Murtolukujen kertominen eri emäksillä. Yksinkertaisten ja sekamurtolukujen kertominen eri nimittäjillä

Ylä- ja lukion kurssilla opiskelijat opiskelivat aihetta "Murtoluvut". Tämä käsite on kuitenkin paljon laajempi kuin oppimisprosessissa annetaan. Nykyään murto-osan käsite kohdataan melko usein, eivätkä kaikki pysty laskemaan mitä tahansa lauseketta, esimerkiksi kertomalla murtoluvut.

Mikä on murtoluku?

Historiallisesti tapahtui niin, että murtoluvut ilmestyivät mittaustarpeen vuoksi. Kuten käytäntö osoittaa, on usein esimerkkejä segmentin pituuden, suorakaiteen muotoisen suorakulmion tilavuuden määrittämisestä.

Aluksi opiskelijat tutustutaan sellaiseen käsitteeseen kuin osake. Jos esimerkiksi jaat vesimelonin 8 osaan, jokainen saa kahdeksasosan vesimelonista. Tätä yhtä kahdeksasta osaa kutsutaan osakkeeksi.

Osuutta, joka on ½ mistä tahansa arvosta, kutsutaan puoleksi; ⅓ - kolmas; ¼ - neljännes. Merkintöjä, kuten 5/8, 4/5, 2/4, kutsutaan yhteisiksi murtoluvuiksi. Tavallinen murto-osa jaetaan osoittajaksi ja nimittäjäksi. Niiden välissä on murtoviiva tai murtoviiva. Murtoviiva voidaan piirtää joko vaaka- tai vinoviivana. AT Tämä tapaus se tarkoittaa jakomerkkiä.

Nimittäjä ilmaisee kuinka moneen yhtä suureen osaan arvo, kohde on jaettu; ja osoittaja on kuinka monta yhtäläistä osuutta otetaan. Osoittaja kirjoitetaan murtopalkin yläpuolelle ja nimittäjä sen alle.

Kätevintä on näyttää tavalliset murtoluvut koordinaattisäde. Jos yksittäinen segmentti on jaettu 4 yhtä suureen osaan, nimeä jokainen osuus Latinalainen kirjain, tulos voi olla erinomainen visuaalinen apuväline. Joten piste A osoittaa osuuden, joka on 1/4 koko yksikkösegmentistä, ja piste B merkitsee 2/8 tästä segmentistä.

Jakeiden lajikkeet

Murtoluvut ovat yhteisiä, desimaalilukuja ja sekalukuja. Lisäksi murto-osat voidaan jakaa oikeaan ja sopimattomaan. Tämä luokitus sopii paremmin tavallisille jakeille.

Oikea murtoluku on luku, jonka osoittaja on pienempi kuin nimittäjä. Vastaavasti, ei oikea murto-osa Luku, jonka osoittaja on suurempi kuin nimittäjä. Toinen laji kirjoitetaan yleensä sekalukuna. Tällainen lauseke koostuu kokonaislukuosasta ja murto-osasta. Esimerkiksi 1½. yksi - koko osa, ½ - murtoluku. Jos kuitenkin joudut tekemään joitain manipulaatioita lausekkeen kanssa (jakamalla tai kertomalla murtoluvut, vähentämällä tai muuntamalla niitä), sekoitettu luku muunnetaan vääräksi murtoluvuksi.

Oikea murtolauseke on aina pienempi kuin yksi ja virheellinen on aina suurempi tai yhtä suuri kuin 1.

Mitä tulee tähän lausekkeeseen, he ymmärtävät tietueen, jossa mikä tahansa luku on edustettuna, jonka murtolausekkeen nimittäjä voidaan ilmaista yhdellä useilla nollia. Jos murtoluku on oikea, niin koko osa sisään desimaalimerkintä on yhtä suuri kuin nolla.

Desimaaliluvun kirjoittamiseksi sinun on ensin kirjoitettava kokonaislukuosa, erotettava se murtoluvusta pilkulla ja kirjoitettava sitten murtoluku. On muistettava, että pilkun jälkeen osoittajassa tulee olla niin monta numeromerkkiä kuin nimittäjässä on nollia.

Esimerkki. Esitä murtoluku 7 21 / 1000 desimaalimuodossa.

Algoritmi väärän murtoluvun muuntamiseksi sekaluvuksi ja päinvastoin

Virheellisen murtoluvun kirjoittaminen tehtävän vastaukseen on väärin, joten se on muutettava sekaluvuksi:

jaa osoittaja olemassa olevalla nimittäjällä;
sisään konkreettinen esimerkki epätäydellinen osamäärä - kokonaisuus;
ja loppuosa on murto-osan osoittaja nimittäjän pysyessä muuttumattomana.

Esimerkki. Muunna väärä murto sekaluvuksi: 47/5 .

Päätös. 47: 5. Epätäydellinen osamäärä on 9, jäännös = 2. Näin ollen 47 / 5 = 9 2 / 5.

Joskus sinun on esitettävä sekaluku vääränä murtolukuna. Sitten sinun on käytettävä seuraavaa algoritmia:

kokonaislukuosa kerrotaan murtolausekkeen nimittäjällä;
tuloksena saatu tuote lisätään osoittajaan;
tulos kirjoitetaan osoittajaan, nimittäjä pysyy ennallaan.

Esimerkki. Ilmaise luku sekamuodossa virheellisenä murtolukuna: 9 8 / 10 .

Päätös. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 on osoittaja.

Vastaus: 98 / 10.

Tavallisten murtolukujen kertolasku

Voit suorittaa erilaisia algebrallisia operaatioita tavallisille murtoluvuille. Jos haluat kertoa kaksi numeroa, sinun on kerrottava osoittaja osoittajalla ja nimittäjä nimittäjällä. Lisäksi murtolukujen kertominen eri nimittäjiä ei eroa työstä murtolukuja samoilla nimittäjillä.

Tapahtuu, että tuloksen löytämisen jälkeen sinun on vähennettävä fraktiota. AT ilman epäonnistumista tuloksena olevaa lauseketta tulee yksinkertaistaa mahdollisimman paljon. Ei tietenkään voida sanoa, että väärä murto-osa vastauksessa olisi virhe, mutta sitä on myös vaikea kutsua oikeaksi vastaukseksi.

Esimerkki. Etsi kahden tavallisen murtoluvun tulo: ½ ja 20/18.

Kuten esimerkistä voidaan nähdä, tuotteen löytämisen jälkeen saadaan pelkistävä murtoluku. Sekä osoittaja että nimittäjä ovat tässä tapauksessa jaollisia 4:llä, ja tuloksena on vastaus 5/9.

Desimaalimurtolukujen kertominen

Desimaalilukujen tulo on periaatteeltaan aivan erilainen kuin tavallisten murtolukujen tulo. Joten murtolukujen kertominen on seuraava:

kaksi desimaalimurtolukua on kirjoitettava toistensa alle siten, että oikeanpuoleiset numerot ovat toistensa alla;
sinun on kerrottava kirjoitetut luvut pilkuista huolimatta, eli luonnollisina lukuina;
laske kussakin numerossa pilkun jälkeen olevien numeroiden määrä;
kertolaskun jälkeen saadussa tuloksessa sinun on laskettava niin monta oikealla olevaa digitaalista merkkiä kuin molemmissa kertoimissa desimaalipilkun jälkeen on summa, ja laitettava erotusmerkki;
jos tuotteessa on vähemmän numeroita, niin niiden eteen on kirjoitettava niin monta nollaa, että tämä luku peittää, laita pilkku ja määritä kokonaislukuosa, joka on yhtä suuri kuin nolla.

Esimerkki. Laske kahden desimaalin tulo: 2,25 ja 3,6.

Päätös.

Sekaosien kertolasku

Kahden sekamurtoluvun tulon laskemiseksi sinun on käytettävä murtolukujen kertomissääntöä:

muuntaa sekaluvut vääriksi murtoluvuiksi;
löytää osoittajien tulo;
etsi nimittäjien tulo;
kirjoita tulos muistiin;
yksinkertaistaa ilmaisua mahdollisimman paljon.

Esimerkki. Etsi 4½ ja 6 2/5 tulo.

Luvun kertominen murtoluvulla (murtoluvut luvulla)

Kahden murtoluvun, sekalukujen tulon löytämisen lisäksi on tehtäviä, joissa sinun on kerrottava murtoluvulla.

Eli etsimään töitä desimaaliluku ja luonnollisen luvun, tarvitset:

kirjoita luku murtoluvun alle niin, että oikeanpuoleiset numerot ovat toistensa yläpuolella;
löytää työ pilkusta huolimatta;
erota saadussa tuloksessa kokonaislukuosa murto-osasta pilkulla laskemalla oikealle murtoluvun desimaalipilkun jälkeen jäävien merkkien määrä.

Jos haluat kertoa tavallisen murtoluvun luvulla, sinun tulee löytää osoittajan ja luonnollisen tekijän tulo. Jos vastaus on pelkistävä murto-osa, se tulee muuntaa.

Esimerkki. Laske 5/8 ja 12 tulo.

Päätös. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Vastaus: 7 1 / 2.

Kuten edellisestä esimerkistä näet, oli tarpeen pienentää saatua tulosta ja muuntaa virheellinen murtolauseke sekaluvuksi.

Murtolukujen kertolasku koskee myös sekamuodossa olevan luvun ja luonnollisen tekijän tulon löytämistä. Jos haluat kertoa nämä kaksi lukua, sinun tulee kertoa sekatekijän kokonaislukuosa luvulla, kertoa osoittaja samalla arvolla ja jättää nimittäjä ennalleen. Tarvittaessa sinun on yksinkertaistettava tulosta mahdollisimman paljon.

Esimerkki. Etsi 9 5/6 ja 9 tulo.

Päätös. 9 5/6 x 9 \u003d 9 x 9 + (5 x 9) / 6 \u003d 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.

Vastaus: 88 1 / 2.

kertominen kertoimilla 10, 100, 1000 tai 0,1; 0,01; 0,001

Seuraava sääntö seuraa edellisestä kappaleesta. Jos haluat kertoa desimaaliluvun luvulla 10, 100, 1000, 10 000 jne., sinun on siirrettävä pilkkua oikealle niin monella numeromerkillä kuin kertoimessa on nollia yhden perään.

Esimerkki 1. Etsi 0,065:n ja 1000:n tulo.

Päätös. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

Vastaus: 65.

Esimerkki 2. Etsi lukujen 3,9 ja 1000 tulo.

Päätös. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.

Vastaus: 3900.

Jos sinun täytyy kertoa luonnollinen luku ja 0,1; 0,01; 0,001; 0.0001 jne., sinun tulee siirtää pilkkua vasemmalle tuloksena olevassa tuotteessa niin monta merkkiä kuin on nollia ennen yhtä. Tarvittaessa luonnollisen luvun eteen kirjoitetaan riittävä määrä nollia.

Esimerkki 1. Etsi arvon 56 ja 0,01 tulo.

Päätös. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

Vastaus: 0,56.

Esimerkki 2. Etsi 4:n ja 0,001:n tulo.

Päätös. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Vastaus: 0,004.

Joten eri jakeiden tulon löytämisen ei pitäisi aiheuttaa vaikeuksia, paitsi ehkä tuloksen laskeminen; Tässä tapauksessa et yksinkertaisesti voi tehdä ilman laskinta.

Tarkastellaan tavallisten murtolukujen kertomista useilla mahdollisilla tavoilla.

Murto-osan kertominen murtoluvulla

Tämä on yksinkertaisin tapaus, jossa sinun on käytettävä seuraavaa murto-osien kertolaskusäännöt.

Vastaanottaja kerrotaan murto-osa murtoluvulla, tarpeen:

kerrotaan ensimmäisen murtoluvun osoittaja toisen murtoluvun osoittajalla ja kirjoitetaan heidän tulonsa uuden murtoluvun osoittajaan;
kerro ensimmäisen murto-osan nimittäjä toisen murto-osan nimittäjällä ja kirjoita heidän tulonsa uuden murto-osan nimittäjään;

Tarkista ennen osoittajien ja nimittäjien kertomista, voidaanko murtolukuja pienentää. Murtolukujen vähentäminen laskelmissa helpottaa laskelmiasi huomattavasti.

Murtoluvun kertominen luonnollisella luvulla

Murto-osaan kerrotaan luonnollisella luvulla sinun on kerrottava murto-osan osoittaja tällä numerolla ja jätettävä murto-osan nimittäjä ennalleen.

Jos kertolaskutulos on väärä murtoluku, älä unohda muuttaa sitä sekaluvuksi, eli valitse koko osa.

Sekalukujen kertolasku

Jos haluat kertoa sekaluvut, sinun on ensin muutettava ne vääriksi murtoluvuiksi ja kerrottava sitten tavallisten murtolukujen kertomissäännön mukaisesti.

Toinen tapa kertoa murto-osa luonnollisella luvulla

Joskus laskettaessa on kätevämpää käyttää erilaista kertolaskutapaa murtoluku numeroon.

Jos haluat kertoa murtoluvun luonnollisella luvulla, sinun on jaettava murto-osan nimittäjä tällä luvulla ja jätettävä osoittaja ennalleen.

Kuten esimerkistä voidaan nähdä, on kätevämpää käyttää tätä säännön versiota, jos murtoluvun nimittäjä on jaollinen ilman jäännöstä luonnollisella luvulla.

Toiminnot murtoluvuilla

Murtolukujen lisääminen samoilla nimittäjillä

Murtolukujen lisäämistä on kahta tyyppiä:

Murtolukujen lisääminen samoilla nimittäjillä
Murtolukujen lisääminen eri nimittäjillä

Aloitetaan lisäämällä murtoluvut samoilla nimittäjillä. Täällä kaikki on yksinkertaista. Jos haluat lisätä murtolukuja, joilla on sama nimittäjä, sinun on lisättävä niiden osoittajat ja jätettävä nimittäjä ennalleen. Lisätään esimerkiksi murtoluvut ja . Lisäämme osoittajat ja jätämme nimittäjän ennalleen:

Tämä esimerkki on helppo ymmärtää, jos ajattelemme pizzaa, joka on jaettu neljään osaan. Jos lisäät pizzan pizzaan, saat pizzan:

Esimerkki 2 Lisää murtoluvut ja .

Lisää jälleen osoittajat ja jätä nimittäjä ennalleen:

Vastaus on väärä murto-osa. Jos tehtävän loppu tulee, on tapana päästä eroon vääristä murtoluvuista. Päästäksesi eroon väärästä murto-osasta, sinun on valittava koko osa siitä. Meidän tapauksessamme kokonaislukuosa jaetaan helposti - kaksi jaettuna kahdella on yhtä suuri kuin yksi:

Tämä esimerkki on helppo ymmärtää, jos ajattelemme pizzaa, joka on jaettu kahteen osaan. Jos lisäät pizzaan lisää pizzoja, saat yhden kokonaisen pizzan:

Esimerkki 3. Lisää murtoluvut ja .

Tämä esimerkki on helppo ymmärtää, jos ajattelemme pizzaa, joka on jaettu kolmeen osaan. Jos lisäät pizzaan lisää pizzoja, saat pizzat:

Esimerkki 4 Etsi lausekkeen arvo

Tämä esimerkki on ratkaistu täsmälleen samalla tavalla kuin edelliset. Osoittajat on lisättävä ja nimittäjä jätettävä ennalleen:

Yritetään kuvata ratkaisumme kuvan avulla. Jos lisäät pizzat pizzaan ja lisäät pizzoja, saat 1 kokonaisen pizzan ja lisää pizzoja.

Kuten näet, murtolukujen lisääminen samoilla nimittäjillä ei ole vaikeaa. Riittää, kun ymmärrät seuraavat säännöt:

Jos haluat lisätä murto-osia, joilla on sama nimittäjä, sinun on lisättävä niiden osoittajat ja jätettävä nimittäjä ennalleen.
Jos vastaus osoittautui vääräksi murto-osaksi, sinun on valittava koko osa siitä.

Murtolukujen lisääminen eri nimittäjillä

Nyt opimme lisäämään murtolukuja eri nimittäjillä. Murtolukuja lisättäessä näiden murtolukujen nimittäjien on oltava samat. Mutta ne eivät aina ole samoja.

Esimerkiksi murto-osia voidaan lisätä myös siksi, että niillä on samat nimittäjät.

Mutta murtolukuja ei voi lisätä kerralla, koska näillä murtoluvuilla on erilaiset nimittäjät. Tällaisissa tapauksissa murtoluvut on vähennettävä samaan (yhteiseen) nimittäjään.

On olemassa useita tapoja vähentää murtolukuja samaan nimittäjään. Tänään tarkastelemme vain yhtä niistä, koska muut menetelmät voivat tuntua monimutkaisilta aloittelijalle.

Tämän menetelmän ydin on, että ensin etsitään molempien murtolukujen nimittäjien pienin yhteiskerroin (LCM). Sitten LCM jaetaan ensimmäisen murto-osan nimittäjällä ja saadaan ensimmäinen lisäkerroin. He tekevät saman toisen murto-osan kanssa - NOC jaetaan toisen murto-osan nimittäjällä ja saadaan toinen lisäkerroin.

Sitten murtolukujen osoittajat ja nimittäjät kerrotaan niiden lisätekijöillä. Näiden toimien seurauksena murtoluvut, joilla oli eri nimittäjä, muuttuvat murtoluvuiksi, joilla on sama nimittäjä. Ja me tiedämme jo kuinka lisätä tällaisia murtolukuja.

Esimerkki 1. Lisää jakeet ja

Näillä murtoluvuilla on eri nimittäjät, joten sinun on saatettava ne samaan (yhteiseen) nimittäjään.

Ensinnäkin löydämme molempien murtolukujen nimittäjien pienimmän yhteisen kerrannaisen. Ensimmäisen murtoluvun nimittäjä on luku 3 ja toisen murtoluvun nimittäjä on luku 2. Näiden lukujen pienin yhteinen kerrannainen on 6

LCM (2 ja 3) = 6

Nyt takaisin murtolukuihin ja . Ensin jaamme LCM:n ensimmäisen murtoluvun nimittäjällä ja saamme ensimmäisen lisätekijän. LCM on luku 6 ja ensimmäisen murto-osan nimittäjä on luku 3. Jaa 6 kolmella, saadaan 2.

Tuloksena oleva luku 2 on ensimmäinen lisätekijä. Kirjoitamme sen ensimmäiseen murto-osaan. Tätä varten teemme murto-osan yläpuolelle pienen vinon viivan ja kirjoitamme sen yläpuolelle löydetyn lisätekijän:

Teemme saman toisen jakeen kanssa. Jaamme LCM:n toisen murto-osan nimittäjällä ja saamme toisen lisätekijän. LCM on luku 6 ja toisen murto-osan nimittäjä on luku 2. Jaa 6 kahdella, saadaan 3.

Tuloksena oleva luku 3 on toinen lisätekijä. Kirjoitamme sen toiseen murto-osaan. Teemme jälleen pienen vinon viivan toisen murto-osan yläpuolelle ja kirjoitamme löydetyn lisätekijän sen yläpuolelle:

Nyt olemme valmiita lisäämään. On vielä kerrottava murtolukujen osoittajat ja nimittäjät niiden lisäkertoimilla:

Katsokaa tarkasti, mihin olemme tulleet. Tulimme siihen tulokseen, että murtoluvut, joilla oli eri nimittäjät, muuttuivat murtoluvuiksi, joilla oli sama nimittäjä. Ja me tiedämme jo kuinka lisätä tällaisia murtolukuja. Täydennetään tämä esimerkki loppuun:

Näin esimerkki päättyy. Lisääminen käy ilmi.

Yritetään kuvata ratkaisumme kuvan avulla. Jos lisäät pizzat pizzaan, saat yhden kokonaisen pizzan ja toisen kuudesosan pizzasta:

Murtolukujen pelkistys samaan (yhteiseen) nimittäjään voidaan kuvata myös kuvan avulla. Tuomalla murtoluvut ja yhteiseen nimittäjään, saamme murtoluvut ja . Näitä kahta fraktiota edustavat samat pizzaviipaleet. Ainoa ero on, että tällä kertaa ne jaetaan yhtä suuriin osuuksiin (samaan nimittäjään vähennettynä).

Ensimmäinen piirros esittää murto-osaa (neljä kappaletta kuudesta) ja toisessa kuvassa murto-osa (kolme kappaletta kuudesta). Laittamalla nämä palaset yhteen saadaan (seitsemän kuudesta kappaletta). Tämä murtoluku on virheellinen, joten olemme korostaneet siinä kokonaislukuosan. Tuloksena oli (yksi koko pizza ja toinen kuudes pizza).

Huomaa, että olemme maalanneet annettu esimerkki liian yksityiskohtainen. AT koulutusinstituutiot ei ole tapana kirjoittaa niin yksityiskohtaisesti. Sinun on pystyttävä nopeasti löytämään molempien nimittäjien ja niiden lisätekijöiden LCM sekä kertomaan nopeasti osoittajien ja nimittäjien löytämät lisätekijät. Koulussa ollessamme meidän pitäisi kirjoittaa tämä esimerkki seuraavasti:

Mutta on myös takapuoli mitaleja. Jos yksityiskohtaisia muistiinpanoja ei tehdä matematiikan opiskelun ensimmäisissä vaiheissa, niin kysymyksiä "Mistä tuo luku tulee?", "Miksi murtoluvut muuttuvat yhtäkkiä täysin erilaisiksi murtoluvuiksi? «.

Voit helpottaa eri nimittäjien murtolukujen lisäämistä seuraavien vaiheittaisten ohjeiden avulla:

Etsi murto-osien nimittäjien LCM;
Jaa LCM kunkin murto-osan nimittäjällä ja hanki jokaiselle murtoluvulle lisäkerroin;
Kerro murtolukujen osoittajat ja nimittäjät niiden lisäkertoimilla;
Lisää murtoluvut, joilla on samat nimittäjät;
Jos vastaus osoittautui vääräksi murtoluvuksi, valitse sen koko osa;

Esimerkki 2 Etsi lausekkeen arvo .

Käytetään yllä olevaa kaaviota.

Vaihe 1. Etsi LCM murtolukujen nimittäjille

Löydämme LCM:n molempien murtolukujen nimittäjille. Murtolukujen nimittäjät ovat luvut 2, 3 ja 4. Sinun on löydettävä näiden lukujen LCM:

Vaihe 2. Jaa LCM kunkin murto-osan nimittäjällä ja hanki jokaiselle murtoluvulle lisäkerroin

Jaa LCM ensimmäisen murtoluvun nimittäjällä. LCM on luku 12 ja ensimmäisen murtoluvun nimittäjä on luku 2. Jaa 12 kahdella, saamme 6. Saimme ensimmäisen lisäkertoimen 6. Kirjoitetaan se ensimmäisen murtoluvun päälle:

Nyt jaamme LCM:n toisen murto-osan nimittäjällä. LCM on luku 12 ja toisen murto-osan nimittäjä on luku 3. Jaa 12 kolmella, saamme 4. Saimme toisen lisäkertoimen 4. Kirjoitetaan se toisen murtoluvun päälle:

Nyt jaamme LCM:n kolmannen murtoluvun nimittäjällä. LCM on luku 12 ja kolmannen murtoluvun nimittäjä on luku 4. Jaa 12 4:llä, saamme 3. Saimme kolmannen lisäkertoimen 3. Kirjoitetaan se kolmannen murtoluvun päälle:

Vaihe 3. Kerro murtolukujen osoittajat ja nimittäjät lisätekijöilläsi

Kerromme osoittajat ja nimittäjät lisätekijöillämme:

Vaihe 4. Lisää murtoluvut, joilla on samat nimittäjät

Tulimme siihen tulokseen, että murtoluvut, joilla oli eri nimittäjät, muuttuivat murtoluvuiksi, joilla on samat (yhteiset) nimittäjät. On vielä lisättävä nämä jakeet. Lisää yhteen:

Lisäys ei mahtunut yhdelle riville, joten siirsimme jäljellä olevan lausekkeen seuraavalle riville. Tämä on sallittua matematiikassa. Kun lauseke ei mahdu yhdelle riville, se siirretään seuraavalle riville ja ensimmäisen rivin loppuun ja uuden rivin alkuun on laitettava yhtäläisyysmerkki (=). Toisella rivillä oleva yhtäläisyysmerkki osoittaa, että tämä on jatkoa ensimmäisellä rivillä olevalle lausekkeelle.

Vaihe 5. Jos vastaus osoittautui vääräksi murtoluvuksi, valitse sen kokonaislukuosa

Vastauksemme on väärä murto-osa. Meidän on erotettava siitä koko osa. Korostamme:

Sain vastauksen

Samoilla nimittäjillä olevien murtolukujen vähentäminen

Murtolukuvähennystä on kahta tyyppiä:

Samoilla nimittäjillä olevien murtolukujen vähentäminen
Eri nimittäjillä olevien murtolukujen vähentäminen

Ensin opitaan vähentämään murtolukuja samoilla nimittäjillä. Täällä kaikki on yksinkertaista. Jos haluat vähentää yhdestä murtoluvusta toisen, sinun on vähennettävä toisen murtoluvun osoittaja ensimmäisen murtoluvun osoittajasta ja jätettävä nimittäjä ennalleen.

Etsitään esimerkiksi lausekkeen arvo. Tämän esimerkin ratkaisemiseksi on tarpeen vähentää toisen murto-osan osoittaja ensimmäisen murto-osan osoittajasta ja jättää nimittäjä ennalleen. Tehdään tämä:

Tämä esimerkki on helppo ymmärtää, jos ajattelemme pizzaa, joka on jaettu neljään osaan. Jos leikkaat pizzat pizzasta, saat pizzat:

Esimerkki 2 Etsi lausekkeen arvo.

Jälleen, vähennä ensimmäisen murtoluvun osoittajasta toisen murtoluvun osoittaja ja jätä nimittäjä ennalleen:

Tämä esimerkki on helppo ymmärtää, jos ajattelemme pizzaa, joka on jaettu kolmeen osaan. Jos leikkaat pizzat pizzasta, saat pizzat:

Esimerkki 3 Etsi lausekkeen arvo

Tämä esimerkki on ratkaistu täsmälleen samalla tavalla kuin edelliset. Ensimmäisen murtoluvun osoittajasta sinun on vähennettävä jäljellä olevien murtolukujen osoittajat:

Vastaus on väärä murto-osa. Jos esimerkki on täydellinen, on tapana päästä eroon väärästä murtoluvusta. Päästään eroon vastauksen väärästä murto-osasta. Voit tehdä tämän valitsemalla sen koko osan:

Kuten näette, samoilla nimittäjillä olevien murtolukujen vähentämisessä ei ole mitään monimutkaista. Riittää, kun ymmärrät seuraavat säännöt:

Jos haluat vähentää yhdestä murtoluvusta toisen, sinun on vähennettävä toisen murtoluvun osoittaja ensimmäisen murtoluvun osoittajasta ja jätettävä nimittäjä ennalleen;

Jos vastaus osoittautui vääräksi murto-osaksi, sinun on valittava sen koko osa.

Eri nimittäjillä olevien murtolukujen vähentäminen

Esimerkiksi murto-osa voidaan vähentää murtoluvusta, koska näillä murtoluvuilla on samat nimittäjät. Mutta murto-osaa ei voida vähentää murtoluvusta, koska näillä murtoluvuilla on erilaiset nimittäjät. Tällaisissa tapauksissa murtoluvut on vähennettävä samaan (yhteiseen) nimittäjään.

Yhteinen nimittäjä löytyy saman periaatteen mukaan, jota käytimme eri nimittäjillä olevia murtolukuja laskettaessa. Ensinnäkin, etsi molempien murtolukujen nimittäjien LCM. Sitten LCM jaetaan ensimmäisen murto-osan nimittäjällä ja saadaan ensimmäinen lisäkerroin, joka kirjoitetaan ensimmäisen murto-osan päälle. Vastaavasti LCM jaetaan toisen murto-osan nimittäjällä ja saadaan toinen lisäkerroin, joka kirjoitetaan toisen murto-osan päälle.

Murtoluvut kerrotaan sitten niiden lisätekijöillä. Näiden operaatioiden seurauksena murtoluvut, joilla oli eri nimittäjä, muuttuvat murtoluvuiksi, joilla on sama nimittäjä. Ja me tiedämme jo kuinka vähentää tällaisia murtolukuja.

Esimerkki 1 Etsi lausekkeen arvo:

Ensin löydetään molempien murtolukujen nimittäjien LCM. Ensimmäisen murtoluvun nimittäjä on luku 3 ja toisen murtoluvun nimittäjä on luku 4. Näiden lukujen pienin yhteinen kerrannainen on 12

LCM (3 ja 4) = 12

Nyt takaisin murtolukuihin ja

Etsitään lisäkerroin ensimmäiselle murtoluvulle. Tätä varten jaamme LCM:n ensimmäisen murtoluvun nimittäjällä. LCM on luku 12 ja ensimmäisen murtoluvun nimittäjä on luku 3. Jaa 12 kolmella, saamme 4. Kirjoitamme neljän ensimmäisen murtoluvun päälle:

Teemme saman toisen jakeen kanssa. Jaamme LCM:n toisen murtoluvun nimittäjällä. LCM on luku 12 ja toisen murto-osan nimittäjä on luku 4. Jaa 12 4:llä, saamme 3. Kirjoitamme kolmoisluvun toisen murtoluvun päälle:

Nyt olemme kaikki valmiita vähentämään. On vielä kerrottava murtoluvut niiden lisätekijöillä:

Tulimme siihen tulokseen, että murtoluvut, joilla oli eri nimittäjät, muuttuivat murtoluvuiksi, joilla oli sama nimittäjä. Ja me tiedämme jo kuinka vähentää tällaisia murtolukuja. Täydennetään tämä esimerkki loppuun:

Sain vastauksen

Yritetään kuvata ratkaisumme kuvan avulla. Jos leikkaat pizzat pizzasta, saat pizzat.

Tämä on ratkaisun yksityiskohtainen versio. Koulussa meidän täytyisi ratkaista tämä esimerkki lyhyemmällä tavalla. Tällainen ratkaisu näyttäisi tältä:

Murtolukujen vähentäminen ja yhteiseksi nimittäjäksi voidaan kuvata myös kuvan avulla. Tuomalla nämä murtoluvut yhteiseen nimittäjään, saamme murtoluvut ja . Näitä murto-osia edustavat samat pizzaviipaleet, mutta tällä kertaa ne jaetaan samoihin jakeisiin (pienennettynä samaan nimittäjään):

Ensimmäinen piirros näyttää murto-osan (kahdeksan kappaletta kahdestatoista) ja toisessa kuvassa murto-osaa (kolme kappaletta kahdestatoista). Leikkaamalla kolme kappaletta kahdeksasta kappaleesta saadaan viisi kappaletta kahdestatoista. Murtoluku kuvaa näitä viittä kappaletta.

Esimerkki 2 Etsi lausekkeen arvo

Näillä murtoluvuilla on eri nimittäjät, joten sinun on ensin saatava ne samaan (yhteiseen) nimittäjään.

Etsi näiden murtolukujen nimittäjien LCM.

Murtolukujen nimittäjät ovat luvut 10, 3 ja 5. Näiden lukujen pienin yhteinen kerrannainen on 30

LCM(10; 3; 5) = 30

Nyt löydämme lisätekijöitä jokaiselle murtoluvulle. Tätä varten jaamme LCM:n kunkin murtoluvun nimittäjällä.

Etsitään lisäkerroin ensimmäiselle murtoluvulle. LCM on luku 30 ja ensimmäisen murtoluvun nimittäjä on luku 10. Jaa 30 10:llä, saadaan ensimmäinen lisäkerroin 3. Kirjoitetaan se ensimmäisen murtoluvun päälle:

Nyt löydämme lisätekijän toiselle murtoluvulle. Jaa LCM toisen murtoluvun nimittäjällä. LCM on luku 30 ja toisen murto-osan nimittäjä on luku 3. Jaa 30 kolmella, saadaan toinen lisäkerroin 10. Kirjoitetaan se toisen murtoluvun päälle:

Nyt löydämme lisätekijän kolmannelle murtoluvulle. Jaa LCM kolmannen murtoluvun nimittäjällä. LCM on luku 30 ja kolmannen murtoluvun nimittäjä on luku 5. Jaa 30 5:llä, saadaan kolmas lisäkerroin 6. Kirjoitetaan se kolmannen murtoluvun päälle:

Nyt kaikki on valmis vähennettäväksi. On vielä kerrottava murtoluvut niiden lisätekijöillä:

Tulimme siihen tulokseen, että murtoluvut, joilla oli eri nimittäjät, muuttuivat murtoluvuiksi, joilla on samat (yhteiset) nimittäjät. Ja me tiedämme jo kuinka vähentää tällaisia murtolukuja. Lopetetaan tämä esimerkki.

Esimerkin jatko ei mahdu yhdelle riville, joten siirrämme jatkon seuraavalle riville. Älä unohda yhtäläisyysmerkkiä (=) uudella rivillä:

Vastaus osoittautui oikeaksi murto-osaksi, ja kaikki näyttää sopivan meille, mutta se on liian raskasta ja rumaa. Meidän pitäisi tehdä siitä yksinkertaisempi ja esteettisesti miellyttävämpi. Mitä voidaan tehdä? Voit pienentää tätä osuutta. Muista, että murto-osan vähennys on osoittajan ja nimittäjän jako suurimmalla yhteinen jakaja osoittaja ja nimittäjä.

Murtoluvun pienentämiseksi oikein sinun on jaettava sen osoittaja ja nimittäjä lukujen 20 ja 30 suurimmalla yhteisellä jakajalla (GCD).

Älä sekoita GCD:tä NOC:hen. Yleisin virhe, jonka monet aloittelijat tekevät. GCD on suurin yhteinen jakaja. Löydämme sen fraktion vähentämiseksi.

Ja LCM on pienin yhteinen kerrannainen. Löydämme sen saadaksemme murtoluvut samaan (yhteiseen) nimittäjään.

Nyt löydämme lukujen 20 ja 30 suurimman yhteisen jakajan (gcd).

Joten löydämme GCD:n numeroille 20 ja 30:

GCD (20 ja 30) = 10

Nyt palataan esimerkkiimme ja jaetaan murtoluvun osoittaja ja nimittäjä 10:llä:

Sai hyvän vastauksen

Murtoluvun kertominen luvulla

Jos haluat kertoa murto-osan luvulla, sinun on kerrottava annetun murto-osan osoittaja tällä luvulla ja jätettävä nimittäjä ennalleen.

Esimerkki 1. Kerro murto luvulla 1.

Kerro murtoluvun osoittaja luvulla 1

Ilmoittautumisen voidaan ymmärtää kestävän puoli 1 kertaa. Esimerkiksi jos otat pizzan kerran, saat pizzan

Kertolaskujen laeista tiedämme, että jos kertoja ja kertoja vaihdetaan keskenään, tulo ei muutu. Jos lauseke kirjoitetaan muodossa , tulo on silti yhtä suuri kuin . Jälleen sääntö kokonaisluvun ja murtoluvun kertomisesta toimii:

Tämän merkinnän voidaan ymmärtää vievän puolet yksiköstä. Esimerkiksi jos on 1 kokonainen pizza ja otamme siitä puolet, niin meillä on pizza:

Esimerkki 2. Etsi lausekkeen arvo

Kerro murtoluvun osoittaja 4:llä

Lauseke voidaan ymmärtää ottavan kaksi neljäsosaa 4 kertaa. Jos esimerkiksi otat pizzat 4 kertaa, saat kaksi kokonaista pizzaa.

Ja jos vaihdamme kertojan ja kertoimen paikoin, saamme lausekkeen. Se on myös yhtä suuri kuin 2. Tämä lauseke voidaan ymmärtää ottamalla kaksi pizzaa neljästä kokonaisesta pizzasta:

Murtolukujen kertolasku

Jos haluat kertoa murtoluvut, sinun on kerrottava niiden osoittajat ja nimittäjät. Jos vastaus on väärä murto-osa, sinun on valittava siitä koko osa.

Esimerkki 1 Etsi lausekkeen arvo.

Sain vastauksen. Tätä osuutta on toivottavaa pienentää. Fraktiota voidaan pienentää 2:lla. Sitten lopullinen liuos on seuraavanlainen:

Ilmaus voidaan ymmärtää niin, että pizza otetaan puolikkaasta pizzasta. Oletetaan, että meillä on puoli pizzaa:

Kuinka ottaa kaksi kolmasosaa tästä puoliskosta? Ensin sinun on jaettava tämä puolikas kolmeen yhtä suureen osaan:

Ja ota kaksi näistä kolmesta kappaleesta:

Haetaan pizzaa. Muista miltä pizza näyttää jaettuna kolmeen osaan:

Yhdellä siivulla tästä pizzasta ja kahdella ottamistamme viipaleella on samat mitat:

Toisin sanoen, me puhumme suunnilleen samankokoinen pizza. Siksi lausekkeen arvo on

Esimerkki 2. Etsi lausekkeen arvo

Kerro ensimmäisen murto-osan osoittaja toisen murto-osan osoittajalla ja ensimmäisen murto-osan nimittäjä toisen murto-osan nimittäjällä:

Vastaus on väärä murto-osa. Otetaan siitä kokonainen osa:

Esimerkki 3 Etsi lausekkeen arvo

Vastaus osoittautui oikeaksi murto-osaksi, mutta on hyvä, jos sitä pienennetään. Tämän murtoluvun pienentämiseksi se on jaettava osoittajan ja nimittäjän gcd:llä. Joten etsitään numeroiden 105 ja 450 GCD:

GCD (105 ja 150) on 15

Nyt jaamme GCD:n vastauksemme osoittajan ja nimittäjän:

Esittää kokonaisluvun murtolukuna

Mikä tahansa kokonaisluku voidaan esittää murtolukuna. Esimerkiksi numero 5 voidaan esittää muodossa . Tästä viisi ei muuta sen merkitystä, koska ilmaus tarkoittaa "lukua viisi jaettuna yhdellä", ja tämä, kuten tiedätte, on yhtä suuri kuin viisi:

Käänteiset numerot

Nyt tutustutaan mielenkiintoinen aihe matematiikassa. Sitä kutsutaan "käänteisiksi numeroiksi".

Määritelmä. Käänteinen numeroon a on luku, joka kerrottuna a antaa yksikön.

Korvataan tämä määritelmä muuttujan sijaan a numero 5 ja yritä lukea määritelmä:

Käänteinen numeroon 5 on luku, joka kerrottuna 5 antaa yksikön.

Onko mahdollista löytää luku, joka kerrottuna viidellä antaa yhden? Osoittautuu, että voit. Esitetään viisi murtolukuna:

Kerro sitten tämä murto-osa itsellään, vaihda vain osoittaja ja nimittäjä. Toisin sanoen, kerro murto-osa itsellään, vain käänteisesti:

Mitä tästä tulee? Jos jatkamme tämän esimerkin ratkaisemista, saamme yhden:

Tämä tarkoittaa, että luvun 5 käänteisarvo on luku, koska kun 5 kerrotaan yhdellä, saadaan yksi.

Käänteisluku voidaan löytää myös mille tahansa muulle kokonaisluvulle.

3:n käänteisluku on murtoluku
4:n käänteisluku on murtoluku

Voit myös löytää käänteisluvun mille tahansa muulle murtoluvulle. Tätä varten riittää sen kääntäminen.

) ja nimittäjä nimittäjällä (saamme tuotteen nimittäjän).

Murtolukujen kertolaskukaava:

Esimerkiksi:

Ennen kuin jatkat osoittajien ja nimittäjien kertolaskua, on tarpeen tarkistaa murto-osien pienentämisen mahdollisuus. Jos onnistut vähentämään murto-osaa, sinun on helpompi jatkaa laskelmien tekemistä.

Tavallisen murtoluvun jako murtoluvulla.

Luonnollisen luvun murtolukujen jako.

Se ei ole niin pelottavaa kuin miltä näyttää. Kuten summauksen tapauksessa, muunnamme kokonaisluvun murto-osaksi, jonka nimittäjässä on yksikkö. Esimerkiksi:

Sekaosien kertolasku.

Murtolukujen kertomista koskevat säännöt (sekoitetut):

muuntaa sekafraktiot sopimattomiksi;
kerrotaan murtolukujen osoittajat ja nimittäjät;
vähennämme murto-osuutta;
jos saamme väärän murto-osan, niin muunnetaan väärä murto sekaluvuksi.

Huomautus! Jos haluat kertoa sekamurtoluvun toisella sekamurtoluvulla, sinun on ensin saatettava ne sopimattomien jakeiden muotoon ja kerrottava sitten tavallisten jakeiden kertomissäännön mukaisesti.

Toinen tapa kertoa murto-osa luonnollisella luvulla.

On kätevämpää käyttää toista tapaa kertoa tavallinen murto luvulla.

Huomautus! Murtoluvun kertomiseksi luonnollisella luvulla on tarpeen jakaa murto-osan nimittäjä tällä luvulla ja jättää osoittaja ennalleen.

Yllä olevasta esimerkistä on selvää, että tätä vaihtoehtoa on helpompi käyttää, kun murtoluvun nimittäjä jaetaan ilman jäännöstä luonnollisella luvulla.

Monitasoiset murtoluvut.

Lukiossa löytyy usein kolmikerroksisia (tai useampia) murto-osia. Esimerkki:

Tällaisen murto-osan saattamiseksi sen tavanomaiseen muotoon käytetään jakoa 2 pisteellä:

Huomautus! Murtolukuja jaettaessa jakojärjestys on erittäin tärkeä. Ole varovainen, täällä on helppo hämmentää.

Huomautus, esimerkiksi:

Kun jaetaan yksi millä tahansa murtoluvulla, tulos on sama murto-osa, vain käänteisesti:

Käytännön vinkkejä murtolukujen kertomiseen ja jakamiseen:

1. Murtolausekkeiden kanssa työskentelyssä tärkeintä on tarkkuus ja tarkkaavaisuus. Tee kaikki laskelmat huolellisesti ja tarkasti, keskittyneesti ja selkeästi. On parempi kirjoittaa luonnokseen muutama ylimääräinen rivi kuin hämmentyä päässäsi olevissa laskelmissa.

2. Tehtävissä kanssa erilaisia tyyppejä murtoluvut - siirry tavallisten murtolukujen muotoon.

3. Vähennämme kaikkia murtolukuja, kunnes pelkistäminen ei ole enää mahdollista.

4. Monikerroksinen murtolausekkeita tuomme tavallisten muotoon käyttämällä jakoa 2 pisteen kautta.

5. Jaamme yksikön mielessämme murto-osaan yksinkertaisesti kääntämällä murto-osan.

500-luvulla eKr. antiikin kreikkalainen filosofi Zeno Elealainen muotoili kuuluisat aporiat, joista kuuluisin on aporia "Achilles ja kilpikonna". Tältä se kuulostaa:

Oletetaan, että Akhilleus juoksee kymmenen kertaa nopeammin kuin kilpikonna ja on tuhat askelta jäljessä. Sinä aikana, jona Akhilleus juoksee tämän matkan, kilpikonna ryömii sata askelta samaan suuntaan. Kun Akhilleus on juossut sata askelta, kilpikonna ryömii vielä kymmenen askelta ja niin edelleen. Prosessi jatkuu loputtomiin, Akhilleus ei koskaan saavuta kilpikonnaa.

Tästä päättelystä tuli looginen shokki kaikille seuraaville sukupolville. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Heitä kaikkia, tavalla tai toisella, katsottiin Zenonin aporiaksi. Järkytys oli niin voimakas, että " ... keskustelut ovat käynnissä ja nyt, tule yleinen mielipide paradoksien olemuksesta tiedeyhteisö ei ole vielä onnistunut ... matemaattinen analyysi, joukkoteoria, uudet fyysiset ja filosofiset lähestymistavat; yhdestäkään niistä ei tullut yleisesti hyväksyttyä ratkaisua ongelmaan ..."[Wikipedia," Zenon Aporias "]. Kaikki ymmärtävät, että heitä huijataan, mutta kukaan ei ymmärrä, mikä petos on.

Matematiikan näkökulmasta Zeno osoitti aporiassaan selvästi siirtymisen arvosta toiseen. Tämä siirtymä edellyttää soveltamista vakioiden sijaan. Ymmärtääkseni matemaattista laitteistoa muuttuvien mittayksiköiden soveltamiseen ei ole vielä kehitetty tai sitä ei ole sovellettu Zenon aporiaan. Tavallisen logiikkamme soveltaminen johtaa meidät ansaan. Me, ajattelun inertialla, sovellamme käänteisarvoon vakioaikayksiköitä. Fyysisestä näkökulmasta näyttää siltä, että aika hidastuu täydelliseen pysähtymiseen hetkellä, kun Akhilleus tavoittaa kilpikonnan. Jos aika pysähtyy, Akhilleus ei voi enää ohittaa kilpikonnaa.

Jos käännämme logiikkaa, johon olemme tottuneet, kaikki loksahtaa paikoilleen. Akhilleus juoksee tasaisella nopeudella. Jokainen sen polun seuraava osa on kymmenen kertaa lyhyempi kuin edellinen. Näin ollen sen voittamiseen käytetty aika on kymmenen kertaa vähemmän kuin edellinen. Jos käytämme "äärettömyyden" käsitettä tässä tilanteessa, olisi oikein sanoa "Achilles ohittaa äärettömän nopeasti kilpikonnan".

Kuinka välttää tämä looginen ansa? Pysy vakioissa aikayksiköissä äläkä vaihda käänteisarvoihin. Zenon kielellä se näyttää tältä:

Kun Akhilleus juoksee tuhat askelta, kilpikonna ryömii sata askelta samaan suuntaan. Seuraavan aikavälin aikana, joka on yhtä suuri kuin ensimmäinen, Akhilleus juoksee vielä tuhat askelta ja kilpikonna ryömi sata askelta. Nyt Akhilleus on kahdeksansataa askelta kilpikonnan edellä.

Tämä lähestymistapa kuvaa todellisuutta riittävästi ilman loogisia paradokseja. Mutta se ei ole täydellinen ratkaisu Ongelmia. Einsteinin lausunto valonnopeuden ylitsepääsemättömyydestä on hyvin samanlainen kuin Zenon aporia "Achilles ja kilpikonna". Meidän on vielä tutkittava, pohdittava ja ratkaistava tämä ongelma. Ja ratkaisua ei tarvitse etsiä äärettömän suurista luvuista, vaan mittayksiköistä.

Toinen Zenonin mielenkiintoinen aporia kertoo lentävästä nuolesta:

Lentävä nuoli on liikkumaton, koska se on joka hetki levossa, ja koska se on levossa joka hetki, se on aina levossa.

Tässä aporiassa looginen paradoksi voitetaan hyvin yksinkertaisesti - riittää selventämään, että lentävä nuoli lepää joka hetki avaruuden eri pisteissä, mikä itse asiassa on liikettä. Tässä on huomioitava toinen seikka. Yhdestä valokuvasta tiellä olevasta autosta on mahdotonta määrittää sen liikkeen tosiasiaa tai etäisyyttä siihen. Auton liikkeen tosiasian selvittämiseksi tarvitaan kaksi valokuvaa, jotka on otettu samasta pisteestä eri ajankohtina, mutta niitä ei voida käyttää etäisyyden määrittämiseen. Etäisyyden määrittämiseksi autoon tarvitset kaksi valokuvaa, jotka on otettu avaruuden eri pisteistä samanaikaisesti, mutta et voi määrittää niistä liikkeen tosiasiaa (luonnollisesti tarvitset edelleen lisätietoja laskelmia varten, trigonometria auttaa sinua). Mihin haluan keskittyä Erityistä huomiota, on se, että kaksi pistettä ajassa ja kaksi pistettä avaruudessa ovat eri asioita, joita ei pidä sekoittaa, koska ne tarjoavat erilaisia mahdollisuuksia tutkimiseen.

Keskiviikkona 4.7.2018

Erot setin ja multisetin välillä on kuvattu hyvin Wikipediassa. Me katsomme.

Kuten näet, "joukossa ei voi olla kahta identtistä elementtiä", mutta jos joukossa on identtisiä elementtejä, tällaista joukkoa kutsutaan "multisiksi". Järkevät olennot eivät koskaan ymmärrä tällaista absurdin logiikkaa. Tämä on puhuvien papukaijojen ja koulutettujen apinoiden taso, jossa mieli puuttuu sanasta "täysin". Matemaatikot toimivat tavallisina kouluttajina ja saarnaavat meille absurdeja ideoitaan.

Olipa kerran sillan rakentaneet insinöörit olivat sillan alla veneessä sillan kokeiden aikana. Jos silta romahti, keskinkertainen insinööri kuoli luomansa raunioiden alle. Jos silta kesti kuormituksen, lahjakas insinööri rakensi muita siltoja.

Riippumatta siitä, kuinka matemaatikot piiloutuvat lauseen "huomaa minua, olen kotona" tai pikemminkin "matematiikka tutkii abstrakteja käsitteitä" taakse, on olemassa yksi napanuora, joka yhdistää ne erottamattomasti todellisuuteen. Tämä napanuora on rahaa. Sovellettava matemaattinen teoria asettaa matemaatikoille itselleen.

Opiskelimme matematiikkaa erittäin hyvin ja nyt istumme kassalla ja maksamme palkkoja. Täällä matemaatikko tulee meille rahoilleen. Laskemme hänelle koko summan ja levitämme sen pöydällemme eri pinoihin, joihin laitamme samanarvoisia seteleitä. Sitten otamme yhden laskun jokaisesta pinosta ja annamme matemaatikolle hänen "matemaattisen palkkasarjansa". Selitämme matematiikan, että hän saa loput laskut vasta kun hän osoittaa, että joukko ilman identtisiä elementtejä ei ole sama kuin joukko, jossa on identtisiä elementtejä. Tästä hauskuus alkaa.

Ensinnäkin kansanedustajien logiikka toimii: "se voi soveltaa muihin, mutta minuun ei!" Lisäksi aletaan varmistua siitä, että samanarvoisissa seteleissä on eri setelinumerot, joten niitä ei voida pitää identtisinä elementteinä. No, me laskemme palkan kolikoissa - kolikoissa ei ole numeroita. Täällä matemaatikko alkaa kouristisesti muistaa fysiikkaa: eri kolikoissa on eri määrä lika, kristallirakenne ja jokaisen kolikon atomijärjestely on ainutlaatuinen...

Ja nyt minulla on eniten kiinnostusta Kysy: missä on raja, jonka jälkeen monijoukon elementit muuttuvat joukon elementeiksi ja päinvastoin? Tällaista linjaa ei ole olemassa - shamaanit päättävät kaikesta, tiede ei ole edes lähellä.

Kuulehan. Valitsemme jalkapallostadionit samalla peltoalueella. Kenttien pinta-ala on sama, mikä tarkoittaa, että meillä on multiset. Mutta jos otamme huomioon samojen stadionien nimet, saamme paljon, koska nimet ovat erilaisia. Kuten näet, sama elementtijoukko on samanaikaisesti sekä joukko että monijoukko. Kuinka oikein? Ja tässä matemaatikko-shamaani-shuller ottaa valttiässän hihastaan ja alkaa kertoa meille joko setistä tai multisetistä. Joka tapauksessa hän saa meidät vakuuttuneeksi siitä, että hän on oikeassa.

Ymmärtääksemme, kuinka nykyaikaiset shamaanit toimivat joukkoteorian kanssa ja sitovat sen todellisuuteen, riittää, kun vastaat yhteen kysymykseen: kuinka yhden joukon elementit eroavat toisen joukon elementeistä? Näytän sinulle ilman mitään "ei ole ajateltavissa yhtenä kokonaisuutena" tai "ei ajateltavissa yhtenä kokonaisuutena".

sunnuntaina 18. maaliskuuta 2018

Luvun numeroiden summa on shamaanien tanssi tamburiinilla, jolla ei ole mitään tekemistä matematiikan kanssa. Kyllä, matematiikan tunneilla meitä opetetaan etsimään luvun numeroiden summa ja käyttämään sitä, mutta he ovat shamaaneja sitä varten, opettaakseen jälkeläisilleen heidän taitojaan ja viisauttaan, muuten shamaanit yksinkertaisesti kuolevat sukupuuttoon.

Tarvitsetko todisteita? Avaa Wikipedia ja yritä löytää "Luvun numeroiden summa" -sivu. Häntä ei ole olemassa. Matematiikassa ei ole kaavaa, jolla voit löytää minkä tahansa luvun numeroiden summan. Loppujen lopuksi numerot ovat graafiset symbolit, jonka avulla kirjoitamme numeroita ja matematiikan kielellä tehtävä kuulostaa tältä: "Etsi mitä tahansa lukua edustavien graafisten symbolien summa." Matemaatikot eivät voi ratkaista tätä ongelmaa, mutta shamaanit voivat tehdä sen alkeellisesti.

Selvitetään, mitä ja miten teemme löytääksemme tietyn luvun numeroiden summan. Ja niin, oletetaan, että meillä on numero 12345. Mitä on tehtävä tämän luvun numeroiden summan löytämiseksi? Harkitsemme kaikkia vaiheita järjestyksessä.

1. Kirjoita numero paperille. Mitä me olemme tehneet? Olemme muuntaneet numeron numerograafiseksi symboliksi. Tämä ei ole matemaattinen operaatio.

2. Leikkaamme yhden vastaanotetun kuvan useiksi kuviksi, joissa oli erilliset numerot. Kuvan leikkaaminen ei ole matemaattinen operaatio.

3. Muunna yksittäiset graafiset merkit numeroiksi. Tämä ei ole matemaattinen operaatio.

4. Laske yhteen saadut luvut. Nyt se on matematiikkaa.

Numeron 12345 numeroiden summa on 15. Nämä ovat matemaatikoiden käyttämiä shamaanien "leikkaus- ja ompelukursseja". Mutta siinä ei vielä kaikki.

Matematiikan kannalta ei ole väliä kumpaan numerojärjestelmään numero kirjoitetaan. Joten sisään erilaisia järjestelmiä laskettaessa saman luvun numeroiden summa on erilainen. Matematiikassa lukujärjestelmä ilmoitetaan alaindeksinä luvun oikealla puolella. Kanssa suuri numero 12345 En halua huijata päätäni, ota huomioon artikkelin numero 26. Kirjoitetaan tämä luku binääri-, oktaali-, desimaali- ja heksadesimaalilukujärjestelmiin. Emme tarkastele jokaista askelta mikroskoopin alla, olemme jo tehneet sen. Katsotaanpa tulosta.

Kuten näet, eri numerojärjestelmissä saman numeron numeroiden summa on erilainen. Tällä tuloksella ei ole mitään tekemistä matematiikan kanssa. Aivan kuin suorakulmion alueen löytäminen metreinä ja senttimetreinä antaisi täysin erilaisia tuloksia.

Nolla kaikissa numerojärjestelmissä näyttää samalta, eikä siinä ole numeroiden summaa. Tämä on toinen argumentti sen tosiasian puolesta, että . Kysymys matemaatikoille: miten matematiikassa ilmaistaan sitä, mikä ei ole luku? Mitä matemaatikoille ei ole olemassa mitään muuta kuin numeroita? Shamaaneille voin sallia tämän, mutta tiedemiehille en. Todellisuus ei ole vain numeroita.

Saatua tulosta tulee pitää todisteena siitä, että lukujärjestelmät ovat lukujen mittayksiköitä. Emmehän voi verrata lukuja eri mittayksiköihin. Jos samat toimet saman suuren eri mittayksiköillä johtavat erilaisia tuloksia Kun niitä on vertailtu, sillä ei ole mitään tekemistä matematiikan kanssa.

Mitä on oikea matematiikka? Tällöin matemaattisen toiminnon tulos ei riipu luvun arvosta, käytetystä mittayksiköstä ja siitä, kuka tämän toiminnon suorittaa.

Ovessa kyltti Avaa oven ja sanoo:

Auts! Eikö tämä ole naisten vessa?
- Nuori nainen! Tämä on laboratorio, jossa tutkitaan sielujen loputonta pyhyyttä taivaaseen nousemisen yhteydessä! Nimbus päällä ja nuoli ylös. Mikä muu wc?

Naaras... Halo päällä ja nuoli alas on miespuolinen.

Jos sinulla on tällainen taideteos, joka vilkkuu silmiesi edessä useita kertoja päivässä,

Sitten ei ole yllättävää, että löydät yhtäkkiä oudon kuvakkeen autostasi:

Itse pyrin näkemään miinus neljä astetta kakkaavassa ihmisessä (yksi kuva) (usean kuvan kokoonpano: miinusmerkki, numero neljä, asteen merkintä). Enkä pidä tätä tyttöä typeränä, joka ei tunne fysiikkaa. Hänellä on vain stereotypia graafisten kuvien käsityksestä. Ja matemaatikot opettavat meille tätä koko ajan. Tässä on esimerkki.

1A ei ole "miinus neljä astetta" tai "yksi a". Tämä on "kakkava mies" tai luku "kaksikymmentäkuusi" heksadesimaalilukujärjestelmässä. Ne ihmiset, jotka työskentelevät jatkuvasti tässä numerojärjestelmässä, näkevät numeron ja kirjaimen automaattisesti yhtenä graafisena symbolina.

Oppitunnin sisältö

Murtolukujen lisääminen samoilla nimittäjillä

Murtolukujen lisäämistä on kahta tyyppiä:

Murtolukujen lisääminen samoilla nimittäjillä
Murtolukujen lisääminen eri nimittäjillä

Tämä esimerkki on helppo ymmärtää, jos ajattelemme pizzaa, joka on jaettu neljään osaan. Jos lisäät pizzan pizzaan, saat pizzan:

Esimerkki 2 Lisää murtoluvut ja .

Tämä esimerkki on helppo ymmärtää, jos ajattelemme pizzaa, joka on jaettu kahteen osaan. Jos lisäät pizzaan lisää pizzoja, saat yhden kokonaisen pizzan:

Esimerkki 3. Lisää murtoluvut ja .

Lisää jälleen osoittajat ja jätä nimittäjä ennalleen:

Tämä esimerkki on helppo ymmärtää, jos ajattelemme pizzaa, joka on jaettu kolmeen osaan. Jos lisäät pizzaan lisää pizzoja, saat pizzat:

Esimerkki 4 Etsi lausekkeen arvo

Tämä esimerkki on ratkaistu täsmälleen samalla tavalla kuin edelliset. Osoittajat on lisättävä ja nimittäjä jätettävä ennalleen:

Yritetään kuvata ratkaisumme kuvan avulla. Jos lisäät pizzat pizzaan ja lisäät pizzoja, saat 1 kokonaisen pizzan ja lisää pizzoja.

Kuten näet, murtolukujen lisääminen samoilla nimittäjillä ei ole vaikeaa. Riittää, kun ymmärrät seuraavat säännöt:

Jos haluat lisätä murto-osia, joilla on sama nimittäjä, sinun on lisättävä niiden osoittajat ja jätettävä nimittäjä ennalleen.

Murtolukujen lisääminen eri nimittäjillä

Nyt opimme lisäämään murtolukuja eri nimittäjillä. Murtolukuja lisättäessä näiden murtolukujen nimittäjien on oltava samat. Mutta ne eivät aina ole samoja.

Esimerkiksi murto-osia voidaan lisätä, koska niillä on samat nimittäjät.

Mutta murtolukuja ei voi lisätä kerralla, koska näillä murtoluvuilla on erilaiset nimittäjät. Tällaisissa tapauksissa murtoluvut on vähennettävä samaan (yhteiseen) nimittäjään.

On olemassa useita tapoja vähentää murtolukuja samaan nimittäjään. Tänään tarkastelemme vain yhtä niistä, koska muut menetelmät voivat tuntua monimutkaisilta aloittelijalle.

Tämän menetelmän ydin on siinä, että molempien murtolukujen nimittäjistä etsitään ensimmäinen (LCM). Sitten LCM jaetaan ensimmäisen murto-osan nimittäjällä ja saadaan ensimmäinen lisäkerroin. He tekevät saman toisen murto-osan kanssa - LCM jaetaan toisen murto-osan nimittäjällä ja saadaan toinen lisäkerroin.

Esimerkki 1. Lisää jakeet ja

LCM (2 ja 3) = 6

Teemme saman toisen jakeen kanssa. Jaamme LCM:n toisen murto-osan nimittäjällä ja saamme toisen lisätekijän. LCM on luku 6 ja toisen murto-osan nimittäjä on luku 2. Jaa 6 kahdella, saadaan 3.

Nyt olemme valmiita lisäämään. On vielä kerrottava murtolukujen osoittajat ja nimittäjät niiden lisäkertoimilla:

Näin esimerkki päättyy. Lisääminen käy ilmi.

Yritetään kuvata ratkaisumme kuvan avulla. Jos lisäät pizzat pizzaan, saat yhden kokonaisen pizzan ja toisen kuudesosan pizzasta:

Huomaa, että olemme maalanneet tämän esimerkin liian yksityiskohtaisesti. Oppilaitoksissa ei ole tapana kirjoittaa niin yksityiskohtaisesti. Sinun on pystyttävä nopeasti löytämään molempien nimittäjien ja niiden lisätekijöiden LCM sekä kertomaan nopeasti osoittajien ja nimittäjien löytämät lisätekijät. Koulussa ollessamme meidän pitäisi kirjoittaa tämä esimerkki seuraavasti:

Mutta kolikolla on myös toinen puoli. Jos yksityiskohtaisia muistiinpanoja ei tehdä matematiikan opiskelun ensimmäisissä vaiheissa, niin kysymyksiä "Mistä tuo luku tulee?", "Miksi murtoluvut muuttuvat yhtäkkiä täysin erilaisiksi murtoluvuiksi? «.

Voit helpottaa eri nimittäjien murtolukujen lisäämistä seuraavien vaiheittaisten ohjeiden avulla:

Etsi murto-osien nimittäjien LCM;
Jaa LCM kunkin murto-osan nimittäjällä ja hanki jokaiselle murtoluvulle lisäkerroin;
Kerro murtolukujen osoittajat ja nimittäjät niiden lisäkertoimilla;
Lisää murtoluvut, joilla on samat nimittäjät;
Jos vastaus osoittautui vääräksi murtoluvuksi, valitse sen koko osa;

Esimerkki 2 Etsi lausekkeen arvo .

Käytetään yllä olevia ohjeita.

Vaihe 1. Etsi murto-osien nimittäjien LCM

Etsi molempien murtolukujen nimittäjien LCM. Murtolukujen nimittäjät ovat luvut 2, 3 ja 4

Vaihe 2. Jaa LCM kunkin murto-osan nimittäjällä ja hanki jokaiselle murtoluvulle lisäkerroin

Vaihe 3. Kerro murtolukujen osoittajat ja nimittäjät lisätekijöilläsi

Kerromme osoittajat ja nimittäjät lisätekijöillämme:

Vaihe 4. Lisää murtoluvut, joilla on samat nimittäjät

Tulimme siihen tulokseen, että murtoluvut, joilla oli eri nimittäjät, muuttuivat murtoluvuiksi, joilla on samat (yhteiset) nimittäjät. On vielä lisättävä nämä jakeet. Lisää yhteen:

Vaihe 5. Jos vastaus osoittautui vääräksi murtoluvuksi, valitse koko osa siitä

Vastauksemme on väärä murto-osa. Meidän on erotettava siitä koko osa. Korostamme:

Sain vastauksen

Samoilla nimittäjillä olevien murtolukujen vähentäminen

Murtolukuvähennystä on kahta tyyppiä:

Samoilla nimittäjillä olevien murtolukujen vähentäminen
Eri nimittäjillä olevien murtolukujen vähentäminen

Tämä esimerkki on helppo ymmärtää, jos ajattelemme pizzaa, joka on jaettu neljään osaan. Jos leikkaat pizzat pizzasta, saat pizzat:

Esimerkki 2 Etsi lausekkeen arvo.

Jälleen, vähennä ensimmäisen murto-osan osoittajasta toisen murto-osan osoittaja ja jätä nimittäjä ennalleen:

Tämä esimerkki on helppo ymmärtää, jos ajattelemme pizzaa, joka on jaettu kolmeen osaan. Jos leikkaat pizzat pizzasta, saat pizzat:

Esimerkki 3 Etsi lausekkeen arvo

Tämä esimerkki on ratkaistu täsmälleen samalla tavalla kuin edelliset. Ensimmäisen murtoluvun osoittajasta sinun on vähennettävä jäljellä olevien murtolukujen osoittajat:

Kuten näette, samoilla nimittäjillä olevien murtolukujen vähentämisessä ei ole mitään monimutkaista. Riittää, kun ymmärrät seuraavat säännöt:

Jos haluat vähentää yhdestä murtoluvusta toisen, sinun on vähennettävä toisen murtoluvun osoittaja ensimmäisen murtoluvun osoittajasta ja jätettävä nimittäjä ennalleen;
Jos vastaus osoittautui vääräksi murto-osaksi, sinun on valittava koko osa siitä.

Eri nimittäjillä olevien murtolukujen vähentäminen

Esimerkki 1 Etsi lausekkeen arvo:

Näillä murtoluvuilla on eri nimittäjät, joten sinun on saatettava ne samaan (yhteiseen) nimittäjään.

LCM (3 ja 4) = 12

Nyt takaisin murtolukuihin ja

Teemme saman toisen jakeen kanssa. Jaamme LCM:n toisen murtoluvun nimittäjällä. LCM on luku 12, ja toisen murto-osan nimittäjä on luku 4. Jaa 12 4:llä, saadaan 3. Kirjoita kolmio toisen murtoluvun päälle:

Nyt olemme kaikki valmiita vähentämään. On vielä kerrottava murtoluvut niiden lisätekijöillä:

Sain vastauksen

Yritetään kuvata ratkaisumme kuvan avulla. Jos leikkaat pizzat pizzasta, saat pizzat.

Tämä on ratkaisun yksityiskohtainen versio. Koulussa meidän täytyisi ratkaista tämä esimerkki lyhyemmällä tavalla. Tällainen ratkaisu näyttäisi tältä:

Esimerkki 2 Etsi lausekkeen arvo

Näillä murtoluvuilla on eri nimittäjät, joten sinun on ensin saatava ne samaan (yhteiseen) nimittäjään.

Etsi näiden murtolukujen nimittäjien LCM.

Murtolukujen nimittäjät ovat luvut 10, 3 ja 5. Näiden lukujen pienin yhteinen kerrannainen on 30

LCM(10; 3; 5) = 30

Nyt löydämme lisätekijöitä jokaiselle murtoluvulle. Tätä varten jaamme LCM:n kunkin murtoluvun nimittäjällä.

Nyt kaikki on valmis vähennettäväksi. On vielä kerrottava murtoluvut niiden lisätekijöillä:

Esimerkin jatko ei mahdu yhdelle riville, joten siirrämme jatkon seuraavalle riville. Älä unohda yhtäläisyysmerkkiä (=) uudella rivillä:

Vastaus osoittautui oikeaksi murto-osaksi, ja kaikki näyttää sopivan meille, mutta se on liian raskasta ja rumaa. Meidän pitäisi tehdä siitä helpompaa. Mitä voidaan tehdä? Voit pienentää tätä osuutta.

Murtoluvun pienentämiseksi sinun on jaettava sen osoittaja ja nimittäjä (gcd) luvuilla 20 ja 30.

Joten löydämme numeroiden 20 ja 30 GCD: n:

Nyt palataan esimerkkiimme ja jaetaan murtoluvun osoittaja ja nimittäjä löydetyllä GCD:llä, eli 10:llä

Sain vastauksen

Murtoluvun kertominen luvulla

Jos haluat kertoa murto-osan luvulla, sinun on kerrottava annetun murto-osan osoittaja tällä luvulla ja jätettävä nimittäjä ennalleen.

Esimerkki 1. Kerro murto luvulla 1.

Kerro murtoluvun osoittaja luvulla 1

Ilmoittautumisen voidaan ymmärtää kestävän puoli 1 kertaa. Esimerkiksi jos otat pizzan kerran, saat pizzan

Tämän merkinnän voidaan ymmärtää vievän puolet yksiköstä. Esimerkiksi jos on 1 kokonainen pizza ja otamme siitä puolet, niin meillä on pizza:

Esimerkki 2. Etsi lausekkeen arvo

Kerro murtoluvun osoittaja 4:llä

Vastaus on väärä murto-osa. Otetaan siitä kokonainen osa:

Lauseke voidaan ymmärtää ottavan kaksi neljäsosaa 4 kertaa. Jos esimerkiksi otat pizzat 4 kertaa, saat kaksi kokonaista pizzaa.

Ja jos vaihdamme kertojan ja kertoimen paikoin, saamme lausekkeen. Se on myös yhtä suuri kuin 2. Tämä lauseke voidaan ymmärtää ottamalla kaksi pizzaa neljästä kokonaisesta pizzasta:

Murtolukujen kertolasku

Jos haluat kertoa murtoluvut, sinun on kerrottava niiden osoittajat ja nimittäjät. Jos vastaus on väärä murto-osa, sinun on valittava siitä koko osa.

Esimerkki 1 Etsi lausekkeen arvo.

Sain vastauksen. Tätä osuutta on toivottavaa pienentää. Fraktiota voidaan pienentää 2:lla. Sitten lopullinen liuos on seuraavanlainen:

Ilmaus voidaan ymmärtää niin, että pizza otetaan puolikkaasta pizzasta. Oletetaan, että meillä on puoli pizzaa:

Kuinka ottaa kaksi kolmasosaa tästä puoliskosta? Ensin sinun on jaettava tämä puolikas kolmeen yhtä suureen osaan:

Ja ota kaksi näistä kolmesta kappaleesta:

Haetaan pizzaa. Muista miltä pizza näyttää jaettuna kolmeen osaan:

Yhdellä siivulla tästä pizzasta ja kahdella ottamistamme viipaleella on samat mitat:

Toisin sanoen puhumme samasta pizzan koosta. Siksi lausekkeen arvo on

Esimerkki 2. Etsi lausekkeen arvo

Kerro ensimmäisen murto-osan osoittaja toisen murto-osan osoittajalla ja ensimmäisen murto-osan nimittäjä toisen murto-osan nimittäjällä:

Vastaus on väärä murto-osa. Otetaan siitä kokonainen osa:

Esimerkki 3 Etsi lausekkeen arvo

Kerro ensimmäisen murto-osan osoittaja toisen murto-osan osoittajalla ja ensimmäisen murto-osan nimittäjä toisen murto-osan nimittäjällä:

Vastaus osoittautui oikeaksi murto-osaksi, mutta on hyvä, jos sitä pienennetään. Tämän murtoluvun pienentämiseksi sinun on jaettava tämän murtoluvun osoittaja ja nimittäjä lukujen 105 ja 450 suurimmalla yhteisellä jakajalla (GCD).

Joten etsitään numeroiden 105 ja 450 GCD:

Nyt jaamme nyt löytämämme GCD:n vastauksemme osoittajan ja nimittäjän, eli 15:llä

Esittää kokonaisluvun murtolukuna

Käänteiset numerot

Nyt tutustumme erittäin mielenkiintoiseen matematiikan aiheeseen. Sitä kutsutaan "käänteisiksi numeroiksi".

Määritelmä. Käänteinen numeroona on luku, joka kerrottunaa antaa yksikön.

Korvataan tämä määritelmä muuttujan sijaan a numero 5 ja yritä lukea määritelmä:

Käänteinen numeroon 5 on luku, joka kerrottuna 5 antaa yksikön.

Onko mahdollista löytää luku, joka kerrottuna viidellä antaa yhden? Osoittautuu, että voit. Esitetään viisi murtolukuna:

Kerro sitten tämä murto-osa itsellään, vaihda vain osoittaja ja nimittäjä. Toisin sanoen kerrotaan murto-osa itsellään, vain käänteisesti:

Mitä tästä tulee? Jos jatkamme tämän esimerkin ratkaisemista, saamme yhden:

Tämä tarkoittaa, että luvun 5 käänteisarvo on luku, koska kun 5 kerrotaan yhdellä, saadaan yksi.

Käänteisluku voidaan löytää myös mille tahansa muulle kokonaisluvulle.

Voit myös löytää käänteisluvun mille tahansa muulle murtoluvulle. Tätä varten riittää sen kääntäminen.

Murtoluvun jako luvulla

Oletetaan, että meillä on puoli pizzaa:

Jaetaan se tasan kahdelle. Kuinka monta pizzaa kukin saa?

Voidaan nähdä, että puolikkaan pizzan jakamisen jälkeen saatiin kaksi samansuuruista palaa, joista jokainen muodostaa pizzan. Joten kaikki saavat pizzan.

Jakeet jaetaan käänteislukuja käyttämällä. Käänteisarvojen avulla voit korvata jaon kertolaskulla.

Jos haluat jakaa murtoluvun luvulla, sinun on kerrottava tämä murto-osa jakajan käänteisluvulla.

Tämän säännön avulla kirjoitamme ylös pizzapuolikkaamme jakautumisen kahteen osaan.

Joten sinun on jaettava murto-osa luvulla 2. Tässä osinko on murto-osa ja jakaja on 2.

Jos haluat jakaa murtoluvun luvulla 2, sinun on kerrottava tämä murtoluku jakajan 2 käänteisluvulla. Jakajan 2 käänteisluku on murtoluku. Joten sinun täytyy kertoa