaatikot toimivat tavallisina kouluttajina ja saarnaavat meille absurdeja ideoitaan.

Olipa kerran sillan rakentaneet insinöörit olivat veneessä sillan alla testatessaan siltaa. Jos silta romahti, keskinkertainen insinööri kuoli luomansa raunioiden alle. Jos silta kesti kuormituksen, lahjakas insinööri rakensi muita siltoja.

Riippumatta siitä, kuinka matemaatikot piiloutuvat lauseen "huomaa minua, olen kotona" tai pikemminkin "matematiikka tutkii abstrakteja käsitteitä" taakse, on olemassa yksi napanuora, joka yhdistää ne erottamattomasti todellisuuteen. Tämä napanuora on rahaa. Sovelletaan matemaattista joukkoteoriaa matemaatikoihin itseensä.

Opiskelimme matematiikkaa erittäin hyvin ja nyt istumme kassalla ja jaamme palkkoja. Joten matemaatikko tulee meille rahoilleen. Laskemme hänelle koko summan ja asetamme sen pöydällemme eri pinoihin, joihin laitamme samanarvoisia seteleitä. Sitten otamme yhden setelin jokaisesta pinosta ja annamme sen matemaatikolle." matemaattinen joukko Palkat." Selitämme matematiikalle, että hän saa loput laskut vasta kun hän osoittaa, että joukko ilman identtisiä elementtejä ei ole sama kuin joukko, jossa on identtisiä elementtejä. Tästä hauskuus alkaa.

Ensinnäkin kansanedustajien logiikka toimii: "Tätä voidaan soveltaa muihin, mutta ei minuun!" Sitten he alkavat vakuuttaa meille, että saman arvon seteleillä on eri setelinumerot, mikä tarkoittaa, että niitä ei voida pitää samoilla elementeillä. Okei, lasketaan palkat kolikoihin - kolikoissa ei ole numeroita. Täällä matemaatikko alkaa kiihkeästi muistaa fysiikkaa: se on eri kolikoissa erilaisia ​​määriä lika, kristallirakenne ja jokaisen kolikon atomijärjestely on ainutlaatuinen...

Ja nyt minulla on eniten kiinnostusta Kysy: missä on viiva, jonka jälkeen monijoukon alkiot muuttuvat joukon elementeiksi ja päinvastoin? Tällaista linjaa ei ole olemassa - shamaanit päättävät kaikesta, tiede ei ole lähelläkään valehdella täällä.

Kuulehan. Me valitsemme jalkapallostadionit samalla peltoalueella. Kenttien pinta-alat ovat samat - mikä tarkoittaa, että meillä on multiset. Mutta jos katsomme näiden samojen stadionien nimiä, saamme monia, koska nimet ovat erilaisia. Kuten näet, sama elementtijoukko on sekä joukko että monijoukko. Kumpi on oikein? Ja tässä matemaatikko-shamaani-terävä vetää valttiäsän hihastaan ​​ja alkaa kertoa meille joko setistä tai multisetistä. Joka tapauksessa hän saa meidät vakuuttuneeksi siitä, että hän on oikeassa.

Ymmärtääksemme, kuinka nykyaikaiset shamaanit toimivat joukkoteorian kanssa ja sitovat sen todellisuuteen, riittää, kun vastaat yhteen kysymykseen: kuinka yhden joukon elementit eroavat toisen joukon elementeistä? Näytän sinulle ilman mitään "ei ole ajateltavissa yhtenä kokonaisuutena" tai "ei ajateltavissa yhtenä kokonaisuutena".

sunnuntaina 18. maaliskuuta 2018

Luvun numeroiden summa on shamaanien tanssi tamburiinilla, jolla ei ole mitään tekemistä matematiikan kanssa. Kyllä, matematiikan tunneilla meitä opetetaan etsimään luvun numeroiden summa ja käyttämään sitä, mutta siksi he ovat shamaaneja, opettaakseen jälkeläisilleen heidän taitojaan ja viisauttaan, muuten shamaanit yksinkertaisesti kuolevat sukupuuttoon.

Tarvitsetko todisteita? Avaa Wikipedia ja yritä löytää sivu "Luvun numeroiden summa". Häntä ei ole olemassa. Matematiikassa ei ole kaavaa, jolla voitaisiin löytää minkä tahansa luvun numeroiden summa. Loppujen lopuksi numerot ovat graafiset symbolit, jonka avulla kirjoitamme numeroita ja matematiikan kielellä tehtävä kuulostaa tältä: "Etsi mitä tahansa lukua edustavien graafisten symbolien summa." Matemaatikot eivät voi ratkaista tätä ongelmaa, mutta shamaanit voivat tehdä sen helposti.

Selvitetään, mitä ja miten teemme löytääksemme tietyn luvun numeroiden summan. Ja niin, olkoon numero 12345. Mitä on tehtävä, jotta tämän luvun numeroiden summa saadaan selville? Harkitsemme kaikkia vaiheita järjestyksessä.

1. Kirjoita numero paperille. Mitä me olemme tehneet? Olemme muuntaneet numeron graafiseksi numerosymboliksi. Tämä ei ole matemaattinen operaatio.

2. Leikkaamme yhden kuvan useiksi kuviksi, jotka sisältävät yksittäisiä numeroita. Kuvan leikkaaminen ei ole matemaattinen operaatio.

3. Muunna yksittäiset graafiset symbolit numeroiksi. Tämä ei ole matemaattinen operaatio.

4. Lisää saadut luvut. Tämä on nyt matematiikkaa.

Numeron 12345 numeroiden summa on 15. Nämä ovat shamaanien opettamia "leikkaus- ja ompelukursseja", joita matemaatikot käyttävät. Mutta siinä ei vielä kaikki.

Matemaattisesti katsottuna ei ole väliä kumpaan numerojärjestelmään kirjoitamme luvun. Joten sisään erilaisia ​​järjestelmiä Laskennassa saman luvun numeroiden summa on erilainen. Matematiikassa lukujärjestelmä ilmoitetaan alaindeksinä luvun oikealla puolella. KANSSA suuri numero 12345 En halua huijata päätäni, katsotaanpa numeroa 26 artikkelista . Kirjoitetaan tämä luku binääri-, oktaali-, desimaali- ja heksadesimaalilukujärjestelmiin. Emme katso jokaista askelta mikroskoopin alla, olemme jo tehneet sen. Katsotaanpa tulosta.

Kuten näet, eri numerojärjestelmissä saman numeron numeroiden summa on erilainen. Tällä tuloksella ei ole mitään tekemistä matematiikan kanssa. Se on sama kuin jos määrittäisit suorakulmion alueen metreinä ja senttimetreinä, saat täysin erilaiset tulokset.

Nolla näyttää samalta kaikissa numerojärjestelmissä, eikä siinä ole numeroiden summaa. Tämä on toinen argumentti sen tosiasian puolesta. Kysymys matemaatikoille: miten matematiikassa määrätään jotain, joka ei ole luku? Mitä, matemaatikoille ei ole olemassa mitään muuta kuin numeroita? Voin sallia tämän shamaaneille, mutta en tiedemiehille. Todellisuus ei ole vain numeroita.

Saatua tulosta tulee pitää todisteena siitä, että lukujärjestelmät ovat lukujen mittayksiköitä. Emmehän voi verrata lukuja eri mittayksiköihin. Jos samat toimet saman suuren eri mittayksiköillä johtavat erilaisia ​​tuloksia niiden vertailun jälkeen se tarkoittaa, että sillä ei ole mitään tekemistä matematiikan kanssa.

Mitä on oikea matematiikka? Tällöin matemaattisen operaation tulos ei riipu luvun koosta, käytetystä mittayksiköstä ja siitä, kuka tämän toiminnon suorittaa.

Vai niin! Eikö tämä ole naisten vessa?
- Nuori nainen! Tämä on laboratorio sielujen indefiilisen pyhyyden tutkimiseksi heidän taivaaseennousemisensa aikana! Halo päällä ja nuoli ylös. Mikä muu wc?

Naaras... Halo päällä ja nuoli alas ovat urospuolisia.

Jos tällainen taideteos välähtää silmiesi edessä useita kertoja päivässä,

Sitten ei ole yllättävää, että löydät yhtäkkiä oudon kuvakkeen autostasi:

Itse pyrin näkemään kakkaavassa ihmisessä miinus neljä astetta (yksi kuva) (usean kuvan yhdistelmä: miinusmerkki, numero neljä, asteiden merkintä). Ja en usko, että tämä tyttö on hölmö, joka ei tunne fysiikkaa. Hänellä on vain vahva stereotypia graafisten kuvien havaitsemisesta. Ja matemaatikot opettavat meille tätä koko ajan. Tässä on esimerkki.

1A ei ole "miinus neljä astetta" tai "yksi a". Tämä on "kakkava mies" tai luku "kaksikymmentäkuusi" heksadesimaalimuodossa. Ne ihmiset, jotka työskentelevät jatkuvasti tässä numerojärjestelmässä, näkevät numeron ja kirjaimen automaattisesti yhtenä graafisena symbolina.

Prisma on yksi niistä kolmiulotteisista hahmoista, joiden ominaisuuksia tutkitaan koulussa tilageometrian aikana. Tässä artikkelissa tarkastelemme tiettyä prismaa - kuusikulmainen. Millainen kuva tämä on, kuinka löytää säännöllisen kuusikulmaisen prisman tilavuus ja sen pinta-ala? Vastaukset näihin kysymyksiin sisältyvät artikkeliin.

Prisma figuuri

Oletetaan, että meillä on mielivaltainen monikulmio, jonka sivujen lukumäärä on n ja joka sijaitsee jossain tasossa. Tämän monikulmion kullekin kärjelle rakennamme vektorin, joka ei ole monikulmion tasossa. Tällä operaatiolla saadaan n identtistä vektoria, joiden kärjet muodostavat monikulmion, joka on täsmälleen yhtä suuri kuin alkuperäinen. Kuvaa, jota rajoittaa kaksi identtistä monikulmiota ja niiden kärjet yhdistävää yhdensuuntaista suoraa, kutsutaan prismaksi.

Prisman pinnat ovat kaksi kantaa, joita edustavat monikulmiot, joissa on n sivua, ja n sivusuuntaista pintaa. Kuvion reunojen P määrä on suhteessa sen kärkien B ja pintojen G määrään Eulerin kaavalla:

Monikulmiolle, jossa on n sivua, saadaan n + 2 pintaa ja 2 * n kärkeä. Sitten reunojen lukumäärä on yhtä suuri:

P = B + G - 2 = 2 * n + n + 2 - 2 = 3 * n

Yksinkertaisin prisma on kolmion muotoinen, eli sen kanta on kolmio.

Prismojen luokitus on melko monipuolinen. Joten ne voivat olla säännöllisiä ja epäsäännöllisiä, suorakaiteen muotoisia ja vinoja, kuperia ja koveria.

Kuusikulmainen prisma

Tämä artikkeli on omistettu säännöllisen kuusikulmaisen prisman tilavuudelle. Tarkastellaanpa ensin tätä lukua tarkemmin.

Kuten nimestä voi päätellä, kuusikulmaisen prisman kanta on monikulmio, jossa on kuusi sivua ja kuusi kulmaa. Yleisesti ottaen tällaisia ​​monikulmioita voidaan tehdä hyvin monenlaisia, mutta harjoittelun ja geometristen tehtävien ratkaisemiseksi yksi tapaus on tärkeä - säännöllinen kuusikulmio. Sen kaikki sivut ovat yhtä suuret keskenään, ja kukin kuudesta kulmasta on 120 o. Tämä monikulmio voidaan helposti rakentaa jakamalla ympyrä 6 yhtä suureen osaan, joilla on kolme halkaisijaa (niiden tulee leikkaamaan 60 o kulmissa).

Säännöllinen kuusikulmainen prisma ei edellytä vain säännöllisen monikulmion läsnäoloa sen pohjassa, vaan myös sitä, että kaikki sivut muotojen tulee olla suorakulmioita. Tämä on mahdollista vain, jos sivupinnat ovat kohtisuorassa kuusikulmioon nähden.

Säännöllinen kuusikulmainen prisma on melko täydellinen hahmo, joka löytyy arjesta ja luonnosta. Pitää vain ajatella hunajakennon tai kuusioavaimen muotoa. Kuusikulmaiset prismat ovat yleisiä myös nanoteknologian alalla. Esimerkiksi, kristallihilat HPU ja C32, jotka on toteutettu tietyissä olosuhteissa titaanissa ja zirkoniumissa sekä grafiittihilassa, ovat muodoltaan kuusikulmaisia ​​prismoja.

Kuusikulmaisen prisman pinta-ala

Siirrytään nyt suoraan prisman pinta-alan ja tilavuuden laskemiseen. Ensin lasketaan tämän kuvan pinta-ala.

Minkä tahansa prisman pinta-ala lasketaan käyttämällä seuraavaa yhtälöä:

Eli vaadittu pinta-ala S on yhtä suuri kuin kahden kannan S o pinta-alojen ja sivupinnan S b pinta-alan summa. Voit määrittää S o:n arvon kahdella tavalla:

• Laske itse. Tätä varten kuusikulmio jaetaan 6 tasasivuiseen kolmioon. Kun tiedät, että yhden kolmion pinta-ala on puolet korkeuden ja kannan tulosta (kuusikulmion sivun pituus), voit löytää kyseessä olevan monikulmion alueen.
• Hyödynnä tuttu kaava. Se näkyy alla:

S n = n / 4 * a 2 * ctg (pi / n)

Tässä a on säännöllisen monikulmion sivun pituus, jossa on n kärkeä.

On selvää, että molemmat menetelmät johtavat samaan tulokseen. Tavallisella kuusikulmiolla pinta-ala on:

S o = S6 = 3 * √3 * a 2/2

On helppo löytää sivupinta-ala tätä varten kertomalla jokaisen suorakulmion kanta prisman korkeudella h, kertomalla saatu arvo tällaisten suorakulmioiden lukumäärällä, eli 6:lla.

Käyttämällä kokonaispinta-alan kaavaa säännölliselle kuusikulmaiselle prismalle saadaan:

S = 3 * √3 * a 2 + 6 * a * h = 3 * a * (√3 * a + 2 * h)

Kuinka löytää prisman tilavuus?

Volyymi on fyysinen määrä, joka heijastaa kohteen käyttämää tilan pinta-alaa. Prismassa tämä arvo voidaan laskea seuraavalla kaavalla:

Tämä lauseke vastaa kysymykseen, kuinka löytää mielivaltaisen muodon prisman tilavuus, eli on tarpeen kertoa pohjapinta-ala S o kuvan h korkeudella (kantojen välinen etäisyys).

Huomaa, että yllä oleva lauseke pätee kaikille prismille, mukaan lukien koverat ja vinot hahmot, jotka muodostuvat epäsäännöllisistä monikulmioista tyvestä.

Kuusikulmaisen säännöllisen prisman tilavuuden kaava

Päällä Tämä hetki olemme tarkastelleet kaikki tarvittavat teoreettiset laskelmat saadaksemme lausekkeen kyseessä olevan prisman tilavuudelle. Tätä varten riittää, kun kerrotaan pohjan pinta-ala sivureunan pituudella, joka on kuvan korkeus. Tämän seurauksena kuusikulmainen prisma saa muodon:

V = 3 * √3 * a 2 * h / 2

Kyseisen prisman tilavuuden laskeminen edellyttää siis vain kahden suuren tuntemista: sen pohjan sivun pituuden ja korkeuden. Nämä kaksi määrää määrittelevät yksiselitteisesti kuvion tilavuuden.

Tilavuuksien ja sylinterin vertailu

Edellä sanottiin, että kuusikulmaisen prisman kanta on helppo rakentaa ympyrän avulla. Tiedetään myös, että jos lisäät säännöllisen monikulmion sivujen määrää, sen muoto lähestyy ympyrää. Tässä suhteessa on mielenkiintoista laskea kuinka paljon säännöllisen kuusikulmainen prisman tilavuus eroaa tästä sylinterin arvosta.

Vastataksesi tähän kysymykseen sinun on laskettava ympyrään piirretyn kuusikulmion sivun pituus. Voidaan helposti osoittaa, että se on yhtä suuri kuin säde. Merkitään ympyrän säde kirjaimella R. Oletetaan, että sylinterin ja prisman korkeus on yhtä suuri kuin tietty arvo h. Silloin prisman tilavuus on yhtä suuri kuin seuraava arvo:

V p = 3 * √3 * R 2 * h / 2

Sylinterin tilavuus määritetään samalla kaavalla kuin mielivaltaisen prisman tilavuus. Ottaen huomioon, että ympyrän pinta-ala on yhtä suuri kuin pi * R 2, meillä on sylinterin tilavuudelle:

Etsitään näiden lukujen tilavuuksien suhde:

V p / V с = 3 * √3 * R 2 * h / 2 / (pi * R 2 * h) = 3 * √3 / (2 * pi)

Pi on 3,1416. Korvaamalla sen saamme:

Näin ollen säännöllisen kuusikulmaisen prisman tilavuus on noin 83 % sen sylinterin tilavuudesta, johon se on kaiverrettu.