Steven Strogatz Niềm vui của X. Một cuộc hành trình hấp dẫn vào thế giới toán học từ một trong những giáo viên giỏi nhất thế giới

vấn đề chính Toán học của trường là không có vấn đề gì trong đó. Vâng, tôi biết điều gì sẽ xảy ra đối với các vấn đề trong lớp học: những bài tập vô vị, nhàm chán. “Đây là nhiệm vụ. Đây là cách để giải quyết nó. Vâng, chúng xảy ra trong các kỳ thi. Nhiệm vụ nhà 1-15. Thật là một cách học toán buồn tẻ: trở thành một con tinh tinh được huấn luyện.
Paul Lockhard
trích từ bài tiểu luận "Sự than thở của nhà toán học"

Toán học có lẽ là một trong những ngành khoa học kỳ lạ nhất. Không có chủ đề nào khác mà các mặt đối lập kết hợp mạnh mẽ đến vậy: từ tính chặt chẽ của các bằng chứng chính thức đến khả năng “nhìn thấy” các công trình xây dựng nhất định. Toán học có cả vẻ đẹp bên trong và vẻ đẹp bên ngoài. Không có gì thú vị hơn là giải quyết các vấn đề toán học. Và không có môn học nào khác được dạy trong trường một cách kém hiệu quả như vậy.

Việc học toán thường bắt đầu ở trường như thế nào? Từ việc ban hành một bộ ký hiệu và định nghĩa khó hiểu cho trẻ 7-8 tuổi, và một hệ thống các thuật toán để sử dụng abracadabra này. Những thứ riêng biệt, ví dụ, bảng cửu chương, được ghi nhớ.

Trong các lớp học tiếp theo, dựa trên hệ thống này, học sinh sẽ được chỉ dẫn và buộc phải ghi nhớ một loạt các nghi lễ ma thuật cho phép họ giải quyết các vấn đề khó khăn. Các định nghĩa mới sẽ xuất hiện, chẳng hạn như " phần thích hợp" và " phân số không đúng mà không có lời giải thích nhỏ nhất về nguồn gốc của nó và quan trọng nhất là tại sao. Đặc biệt chú ý sẽ được dành để giải quyết các vấn đề văn bản vô ích và tốn công sức có cùng mối quan hệ với thực tế như chính các thuật toán.

Như một bài kiểm tra nhỏ, chúng tôi có thể đưa ra để ghi nhớ: bạn cần xác định phân số đúng hay sai bao nhiêu lần trong đời?

Tôi buộc phải học thuộc lòng: bình phương của tổng hai số bằng tổng bình phương của chúng, tăng lên bằng tích nhân đôi của chúng. Tôi không biết điều đó có nghĩa là gì; Khi tôi không thể nhớ được những từ này, giáo viên đã đánh tôi bằng một cuốn sách vào đầu, tuy nhiên, điều này không thể kích thích trí tuệ của tôi ít nhất.
Bertrand Russell
Nhà triết học, nhà logic và toán học người Anh

Đồng thời, các giáo viên sẽ đàn áp không thương tiếc bất kỳ người bất đồng quan điểm nào. Hãy thử viết 5/2 thay vì 2 1/2 (mà bạn luôn muốn phản đối: nếu tôi có ba quả táo, mỗi quả được chia đôi, thì tôi sẽ lấy 5 nửa, không phải 2 quả táo và 1 nửa).

Chủ đề này có thể được tiếp tục trong một thời gian khá dài. Hơn nữa, điều này đã được thực hiện trong bài tiểu luận "Sự than thở của nhà toán học" của Paul Lockhart. Nó thể hiện khá tốt "Ai là người đáng trách." Nhưng không có câu trả lời nào được đưa ra cho người thứ hai Câu hỏi quan trọng- "Làm gì".

Một câu trả lời cho câu hỏi này được đưa ra trong một cuốn sách tuyệt vời, gần đây đã được dịch sang tiếng Nga. Cuốn sách có tên The Pleasure of x.

Niềm vui từ x

Nếu bạn không thể giải thích điều gì đó cho một đứa trẻ sáu tuổi, thì chính bạn cũng không hiểu nó.
Albert Einstein

Đây là cuốn sách mà nên là máy tính để bàn cho bất kỳ giáo viên nào của bất kỳ môn học kỹ thuật nào, có thể là toán học hoặc khoa học máy tính.

Tác giả của món ăn này, Stephen Strogatz là một giáo viên, nhà toán học đẳng cấp thế giới ứng dụng toán học tại Đại học Cornell Hoa Kỳ (một trong những trường hàng đầu trường đại học kỹ thuật Sự thanh bình). Và, đánh giá về cuốn sách, con người này đã kết hợp hai phẩm chất tuyệt vời khiến tác phẩm này trở thành sách bán chạy: Steven Strogatz là một nhà toán học và giáo viên giỏi trong một con người.

Bạn có thể dạy, nhưng không biết rõ về môn học. Bạn có thể biết rõ về môn học, nhưng không thể dạy được. Bạn có thể làm cả hai, nhưng tầm thường. Stephen Strogatz thuộc về một kiểu người khác: anh ấy biết và biết cách dạy đúng.

Cuốn sách này nói về điều gì? Trên thực tế, về mọi thứ được kết nối bằng cách nào đó với toán học. Thoạt nhìn, các phần của cuốn sách được chọn một cách hỗn loạn (Có thể có các con số, tỷ lệ, số liệu, thời gian thay đổi, dữ liệu đa dạng, biên giới), nhưng khi bạn đọc, bạn bắt đầu hiểu những gì tác giả muốn truyền tải. Cuốn sách dựa trên nghiên cứu. Nghiên cứu do tác giả thực hiện cùng với độc giả.

Phạm vi các nhiệm vụ đang được xem xét là rất lớn. Bất kỳ người nào, ngay cả một kiến thức xuất sắc về toán học, sẽ học được điều gì đó mới mẻ từ nó. Đồng thời, chúng được coi là nhiệm vụ thực tế(ví dụ, tính toán tiền lãi nhận được từ cổ phiếu đầu tư vào thị trường chứng khoán), và hoàn toàn trừu tượng.

Nhiều nhiệm vụ được đưa ra trong bối cảnh lịch sử. Tôi muốn nói riêng ở đây: bây giờ, lịch sử phát triển của toán học đã bị loại bỏ khỏi hầu hết các sách giáo khoa. Trong khi đó, chỉ bằng cách hiểu bối cảnh lịch sử, người ta có thể đi tất cả các con đường - từ số học đơn giản nhất đến các lý thuyết toán học hiện đại.

Nhớ lại, chẳng hạn, phương trình bậc hai. Bao nhiêu giọt nước mắt của cả học sinh và giáo viên khi cố gắng học thuộc câu thần chú: X một-hai bằng trừ ba cộng hoặc trừ căn bậc ba trừ bốn a-tse và chia mọi thứ cho hai a.

Nhân tiện, cách viết này không còn đúng theo tiêu chuẩn toán học mới - xấp xỉ. người biên tập.

Người có trí nhớ tốt và / hoặc "thuộc môn" vẫn có thể nhớ được định lý Vieta. Nhưng thay vì tất cả những điều này, Stephen Strogatz đưa ra một lời giải thích thanh lịch do al-Khwarizmi phát minh ra, với sự trợ giúp của nó, không cần bất kỳ công thức nào, người ta có thể dễ dàng và tự nhiên tìm ra giải pháp (mặc dù không đầy đủ: trong những ngày đó số âm chưa được sử dụng rộng rãi). Và tôi xin cam đoan rằng, bất cứ ai đọc được quyết định này sẽ nhớ mãi. Lần đầu tiên.

Từ chương này sang chương khác, mức độ phức tạp của các nhiệm vụ tăng lên. Nhưng hiểu biết không mất đi, đó là cái thú đặc biệt khi đọc Thú vui của x. Người đọc được hòa mình vào bầu không khí mà tác giả đã tạo ra cho mình, một cách thực tế, trong một thế giới mới đầy dũng cảm.

Tôi không biết phải so sánh cuốn sách này với cái gì. Có lẽ với những bài giảng nổi tiếng của Feyman về vật lý, hoặc với "Ông phải nói đùa, ông Feyman." Nhưng có một điều chắc chắn là cuốn sách này sẽ để lại dấu ấn trong tâm hồn những ai đọc nó.

Các con số hữu ích như thế nào đối với việc nghiên cứu thế giới xung quanh chúng ta, vẻ đẹp của hình học là gì, tính thanh lịch của phép tính tích phân và số liệu thống kê quan trọng như thế nào? Steven Strogatz nói về tất cả những điều này trong cuốn sách The Pleasure of X. Tác giả giải thích các ý tưởng toán học cơ bản một cách đơn giản và trang nhã, đưa ra các ví dụ mà mọi người có thể hiểu được. trang web xuất bản một trong các chương của cuốn sách do nhà xuất bản Mann, Ivanov và Ferber xuất bản.

Số liệu thống kê bỗng trở nên hợp thời. Với sự ra đời của Internet, thương mại điện tử, mạng xã hội, một dự án giải mã bộ gen người, và liên quan đến sự phát triển của văn hóa kỹ thuật số nói chung, thế giới bắt đầu ngộp dữ liệu. Các nhà tiếp thị nghiên cứu thị hiếu và thói quen của chúng ta. Dịch vụ tình báo thu thập thông tin về nơi ở, email và cuộc gọi điện thoại. Các nhà thống kê thể thao sắp xếp các con số để quyết định mua cầu thủ nào, tuyển mộ ai và ngồi dự bị. Mọi người đều cố gắng kết hợp các dấu chấm thành một biểu đồ và khám phá ra một mô hình trong sự tích tụ hỗn loạn của dữ liệu.

Không có gì ngạc nhiên khi những xu hướng này được phản ánh trong việc học. Greg Mankiw, một nhà kinh tế học tại Đại học Harvard, nhắc nhở trong một chuyên mục của New York Times: “Hãy đi xuống các số liệu thống kê.

"TẠI chương trình giáo dục trong toán học tại Trung học phổ thông dành quá nhiều thời gian chủ đề truyền thống, chẳng hạn như hình học Euclid và lượng giác. Những điều này hữu ích cho người bình thường các bài tập trí óc, tuy nhiên, ít được sử dụng trong Cuộc sống hàng ngày. Sẽ hữu ích hơn nhiều cho sinh viên nếu học thêm về lý thuyết xác suất và thống kê. ” David Brooks thậm chí còn đi xa hơn. Trong bài viết về những kỷ luật đáng được quan tâm để có được một nền giáo dục tử tế, ông viết: “Hãy thống kê. Bạn sẽ thấy, hóa ra việc biết độ lệch chuẩn là gì sẽ rất hữu ích cho bạn trong cuộc sống.

Điều đó hoàn toàn có thể xảy ra, và cũng rất tốt nếu bạn hiểu phân phối là gì. Đây là điều đầu tiên tôi định nói đến. Và tôi muốn tập trung vào nó, bởi vì đây là một trong những bài học chính của thống kê: mọi thứ dường như ngẫu nhiên và không thể đoán trước được khi xét riêng lẻ, nhưng trong tổng thể, chúng bộc lộ tính đều đặn và có thể dự đoán được.

Bạn có thể đã xem một cuộc trình diễn về nguyên tắc này tại một bảo tàng khoa học nào đó (nếu không, bạn có thể tìm thấy các video trên mạng). Một triển lãm điển hình là một thiết bị gọi là bảng Galton, hơi giống với một máy bắn bi, chỉ không có chân chèo. Bên trong nó đều đặn là những hàng chân chẵn.

Bảng Galton

Trải nghiệm bắt đầu với phần trên Ban Galton được tung ra hàng trăm quả bóng. Khi rơi, chúng va chạm với các chốt và với xác suất bằng nhau bật sang phải hoặc sang trái, và sau đó chúng được phân bố ở dưới cùng của bảng, rơi vào các ngăn có cùng chiều rộng. Chiều cao của cột bóng cho biết xác suất để quả bóng có thể ở một vị trí nhất định. Hầu hết các quả bóng được đặt xấp xỉ ở giữa, đã có ít hơn ở hai bên và thậm chí còn ít hơn ở các cạnh.

Nhìn chung, bức tranh cực kỳ dễ đoán: các quả bóng luôn tạo thành một phân bố hình chuông, mặc dù không thể đoán trước được vị trí của từng quả bóng riêng lẻ.

Làm thế nào để các tai nạn cá nhân biến thành các mẫu chung? Nhưng đó là cách hoạt động của sự ngẫu nhiên. Cột ở giữa có nhiều bóng nhất vì nhiều người trong số họ sẽ thực hiện cùng một số lần nhảy sang phải và trái trước khi lăn xuống, và kết quả là chúng sẽ kết thúc ở đâu đó ở giữa. Một số quả bóng đơn lẻ nằm dọc theo các cạnh tạo thành các đuôi phân bố - đây là những quả bóng mà khi va chạm với các chốt, luôn bật ra theo cùng một hướng. Những quả bóng như vậy khó xảy ra, đó là lý do tại sao có rất ít quả bóng xung quanh các cạnh.

Giống như vị trí của mỗi quả bóng được xác định bởi tổng số các sự kiện ngẫu nhiên, rất nhiều hiện tượng trên thế giới này là kết quả của nhiều trường hợp nhỏ và cũng tuân theo đường cong hình chuông. Nguyên tắc này hoạt động Các công ty bảo hiểm. Họ với độ chính xác cao có thể kể tên số lượng khách hàng của họ chết mỗi năm. Tuy nhiên, họ không biết chính xác ai sẽ là người không may mắn lần này.

Hoặc lấy ví dụ, chiều cao của một người. Nó phụ thuộc vào vô số tai nạn liên quan đến di truyền, hóa sinh, dinh dưỡng và môi trường. Do đó, nhiều khả năng khi xét chung, chiều cao của nam và nữ trưởng thành sẽ là một đường cong hình chuông.

Trong một bài đăng trên blog có tiêu đề "Dữ liệu sai mà mọi người báo cáo về bản thân trực tuyến", thống kê của trang web hẹn hò OkCupid gần đây đã đăng một biểu đồ về sự tăng trưởng của khách hàng của họ, hay đúng hơn là các giá trị mà họ đã báo cáo. Người ta thấy rằng tốc độ tăng trưởng của cả hai giới, như mong đợi, tạo thành một đường cong hình chuông. Tuy nhiên, đáng ngạc nhiên là cả hai phân phối đều bị lệch sang phải khoảng hai inch so với giá trị mong đợi.

Strogats S. Niềm vui từ H. - M.: Mann, Ivanov và Ferber, 2014.

Do đó, chiều cao của những khách hàng được OkCupid khảo sát là trên mức trung bình hoặc họ thêm vài inch vào chiều cao khi mô tả bản thân trực tuyến.

Một phiên bản lý tưởng hóa của những đường cong hình chuông này là cái mà các nhà toán học gọi là phân phối chuẩn. Đây là một trong những khái niệm quan trọng nhất trong thống kê, nó có cơ sở lý thuyết. Có thể chứng minh rằng phân phối bình thường xảy ra khi thêm một số lượng lớn các yếu tố ngẫu nhiên nhỏ, mỗi yếu tố hoạt động độc lập với các yếu tố khác. Và nhiều điều xảy ra theo cách đó.

Nhưng không phải tất cả. Và đây là điểm thứ hai mà tôi muốn thu hút sự chú ý. Phân phối chuẩn không phổ biến như nó có vẻ. Trong một trăm năm, và đặc biệt là trong vài thập kỷ gần đây, các nhà khoa học và thống kê đã ghi nhận sự tồn tại của nhiều hiện tượng đi chệch khỏi đường cong này và tuân theo lịch trình riêng của chúng. Điều đáng tò mò là những kiểu phân bố như vậy thực tế không được đề cập trong sách giáo khoa về thống kê sơ cấp, và nếu chúng xảy ra, chúng thường được coi là một dạng bệnh lý nào đó.

Điều này thật kỳ lạ. Tôi sẽ cố gắng giải thích rằng nhiều hiện tượng cuộc sống hiện đại có ý nghĩa hơn nếu những phân bố "bệnh lý" này được hiểu. Đây là điều bình thường mới. Lấy ví dụ, sự phân bố quy mô thành phố ở Hoa Kỳ. Thay vì tập hợp xung quanh một số đường cong hình chuông trung bình, đại đa số các thành phố đều nhỏ và do đó tập trung ở phía bên trái của biểu đồ.

Strogats S. Niềm vui từ H. - M.: Mann, Ivanov và Ferber, 2014.

Và dân số của thành phố càng lớn, thì những thành phố như vậy càng ít được tìm thấy. Nói cách khác, trong tổng thể, phân phối sẽ là một đường cong hình chữ L chứ không phải là một đường cong hình chuông.

Và không có gì đáng ngạc nhiên trong việc này. Mọi người đều biết rằng có ít siêu đô thị hơn nhiều so với các thị trấn nhỏ. Mặc dù nó không quá rõ ràng, nhưng kích thước của các thành phố tuân theo một phân bố đẹp đơn giản - nếu bạn nhìn chúng trên thang logarit.

Chúng ta sẽ giả định rằng sự khác biệt giữa hai thành phố là như nhau nếu dân số của chúng khác nhau về cùng một số lần (giống như hai phím đàn piano bất kỳ cách nhau một quãng tám luôn khác nhau về tần số hai lần). Và chúng ta sẽ làm tương tự trên trục tung.

Strogats S. Niềm vui từ H. - M.: Mann, Ivanov và Ferber, 2014.

Bây giờ dữ liệu nằm trên một đường cong gần như là một đường thẳng hoàn hảo. Dựa vào các tính chất của logarit, có thể dễ dàng suy ra rằng đường cong hình chữ L ban đầu là một phụ thuộc công suất, được mô tả bởi một hàm có dạng

trong đó x là dân số của thành phố, y là số thành phố có quy mô đó, c là hằng số và số mũ a (lũy thừa luật) xác định hệ số góc âm của đường thẳng.

Phân phối công suất có một số phi logic, theo quan điểm của thống kê truyền thống, tính chất. Ví dụ, không giống như phân phối chuẩn, các phương thức, trung điểm và phương tiện của chúng không khớp nhau do hình dạng lệch, lệch của các đường cong hình chữ L.

Tổng thống Bush được hưởng lợi rất nhiều từ việc này, khi tuyên bố vào năm 2003 rằng việc cắt giảm thuế đã tiết kiệm cho mỗi gia đình trung bình 1.586 đô la. Mặc dù chính xác về mặt toán học, nhưng lợi thế của mình ở đây, ông đã lấy lợi ích của mình để làm cơ sở cho khoản khấu trừ trung bình, che giấu khoản khấu trừ khổng lồ hàng trăm nghìn đô la mà 0,1% dân số giàu nhất đất nước nhận được. Người ta biết rằng "cái đuôi" ở phía bên phải của phân phối thu nhập tuân theo quy luật quyền lực, và trong tình huống như vậy, việc sử dụng giá trị trung bình là sai lệch, vì nó khác xa giá trị của nó. giá trị thực. Trên thực tế, hầu hết các gia đình nhận lại ít hơn $ 650. Trong phân phối này, giá trị trung vị nhỏ hơn nhiều so với giá trị trung bình.

Ví dụ này chứng minh tính chất quan trọng nhất của phân phối theo luật lũy thừa: chúng có "đuôi nặng" so với ít nhất là "đuôi chất lỏng" nhỏ của phân phối chuẩn. Các đuôi lớn như thế này, mặc dù hiếm, nhưng phổ biến hơn trong phân phối dữ liệu hơn là các đường cong hình chuông thông thường.

Vào thứ Hai đen tối, ngày 19 tháng 10 năm 1987, chỉ số công nghiệp trung bình Dow Jones giảm 22%. So với mức độ biến động thông thường trên thị trường chứng khoán, mức sụt giảm này là hơn hai mươi độ lệch chuẩn. Theo thống kê truyền thống (sử dụng phân phối chuẩn), một sự kiện như vậy gần như không thể xảy ra: xác suất của nó nhỏ hơn một trong 100.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 (10 đến lũy thừa của 50). Tuy nhiên, điều này đã xảy ra - bởi vì sự biến động giá cả trên thị trường chứng khoán không tuân theo một phân phối bình thường.

Các bản phân phối có "đuôi nặng" phù hợp hơn để mô tả chúng. Điều này xảy ra với động đất, hỏa hoạn và lũ lụt, gây khó khăn cho các công ty bảo hiểm trong việc quản lý rủi ro.

Như nhau mô hình toán học mô tả số người chết vì chiến tranh và các cuộc tấn công khủng bố, cũng như những điều khác, yên bình hơn nhiều, chẳng hạn như số lượng từ trong một cuốn tiểu thuyết hoặc số lượng bạn tình mà một người có.

Mặc dù các tính từ được sử dụng để mô tả đuôi dài, phơi bày chúng trong điều kiện ánh sáng không mấy thuận lợi, các phân bố "có đuôi" tự hào mang theo đuôi của chúng. Đậm, nặng và dài? Vâng, đúng vậy. Nhưng trong trường hợp này, hãy chỉ cho tôi cái nào là bình thường?

Cuốn sách này được bổ sung tốt bởi:

Quanta

Scott Patterson

Brainiac

Ken Jennings

quả cầu tiền

Michael Lewis

Đầu óc linh hoạt

Carol Dweck

Vật lý của thị trường chứng khoán

James Weatherall

Niềm vui của X

Chuyến tham quan có hướng dẫn về toán học, từ Một đến Vô cực

Stephen Strogatz

niềm vui từ X

Một chuyến đi thú vị vào thế giới toán học từ một trong những giáo viên giỏi nhất thế giới

Thông tin từ nhà xuất bản

Được xuất bản bằng tiếng Nga lần đầu tiên

Được xuất bản với sự cho phép của Steven Strogatz, c / o Brockman, Inc.

Strogats, P.

niềm vui từ X. Một cuộc hành trình thú vị vào thế giới toán học từ một trong những giáo viên giỏi nhất thế giới / Stephen Strogatz; mỗi. từ tiếng Anh. - M.: Mann, Ivanov và Ferber, 2014.

ISBN 978-500057-008-1

Cuốn sách này có thể thay đổi hoàn toàn thái độ của bạn đối với toán học. Nó bao gồm các chương ngắn, trong mỗi chương bạn sẽ khám phá ra những điều mới mẻ. Bạn sẽ học được những con số hữu ích như thế nào đối với việc nghiên cứu thế giới xung quanh bạn, hiểu được vẻ đẹp của hình học, làm quen với sự sang trọng của phép tính tích phân, thấy tầm quan trọng của thống kê và tiếp xúc với vô hạn. Tác giả giải thích những ý tưởng toán học cơ bản một cách đơn giản và trang nhã, đưa ra những ví dụ tuyệt vời mà mọi người có thể hiểu được.

Đã đăng ký Bản quyền.

Không một phần nào của cuốn sách này có thể được sao chép dưới bất kỳ hình thức nào mà không có sự cho phép bằng văn bản của chủ sở hữu bản quyền.

Hỗ trợ pháp lý cho nhà xuất bản được cung cấp bởi công ty luật "Vegas-Lex"

Lời tựa

Tôi có một người bạn, mặc dù buôn bán (anh ấy là một nghệ sĩ), nhưng rất đam mê khoa học. Bất cứ khi nào chúng tôi gặp nhau, anh ấy đều nhiệt tình nói về những phát triển mới nhất trong tâm lý học hoặc cơ học lượng tử. Nhưng ngay khi chúng tôi nói về toán học, anh ấy cảm thấy đầu gối của mình run lên, điều này khiến anh ấy rất khó chịu. Anh ta phàn nàn rằng những ký hiệu toán học kỳ lạ này không chỉ thách thức anh ta mà đôi khi anh ta thậm chí còn không biết cách phát âm chúng.

Trên thực tế, lý do khiến ông không thích toán học còn sâu xa hơn nhiều. Anh ấy sẽ không bao giờ hiểu những gì các nhà toán học nói chung làm và ý họ muốn nói gì khi họ nói rằng cách chứng minh này thật tao nhã. Đôi khi chúng tôi nói đùa rằng tôi chỉ nên ngồi xuống và bắt đầu dạy anh ta từ những điều rất cơ bản, nghĩa đen là từ 1 + 1 = 2, và đi sâu vào toán học nhiều nhất có thể.

Và mặc dù ý tưởng này có vẻ điên rồ, nhưng đó là điều tôi sẽ cố gắng thực hiện trong cuốn sách này. Tôi sẽ hướng dẫn bạn qua tất cả các ngành chính của khoa học, từ số học đến toán cao cấp, để những ai muốn có cơ hội thứ hai cuối cùng cũng có thể nắm lấy. Và lần này bạn không cần phải ngồi vào bàn làm việc nữa. Cuốn sách này sẽ không làm cho bạn trở thành một chuyên gia về toán học. Nhưng sẽ giúp hiểu được ngành học này nghiên cứu những gì và tại sao nó lại thú vị đối với những người hiểu nó.

Chúng ta sẽ tìm hiểu làm thế nào mà những cú trượt dài của Michael Jordan có thể giúp giải thích những điều cơ bản của phép tính toán. Tôi sẽ chỉ cho bạn một cách đơn giản và tuyệt vời để hiểu định lý cơ bản của hình học Euclide - định lý Pitago. Chúng tôi sẽ cố gắng tìm hiểu tận cùng của một số bí ẩn trong cuộc sống, lớn và nhỏ: Có phải Jay Simpson đã giết vợ của mình; làm thế nào để thay đổi nệm để nó tồn tại lâu nhất có thể; cần thay đổi bao nhiêu đối tác trước khi diễn ra đám cưới - và chúng ta sẽ thấy tại sao một số đối tác lại lớn hơn các đối tác khác.

Toán học có ở khắp mọi nơi, bạn chỉ cần học cách nhận biết nó. Bạn có thể nhìn thấy hình sin trên lưng ngựa vằn, bạn có thể nghe thấy âm vang của các định lý Euclid trong Tuyên ngôn Độc lập; những gì tôi có thể nói, ngay cả trong các báo cáo khô khan trước Chiến tranh thế giới thứ nhất, có những con số âm. Bạn cũng có thể thấy các lĩnh vực toán học mới ảnh hưởng như thế nào đến cuộc sống của chúng ta ngày nay, chẳng hạn như khi chúng ta tìm kiếm nhà hàng bằng máy tính hoặc cố gắng ít nhất là hiểu, hoặc tốt hơn, sống sót qua những biến động đáng sợ trên thị trường chứng khoán.

Một loạt 15 bài dưới tên gọi chung Cơ bản về Toán học đã xuất hiện trên mạng vào cuối tháng 1 năm 2010. Để đáp lại sự xuất bản của họ, những lá thư và bình luận đã đổ về từ độc giả ở mọi lứa tuổi, trong đó có nhiều học sinh và giáo viên. Cũng có những người chỉ đơn giản là ham học hỏi, vì lý do này hay lý do khác, “lạc lối” trong việc hiểu khoa học toán học; bây giờ họ cảm thấy như họ đã bỏ lỡ một cái gì đó. Về và muốn thử lại. Tôi đặc biệt hài lòng với lòng biết ơn của cha mẹ tôi vì thực tế là với sự giúp đỡ của tôi, họ đã có thể giải thích toán học cho con cái của họ, và bản thân họ cũng bắt đầu hiểu nó hơn. Có vẻ như ngay cả các đồng nghiệp và đồng đội của tôi, những người ngưỡng mộ nhiệt thành của khoa học này, cũng thích đọc các bài báo, ngoại trừ những lúc họ tranh giành nhau để đưa ra đủ loại khuyến nghị để cải thiện con cái của tôi.

Mặc dù niềm tin phổ biến, có một mối quan tâm rõ ràng đến toán học trong xã hội, mặc dù ít chú ý đến hiện tượng này. Chúng ta chỉ nghe nói về nỗi sợ hãi của toán học, tuy nhiên, nhiều người sẵn lòng cố gắng hiểu nó tốt hơn. Và một khi điều này xảy ra, sẽ rất khó để xé chúng ra.

Cuốn sách này sẽ giới thiệu cho bạn những ý tưởng phức tạp và tiên tiến nhất từ thế giới toán học. Các chương ngắn, dễ đọc và không thực sự phụ thuộc vào nhau. Trong số đó có những bài được đưa vào loạt bài đầu tiên trên New York Times. Vì vậy, ngay khi bạn cảm thấy một chút đói về toán học, đừng ngần ngại học chương tiếp theo. Nếu bạn muốn hiểu vấn đề mà bạn quan tâm một cách chi tiết hơn, thì ở cuối cuốn sách có ghi chú với thông tin thêm và gợi ý về những điều khác để đọc về nó.

Để thuận tiện cho những độc giả thích cách tiếp cận từng bước, tôi đã chia tài liệu thành sáu phần theo thứ tự truyền thống của các chủ đề.

Phần I "Các con số" bắt đầu cuộc hành trình của chúng ta với số học trong Mẫu giáo và trường tiểu học. Nó cho thấy những con số có thể hữu ích như thế nào và chúng có hiệu quả kỳ diệu như thế nào trong việc mô tả thế giới xung quanh chúng ta.

Phần II "Tỷ lệ" chuyển sự chú ý từ bản thân các con số sang mối quan hệ giữa chúng. Những ý tưởng này là trọng tâm của đại số và là công cụ đầu tiên để mô tả cách thức này ảnh hưởng đến người kia, cho thấy mối quan hệ nhân quả của nhiều thứ: cung và cầu, kích thích và phản ứng - nói tóm lại, tất cả các loại mối quan hệ tạo nên thế giới thật đa dạng và phong phú.

Phần III "Hình" không phải về số và ký hiệu, mà là về hình và không gian - lĩnh vực của hình học và lượng giác. Các chủ đề này, cùng với việc mô tả tất cả các đối tượng có thể quan sát được thông qua các hình thức, với sự trợ giúp của suy luận và chứng minh logic, nâng toán học lên cấp độ mới sự chính xác.

Trong Phần IV "Thời gian thay đổi", chúng ta sẽ xem xét giải tích - lĩnh vực ấn tượng và đa diện nhất của \ u200b \ u200bmathematic. Giải tích giúp dự đoán quỹ đạo của các hành tinh, chu kỳ của thủy triều, đồng thời có thể hiểu và mô tả tất cả các quá trình và hiện tượng thay đổi định kỳ trong Vũ trụ và bên trong chúng ta. Một vị trí quan trọng trong phần này được dành cho việc nghiên cứu về vô cực, sự bình định trong đó là một bước đột phá cho phép các tính toán hoạt động. Máy tính đã giúp giải quyết nhiều vấn đề nảy sinh trong thế giới cổ đại, và điều này cuối cùng đã dẫn đến một cuộc cách mạng trong khoa học và thế giới hiện đại.

Phần V "Nhiều khía cạnh của dữ liệu" đề cập đến xác suất, thống kê, mạng và xử lý dữ liệu - đây vẫn là những lĩnh vực tương đối non trẻ, được tạo ra bởi các khía cạnh không phải lúc nào cũng có trật tự trong cuộc sống của chúng ta, chẳng hạn như cơ hội và may mắn, không chắc chắn, rủi ro, biến động, ngẫu nhiên , sự phụ thuộc lẫn nhau. Sử dụng các công cụ toán học phù hợp và các loại dữ liệu phù hợp, chúng ta sẽ học cách phát hiện ra các mẫu trong một dòng ngẫu nhiên.

Ở phần cuối của cuộc hành trình, trong Phần VI “Giới hạn của điều có thể”, chúng ta sẽ tiếp cận giới hạn của kiến thức toán học, vùng biên giới giữa những gì đã biết và những gì còn khó nắm bắt và chưa biết. Chúng ta sẽ lại xem xét các chủ đề theo thứ tự chúng ta đã biết: số, tỷ lệ, hình dạng, sự thay đổi và vô hạn - nhưng đồng thời chúng ta sẽ xem xét từng chủ đề sâu hơn, trong hiện thân hiện đại của nó.

Toán học là ngôn ngữ chính xác và phổ quát nhất của khoa học, nhưng liệu có thể giải thích được cảm xúc của con người với sự trợ giúp của những con số? Công thức tình yêu, hạt giống của sự hỗn loạn và phương trình vi phân lãng mạn - T&P xuất bản một chương từ cuốn sách "Niềm vui của X" của một trong những giáo viên toán giỏi nhất thế giới, Steven Strogatz, được xuất bản bởi Mann, Ivanov và Ferber.

Vào mùa xuân, Tennyson đã viết, trí tưởng tượng người đàn ông trẻ dễ dàng chuyển sang những ý nghĩ về tình yêu. Than ôi, một người bạn đời tiềm năng của một chàng trai có thể có những quan niệm riêng về tình yêu, và rồi mối quan hệ của họ sẽ đầy những thăng trầm sóng gió khiến cho tình yêu trở nên thú vị và đau khổ. Một số người đau khổ vì không được đáp lại đang tìm kiếm lời giải thích về những mối tình này trong rượu, những người khác - trong thơ. Và chúng tôi sẽ tham khảo ý kiến của các tính toán.

Phân tích dưới đây sẽ mỉa mai một cách mỉa mai, nhưng nó đề cập đến các chủ đề nghiêm túc. Hơn nữa, nếu sự hiểu biết về các quy luật của tình yêu có thể tránh xa chúng ta, thì các quy luật của thế giới vô tri hiện nay đã được nghiên cứu kỹ càng. Chúng có dạng phương trình vi phân mô tả cách các biến có liên quan thay đổi theo từng thời điểm tùy thuộc vào giá trị hiện tại của chúng. Có lẽ những phương trình như vậy ít liên quan đến chuyện tình cảm, nhưng ít nhất chúng có thể làm sáng tỏ lý do tại sao, theo cách nói của một nhà thơ khác, " tình yêu đích thực chưa bao giờ suôn sẻ. Để minh họa phương pháp lập phương trình vi phân, giả sử rằng Romeo yêu Juliet, nhưng trong phiên bản câu chuyện của chúng ta, Juliet là một người yêu gió. Romeo càng yêu cô bao nhiêu thì cô lại càng muốn giấu anh bấy nhiêu. Nhưng khi Romeo lạnh nhạt dần với cô ấy, anh ấy bắt đầu có vẻ hấp dẫn cô ấy một cách bất thường. Tuy nhiên, người yêu trẻ có xu hướng phản ánh cảm xúc của cô ấy: anh ấy rực rỡ khi cô ấy yêu anh ấy, và nguội lạnh khi cô ấy ghét anh ấy.

Điều gì xảy ra với những người yêu không may của chúng tôi? Làm thế nào để tình yêu hấp thụ chúng và rời bỏ chúng theo thời gian? Đó là nơi phép tính vi phânđến để giải cứu. Bằng cách lập phương trình tóm tắt tình cảm của Romeo và Juliet, sau đó giải chúng, chúng ta có thể dự đoán tiến trình của mối quan hệ của cặp đôi. Tiên lượng cuối cùng cho cô ấy sẽ là một chu kỳ bi kịch vô tận của yêu và ghét. Ít nhất một phần tư thời gian này họ sẽ yêu nhau.

Để đi đến kết luận này, tôi giả định rằng hành vi của Romeo có thể được mô hình hóa bằng một phương trình vi phân,

trong đó miêu tả tình yêu của anh ấy ® thay đổi như thế nào trong thời điểm tiếp theo (dt). Theo phương trình này, số lần thay đổi (dR) tỷ lệ thuận (với hệ số tỷ lệ a) với tình yêu của Juliet (J). Mối quan hệ này phản ánh những gì chúng ta đã biết: tình yêu của Romeo tăng lên khi Juliet yêu anh ấy, nhưng nó cũng gợi ý rằng tình yêu của Romeo tăng tỷ lệ thuận với mức độ Juliet yêu anh ấy. Giả thiết về mối quan hệ tuyến tính này là không thể chấp nhận được về mặt cảm xúc, nhưng nó có thể đơn giản hóa rất nhiều nghiệm của phương trình.

Ngược lại, hành vi của Juliet có thể được mô hình hóa bằng cách sử dụng phương trình

Dấu hiệu âm trước hằng số b phản ánh rằng tình yêu của cô ấy nguội dần khi tình yêu của Romeo ngày càng mãnh liệt.

Điều duy nhất còn lại để xác định là cảm xúc ban đầu của họ (nghĩa là giá trị của R và J tại thời điểm t = 0). Sau đó, tất cả các thông số cần thiết sẽ được thiết lập. Chúng ta có thể sử dụng máy tính để di chuyển về phía trước từ từ, từng bước, thay đổi các giá trị của R và J theo các phương trình vi phân mô tả ở trên. Trên thực tế, với sự trợ giúp của định lý cơ bản của phép tính tích phân, chúng ta có thể tìm ra lời giải một cách phân tích. Vì mô hình đơn giản nên phép tính tích phân tạo ra một cặp công thức đầy đủ cho chúng ta biết Romeo và Juliet sẽ yêu (hoặc ghét) nhau như thế nào vào bất kỳ thời điểm nào trong tương lai.

Các phương trình vi phân được trình bày ở trên chắc hẳn đã quen thuộc với học sinh vật lý: Romeo và Juliet hoạt động giống như các dao động điều hòa đơn giản. Do đó, mô hình dự đoán rằng các hàm R (t) và J (t), mô tả sự thay đổi trong mối quan hệ của chúng theo thời gian, sẽ là hình sin, mỗi hàm tăng và giảm, nhưng giá trị tối đa chúng không hợp nhau.

"Ý tưởng ngu ngốc để mô tả mối quan hệ tình yêu với sự trợ giúp của các phương trình vi phân xuất hiện trong đầu tôi khi tôi mới yêu lần đầu tiên và cố gắng hiểu được hành vi khó hiểu của bạn gái mình "

Mô hình có thể được thực hiện thực tế hơn theo nhiều cách. Ví dụ, Romeo có thể không chỉ đáp lại cảm xúc của Juliet mà còn đáp lại tình cảm của chính anh ấy. Sẽ ra sao nếu anh ấy là một trong những chàng trai sợ bị bỏ rơi đến mức làm nguội lạnh tình cảm của mình. Hay ám chỉ một kiểu con trai thích đau khổ - đó là lý do tại sao anh ấy yêu cô ấy.

Thêm vào những tình huống này hai hành vi nữa của Romeo - anh ấy đáp lại tình cảm của Juliet bằng cách củng cố hoặc làm suy yếu tình cảm của chính mình - và bạn sẽ thấy rằng trong một mối quan hệ yêu đương có bốn phong cách khác nhau hành vi. Học sinh của tôi và học sinh của nhóm Peter Christopher từ Worcester viện bách khoađề xuất đặt tên cho các đại diện của những loại này như sau: Hermit hoặc Evil Misanthrope cho Romeo, người làm nguội cảm xúc của mình và rời xa Juliet, và Narcissistic Doodle và Flirtatious Fink cho người hâm nóng nhiệt huyết của anh ta, nhưng bị Juliet từ chối. (Bạn có thể nghĩ ra tên riêng cho tất cả các loại này).

Mặc dù các ví dụ được đưa ra rất tuyệt vời, nhưng các loại phương trình mô tả chúng rất giàu thông tin. Họ đại diện cho nhiều nhất công cụ mạnh mẽ từng được tạo ra bởi nhân loại để hiểu thế giới vật chất. Ngài Isaac Newton đã sử dụng phương trình vi phân để khám phá bí mật của chuyển động hành tinh. Với sự trợ giúp của các phương trình này, ông đã kết hợp các phương trình trên cạn và thiên cầu, cho thấy rằng các quy luật chuyển động giống nhau áp dụng cho cả hai.

Gần 350 năm sau Newton, nhân loại đã hiểu rằng các định luật vật lý luôn được diễn đạt bằng ngôn ngữ của các phương trình vi phân. Điều này đúng với các phương trình mô tả các dòng nhiệt, không khí và nước, đối với các định luật điện và từ tính, ngay cả đối với nguyên tử, nơi mà cơ học lượng tử ngự trị.

Trong mọi trường hợp, vật lý lý thuyết phải tìm đúng phương trình vi phân và giải chúng. Khi Newton khám phá ra chìa khóa này dẫn đến những bí ẩn của vũ trụ và nhận ra ý nghĩa to lớn của nó, ông đã xuất bản nó dưới dạng một phép đảo chữ Latinh. Trong một bản dịch miễn phí, nó có âm thanh như thế này: "Nó rất hữu ích khi giải các phương trình vi phân."

Ý tưởng ngu ngốc để mô tả các mối quan hệ yêu đương bằng phương trình vi phân nảy ra trong đầu tôi khi tôi mới yêu lần đầu tiên và cố gắng tìm hiểu hành vi khó hiểu của bạn gái mình. Đó là một câu chuyện tình lãng mạn mùa hè vào cuối năm thứ hai đại học của tôi. Khi đó tôi rất nhớ về Romeo đầu tiên, và cô ấy là Juliet đầu tiên. Tính chu kỳ của mối quan hệ của chúng tôi khiến tôi phát điên cho đến khi tôi nhận ra rằng cả hai chúng tôi đều hành động theo quán tính, phù hợp với luật đơn giản"đẩy-kéo". Nhưng đến cuối mùa hè, phương trình của tôi bắt đầu thất bại, và tôi càng hoang mang hơn. Hóa ra nó đã xảy ra một sự kiện quan trọng, mà tôi không tính đến: cô ấy người yêu cũ muốn trả lại nó.

Trong toán học, chúng tôi gọi một bài toán như vậy là bài toán ba thể. Rõ ràng là không thể giải quyết được, đặc biệt là trong bối cảnh thiên văn học, nơi nó lần đầu tiên xuất hiện. Sau khi Newton giải các phương trình vi phân cho bài toán hai thiên thể (giải thích tại sao các hành tinh chuyển động theo quỹ đạo hình elip quanh Mặt trời), ông chuyển sự chú ý sang bài toán ba thiên thể cho Mặt trời, Trái đất và Mặt trăng. Cả ông và các nhà khoa học khác đều không giải được. Sau này hóa ra vấn đề của 3 thân thể chứa mầm mống của sự hỗn loạn, tức là về lâu dài, hành vi của họ là không thể đoán trước.

Newton không biết gì về động lực của sự hỗn loạn, nhưng theo người bạn Edmund Halley, ông phàn nàn rằng vấn đề ba thân khiến ông đau đầu và khiến ông thường xuyên tỉnh táo đến mức không bao giờ nghĩ về nó nữa.

Tôi ở đây với bạn, thưa Ngài Isaac.

Niềm vui của X. Một cuộc hành trình thú vị vào thế giới toán học từ một trong những giáo viên giỏi nhất thế giới Stephen Strogatz

(Chưa có xếp hạng)

Title: Niềm vui của X. Một cuộc hành trình hấp dẫn vào thế giới toán học từ một trong những giáo viên giỏi nhất thế giới

Về Niềm Vui Của X. Một Cuộc Hành Trình Thú Vị Qua Toán Học Từ Một Trong Những Giáo Viên Tốt Nhất Thế Giới Của Steven Strogatz

Được xuất bản bằng tiếng Nga lần đầu tiên.

Trên trang web của chúng tôi về sách lifeinbooks.net, bạn có thể tải xuống miễn phí mà không cần đăng ký hoặc đọc sách trực tuyến"Niềm vui của X. Một cuộc hành trình hấp dẫn vào thế giới toán học từ một trong những giáo viên giỏi nhất thế giới" Stephen Strogatz ở định dạng epub, fb2, txt, rtf, pdf cho iPad, iPhone, Android và Kindle. Cuốn sách sẽ mang đến cho bạn những giây phút thư giãn vui vẻ và thực sự thích thú khi đọc. Mua phiên bản đầy đủ bạn có thể có đối tác của chúng tôi. Ngoài ra, ở đây bạn sẽ tìm thấy tin mới nhất từ thế giới văn học, tìm hiểu tiểu sử của các tác giả yêu thích của bạn. Đối với người viết mới bắt đầu, có một phần riêng biệt với lời khuyên hữu ích và các khuyến nghị những bài báo thú vị, nhờ đó bản thân bạn có thể thử sức mình với năng khiếu văn học.