Lezingen over termekh statica. Lessenreeks theoretische mechanica. dynamiek

1 dia

Cursus colleges over theoretische mechanica Dynamiek (I deel) Bondarenko A.N. Moskou - 2007 De elektronische cursus is geschreven op basis van lezingen die door de auteur zijn gegeven aan studenten die studeren in de specialiteiten van SZhD, PGS en SDM aan NIIZhT en MIIT (1974-2006). Educatief materiaal komt overeen met de kalenderplannen in het bedrag van drie semesters. Voor de volledige implementatie van animatie-effecten tijdens de presentatie, moet u de viewer gebruiken Power Point niet lager dan ingebouwd Microsoft Office Windows-XP Professioneel besturingssysteem. Opmerkingen en suggesties kunnen per e-mail worden verzonden: [e-mail beveiligd]. Moskou Staatsuniversiteit Spoorwegen (MIIT) Afdeling Theoretische Mechanica Wetenschappelijk en Technisch Centrum voor Transporttechnologieën

2 dia's

Inhoud Hoorcollege 1. Inleiding tot dynamiek. Wetten en axioma's van dynamiek materieel punt. Basisvergelijking van dynamiek. Differentiële en natuurlijke bewegingsvergelijkingen. Twee hoofdtaken van dynamiek. Voorbeelden van het oplossen van het directe probleem van de dynamiek Hoorcollege 2. Het oplossen van het inverse probleem van de dynamiek. Algemene instructies voor het oplossen van het inverse probleem van dynamiek. Voorbeelden van het oplossen van het inverse probleem van dynamiek. De beweging van een lichaam dat schuin naar de horizon wordt gegooid, zonder rekening te houden met luchtweerstand. Hoorcollege 3. Rechtlijnige oscillaties van een materieel punt. De voorwaarde voor het optreden van oscillaties. Classificatie van trillingen. Gratis trillingen zonder rekening te houden met de weerstandskrachten. gedempte trillingen. Oscillatie afname. Hoorcollege 4. Geforceerde oscillaties van een materieel punt. Resonantie. Invloed van weerstand tegen beweging tijdens geforceerde trillingen. Hoorcollege 5. Relatieve beweging van een materieel punt. Traagheidskrachten. Bijzondere gevallen van beweging voor verschillende soorten draagbare bewegingen. Invloed van de rotatie van de aarde op de balans en beweging van lichamen. Hoorcollege 6. Dynamiek van een mechanisch systeem. mechanisch systeem. Externe en interne krachten. Massacentrum van het systeem. De stelling over de beweging van het massamiddelpunt. Behoud wetten. Een voorbeeld van het oplossen van het probleem van het gebruik van de stelling over de beweging van het massamiddelpunt. College 7. Impuls van kracht. De hoeveelheid beweging. Stelling over de verandering in momentum. Behoud wetten. De stelling van Euler. Een voorbeeld van het oplossen van het probleem over het gebruik van de stelling over de verandering in momentum. moment van vaart. De stelling over het veranderen van het impulsmoment College 8. Behoudswetten. Elementen van de theorie van traagheidsmomenten. Kinetisch moment van een star lichaam. Differentiaalvergelijking van rotatie van een star lichaam. Een voorbeeld van het oplossen van het probleem van het gebruik van de stelling bij het veranderen van het impulsmoment van het systeem. Elementaire theorie van de gyroscoop. Aanbevolen literatuur 1. Yablonsky A.A. Cursus theoretische mechanica. Deel 2. M.: afstuderen. 1977. 368 d. 2. Meshchersky I.V. Het verzamelen van problemen in de theoretische mechanica. M.: Wetenschap. 1986 416 d. 3. Verzameling van taken voor term papers/ red. AA Jablonski. M.: Hogere school. 1985. 366 d. 4. Bondarenko A.N. “Theoretische mechanica in voorbeelden en taken. Dynamics” (elektronische handleiding www.miit.ru/institut/ipss/faculties/trm/main.htm), 2004

3 dia's

Hoorcollege 1 Dynamica is een onderdeel van de theoretische mechanica dat mechanische beweging vanuit het meest algemene gezichtspunt bestudeert. De beweging wordt beschouwd in samenhang met de krachten die op het object inwerken. De sectie bestaat uit drie secties: Dynamiek van een materieel punt Dynamica Dynamiek van een mechanisch systeem Analytische mechanica ■ Dynamiek van een punt - bestudeert de beweging van een materieel punt, rekening houdend met de krachten die deze beweging veroorzaken. Het hoofdobject is een materieel punt - een materieel lichaam met een massa waarvan de afmetingen kunnen worden verwaarloosd. Uitgangspunten: - er is een absolute ruimte (het heeft puur geometrische eigenschappen die niet afhankelijk zijn van materie en zijn beweging. - er is een absolute tijd (hangt niet af van materie en zijn beweging). Hieruit volgt: - er is een absoluut onbeweeglijk referentiekader - tijd is niet afhankelijk van de beweging van het referentiekader - de massa's van bewegende punten zijn niet afhankelijk van de beweging van het referentiekader. Deze veronderstellingen worden gebruikt in de klassieke mechanica gecreëerd door Galileo en Newton Het heeft nog steeds een vrij brede reikwijdte, aangezien de mechanische systemen die in de toegepaste wetenschappen worden beschouwd niet zulke grote massa's en bewegingssnelheden hebben, waarvoor rekening moet worden gehouden met hun invloed op de geometrie van ruimte, tijd, beweging, zoals wordt gedaan in relativistische mechanica (de relativiteitstheorie) ■ De basiswetten van de dynamiek - voor het eerst ontdekt door Galileo en geformuleerd door Newton vormen de basis van alle methoden voor het beschrijven en analyseren van de beweging van mechanische systemen en hun dynamische interactie actie onder invloed van verschillende krachten. ■ Traagheidswet (Galileo-Newton-wet) - Een geïsoleerd materieel punt van een lichaam behoudt zijn rusttoestand of uniform rechtlijnige beweging totdat de uitgeoefende krachten ervoor zorgen dat deze toestand verandert. Dit impliceert de gelijkwaardigheid van de toestand van rust en beweging door traagheid (de relativiteitswet van Galileo). Het referentiekader, in verband waarmee de wet van traagheid wordt vervuld, wordt traagheid genoemd. De eigenschap van een materieel punt om ernaar te streven de snelheid van zijn beweging (zijn kinematische toestand) onveranderd te houden, wordt traagheid genoemd. ■ De wet van evenredigheid van kracht en versnelling (Basisvergelijking van de dynamica - Wet van Newton II) - De versnelling die door kracht aan een materieel punt wordt gegeven, is recht evenredig met de kracht en omgekeerd evenredig met de massa van dit punt: of Hier is m de massa van het punt (een traagheidsmaat), gemeten in kg, numeriek gelijk aan het gewicht gedeeld door de zwaartekracht: F is de werkende kracht, gemeten in N (1 N geeft een versnelling van 1 m / s2 tot een punt van massa 1 kg, 1 N \u003d 1 / 9,81 kg-s). ■ Dynamiek van een mechanisch systeem - bestudeert de beweging van een reeks materiële punten en vaste lichamen, verenigd door de algemene wetten van interactie, rekening houdend met de krachten die deze beweging veroorzaken. ■ Analytische mechanica - bestudeert de beweging van niet-vrije mechanische systemen met behulp van algemene analytische methoden. een

4 glijbaan

College 1 (vervolg - 1.2) Differentiaalvergelijkingen van beweging van een materieel punt: - differentiaalvergelijking van beweging van een punt in vectorvorm. - differentiaalvergelijkingen van puntbeweging in coördinatenvorm. Dit resultaat kan worden verkregen door formele projectie van de vector differentiaalvergelijking (1). Na groepering wordt de vectorrelatie ontleed in drie scalaire vergelijkingen: In coördinaatvorm: We gebruiken de relatie van de straal-vector met coördinaten en de krachtvector met projecties: differentiaalvergelijking van beweging op natuurlijke (bewegende) coördinaatassen: of: - natuurlijke bewegingsvergelijkingen van een punt. ■ Basisvergelijking van de dynamiek: - komt overeen met de vectormanier om de beweging van een punt te specificeren. ■ De wet van onafhankelijkheid van de werking van krachten - De versnelling van een materieel punt onder de werking van verschillende krachten is gelijk aan de geometrische som van de versnellingen van een punt van de werking van elk van de krachten afzonderlijk: of De wet is geldig voor elke kinematische toestand van lichamen. De krachten van interactie, die op verschillende punten (lichamen) worden uitgeoefend, zijn niet in evenwicht. ■ De wet van gelijkheid van actie en reactie (wet van Newton III) - Elke actie komt overeen met een gelijke en tegengesteld gerichte reactie: 2

5 dia's

Twee hoofdproblemen van dynamiek: 1. Direct probleem: beweging wordt gegeven (bewegingsvergelijkingen, traject). Het is nodig om de krachten te bepalen waaronder een bepaalde beweging plaatsvindt. 2. Omgekeerd probleem: De krachten waaronder de beweging plaatsvindt zijn gegeven. Het is nodig om bewegingsparameters te vinden (bewegingsvergelijkingen, bewegingstraject). Beide problemen worden opgelost met behulp van de basisvergelijking van dynamiek en de projectie ervan op Coördinaatassen. Als de beweging van een niet-vrij punt wordt beschouwd, wordt, net als in de statica, het principe van loslaten van bindingen gebruikt. Als gevolg van de reactie worden de bindingen opgenomen in de samenstelling van de krachten die op het materiële punt werken. De oplossing van het eerste probleem houdt verband met differentiatiebewerkingen. De oplossing van het inverse probleem vereist de integratie van de overeenkomstige differentiaalvergelijkingen, en dit is veel moeilijker dan differentiatie. Het inverse probleem is moeilijker dan het directe probleem. De oplossing van het directe probleem van de dynamiek - laten we naar voorbeelden kijken: Voorbeeld 1. Een cabine met een gewicht G van een lift wordt opgetild door een kabel met een versnelling a . Bepaal de kabelspanning. 1. Selecteer een object (de liftkooi beweegt naar voren en kan worden beschouwd als een materieel punt). 2. We gooien de verbinding (kabel) weg en vervangen deze door de reactie R. 3. Stel de basisvergelijking van de dynamiek samen: Bepaal de reactie van de kabel: Bepaal de kabelspanning: Bij een uniforme beweging van de cabine ay = 0 en de kabelspanning is gelijk aan het gewicht: T = G. Als de kabel breekt T = 0 en de versnelling van de cabine is gelijk aan de versnelling van vrije val: ay = -g. 3 4. We projecteren de basisvergelijking van de dynamiek op de y-as: y Voorbeeld 2. Een massapunt m beweegt langs horizontaal oppervlak(Oxy-vlakken) volgens de vergelijkingen: x = a coskt, y = b coskt. Bepaal de kracht die op het punt werkt. 1. Selecteer een object (materiaalpunt). 2. We laten de verbinding (vlak) weg en vervangen deze door de reactie N. 3. Voeg een onbekende kracht F toe aan het krachtenstelsel 4. Stel de basisvergelijking van de dynamiek op: 5. Projecteer de basisvergelijking van de dynamiek op assen x,y: Bepaal krachtprojecties: Krachtmodulus: Richting cosinus: De grootte van de kracht is dus evenredig met de afstand van het punt tot het middelpunt van de coördinaten en is naar het middelpunt gericht langs de lijn die het punt met het middelpunt verbindt. Het traject van de puntbeweging is een ellips gecentreerd in de oorsprong: O r Lezing 1 (vervolg - 1.3)

6 schuiven

Hoorcollege 1 (vervolg 1.4) Voorbeeld 3: Een last van gewicht G wordt opgehangen aan een kabel met lengte l en beweegt zich met een bepaalde snelheid langs een cirkelvormige baan in een horizontaal vlak. De afwijkingshoek van de kabel van de verticaal is gelijk aan. Bepaal de spanning van de kabel en de snelheid van de last. 1. Selecteer een object (lading). 2. Gooi de verbinding (kabel) weg en vervang deze door de reactie R. 3. Stel de basisvergelijking van de dynamiek op: Bepaal uit de derde vergelijking de reactie van de kabel: Bepaal de spanning van de kabel: Vervang de waarde van de reactie van de kabel, normale versnelling in de tweede vergelijking en bepaal de snelheid van de last: 4. Projecteer de hoofdvergelijking asdynamiek,n,b: Voorbeeld 4: Een auto met gewicht G beweegt op een convexe brug (krommingsstraal is R ) met een snelheid V. Bepaal de druk van de auto op de brug. 1. We selecteren een object (een auto, we verwaarlozen de afmetingen en beschouwen het als een punt). 2. We gooien de verbinding (ruw oppervlak) weg en vervangen deze door de reacties N en de wrijvingskracht Ffr. 3. We stellen de basisvergelijking van de dynamiek op: 4. We projecteren de basisvergelijking van de dynamiek op de n-as: Van hieruit bepalen we de normale reactie: We bepalen de druk van de auto op de brug: Van hieruit kunnen we de snelheid bepalen overeenkomend met nuldruk op de brug (Q = 0): 4

7 dia

Lezing 2 Na vervanging van de gevonden waarden van de constanten, verkrijgen we: Dus, onder invloed van hetzelfde krachtenstelsel, kan een materieel punt een hele klasse bewegingen uitvoeren die bepaald worden door de beginvoorwaarden. De begincoördinaten houden rekening met de beginpositie van het punt. De beginsnelheid, gegeven door de projecties, houdt rekening met de invloed op zijn beweging langs het beschouwde gedeelte van het traject van de krachten die op het punt inwerkten voordat ze bij dit gedeelte aankwamen, d.w.z. aanvankelijke kinematische toestand. Oplossing van het inverse probleem van de dynamiek - In het algemene geval van de beweging van een punt zijn de krachten die op het punt inwerken variabelen die afhankelijk zijn van tijd, coördinaten en snelheid. De beweging van een punt wordt beschreven door een stelsel van drie differentiaalvergelijkingen van de tweede orde: Na integratie van elk van hen zijn er zes constanten C1, C2,..., C6: De waarden van de constanten C1, C2,... ., C6 worden gevonden uit zes beginvoorwaarden op t = 0: Voorbeeld 1 van het inverse oplossingsprobleem: Een vrij materieel punt met massa m beweegt onder invloed van een kracht F, die constant is in grootte en grootte. . Op het eerste moment was de snelheid van het punt v0 en viel in de richting samen met de kracht. Bepaal de bewegingsvergelijking van een punt. 1. Stel de basisvergelijking van de dynamiek op: 3. Verlaag de volgorde van de afgeleide: 2. Kies een cartesiaans referentiesysteem, waarbij de x-as in de richting van de kracht wordt gericht en projecteer de basisvergelijking van de dynamiek op deze as: of x y z 4 Scheid de variabelen: 5. Bereken de integralen van beide delen van de vergelijking: 6. Stel de snelheidsprojectie voor als een afgeleide van de coördinaat met betrekking tot de tijd: 8. Bereken de integralen van beide delen van de vergelijking: 7. de variabelen: 9. Om de waarden van de constanten C1 en C2 te bepalen, gebruiken we de beginvoorwaarden t = 0, vx = v0, x = x0: Als resultaat krijgen we de vergelijking Uniforme beweging(x-as): 5

8 glijbaan

Algemene instructies voor het oplossen van directe en inverse problemen. Oplossingsprocedure: 1. Compilatie van de differentiaalvergelijking van beweging: 1.1. Kies een coördinatensysteem - rechthoekig (vast) met een onbekend bewegingstraject, natuurlijk (bewegend) met een bekend traject, bijvoorbeeld een cirkel of een rechte lijn. In het laatste geval kan één rechtlijnige coördinaat worden gebruikt. Het referentiepunt moet worden gecombineerd met de beginpositie van het punt (op t = 0) of met de evenwichtspositie van het punt, als deze bestaat, bijvoorbeeld wanneer het punt fluctueert. 6 1.2. Teken een punt op een positie die overeenkomt met een willekeurig tijdstip (voor t > 0) zodat de coördinaten positief zijn (s > 0, x > 0). We nemen ook aan dat de snelheidsprojectie in deze positie ook positief is. Bij oscillaties verandert de snelheidsprojectie van teken, bijvoorbeeld bij terugkeer naar de evenwichtspositie. Hierbij moet worden aangenomen dat het punt op het beschouwde tijdstip van de evenwichtspositie af beweegt. De implementatie van deze aanbeveling is in de toekomst van belang bij het werken met weerstandskrachten die afhankelijk zijn van snelheid. 1.3. Maak het materiële punt los van bindingen, vervang hun actie door reacties, voeg actieve krachten toe. 1.4. Schrijf de basiswet van de dynamiek in vectorvorm, projecteer op de geselecteerde assen, druk de gegeven of reactieve krachten uit in termen van de variabelen tijd, coördinaten of snelheden, als ze ervan afhangen. 2. Oplossing van differentiaalvergelijkingen: 2.1. Verminder de afgeleide als de vergelijking niet wordt teruggebracht tot de canonieke (standaard) vorm. bijvoorbeeld: of 2.2. Aparte variabelen, bijvoorbeeld: of 2.4. Bereken de onbepaalde integralen aan de linker- en rechterkant van de vergelijking, bijvoorbeeld: 2.3. Als de vergelijking drie variabelen bevat, wijzigt u bijvoorbeeld de variabelen: en scheidt u de variabelen. Opmerking. In plaats van onbepaalde integralen te evalueren, kan men bepaalde integralen evalueren met een variabele bovengrens. De ondergrenzen vertegenwoordigen beginwaarden variabelen (beginvoorwaarden) Dan is het niet nodig om de constante, die automatisch in de oplossing wordt opgenomen, apart te vinden, bijvoorbeeld: Bepaal met behulp van de beginvoorwaarden, bijvoorbeeld t = 0, vx = vx0, de integratieconstante: 2.5. Druk bijvoorbeeld de snelheid uit in termen van de afgeleide van de tijd van de coördinaat en herhaal de stappen 2,2 -2,4 Opmerking. Als de vergelijking wordt gereduceerd tot een canonieke vorm die een standaardoplossing heeft, dan is dit: gebruiksklare oplossing en wordt gebruikt. De integratieconstanten worden nog steeds gevonden uit de beginvoorwaarden. Zie bijvoorbeeld oscillaties (college 4, p. 8). College 2 (vervolg 2.2)

9 dia

College 2 (vervolg 2.3) Voorbeeld 2 van het oplossen van het inverse probleem: Kracht is tijdsafhankelijk. Een last van gewicht P begint langs een glad horizontaal oppervlak te bewegen onder invloed van een kracht F, waarvan de grootte evenredig is met de tijd (F = kt). Bepaal de door de last afgelegde afstand in tijd t. 3. We stellen de hoofdvergelijking van de dynamiek samen: 5. We verlagen de volgorde van de afgeleide: 4. We projecteren de hoofdvergelijking van de dynamiek op de x-as: of 7 6. We scheiden de variabelen: 7. We berekenen de integralen van beide delen van de vergelijking: 9. We stellen de projectie van de snelheid voor als de afgeleide van de coördinaat ten opzichte van de tijd: 10. Bereken de integralen van beide delen van de vergelijking: 9. Scheid de variabelen: 8. Bepaal de waarde van de constante C1 uit de beginvoorwaarde t = 0, vx = v0=0: Als resultaat krijgen we de bewegingsvergelijking (langs de x-as), die de waarde geeft van de afgelegde afstand voor tijd t: 1. We kies het referentiesysteem (Cartesiaanse coördinaten) zodat het lichaam een positieve coördinaat heeft: 2. We nemen het bewegingsobject als een materieel punt (het lichaam beweegt naar voren), maken het los van de verbinding (referentievlak) en vervangen het door de reactie (normale reactie van een glad oppervlak) : 11. Bepaal de waarde van de constante C2 uit de beginvoorwaarde t = 0, x = x0=0: Voorbeeld 3 van het oplossen van het inverse probleem: De kracht hangt af van de coördinaat. Een stoffelijk punt met massa m wordt vanaf het aardoppervlak omhoog geslingerd met een snelheid v0. De zwaartekracht van de aarde is omgekeerd evenredig met het kwadraat van de afstand van het punt tot het zwaartepunt (het middelpunt van de aarde). Bepaal de afhankelijkheid van de snelheid van de afstand y tot het middelpunt van de aarde. 1. We kiezen een referentiesysteem (Cartesiaanse coördinaten) zodat het lichaam een positieve coördinaat heeft: 2. We stellen de basisvergelijking van de dynamiek op: 3. We projecteren de basisvergelijking van de dynamiek op de y-as: of De evenredigheidscoëfficiënt kan worden gevonden met behulp van het gewicht van een punt op het aardoppervlak: R Vandaar het differentieel dat de vergelijking eruitziet: of 4. Verlaag de volgorde van de afgeleide: 5. Verander de variabele: 6. Scheid de variabelen: 7. Bereken de integralen van beide zijden van de vergelijking: 8. Vervang de limieten: Als resultaat krijgen we een uitdrukking voor de snelheid als functie van de y-coördinaat: Maximale hoogtevlucht kan worden gevonden door de snelheid gelijk te stellen aan nul: Maximale hoogte vlucht wanneer de noemer naar nul gaat: Vanaf hier, bij het instellen van de straal van de aarde en de versnelling van de vrije val, wordt II kosmische snelheid verkregen:

10 dia's

College 2 (vervolg 2.4) Voorbeeld 2 van het oplossen van het inverse probleem: Kracht hangt af van snelheid. Een schip met massa m had een snelheid v0. De weerstand van water tegen de beweging van het schip is evenredig met de snelheid. Bepaal de tijd die nodig is om de snelheid van het schip te halveren nadat de motor is uitgezet, evenals de afstand die het schip heeft afgelegd om volledig tot stilstand te komen. 8 1. We kiezen een referentiesysteem (Cartesiaanse coördinaten) zodat het lichaam een positieve coördinaat heeft: 2. We nemen het bewegingsobject als een materieel punt (het schip beweegt voorwaarts), bevrijden het van bindingen (water) en vervangen het met een reactie (opwaartse kracht - Archimedes-kracht), en ook de kracht van weerstand tegen beweging. 3. Voeg actieve kracht toe (zwaartekracht). 4. We stellen de hoofddynamiekvergelijking op: 5. We projecteren de hoofddynamiekvergelijking op de x-as: of 6. We verlagen de volgorde van de afgeleide: 7. We scheiden de variabelen: 8. We berekenen de integralen uit beide delen van de vergelijking: 9. We vervangen de limieten: Er wordt een uitdrukking verkregen die de snelheid en tijd t relateert, waaruit je de bewegingstijd kunt bepalen: De bewegingstijd, gedurende welke de snelheid met de helft zal afnemen: Het is interessant om op te merken dat wanneer de snelheid nul nadert, de bewegingstijd neigt naar oneindig, d.w.z. eindsnelheid kan niet nul zijn. Waarom geen "perpetuum mobile"? In dit geval is de afgelegde afstand tot de halte echter een eindige waarde. Om de afgelegde afstand te bepalen, wenden we ons tot de uitdrukking die is verkregen na het verlagen van de volgorde van de afgeleide, en veranderen we de variabele: Na integratie en vervanging van limieten verkrijgen we: homogeen veld zwaartekracht zonder rekening te houden met luchtweerstand Door de tijd uit de bewegingsvergelijkingen te elimineren, verkrijgen we de baanvergelijking: De vliegtijd wordt bepaald door de y-coördinaat gelijk te stellen aan nul: Het vliegbereik wordt bepaald door de vliegtijd te vervangen:

11 dia

Lezing 3 Rechtlijnige oscillaties van een materieel punt - De oscillerende beweging van een materieel punt vindt plaats onder de voorwaarde: er is een herstellende kracht die de neiging heeft om het punt terug te brengen naar de evenwichtspositie voor elke afwijking van deze positie. 9 Er is een herstellende kracht, de evenwichtspositie is stabiel Geen herstelkracht, de evenwichtspositie is instabiel Geen herstellende kracht, de evenwichtspositie is onverschillig Het is altijd gericht op de evenwichtspositie, de waarde is recht evenredig met de lineaire verlenging (verkorting) van de veer, die gelijk is aan de afwijking van het lichaam van de evenwichtspositie: c is de veerstijfheidscoëfficiënt, numeriek gelijk aan de kracht waaronder de veer met één van lengte verandert, gemeten in N / m in het systeem SI. x y O Soorten trillingen van een stoffelijk punt: 1. Vrije trillingen (zonder rekening te houden met de weerstand van het medium). 2. Vrije oscillaties rekening houdend met de weerstand van het medium (gedempte oscillaties). 3. Geforceerde trillingen. 4. Geforceerde oscillaties rekening houdend met de weerstand van het medium. ■ Vrije oscillaties - treden op onder invloed van alleen een herstellende kracht. Laten we de basiswet van de dynamiek opschrijven: Laten we een coördinatensysteem kiezen dat gecentreerd is op de evenwichtspositie (punt O) en de vergelijking op de x-as projecteren: Laten we de resulterende vergelijking naar de standaard (canonieke) vorm brengen: Deze vergelijking is een homogene lineaire differentiaalvergelijking van de tweede orde, waarvan de vorm van de oplossing wordt bepaald door de wortels van de karakteristieke vergelijking verkregen met de universele substitutie: De wortels van de karakteristieke vergelijking zijn denkbeeldig en gelijk: gemeenschappelijke beslissing differentiaalvergelijking heeft de vorm: Puntsnelheid: Beginvoorwaarden: Laten we constanten definiëren: Dus de vergelijking van vrije oscillaties heeft de vorm: De vergelijking kan worden weergegeven door een ééntermuitdrukking: waarbij a de amplitude is, is de beginfase. De nieuwe constanten a en - zijn gerelateerd aan de constanten C1 en C2 door de relaties: Definieer a en: De reden voor het optreden van vrije oscillaties is de initiële verplaatsing x0 en/of startsnelheid v0.

12 dia

10 College 3 (vervolg 3.2) Gedempte trillingen van een stoffelijk punt - De oscillerende beweging van een stoffelijk punt vindt plaats in aanwezigheid van een herstellende kracht en een kracht van weerstand tegen beweging. De afhankelijkheid van de kracht van weerstand tegen beweging van verplaatsing of snelheid wordt bepaald door de fysieke aard van het medium of de verbinding die beweging belemmert. De eenvoudigste afhankelijkheid is een lineaire afhankelijkheid van snelheid (viskeuze weerstand): - viscositeitscoëfficiënt x y O van de waarden van de wortels: 1. n< k – случай малого вязкого сопротивления: - корни комплексные, различные. или x = ae-nt x = -ae-nt Частота затухающих колебаний: Период: T* Декремент колебаний: ai ai+1 Логарифмический декремент колебаний: Затухание колебаний происходит очень быстро. Основное влияние силы вязкого сопротивления – уменьшение амплитуды колебаний с течением времени. 2. n >k - geval van hoge viskeuze weerstand: - echte wortels, anders. of - deze functies zijn aperiodiek: 3. n = k: - wortels zijn reëel, meervoudig. deze functies zijn ook aperiodiek:

13 dia

Hoorcollege 3 (vervolg 3.3) Classificatie van oplossingen van vrije oscillaties. Veer verbindingen. gelijkwaardige hardheid. y y 11 Verschil. Vergelijking Karakter. Vergelijking Roots char. vergelijking Differentiaalvergelijking oplossen Grafiek nk n=k

14 dia

Lezing 4 Geforceerde trillingen van een stoffelijk punt - Naast de herstellende kracht werkt er een periodiek veranderende kracht, de verstorende kracht. De storende kracht kan een ander karakter hebben. In een bepaald geval veroorzaakt het traagheidseffect van een ongebalanceerde massa m1 van een roterende rotor bijvoorbeeld harmonisch veranderende krachtprojecties: De belangrijkste dynamiekvergelijking: De projectie van de dynamiekvergelijking op de as: Laten we de vergelijking naar de standaard brengen vorm: 12 De oplossing van deze inhomogene differentiaalvergelijking bestaat uit twee delen x = x1 + x2: x1 is de algemene oplossing van de overeenkomstige homogene vergelijking en x2 is een bepaalde oplossing van de inhomogene vergelijking: We selecteren een bepaalde oplossing in de vorm van de rechterkant: Aan de resulterende gelijkheid moet worden voldaan voor elke t . Dan: of Dus, met de gelijktijdige werking van de herstellende en verstorende krachten, voert het materiële punt een complexe oscillerende beweging uit, die het resultaat is van de optelling (superpositie) van vrije (x1) en gedwongen (x2) trillingen. Als p< k (вынужденные колебания малой частоты), то фаза колебаний совпадает с фазой возмущающей силы: В итоге полное решение: или Общее решение: Постоянные С1 и С2, или a и определяются из начальных условий с использованием complete oplossing(!): Dus een bepaalde oplossing: als p > k (geforceerde oscillaties van hoge frequentie), dan is de fase van de oscillaties tegengesteld aan de fase van de verstorende kracht:

15 dia

Hoorcollege 4 (vervolg 4.2) 13 Dynamische coëfficiënt - amplitudeverhouding geforceerde trillingen naar de statische afwijking van een punt onder inwerking van een constante kracht H = const: Amplitude van geforceerde oscillaties: De statische afwijking kan worden gevonden uit de evenwichtsvergelijking: Hier: Vandaar: Dus, bij p< k (малая частота вынужденных колебаний) коэффициент динамичности: При p >k (hoge frequentie van geforceerde oscillaties) dynamische coëfficiënt: Resonantie - treedt op wanneer de frequentie van geforceerde oscillaties samenvalt met de frequentie van natuurlijke oscillaties (p = k). Dit gebeurt meestal bij het starten en stoppen van de rotatie van slecht uitgebalanceerde rotoren die op elastische ophangingen zijn gemonteerd. De differentiaalvergelijking van oscillaties met gelijke frequenties: Een bepaalde oplossing in de vorm van de rechterkant kan niet worden genomen, omdat een lineair afhankelijke oplossing zal worden verkregen (zie de algemene oplossing). Algemene oplossing: Substitueer in de differentiaalvergelijking: Neem een bepaalde oplossing in de vorm en bereken de afgeleiden: Zo wordt de oplossing verkregen: of Geforceerde oscillaties bij resonantie hebben een amplitude die oneindig toeneemt in evenredigheid met de tijd. Invloed van weerstand tegen beweging tijdens geforceerde trillingen. De differentiaalvergelijking in aanwezigheid van viskeuze weerstand heeft de vorm: De algemene oplossing wordt gekozen uit de tabel (Lezing 3, p. 11) afhankelijk van de verhouding van n en k (zie). We nemen een bepaalde oplossing in de vorm en berekenen de afgeleiden: Substituut in de differentiaalvergelijking: Gelijktijdig de coëfficiënten trigonometrische functies we verkrijgen een systeem van vergelijkingen: door beide vergelijkingen tot een macht te verheffen en ze op te tellen, verkrijgen we de amplitude van de geforceerde oscillaties: door de tweede vergelijking door de eerste te delen, verkrijgen we de faseverschuiving van de geforceerde oscillaties: dus de vergelijking bewegingsvrijheid voor geforceerde oscillaties, rekening houdend met de weerstand tegen beweging, bijvoorbeeld bij n< k (малое сопротивление): Вынужденные колебания при сопротивлении движению не затухают. Частота и период вынужденных колебаний равны частоте и периоду изменения возмущающей силы. Коэффициент динамичности при резонансе имеет конечную величину и зависит от соотношения n и к.

16 dia's

Hoorcollege 5 Relatieve beweging van een stoffelijk punt - Laten we aannemen dat het bewegende (niet-traagheids) coördinatenstelsel Oxyz beweegt volgens een of andere wet ten opzichte van het vaste (traagheids) coördinatenstelsel O1x1y1z1. De beweging van een materieel punt M (x, y, z) ten opzichte van het bewegende systeem Oxyz is relatief, relatief vast systeem O1x1y1z1 – absoluut. De beweging van het mobiele systeem Oxyz ten opzichte van het vaste systeem O1x1y1z1 is een draagbare beweging. 14 z x1 y1 z1 O1 x y M x y z O Basisvergelijking van dynamiek: Absolute versnelling van een punt: Vervang de absolute versnelling van een punt in de basisvergelijking van dynamiek: Laten we de termen met translatie- en Coriolis-versnelling overzetten naar de rechterkant: De overgedragen termen hebben de dimensie van krachten en worden beschouwd als de corresponderende traagheidskrachten, gelijk: Dan kan de relatieve beweging van een punt als absoluut worden beschouwd, als we de translatie- en Coriolis-traagheidskrachten optellen bij de werkende krachten: In projecties op de assen van het bewegende coördinatenstelsel, hebben we: ander soort translatiebeweging: 1. Rotatie rond een vaste as: Als de rotatie uniform is, dan is εe = 0: 2. Translationele kromlijnige beweging: Als de beweging rechtlijnig is, dan = : Als de beweging rechtlijnig en uniform is, dan is het bewegende systeem traagheid en de relatieve beweging kunnen als absoluut worden beschouwd: geen enkel mechanisch fenomeen kan een rechtlijnige detecteren Uniforme beweging(relativiteitsprincipe van de klassieke mechanica). Invloed van de rotatie van de aarde op het evenwicht van lichamen - Laten we aannemen dat het lichaam in evenwicht is op het aardoppervlak op een willekeurige breedtegraad φ (parallellen). De aarde draait om haar as van west naar oost met een hoeksnelheid: de straal van de aarde is ongeveer 6370 km. SR is de totale reactie van een niet-glad oppervlak. G - aantrekkingskracht van de aarde naar het centrum. Ф - middelpuntvliedende traagheid. Relatieve evenwichtstoestand: De resultante van de aantrekkingskracht en traagheid is de zwaartekracht (gewicht): De grootte van de zwaartekracht (gewicht) op het aardoppervlak is P = mg. De middelpuntvliedende traagheid is een kleine fractie van de zwaartekracht: de afwijking van de zwaartekracht van de richting van de aantrekkingskracht is ook klein: dus de invloed van de rotatie van de aarde op de balans van lichamen is extreem klein en wordt niet meegenomen in praktische berekeningen. De maximale waarde van de traagheidskracht (bij φ = 0 - op de evenaar) is slechts 0,00343 van de waarde van de zwaartekracht

17 dia

Lezing 5 (vervolg 5.2) 15 Invloed van de rotatie van de aarde op de beweging van lichamen in het zwaartekrachtsveld van de aarde - Stel dat een lichaam op de aarde valt vanaf een bepaalde hoogte H boven het aardoppervlak op breedtegraad φ . Laten we een bewegend referentiekader kiezen, star verbonden met de aarde, waarbij de x, y-assen tangentieel naar de parallel en naar de meridiaan worden geleid: Relatieve bewegingsvergelijking: hier wordt rekening gehouden met de kleinheid van de middelpuntvliedende traagheid in vergelijking met de zwaartekracht . Zo wordt de zwaartekracht geïdentificeerd met de zwaartekracht. Bovendien nemen we aan dat de zwaartekracht loodrecht op het aardoppervlak is gericht vanwege de geringe afbuiging, zoals hierboven besproken. De Coriolis-versnelling is gelijk aan en gericht evenwijdig aan de y-as naar het westen. De Coriolis-traagheidskracht is in de tegenovergestelde richting gericht. We projecteren de vergelijking van relatieve beweging op de as: De oplossing van de eerste vergelijking geeft: Beginvoorwaarden: De oplossing van de derde vergelijking geeft: Beginvoorwaarden: De derde vergelijking heeft de vorm: Beginvoorwaarden: De oplossing geeft: De resulterende oplossing laat zien dat het lichaam afwijkt naar het oosten wanneer het valt. Laten we de waarde van deze afwijking berekenen, bijvoorbeeld bij een val van een hoogte van 100 m. We vinden de valtijd uit de oplossing van de tweede vergelijking: De invloed van de rotatie van de aarde op de beweging van lichamen is dus extreem klein voor praktische hoogtes en snelheden en wordt niet meegenomen in technische berekeningen. De oplossing van de tweede vergelijking impliceert ook het bestaan van een snelheid langs de y-as, die ook de bijbehorende versnelling en de Coriolis-traagheidskracht zou moeten veroorzaken en veroorzaken. De invloed van deze snelheid en de daarmee samenhangende traagheidskracht op de bewegingsverandering zal zelfs kleiner zijn dan de beschouwde Coriolis traagheidskracht die samenhangt met de verticale snelheid.

18 dia's

Hoorcollege 6 Dynamiek van een mechanisch systeem. Systeem van materiële punten of mechanisch systeem - Een reeks materiële punten of die materiële punten verenigd door algemene wetten van interactie (de positie of beweging van elk van de punten of een lichaam hangt af van de positie en beweging van alle andere) Het systeem van vrije punten - waarvan de beweging niet wordt beperkt door verbindingen (bijvoorbeeld een planetair systeem, waarin de planeten als materiële punten worden beschouwd). Een systeem van niet-vrije punten of een niet-vrij mechanisch systeem - de beweging van materiële punten of lichamen wordt beperkt door de beperkingen die aan het systeem worden opgelegd (bijvoorbeeld een mechanisme, een machine, enz.). 16 Krachten die op het systeem inwerken. Naast de eerder bestaande classificatie van krachten (actieve en reactieve krachten), wordt een nieuwe classificatie van krachten geïntroduceerd: 1. Externe krachten (e) - inwerkend op punten en lichamen van het systeem vanaf punten of lichamen die hier geen deel van uitmaken systeem. 2. Interne krachten (i) - krachten van interactie tussen materiële punten of lichamen opgenomen in dit systeem. Dezelfde kracht kan zowel externe als interne kracht zijn. Het hangt allemaal af van welk mechanisch systeem wordt overwogen. Bijvoorbeeld: In het systeem van de zon, aarde en maan zijn alle zwaartekrachten tussen hen intern. Als we kijken naar het systeem van de aarde en de maan, zijn de zwaartekrachten die vanaf de zijde van de zon worden uitgeoefend extern: C Z L Gebaseerd op de wet van actie en reactie, komt elke interne kracht Fk overeen met een andere interne kracht Fk', gelijk in absolute waarde en tegengesteld in richting. Hieruit volgen twee opmerkelijke eigenschappen van interne krachten: De hoofdvector van alle interne krachten van het systeem is gelijk aan nul: Het hoofdmoment van alle interne krachten van het systeem ten opzichte van een willekeurig middelpunt is gelijk aan nul: Of in projecties op de coördinaat assen: Let op. Hoewel deze vergelijkingen vergelijkbaar zijn met evenwichtsvergelijkingen, zijn ze dat niet, aangezien interne krachten op verschillende punten of lichamen van het systeem worden uitgeoefend en deze punten (lichamen) ten opzichte van elkaar kunnen laten bewegen. Uit deze vergelijkingen volgt dat interne krachten de beweging van een systeem als geheel niet beïnvloeden. Het zwaartepunt van het systeem van materiële punten. Om de beweging van het systeem als geheel te beschrijven, wordt een geometrisch punt geïntroduceerd, het massamiddelpunt genaamd, waarvan de straalvector wordt bepaald door de uitdrukking, waarbij M de massa van het hele systeem is: Of in projecties op de coördinaat assen: De formules voor het zwaartepunt zijn vergelijkbaar met die voor het zwaartepunt. Het concept van het massamiddelpunt is echter algemener, omdat het niet gerelateerd is aan de zwaartekracht of de zwaartekracht.

19 dia

Hoorcollege 6 (vervolg 6.2) 17 Stelling over de beweging van het massamiddelpunt van het systeem - Beschouw een systeem van n materiële punten. We verdelen de krachten die op elk punt worden uitgeoefend in externe en interne krachten en vervangen deze door de overeenkomstige resultanten Fke en Fki. Laten we voor elk punt de basisvergelijking van de dynamiek opschrijven: of Laten we deze vergelijkingen over alle punten optellen: Aan de linkerkant van de vergelijking introduceren we de massa's onder het teken van de afgeleide en vervangen we de som van de afgeleiden door de afgeleide van de som: Uit de definitie van het zwaartepunt: Substitueer in de resulterende vergelijking: we verkrijgen of: Het product van de massa van het systeem en de versnelling van zijn zwaartepunt is gelijk aan de hoofdvector van externe krachten. In projecties op de coördinaatassen: Het massamiddelpunt van het systeem beweegt als een materieel punt met een massa gelijk aan de massa van het hele systeem, waarop alle externe krachten die op het systeem inwerken, worden uitgeoefend. Gevolgen van de stelling op de beweging van het zwaartepunt van het systeem (behoudswetten): 1. Als in het tijdsinterval de hoofdvector van de externe krachten van het systeem gelijk is aan nul, Re = 0, dan is de snelheid van het massamiddelpunt is constant, vC = const (het massamiddelpunt beweegt uniform rechtlijnig - de wet van behoud van bewegingsmiddelpunt). 2. Als in het tijdsinterval de projectie van de hoofdvector van de externe krachten van het systeem op de x-as gelijk is aan nul, Rxe = 0, dan is de snelheid van het massamiddelpunt langs de x-as constant, vCx = const (het zwaartepunt beweegt gelijkmatig langs de as). Soortgelijke uitspraken gelden voor de y- en z-assen. Voorbeeld: Twee mensen met massa's m1 en m2 zitten in een boot met massa m3. Op het eerste moment lag de boot met mensen in rust. Bepaal de waterverplaatsing van de boot als een persoon met massa m2 op afstand a naar de boeg van de boot gaat. 3. Als in het tijdsinterval de hoofdvector van externe krachten van het systeem gelijk is aan nul, Re = 0, en op het beginmoment is de snelheid van het massamiddelpunt gelijk aan nul, vC = 0, dan is de straalvector van het massamiddelpunt constant blijft, rC = const (het massamiddelpunt is in rust is de wet van behoud van de positie van het massamiddelpunt). 4. Als in het tijdsinterval de projectie van de hoofdvector van de externe krachten van het systeem op de x-as gelijk is aan nul, Rxe = 0, en op het beginmoment is de snelheid van het massamiddelpunt langs deze as nul , vCx = 0, dan blijft de coördinaat van het massamiddelpunt langs de x-as constant, xC = const (het massamiddelpunt beweegt niet langs deze as). Soortgelijke uitspraken gelden voor de y- en z-assen. 1. Bewegingsobject (boot met mensen): 2. Verbindingen weggooien (water): 3. Verbinding vervangen door reactie: 4. Actieve krachten toevoegen: 5. Stel de stelling over het massamiddelpunt op: Projecteer op de x-as :O Bepaal hoe ver je moet overstappen op een persoon met massa m1, zodat de boot op zijn plaats blijft: De boot vaart een afstand l in de tegenovergestelde richting.

20 dia's

Lezing 7 De krachtimpuls is een maat voor mechanische interactie die de overdracht van mechanische beweging kenmerkt van de krachten die gedurende een bepaalde tijd op het punt werken: 18 In projecties op de coördinaatassen: In het geval van een constante kracht: In projecties op de coördinaatassen: naar het krachtpunt in hetzelfde tijdsinterval: vermenigvuldigen met dt: integreren over een bepaald tijdsinterval: de mate van beweging van het punt is een maat voor mechanische beweging, bepaald door een vector gelijk aan het product van de massa van het punt en de vector van zijn snelheid: Stelling over de verandering in de hoeveelheid beweging van het systeem - Beschouw het systeem n materiële punten. We verdelen de krachten die op elk punt worden uitgeoefend in externe en interne krachten en vervangen deze door de overeenkomstige resultanten Fke en Fki. Laten we voor elk punt de basisvergelijking van de dynamiek schrijven: of Het momentum van het systeem van materiële punten is de geometrische som van de hoeveelheden beweging van materiële punten: Per definitie van het massamiddelpunt: De vector van het momentum van het systeem is gelijk aan het product van de massa van het hele systeem en de snelheidsvector van het massamiddelpunt van het systeem. Dan: In projecties op de coördinaatassen: De tijdsafgeleide van de impulsvector van het systeem is gelijk aan de hoofdvector van de externe krachten van het systeem. Laten we deze vergelijkingen over alle punten optellen: Aan de linkerkant van de vergelijking introduceren we de massa's onder het teken van de afgeleide en vervangen de som van de afgeleiden door de afgeleide van de som: Uit de definitie van het momentum van het systeem: In projecties op de coördinaatassen:

21 dia

Stelling van Euler - Toepassing van de stelling op de verandering in het momentum van een systeem op de beweging van een continu medium (water). 1. We selecteren als bewegingsobject het volume water dat zich in het kromlijnige kanaal van de turbine bevindt: 2. We gooien de bindingen weg en vervangen hun actie door reacties (Rpov - de resultante van oppervlaktekrachten) 3. Voeg actieve krachten toe (Rb - de resultante van lichaamskrachten): 4. Noteer de stelling over verandering in het momentum van het systeem: Het momentum van water op tijdstippen t0 en t1 wordt weergegeven als sommen: Verandering in het momentum van water in het tijdsinterval : Verandering in het momentum van water over een oneindig klein tijdsinterval dt: , waarbij F1 F2 Als we het product van dichtheid, dwarsdoorsnede en snelheid per seconde massa nemen, verkrijgen we: Door het differentieel van het momentum van het systeem in de veranderingsstelling te vervangen, verkrijgen we : Gevolgen van de stelling op de verandering in het momentum van het systeem (behoudswetten): 1. Als in het tijdsinterval de hoofdvector van de externe krachten van het systeem gelijk is aan nul, Re = 0, dan is de hoeveelheid vectorbeweging constant is, Q = const is de wet van behoud van impuls van het systeem). 2. Als in het tijdsinterval de projectie van de hoofdvector van de externe krachten van het systeem op de x-as gelijk is aan nul, Rxe = 0, dan is de projectie van het momentum van het systeem op de x-as constant, Qx = const. Soortgelijke uitspraken gelden voor de y- en z-assen. Lezing 7 (vervolg van 7.2) Voorbeeld: Een granaat met massa M, vliegend met een snelheid v, explodeerde in twee delen. De snelheid van een van de fragmenten van massa m1 nam in de bewegingsrichting toe tot de waarde v1. Bepaal de snelheid van het tweede fragment. 1. Het object van beweging (granaat): 2. Het object is een vrij systeem, er zijn geen verbindingen en hun reacties. 3. Werkzame krachten optellen: 4. Noteer de stelling over de verandering in momentum: Projecteer op de as: β Deel de variabelen en integreer: De rechterintegraal is bijna nul, omdat explosie tijd t

22 dia

College 7 (vervolg 7.3) 20 Het impulsmoment van een punt of het kinetisch bewegingsmoment ten opzichte van een bepaald middelpunt is een maat voor mechanische beweging, bepaald door een vector gelijk aan het vectorproduct van de straalvector van een stoffelijk punt en de vector van zijn momentum: Het kinetische moment van een systeem van materiële punten ten opzichte van een bepaald middelpunt is meetkundig de som van de momenten van het momentum van alle materiële punten ten opzichte van hetzelfde middelpunt: In projecties op de as: In projecties op de as : Stelling over de verandering in het moment van momentum van het systeem - Laten we een systeem van n materiële punten beschouwen. We verdelen de krachten die op elk punt worden uitgeoefend in externe en interne krachten en vervangen deze door de overeenkomstige resultanten Fke en Fki. Laten we voor elk punt de basisvergelijking van de dynamiek schrijven: of Laten we deze vergelijkingen over alle punten optellen: Laten we de som van afgeleiden vervangen door de afgeleide van de som: De uitdrukking tussen haakjes is het moment van momentum van het systeem. Vanaf hier: We vermenigvuldigen vectorieel elk van de gelijkheden met de straal-vector aan de linkerkant: Laten we eens kijken of het mogelijk is om het teken van de afgeleide buiten de limieten van het vectorproduct te nemen: We hebben dus: centrum. In projecties op de coördinaatassen: De afgeleide van het momentum van het systeem ten opzichte van een as in de tijd is gelijk aan het hoofdmoment van de externe krachten van het systeem ten opzichte van dezelfde as.

23 dia

College 8 21 ■ Gevolgen uit de stelling op de verandering in het impulsmoment van het systeem (behoudswetten): 1. Als in het tijdsinterval de vector van het hoofdmoment van de externe krachten van het systeem ten opzichte van een bepaald middelpunt gelijk is naar nul, MOe = 0, dan is de vector van het impulsmoment van het systeem ten opzichte van hetzelfde centrum constant, KO = const is de wet van behoud van momentum van het systeem). 2. Als in het tijdsinterval belangrijkste punt externe krachten van het systeem ten opzichte van de x-as is nul, Mxe = 0, dan is het impulsmoment van het systeem ten opzichte van de x-as constant, Kx = const. Soortgelijke uitspraken gelden voor de y- en z-assen. 2. Traagheidsmoment van een star lichaam om een as: Het traagheidsmoment van een stoffelijk punt om een as is gelijk aan het product van de massa van het punt en het kwadraat van de afstand van het punt tot de as. Het traagheidsmoment van een star lichaam om een as is gelijk aan de som van de producten van de massa van elk punt en het kwadraat van de afstand van dit punt tot de as. ■ Elementen van de theorie van traagheidsmomenten - Bij de rotatiebeweging van een star lichaam is de traagheidsmaat (weerstand tegen verandering in beweging) het traagheidsmoment rond de rotatie-as. Overweeg de basisconcepten van de definitie en methoden voor het berekenen van de traagheidsmomenten. 1. Traagheidsmoment van een stoffelijk punt om de as: Bij de overgang van een discrete kleine massa naar een oneindig kleine massa van een punt wordt de limiet van zo'n som bepaald door de integraal: axiaal traagheidsmoment van een star lichaam . Naast het axiale traagheidsmoment van een star lichaam zijn er nog andere soorten traagheidsmomenten: het centrifugale traagheidsmoment van een star lichaam. polair traagheidsmoment van een star lichaam. 3. De stelling over de traagheidsmomenten van een star lichaam om evenwijdige assen - de formule voor de overgang naar evenwijdige assen: Traagheidsmoment om de referentieas Statische traagheidsmomenten om de referentieassen Lichaamsmassamomenten zijn nul:

24 dia's

College 8 (vervolg 8.2) 22 Traagheidsmoment van een uniforme staaf met constante doorsnede om de as: x z L Selecteer het elementaire volume dV = Adx op een afstand x: x dx Elementaire massa: Bereken het traagheidsmoment om de centrale as (door het zwaartepunt), volstaat het om de locatie van de as te wijzigen en de integratielimieten (-L/2, L/2) in te stellen. Hier demonstreren we de formule voor de overgang naar evenwijdige assen: zС 5. Het traagheidsmoment van een homogene massieve cilinder om de symmetrie-as: H dr r We onderscheiden het elementaire volume dV = 2πrdrH (dunne cilinder met straal r) : Elementaire massa: Hier gebruiken we de cilindervolumeformule V=πR2H. Om het traagheidsmoment van een holle (dikke) cilinder te berekenen, volstaat het om de integratiegrenzen in te stellen van R1 tot R2 (R2> R1): 6. Het traagheidsmoment van een dunne cilinder om de symmetrie-as (t

25 glijbaan

Hoorcollege 8 (vervolg 8.3) 23 ■ Differentiaalvergelijking van rotatie van een star lichaam om een as: Laten we een stelling schrijven over het veranderen van het impulsmoment van een star lichaam dat rond een vaste as roteert: Het momentum van een roterend star lichaam is: Het moment van externe krachten om de rotatie-as is gelijk aan het koppel (reacties en kracht creëren geen zwaartekrachtmomenten): We vervangen het kinetische moment en het koppel in de stelling Voorbeeld: Twee mensen van hetzelfde gewicht G1 = G2 hangen aan een touw over een massief blok gegooid met een gewicht G3 = G1/4. Op een gegeven moment begon een van hen het touw te beklimmen met een relatieve snelheid u. Bepaal de tilsnelheid van elke persoon. 1. We selecteren het bewegingsobject (blok met mensen): 2. We verwijderen de verbindingen (het ondersteuningsapparaat van het blok): 3. We vervangen de verbinding door reacties (lager): 4. Voeg actieve krachten toe (zwaartekracht): 5. Noteer de stelling over de verandering in het kinetisch moment van het systeem ten opzichte van de rotatie-as van het blok: R Aangezien het moment van externe krachten gelijk is aan nul, moet het kinetisch moment constant blijven: Op het beginmoment t = 0, er was evenwicht en Kz0 = 0. Na het begin van de beweging van één persoon ten opzichte van het touw, begon het hele systeem te bewegen, maar het kinetische moment van het systeem moet gelijk blijven aan nul: Kz = 0. Het impulsmoment van het systeem is de som van de impulsmomenten van zowel mensen als het blok: Hierin is v2 de snelheid van de tweede persoon, gelijk aan de snelheid van het kabeluiteinde naar een vaste rotatie-as. Of: Bij kleine schommelingen sinφ φ: Schommelperiode: Traagheidsmoment van de staaf:

26 dia

Hoorcollege 8 (vervolg 8.4 - aanvullende stof) 24 ■ Elementaire theorie van de gyroscoop: Een gyroscoop is een star lichaam dat roteert om de as van materiaalsymmetrie, waarvan een van de punten vast ligt. Een vrije gyroscoop is zo gefixeerd dat zijn massamiddelpunt stationair blijft, en de rotatieas door het massamiddelpunt gaat en elke positie in de ruimte kan innemen, d.w.z. de rotatie-as verandert zijn positie als de as van de eigen rotatie van het lichaam tijdens sferische beweging. De belangrijkste aanname van de benaderende (elementaire) theorie van de gyroscoop is dat de momentumvector (kinetisch moment) van de rotor wordt beschouwd als gericht langs zijn eigen rotatie-as. Dus ondanks het feit dat de rotor in het algemeen aan drie rotaties deelneemt, wordt alleen rekening gehouden met de hoeksnelheid van zijn eigen rotatie ω = dφ/dt. De basis hiervoor is dat in moderne technologie de gyroscooprotor roteert met een hoeksnelheid van ongeveer 5000-8000 rad/s (ongeveer 50000-80000 rpm), terwijl de andere twee hoeksnelheden geassocieerd met de precessie en nutatie van zijn eigen rotatie-as is tienduizenden keren minder dan deze snelheid. De belangrijkste eigenschap van een vrije gyroscoop is dat de rotoras een constante richting in de ruimte handhaaft ten opzichte van het inertiële (stellaire) referentiesysteem (aangetoond door de Foucault-slinger, die het zwenkvlak onveranderd houdt ten opzichte van de sterren, 1852). Dit volgt uit de wet van behoud van het kinetisch moment ten opzichte van het massamiddelpunt van de rotor, op voorwaarde dat de wrijving in de lagers van de rotorophangassen, het buitenste en binnenste frame wordt verwaarloosd: Krachtwerking op de as van een vrije gyroscoop. In het geval van een kracht uitgeoefend op de rotoras, is het moment van externe krachten ten opzichte van het massamiddelpunt niet gelijk aan nul: ω ω С kracht, en naar de vector van het moment van deze kracht, d.w.z. draait niet om de x-as (interne ophanging), maar om de y-as (externe ophanging). Bij beëindiging van de kracht blijft de rotoras in dezelfde positie, overeenkomend met de laatste keer van de kracht, omdat vanaf dit tijdstip wordt het moment van externe krachten weer gelijk aan nul. In het geval van een kortdurende krachtwerking (impact), verandert de as van de gyroscoop praktisch niet van positie. De snelle rotatie van de rotor geeft de gyroscoop dus de mogelijkheid om willekeurige invloeden tegen te gaan die proberen de positie van de rotatie-as van de rotor te veranderen, en met een constante werking van de kracht handhaaft het de positie van het vlak loodrecht op de werkende kracht waarin de as van de rotor ligt. Deze eigenschappen worden gebruikt bij de werking van traagheidsnavigatiesystemen.

Invoering

Theoretische mechanica is een van de belangrijkste fundamentele algemeen wetenschappelijke disciplines. Het speelt een essentiële rol in de opleiding van ingenieurs van alle specialismen. Algemene technische disciplines zijn gebaseerd op de resultaten van theoretische mechanica: sterkte van materialen, machineonderdelen, theorie van mechanismen en machines, en andere.

De belangrijkste taak van de theoretische mechanica is de studie van de beweging van materiële lichamen onder invloed van krachten. Een belangrijk bijzonder probleem is de studie van het evenwicht van lichamen onder invloed van krachten.

Lezing cursus. theoretische mechanica

De structuur van de theoretische mechanica. Grondbeginselen van statica

Voorwaarden voor het evenwicht van een willekeurig krachtenstelsel.

Stijve.

Plat systeem van krachten.

Bijzondere gevallen van evenwicht van een star lichaam.

Het evenwichtsprobleem van een staaf.

Bepaling van interne krachten in staafconstructies.

Grondbeginselen van puntkinematica.

natuurlijke coördinaten.

Euler-formule.

Verdeling van versnellingen van punten van een star lichaam.

Translationele en roterende bewegingen.

Vlak-parallelle beweging.

Ingewikkelde puntbeweging.

Grondbeginselen van puntdynamica.

Differentiaalvergelijkingen van beweging van een punt.

Bepaalde soorten krachtvelden.

Grondbeginselen van de dynamiek van het puntensysteem.

Algemene stellingen van de dynamiek van een puntenstelsel.

Dynamiek van roterende beweging van het lichaam.

Dobronravov V.V., Nikitin N.N. Cursus theoretische mechanica. M., Hogere School, 1983.

Butenin N.V., Lunts Ya.L., Merkin D.R. Cursus theoretische mechanica, deel 1 en 2. M., Hogere School, 1971.

Petkevich V.V. Theoretische mechanica. M., Nauka, 1981.

Verzameling van opdrachten voor scripties over theoretische mechanica. Ed. AA Yablonsky. M., Hogere School, 1985.

College 1 De structuur van de theoretische mechanica. Grondbeginselen van statica

In de theoretische mechanica wordt de beweging van lichamen ten opzichte van andere lichamen, die fysieke referentiesystemen zijn, bestudeerd.

Mechanica maakt het niet alleen mogelijk om de beweging van lichamen te beschrijven, maar ook om te voorspellen, door causale verbanden te leggen in een bepaald, zeer breed scala van verschijnselen.

Fundamentele abstracte modellen van echte lichamen:

materieel punt - heeft massa, maar geen afmetingen;

absoluut stijf lichaam - een volume van eindige afmetingen, volledig gevuld met materie, en de afstanden tussen twee willekeurige punten van het medium dat het volume vult, veranderen niet tijdens beweging;

continu vervormbaar medium - vult een eindig volume of onbeperkte ruimte; de afstanden tussen de punten van een dergelijk medium kunnen variëren.

Hiervan zijn systemen:

Systeem van gratis materiële punten;

Systemen met koppelingen;

Een absoluut solide lichaam met een holte gevuld met vloeistof, enz.

"Ontaarden" modellen:

Oneindig dunne staven;

Oneindig dunne platen;

Gewichtloze staven en draden die materiële punten verbinden, enz.

Uit ervaring: mechanische verschijnselen verlopen anders in verschillende plaatsen fysiek referentiesysteem. Deze eigenschap is de inhomogeniteit van de ruimte, bepaald door het fysieke referentiesysteem. Heterogeniteit wordt hier opgevat als de afhankelijkheid van de aard van het optreden van een fenomeen van de plaats waar we dit fenomeen waarnemen.

Een andere eigenschap is anisotropie (niet-isotropie), de beweging van een lichaam ten opzichte van het fysieke referentiesysteem kan verschillen afhankelijk van de richting. Voorbeelden: de loop van de rivier langs de meridiaan (van noord naar zuid - de Wolga); projectielvlucht, Foucault-slinger.

De eigenschappen van het referentiesysteem (heterogeniteit en anisotropie) maken het moeilijk om de beweging van een lichaam waar te nemen.

praktisch vrij van dit geocentrisch systeem: het centrum van het systeem bevindt zich in het centrum van de aarde en het systeem draait niet ten opzichte van de "vaste" sterren). Het geocentrische systeem is handig voor het berekenen van bewegingen op de aarde.

Voor hemelse mechanica(voor zonnestelsellichamen): een heliocentrisch referentiekader dat beweegt met het zwaartepunt zonnestelsel en roteert niet ten opzichte van "vaste" sterren. Voor dit systeem: nog niet gevonden heterogeniteit en anisotropie van de ruimte

met betrekking tot de verschijnselen van de mechanica.

Dus introduceren we een abstract traagheid referentiekader waarvoor de ruimte homogeen en isotroop is met betrekking tot de verschijnselen van de mechanica.

inertiaal referentiekader- iemand wiens eigen beweging door geen enkele mechanische ervaring kan worden gedetecteerd. gedachte experiment: "het punt dat alleen is in de hele wereld" (geïsoleerd) is ofwel in rust of beweegt in een rechte lijn en uniform.

Alle referentiekaders die ten opzichte van het origineel rechtlijnig bewegen, zullen uniform inertiaal zijn. Dit stelt u in staat om een enkel Cartesisch coördinatensysteem in te voeren. Zo'n ruimte heet Euclidische.

Voorwaardelijke overeenkomst - neem het juiste coördinatensysteem (Fig. 1).

BIJ tijd– in de klassieke (niet-relativistische) mechanica Absoluut, wat hetzelfde is voor alle referentiesystemen, dat wil zeggen dat het beginmoment willekeurig is. In tegenstelling tot relativistische mechanica, waar het relativiteitsprincipe wordt toegepast.

De bewegingstoestand van het systeem op tijdstip t wordt bepaald door de coördinaten en snelheden van de punten op dat moment.

Echte lichamen werken op elkaar in en er ontstaan krachten die de bewegingstoestand van het systeem veranderen. Dit is de essentie van theoretische mechanica.

Hoe wordt theoretische mechanica bestudeerd?

De doctrine van het evenwicht van een reeks lichamen van een bepaald referentiekader - sectie statica.

Hoofdstuk kinematica: een deel van de mechanica dat de relaties bestudeert tussen grootheden die de bewegingstoestand van systemen karakteriseren, maar geen rekening houdt met de oorzaken die een verandering in de bewegingstoestand veroorzaken.

Overweeg daarna de invloed van krachten [HOOFDSTUK].

Hoofdstuk dynamiek: onderdeel van de mechanica, dat de invloed van krachten op de bewegingstoestand van systemen van materiële objecten beschouwt.

Principes van het bouwen van het hoofdgerecht - dynamiek:

1) gebaseerd op een systeem van axioma's (gebaseerd op ervaring, observaties);

Voortdurend - meedogenloze controle over de praktijk. Teken van exacte wetenschap - de aanwezigheid van interne logica (zonder deze - set van niet-gerelateerde recepten)!

statisch dat deel van de mechanica wordt genoemd, waar de voorwaarden worden bestudeerd waaraan moet worden voldaan door de krachten die op een systeem van materiële punten werken om het systeem in evenwicht te brengen, en de voorwaarden voor de gelijkwaardigheid van systemen van krachten.

Evenwichtsproblemen in de elementaire statica zullen worden onderzocht met uitsluitend geometrische methoden gebaseerd op de eigenschappen van vectoren. Deze aanpak wordt toegepast in geometrische statica(in tegenstelling tot analytische statica, die hier niet wordt beschouwd).

De posities van verschillende materiële lichamen zullen worden verwezen naar het coördinatensysteem, dat we als vast zullen aannemen.

Ideale modellen van materiële lichamen:

1) materieel punt - een geometrisch punt met massa.

2) absoluut stijf lichaam - een reeks materiële punten, waarvan de afstanden door geen enkele actie kunnen worden gewijzigd.

door de krachten we zullen de objectieve oorzaken noemen, die het resultaat zijn van de interactie van materiële objecten, die de beweging van lichamen uit een rusttoestand kunnen veroorzaken of de bestaande beweging van laatstgenoemde kunnen veranderen.

Omdat de kracht bepaald wordt door de beweging die het veroorzaakt, heeft het ook een relatief karakter, afhankelijk van de keuze van het referentiekader.

De kwestie van de aard van krachten wordt overwogen: in de natuurkunde.

Een systeem van materiële punten is in evenwicht als het in rust geen beweging ontvangt van de krachten die erop inwerken.

Uit de dagelijkse ervaring: krachten zijn vectoren van aard, dat wil zeggen grootte, richting, actielijn, aangrijpingspunt. De voorwaarde voor het evenwicht van krachten die op een star lichaam werken, wordt gereduceerd tot de eigenschappen van vectorsystemen.

De ervaring van het bestuderen van de natuurwetten samenvattend, formuleerden Galileo en Newton de basiswetten van de mechanica, die kunnen worden beschouwd als axioma's van de mechanica, aangezien ze gebaseerd op experimentele feiten.

Axioma 1. De werking van meerdere krachten op een punt van een stijf lichaam is gelijk aan de werking van één resulterende kracht, geconstrueerd volgens de regel van optelling van vectoren (Fig. 2).

Gevolg. De krachten die op een punt van een star lichaam worden uitgeoefend, worden opgeteld volgens de parallellogramregel.

Axioma 2. Twee krachten uitgeoefend op een stijf lichaam wederzijds in evenwicht dan en slechts dan als ze even groot zijn, in tegengestelde richtingen gericht zijn en op dezelfde rechte lijn liggen.

Axioma 3. De werking van een systeem van krachten op een star lichaam verandert niet als toevoegen aan dit systeem of eruit laten twee krachten van gelijke grootte, gericht in tegengestelde richtingen en liggend op dezelfde rechte lijn.

Gevolg. De kracht die op een punt van een stijf lichaam werkt, kan worden overgedragen langs de werklijn van de kracht zonder de balans te veranderen (dat wil zeggen, de kracht is een glijdende vector, figuur 3)

1) Actief - creëer of kan de beweging van een star lichaam creëren. Bijvoorbeeld de kracht van het gewicht.

2) Passief - geen beweging creëren, maar de beweging van een star lichaam beperken, beweging voorkomen. Bijvoorbeeld de spankracht van een onrekbare draad (Fig. 4).

Axioma 4. De actie van het ene lichaam op het tweede is gelijk en tegengesteld aan de actie van dit tweede lichaam op het eerste ( actie is gelijk aan reactie).

De geometrische voorwaarden die de beweging van punten beperken, worden genoemd verbindingen.

Communicatievoorwaarden: bijvoorbeeld

- staaf van indirecte lengte l.

- flexibele onrekbare draad van lengte l.

Krachten als gevolg van bindingen en het voorkomen van beweging worden genoemd reactiekrachten.

Axioma 5. De bindingen die aan het systeem van materiële punten worden opgelegd, kunnen worden vervangen door reactiekrachten, waarvan de werking gelijk is aan de werking van de bindingen.

Wanneer passieve krachten de actie van actieve krachten niet kunnen balanceren, begint beweging.

Twee specifieke problemen van statica

1. Systeem van convergerende krachten die op een star lichaam werken

Een systeem van convergerende krachten zo'n systeem van krachten wordt genoemd, waarvan de werklijnen elkaar kruisen in één punt, dat altijd als oorsprong kan worden genomen (fig. 5).

Projecties van de resultante:

;

Als , dan veroorzaakt de kracht de beweging van een stijf lichaam.

Evenwichtsvoorwaarde voor een convergerend krachtenstelsel:

2. Balans van drie krachten

Als drie krachten op een star lichaam werken, en de werklijnen van twee krachten kruisen elkaar op een punt A, dan is evenwicht mogelijk als en alleen als de werklijn van de derde kracht ook door punt A gaat, en de kracht zelf is gelijk in grootte en tegengesteld gericht op de som (Afb. 6).

Voorbeelden:

Moment van kracht ten opzichte van punt O definiëren als een vector , in grootte gelijk aan tweemaal de oppervlakte van een driehoek, waarvan de basis een krachtvector is met een hoekpunt op een bepaald punt O; richting- loodrecht op het vlak van de beschouwde driehoek in de richting van waaruit de rotatie die wordt veroorzaakt door de kracht rond het punt O zichtbaar is tegen de klok in. is het moment van de glijdende vector en is gratis vector(Afb. 9).

Dus: of

waar ;;.

Waar F de krachtmodulus is, is h de schouder (afstand van het punt tot de richting van de kracht).

Moment van kracht om de as heet de algebraïsche waarde van de projectie op deze as van de vector van het krachtmoment ten opzichte van een willekeurig punt O, genomen op de as (Afb. 10).

Dit is een scalair onafhankelijk van de keuze van het punt. Inderdaad, we breiden uit :|| en in het vliegtuig.

Over momenten: laat О 1 het snijpunt met het vlak zijn. Dan:

a) vanaf - moment => projectie = 0.

b) van - moment langs => is een projectie.

Dus, het moment om de as is het moment van de krachtcomponent in het vlak loodrecht op de as om het snijpunt van het vlak en de as.

Stelling van Varignon voor een systeem van convergerende krachten:

Moment van resulterende kracht voor een systeem van convergerende krachten ten opzichte van een willekeurig punt A is gelijk aan de som van de momenten van alle componenten van krachten ten opzichte van hetzelfde punt A (Fig. 11).

Een bewijs in de theorie van convergente vectoren.

Uitleg: optelling van krachten volgens de parallellogramregel => de resulterende kracht geeft het totale moment.

Testvragen:

1. Noem de belangrijkste modellen van reële lichamen in de theoretische mechanica.

2. Formuleer de axioma's van statica.

3. Hoe heet het krachtmoment rond een punt?

College 2 Evenwichtsvoorwaarden voor een willekeurig krachtenstelsel

Uit de basisaxioma's van statica volgen elementaire bewerkingen op krachten:

1) kracht kan worden overgedragen langs de actielijn;

2) krachten waarvan de werklijnen elkaar kruisen, kunnen worden opgeteld volgens de parallellogramregel (volgens de regel van vectoroptelling);

3) aan het systeem van krachten die op een star lichaam werken, kan men altijd twee krachten optellen, even groot, die op dezelfde rechte lijn liggen en in tegengestelde richtingen gericht zijn.

Elementaire bewerkingen veranderen de mechanische toestand van het systeem niet.

Laten we twee stelsels van krachten noemen gelijkwaardig als de een van de ander kan worden verkregen met behulp van elementaire bewerkingen (zoals in de theorie van glijdende vectoren).

Een systeem van twee evenwijdige krachten, even groot en in tegengestelde richtingen gericht, heet een paar krachten(Afb. 12).

Moment van een paar krachten- een vector die even groot is als het gebied van een parallellogram gebouwd op de vectoren van het paar, en orthogonaal gericht op het vlak van het paar in de richting van waaruit de door de vectoren van het paar gerapporteerde rotatie optreedt tegen de klok in.

, dat wil zeggen, het moment van kracht rond punt B.

Een krachtenpaar wordt volledig gekenmerkt door zijn moment.

Een paar krachten kan door elementaire bewerkingen worden overgedragen op elk vlak evenwijdig aan het vlak van het paar; verander de grootte van de krachten van het paar omgekeerd evenredig met de schouders van het paar.

Krachtparen kunnen worden opgeteld, terwijl de momenten van krachtenparen worden opgeteld volgens de optellingsregel van (vrije) vectoren.

Het systeem van krachten die op een star lichaam werken naar een willekeurig punt brengen (reductiecentrum)- betekent het huidige systeem vervangen door een eenvoudiger systeem: een systeem van drie krachten, waarvan er één door een vooraf bepaald punt gaat en de andere twee een paar vertegenwoordigen.

Het wordt bewezen met behulp van elementaire bewerkingen (fig.13).

Het systeem van convergerende krachten en het systeem van krachtenparen.

- resulterende kracht.

Het resulterende paar

Dat was wat er moest worden getoond.

Twee systemen van krachten zullen zijn gelijkwaardig als en slechts als beide systemen worden teruggebracht tot één resulterende kracht en één resulterend paar, dat wil zeggen onder de volgende voorwaarden:

Algemeen geval van evenwicht van een systeem van krachten die inwerken op een star lichaam

We brengen het krachtenstelsel naar (Fig. 14):

Resulterende kracht door de oorsprong;

Het resulterende paar bovendien door het punt O.

Dat wil zeggen, ze leidden tot en - twee krachten, waarvan er één door een bepaald punt O gaat.

Evenwicht, als de andere rechte lijn gelijk is, tegengesteld gericht (axioma 2).

Gaat dan door het punt O, dat wil zeggen.

Dus, algemene voorwaarden evenwicht van een star lichaam:

Deze voorwaarden gelden voor een willekeurig punt in de ruimte.

Testvragen:

1. Noem elementaire operaties op krachten.

2. Welke krachtenstelsels worden equivalent genoemd?

3. Schrijf de algemene voorwaarden voor het evenwicht van een star lichaam.

College 3 Stijve

Laat O de oorsprong van coördinaten zijn; is de resulterende kracht; is het moment van het resulterende paar. Laat het punt O1 een nieuw reductiecentrum zijn (Fig. 15).

Nieuw krachtsysteem:

Wanneer het gietpunt verandert, verandert => alleen (in de ene richting met het ene teken, in de andere met een ander). Dat is het punt: overeenkomen met de lijnen

Analytisch: (colineariteit van vectoren)

; punt O1 coördinaten.

Dit is de vergelijking van een rechte lijn, voor alle punten waarvan de richting van de resulterende vector samenvalt met de richting van het moment van het resulterende paar - de rechte lijn wordt genoemd dynamo.

Als op de as van de dynamas => , dan is het systeem gelijk aan één resulterende kracht, die wordt genoemd de resulterende kracht van het systeem. In dit geval altijd.

Vier gevallen van het brengen van krachten:

1.) ;- dynamo.

2.) ; - resultaat.

3.) ;- paar.

4.) ;- saldo.

Twee vectorevenwichtsvergelijkingen: de hoofdvector en het hoofdmoment zijn gelijk aan nul,.

Of zes scalaire vergelijkingen in projecties op cartesiaanse coördinaatassen:

Hier:

De complexiteit van het type vergelijkingen hangt af van de keuze van het reductiepunt => de kunst van de rekenmachine.

De evenwichtsvoorwaarden vinden voor een systeem van starre lichamen in interactie<=>het probleem van het evenwicht van elk lichaam afzonderlijk, en het lichaam wordt beïnvloed door externe krachten en interne krachten (de interactie van lichamen op contactpunten met gelijke en tegengesteld gerichte krachten - axioma IV, Fig. 17).

We kiezen voor alle lichamen van het systeem één verwijscentrum. Dan voor elk lichaam met het evenwichtsvoorwaardenummer:

, , (= 1, 2, …, k)

waarbij , - de resulterende kracht en het moment van het resulterende paar van alle krachten, behalve interne reacties.

De resulterende kracht en het moment van het resulterende krachtenpaar van interne reacties.

Formeel samenvatten en rekening houden met het IV-axioma

we krijgen noodzakelijke voorwaarden voor het evenwicht van een star lichaam:

Voorbeeld.

Evenwicht: = ?

Testvragen:

1. Noem alle gevallen waarin het krachtenstelsel op één punt wordt gebracht.

2. Wat is een dynamo?

3. Formuleer de noodzakelijke voorwaarden voor het evenwicht van een systeem van starre lichamen.

Hoorcollege 4 Plat systeem van krachten

Een speciaal geval van de algemene taaklevering.

Laat alle werkende krachten in hetzelfde vlak liggen - bijvoorbeeld een blad. Laten we het punt O kiezen als het centrum van reductie - in hetzelfde vlak. We krijgen de resulterende kracht en het resulterende paar in hetzelfde vlak, dat wil zeggen (Fig. 19)

Opmerking.

Het systeem kan worden teruggebracht tot één resulterende kracht.

Evenwichtscondities:

of scalairen:

Zeer gebruikelijk in toepassingen zoals sterkte van materialen.

Voorbeeld.

Met de wrijving van de bal op het bord en in het vliegtuig. Evenwichtstoestand: = ?

Het probleem van het evenwicht van een niet-vrij star lichaam.

Een star lichaam wordt niet-vrij genoemd, waarvan de beweging wordt beperkt door beperkingen. Bijvoorbeeld andere carrosserieën, scharnierende bevestigingen.

Bij het bepalen van de evenwichtsvoorwaarden: een niet-vrij lichaam kan als vrij worden beschouwd, waarbij de bindingen worden vervangen door onbekende reactiekrachten.

Voorbeeld.

Testvragen:

1. Wat wordt een plat krachtenstelsel genoemd?

2. Schrijf de evenwichtsvoorwaarden voor een plat krachtenstelsel.

3. Wat voor soort vast lichaam wordt niet-vrij genoemd?

College 5 Speciale gevallen van rigide lichaamsevenwicht

Stelling. Drie krachten brengen een star lichaam alleen in evenwicht als ze allemaal in hetzelfde vlak liggen.

Een bewijs.

We kiezen een punt op de werklijn van de derde kracht als reductiepunt. Dan (afb.22)

Dat wil zeggen, de vlakken S1 en S2 vallen samen, en voor elk punt op de krachtas, enz. (Makkelijker: in het vliegtuig) alleen voor de balans).

Als onderdeel van elk curriculum begint de studie van natuurkunde met mechanica. Niet van theoretische, niet van toegepaste en niet computationele, maar van goede oude klassieke mechanica. Deze mechanica wordt ook wel Newtoniaanse mechanica genoemd. Volgens de legende liep een wetenschapper in de tuin, zag een appel vallen, en het was dit fenomeen dat hem ertoe bracht de wet te ontdekken zwaartekracht. Natuurlijk heeft de wet altijd bestaan, en Newton heeft er alleen een voor mensen begrijpelijke vorm aan gegeven, maar zijn verdienste is onbetaalbaar. In dit artikel zullen we de wetten van de Newtoniaanse mechanica niet zo gedetailleerd mogelijk beschrijven, maar we zullen de basis, basiskennis, definities en formules schetsen die u altijd in de kaart kunnen spelen.

Mechanica is een tak van de natuurkunde, een wetenschap die de beweging van materiële lichamen en de interacties daartussen bestudeert.

Het woord zelf is van Griekse oorsprong en vertaalt zich als "de kunst van het bouwen van machines". Maar voordat we machines gaan bouwen, hebben we nog een lange weg te gaan, dus laten we in de voetsporen treden van onze voorouders, en we zullen de beweging bestuderen van stenen die schuin naar de horizon worden gegooid, en appels die vanaf een hoogte h op koppen vallen.

Waarom begint de studie natuurkunde met mechanica? Omdat het volkomen natuurlijk is om niet uit te gaan van een thermodynamisch evenwicht?!

Mechanica is een van de oudste wetenschappen en historisch gezien begon de studie van de natuurkunde precies met de fundamenten van de mechanica. Geplaatst in het kader van tijd en ruimte, konden mensen in feite niet van iets anders uitgaan, hoe graag ze dat ook wilden. Bewegende lichamen zijn het eerste waar we op letten.

Wat is beweging?

Mechanische beweging is een verandering in de positie van lichamen in de ruimte ten opzichte van elkaar in de tijd.

Na deze definitie komen we heel natuurlijk bij het begrip referentiekader. De positie van lichamen in de ruimte ten opzichte van elkaar veranderen. Kernwoorden hier: ten opzichte van elkaar . Immers, een passagier in een auto beweegt met een bepaalde snelheid ten opzichte van een persoon die aan de kant van de weg staat, en rust ten opzichte van zijn buurman op een stoel in de buurt, en beweegt zich met een andere snelheid ten opzichte van een passagier in een auto die haalt ze in.

Dat is de reden waarom, om normaal de parameters van bewegende objecten te meten en niet in de war te raken, we nodig hebben: referentiesysteem - star met elkaar verbonden referentielichaam, coördinatensysteem en klok. De aarde beweegt bijvoorbeeld om de zon in heliocentrisch systeem referentie. In het dagelijks leven voeren we bijna al onze metingen uit in een geocentrisch referentiesysteem dat verbonden is met de aarde. De aarde is een referentielichaam ten opzichte waarvan auto's, vliegtuigen, mensen, dieren bewegen.

De mechanica heeft als wetenschap haar eigen taak. De taak van de mechanica is om op elk moment de positie van het lichaam in de ruimte te kennen. Met andere woorden, de mechanica construeert een wiskundige beschrijving van beweging en vindt verbanden tussen de fysieke grootheden die deze kenmerken.

Om verder te komen, hebben we het begrip " materieel punt ". Ze zeggen dat natuurkunde een exacte wetenschap is, maar natuurkundigen weten hoeveel benaderingen en aannames er gemaakt moeten worden om het over deze juistheid eens te worden. Niemand heeft ooit een materieel punt gezien of een ideaal gas gesnoven, maar ze bestaan wel! Ze zijn gewoon veel gemakkelijker om mee te leven.

Een materieel punt is een lichaam waarvan de grootte en vorm in de context van dit probleem kunnen worden verwaarloosd.

Secties van de klassieke mechanica

Mechanica bestaat uit verschillende secties

Kinematica
dynamiek
Statica

Kinematica bestudeert vanuit een fysiek oogpunt precies hoe het lichaam beweegt. Met andere woorden, deze paragraaf behandelt de kwantitatieve kenmerken van beweging. Vind snelheid, pad - typische taken van kinematica

dynamiek lost de vraag op waarom het beweegt zoals het doet. Dat wil zeggen, het houdt rekening met de krachten die op het lichaam inwerken.

Statica bestudeert het evenwicht van lichamen onder invloed van krachten, dat wil zeggen, het beantwoordt de vraag: waarom valt het helemaal niet?

Toepasbaarheidsgrenzen van de klassieke mechanica.

De klassieke mechanica claimt niet langer een wetenschap te zijn die alles verklaart (begin vorige eeuw was alles heel anders), en heeft een duidelijk toepassingsgebied. Over het algemeen gelden de wetten van de klassieke mechanica voor de wereld die ons bekend is in termen van grootte (macrowereld). Ze werken niet meer in het geval van de wereld van deeltjes, wanneer de klassieke mechanica wordt vervangen door de kwantummechanica. Ook is de klassieke mechanica niet van toepassing op gevallen waarin de beweging van lichamen plaatsvindt met een snelheid die dicht bij de lichtsnelheid ligt. In dergelijke gevallen worden relativistische effecten uitgesproken. Grofweg gesproken, in het kader van de kwantum- en relativistische mechanica - klassieke mechanica, dit speciaal geval wanneer de afmetingen van het lichaam groot zijn en de snelheid klein. U kunt er meer over lezen in ons artikel.

Over het algemeen gaan kwantum- en relativistische effecten nooit weg; ze vinden ook plaats tijdens de gebruikelijke beweging van macroscopische lichamen met een snelheid die veel lager is dan de snelheid van het licht. Een ander ding is dat de werking van deze effecten zo klein is dat het niet verder gaat dan de meest nauwkeurige metingen. De klassieke mechanica zal dus nooit haar fundamentele belang verliezen.

We zullen in toekomstige artikelen de fysieke basis van mechanica blijven bestuderen. Voor een beter begrip van de mechanica kun je altijd terecht bij, die individueel licht werpen op de donkere plek van de moeilijkste taak.