Steven Strogatz - x'ten zevk. Stephen Strogatz - X'in Zevki. Dünyanın en iyi öğretmenlerinden birinden matematik dünyasına büyüleyici bir yolculuk

sevinci X

Birden Sonsuza Kadar Rehberli Matematik Turu

Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.'in izniyle yayınlanmıştır.

Tüm hakları Saklıdır. Parça yok elektronik versiyon Bu kitap, telif hakkı sahibinin yazılı izni olmaksızın, özel ve genel kullanım için İnternet ve kurumsal ağlarda yayınlamak da dahil olmak üzere hiçbir biçimde veya herhangi bir yolla çoğaltılamaz.

Yayınevinin hukuki desteği "Vegas-Lex" hukuk firması tarafından sağlanmaktadır.

* * *

Bu kitap aşağıdakilerle iyi bir şekilde tamamlanmaktadır:

kuantum

Scott Patterson

zeki

Ken Jennings

para topu

Michael Lewis

esnek zihin

Carol Dweck

Borsa Fiziği

James Hava Durumu

Önsöz

Ticaretine rağmen (o bir sanatçı) bilime tutkulu olan bir arkadaşım var. Ne zaman bir araya gelsek, psikolojideki veya kuantum mekaniğindeki en son gelişmelerden heyecanla bahsediyor. Ama matematikten bahseder konuşmaz dizlerinde bir titreme hissediyor ve bu onu çok üzüyor. Bu garip matematiksel sembollerin sadece kendisine meydan okumakla kalmadığından, bazen onları nasıl telaffuz edeceğini bile bilmediğinden şikayet ediyor.

Aslında matematikten hoşlanmamasının nedeni çok daha derindedir. Matematikçilerin genel olarak ne yaptığını ve bu ispatın zarif olduğunu söylediklerinde ne demek istediklerini asla anlamayacak. Bazen oturup ona en temelden, kelimenin tam anlamıyla 1 + 1 = 2'den öğretmeye başlamam ve elinden geldiğince matematiğe girmem gerektiği konusunda şaka yapıyoruz.

Ve bu fikir çılgınca görünse de, bu kitapta uygulamaya çalışacağım şey bu. Aritmetikten ileri matematiğe kadar tüm büyük bilim dallarında size rehberlik edeceğim, böylece ikinci bir şans isteyenler sonunda onu alabilirler. Ve bu sefer masanıza oturmak zorunda değilsiniz. Bu kitap sizi matematikte uzman yapmaz. Ancak bu disiplinin neyi incelediğini ve onu anlayanlar için neden bu kadar heyecan verici olduğunu anlamaya yardımcı olacaktır.

Sayıların hayatı ve bizim kontrol edemediğimiz davranışlarıyla ne demek istediğimi netleştirmek için Furry Paws Hotel'e dönelim. Diyelim ki Humphrey siparişi teslim etmek üzereydi, ama sonra başka bir odadaki penguenler beklenmedik bir şekilde onu aradı ve aynı miktarda balık istedi. Humphrey iki sipariş aldıktan sonra kaç kez "balık" kelimesini bağırmak zorunda kaldı? Rakamlar hakkında hiçbir şey bilmiyorsa, her iki odada da toplam penguen olduğu kadar çığlık atması gerekecekti. Ya da sayıları kullanarak aşçıya bir numara için altı balığa, diğeri için altı balığa ihtiyacı olduğunu açıklayabilirdi. Ama asıl ihtiyacı olan şey yeni konsept- ek. Bir kez ustalaştığında, gururla altı artı altı (ya da o bir balıksa on iki) balığa ihtiyacı olduğunu söyleyecektir.

Bu, sayıları yeni bulduğumuz zamanki yaratıcı sürecin aynısı. Sayıların tek tek listelemekten saymayı kolaylaştırması gibi, toplama da herhangi bir miktarı hesaplamayı kolaylaştırır. Aynı zamanda hesaplamayı yapan matematikçi olarak gelişir. Bilimsel olarak, bu düşünce şu şekilde formüle edilebilir: Doğru soyutlamaların kullanılması, konunun özüne dair daha derin bir kavrayışa ve onu çözmede daha fazla güce yol açar.

Yakında, belki Humphrey bile artık her zaman sayabildiğini anlayacaktır.

Ancak, bu kadar sonsuz bir bakış açısına rağmen, yaratıcılığımızın her zaman bazı sınırlamaları vardır. 6 ve + ile ne demek istediğimize karar verebiliriz, ancak bir kez yaptığımızda 6 + 6 gibi ifadelerin sonuçları kontrolümüz dışındadır. Mantık burada bize başka seçenek bırakmaz. Bu anlamda matematik her zaman hem buluşu hem de buluşu içerir. böyle keşif: biz icat kavramlar, ancak açık onların sonuçları. İlerleyen bölümlerde açıklığa kavuşacağı gibi, matematikte özgürlüğümüz, kendimiz icat etmeden, soru sorma ve onlara ısrarla yanıt arama yeteneğinde yatmaktadır.

2. Taş aritmetiği

Hayattaki herhangi bir fenomen gibi, aritmetiğin iki yönü vardır: resmi ve eğlenceli (veya eğlenceli).

Resmi kısmı okulda okuduk. Orada bize sayı sütunlarıyla nasıl çalışılacağını, bunları toplama ve çıkarmayı, doldururken elektronik tablolarda hesaplamalar yaparken onları nasıl kürekleyeceğini anlattılar. vergisi beyannameleri ve eğitim yıllık raporlar. Aritmetiğin bu yönü pek çok kişiye pratik açıdan önemli görünüyor, ancak tamamen kasvetli.

Aritmetiğin eğlenceli yanıyla ancak yüksek matematik çalışma sürecinde tanışabilirsiniz. {3}. Ancak, bir çocuğun merakı kadar doğaldır. {4}.

"Bir Matematikçinin Ağıtı" makalesinde Paul Lockhart, sayıları olağan örneklerden daha somut olarak incelemeyi önerir: bizden onları bir dizi taş şeklinde temsil etmemizi ister. Örneğin, 6 sayısı aşağıdaki çakıl grubuna karşılık gelir:

Burada olağandışı bir şey görmeyeceksiniz. Bu şekilde. Rakamları manipüle etmeye başlayana kadar, hemen hemen aynı görünüyorlar. Bir görev aldığımızda oyun başlar.

Örneğin, 1'den 10'a kadar taştan oluşan setlere bakalım ve bunlardan kareler oluşturmaya çalışalım. Bu ancak 4 ve 9 taşlık iki takımla yapılabilir, çünkü 4 = 2 × 2 ve 9 = 3 × 3 olur. Bu sayıları başka bir sayının karesini alarak (yani taşların karesini alarak) elde ederiz.

İşte sahip olduğu bir görev daha fazlaçözümler: Taşları eşit sayıda elemanla iki sıra halinde yerleştirirseniz, hangi kümelerin dikdörtgen olacağını bulmanız gerekir. 2, 4, 6, 8 veya 10 taşlı setler burada uygundur; sayı çift olmalıdır. Kalan setleri tek sayıda taşla iki sıra halinde düzenlemeye çalışırsak, her zaman fazladan bir taşımız olacaktır.

Ancak bu rahatsız edici numaralar için her şey kaybolmaz! Böyle iki küme alırsak, fazladan elemanlar kendileri için bir çift bulacak ve toplam çift olacaktır: tek sayı + tek sayı = çift sayı.

Bu kuralları 10'dan sonraki sayılara genişletirsek ve bir dikdörtgendeki satır sayısının ikiden fazla olabileceğini düşünürsek, bazı tek sayılar bu tür dikdörtgenlerin eklenmesine izin verecektir. Örneğin, 15 sayısı 3×5 dikdörtgen yapar.

Bu nedenle, 15 kuşkusuz tek bir sayı olmasına rağmen, bileşik bir sayıdır ve her biri beş taştan oluşan üç sıra olarak temsil edilebilir. Benzer şekilde, çarpım tablosundaki herhangi bir girdi, kendi dikdörtgen çakıl grubunu üretir.

Ancak 2, 3, 5 ve 7 gibi bazı sayılar tamamen umutsuz. Onları basit bir çizgi (tek sıra) şeklinde düzenlemek dışında hiçbir şey düzenlenemez. Bu garip inatçı insanlar ünlü asal sayılardır.

Böylece sayıların kendilerine belirli bir karakter kazandıran tuhaf yapıları olabileceğini görüyoruz. Ancak davranışlarının tamamını hayal etmek için, bireysel sayılardan geri adım atmalı ve etkileşimleri sırasında neler olduğunu gözlemlemelisiniz.

Örneğin, yalnızca iki tek sayı eklemek yerine, 1'den başlayarak olası tüm tek sayı dizilerini toplayalım:

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

Şaşırtıcı bir şekilde, bu toplamlar her zaman tam kareler olur. (4 ve 9'un nasıl kareler olarak gösterilebileceğinden bahsetmiştik ve bu aynı zamanda 16 = 4 × 4 ve 25 = 5 × 5 için de geçerlidir) Hızlı bir hesaplama, bu kuralın daha büyük tek sayılar için de geçerli olduğunu ve görünüşe göre eğilim gösterdiğini gösterir. sonsuzluğa. Peki, "fazladan" taşları olan tek sayılar ile kareleri oluşturan klasik simetrik sayılar arasındaki bağlantı nedir? Taşları doğru bir şekilde konumlandırarak neyin ne olduğunu açıkça ortaya koyabiliriz. damga zarif kanıt. {5}

Bunun anahtarı, tek sayıların, birbirinin üzerine ardı ardına bir kare oluşturan eşkenar köşeler olarak temsil edilebileceği gözlemi olacaktır!

Benzer bir akıl yürütme yöntemi, yakın zamanda yayınlanan başka bir kitapta sunulmaktadır. Yoko Ogawa'nın büyüleyici romanı The Housekeeper'da ve Profesör, kurnaz ama eğitimsiz bir genç kadın ve on yaşındaki oğlu hakkındadır. Travmatik beyin hasarı nedeniyle kısa süreli hafızasında yalnızca hayatının son 80 dakikasına ait bilgileri saklayan yaşlı bir matematikçiye bakmak üzere bir kadın tutulmuştur. Şimdiki zamanın içinde kaybolmuş, sefil kulübesinde tek başına rakamlardan başka bir şey olmayan profesör, kahyayla bildiği tek yolla iletişim kurmaya çalışır: ayakkabı numarasını veya doğum tarihini sorarak ve onunla harcamaları hakkında küçük bir konuşma yaparak. . Profesör ayrıca kahyanın Ruth (Kök - kök) adını verdiği oğluna karşı özel bir beğeniye sahiptir, çünkü çocuğun tepesinde düz bir kafa vardır ve bu ona matematikteki notasyonu hatırlatır. kare kök √.

Bir gün profesör çocuğa teklif eder. basit bir görev– 1'den 10'a kadar olan tüm sayıların toplamını bulun. Ruth tüm sayıları dikkatlice toplayıp (55) yanıtıyla geri döndükten sonra, profesör ondan daha kolay bir yol aramasını ister. cevabı bulabilir mi olmadan sayıların basit eklenmesi? Ruth bir sandalyeye tekme atıyor ve "Bu adil değil!" diye bağırıyor.

Yavaş yavaş, kahya da sayıların dünyasına çekilir ve bu sorunu gizlice kendi başına çözmeye çalışır. “Pratik bir kullanımı olmayan bir çocuk yapbozuna neden bu kadar kapıldığımı anlamıyorum” diyor. “İlk başta profesörü memnun etmek istedim, ancak yavaş yavaş bu aktivite ben ve sayılar arasında bir savaşa dönüştü. Sabah uyandığımda denklem beni bekliyordu:

1 + 2 + 3 + … + 9 + 10 = 55,

Bu kitap aşağıdakilerle iyi bir şekilde tamamlanmaktadır:

kuantum

Scott Patterson

zeki

Ken Jennings

para topu

Michael Lewis

esnek zihin

Carol Dweck

Borsa Fiziği

James Hava Durumu

X'in Sevinci

Birden Sonsuza Kadar Rehberli Matematik Turu

Stephen Strogatz

Birinden matematik dünyasına büyüleyici bir yolculuk en iyi öğretmenler Dünyada

Yayıncıdan alınan bilgiler

İlk kez Rusça olarak yayınlandı

Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.'in izniyle yayınlanmıştır.

Strogats, P.

X'ten Zevk Dünyanın en iyi öğretmenlerinden birinden matematik dünyasına heyecan verici bir yolculuk / Steven Strogatz; başına. İngilizceden. - M. : Mann, Ivanov ve Ferber, 2014.

ISBN 978-500057-008-1

Bu kitap matematiğe karşı tutumunuzu kökten değiştirebilir. Her birinde yeni bir şeyler keşfedeceğiniz kısa bölümlerden oluşur. Etrafınızdaki dünyayı incelemek, geometrinin güzelliğini anlamak, integral hesabın zarafetiyle tanışmak, istatistiğin önemini görmek ve sonsuzlukla temas kurmak için sayıların ne kadar yararlı olduğunu öğreneceksiniz. Yazar, herkesin anlayabileceği parlak örnekler vererek temel matematiksel fikirleri basit ve zarif bir şekilde açıklıyor.

Bu kitabın hiçbir bölümü, telif hakkı sahiplerinin yazılı izni olmaksızın herhangi bir biçimde çoğaltılamaz.

Yayınevinin hukuki desteği "Vegas-Lex" hukuk firması tarafından sağlanmaktadır.

Önsöz

Michael Jordan'ın smaçlarının hesabın temellerini açıklamaya nasıl yardımcı olabileceğini öğreneceğiz. Öklid geometrisinin temel teoremini - Pisagor teoremini anlamanın basit ve şaşırtıcı bir yolunu göstereceğim. Hayatın irili ufaklı bazı gizemlerinin temeline inmeye çalışacağız: Jay Simpson karısını mı öldürdü; şilteyi mümkün olduğunca uzun süre dayanacak şekilde nasıl değiştireceğiniz; bir düğün oynanmadan önce kaç partnerin değiştirilmesi gerekiyor - ve bazı sonsuzlukların neden diğerlerinden daha büyük olduğunu göreceğiz.

Matematik her yerde, sadece onu tanımayı öğrenmen gerekiyor. Bir zebranın arkasındaki sinüzoidi görebilir, Öklid'in Bağımsızlık Bildirgesi'ndeki teoremlerinin yankılarını duyabilirsiniz; Ne diyebilirim ki, Birinci Dünya Savaşı'ndan önceki kuru raporlarda bile, negatif sayılar. Ayrıca, örneğin bilgisayar kullanarak restoran aradığımızda veya en azından anlamaya çalıştığımızda veya daha da iyisi, borsadaki korkutucu dalgalanmalardan kurtulduğumuzda, matematiğin yeni alanlarının hayatımızı nasıl etkilediğini de görebilirsiniz.

15 makalelik bir dizi yaygın isim Fundamentals of Mathematics, Ocak 2010'un sonunda çevrimiçi olarak yayınlandı. Yayınlarına yanıt olarak, aralarında birçok öğrenci ve öğretmenin de bulunduğu her yaştan okuyucudan mektuplar ve yorumlar yağdı. Ayrıca, matematik bilimini anlamada şu veya bu nedenle “yolunu kaybetmiş” meraklı insanlar da vardı; şimdi bir şeyi kaçırdıklarını hissediyorlar ve tekrar denemek istiyorlar. Özellikle benim yardımımla çocuklarına matematiği açıklayabildikleri ve kendileri onu daha iyi anlamaya başladıkları için ailemin minnettarlığından memnun kaldım. Bu bilimin ateşli hayranları olan meslektaşlarım ve yoldaşlarım bile, yavrularımı geliştirmek için her türlü tavsiyeyi sunmak için birbirleriyle yarıştıkları anlar dışında, makaleleri okumaktan zevk alıyor gibiydi.

Popüler inanca rağmen, bu fenomene çok az ilgi gösterilmesine rağmen, toplumda matematiğe açık bir ilgi vardır. Biz sadece matematik korkusunu duyuyoruz ve yine de pek çoğu memnuniyetle onu daha iyi anlamaya çalışacak. Ve bu olduğunda, onları yırtmak zor olacak.

Bu kitap sizi matematik dünyasının en karmaşık ve gelişmiş fikirleriyle tanıştıracak. Bölümler kısa, okunması kolay ve gerçekten birbirine bağlı değil. Bunların arasında New York Times'daki ilk makale dizisinde yer alanlar da var. Bu nedenle, hafif bir matematiksel açlık hisseder hissetmez, bir sonraki bölüme geçmekte tereddüt etmeyin. İlginizi çeken konuyu daha detaylı anlamak istiyorsanız, kitabın sonunda notlar var. ek bilgi ve bu konuda başka ne okunacağına dair öneriler.

Adım adım yaklaşımı tercih eden okuyucuların rahatlığı için, materyali geleneksel konu düzenine uygun olarak altı bölüme ayırdım.

Bölüm I "Sayılar" yolculuğumuza aritmetik ile başlar. çocuk Yuvası ve ilkokul. Sayıların ne kadar yararlı olabileceğini ve çevremizdeki dünyayı tanımlamada nasıl sihirli bir şekilde etkili olduklarını gösterir.

Kısım II "Oranlar", dikkati sayıların kendisinden aralarındaki ilişkilere kaydırır. Bu fikirler cebirin kalbinde yer alır ve çeşitli şeylerin nedensel ilişkisini gösteren, birinin diğerini nasıl etkilediğini tanımlayan ilk araçlardır: arz ve talep, uyaran ve tepki - kısacası, dünyayı oluşturan her türlü ilişki. çok çeşitli ve zengin..

Bölüm III "Rakamlar" sayılar ve semboller hakkında değil, şekiller ve uzay hakkındadır - geometri ve trigonometri alanı. Bu konular, gözlemlenebilir tüm nesnelerin formlar aracılığıyla mantıksal akıl yürütme ve ispat yardımıyla tanımlanmasıyla birlikte matematiği en üst düzeye çıkarır. yeni seviye kesinlik.

IV. Kısım "Değişim Zamanı" nda, matematiğin en etkileyici ve çok yönlü alanı olan kalkülüse bakacağız. Matematik, gezegenlerin yörüngesini, gelgit döngülerini tahmin etmeyi ve Evrende ve içimizde periyodik olarak değişen tüm süreçleri ve fenomenleri anlamayı ve tanımlamayı mümkün kılar. Bu bölümde önemli bir yer, pasifleştirilmesi hesaplamaların çalışmasına izin veren bir atılım olan sonsuzluk çalışmasına ayrılmıştır. Bilgi işlem, antik dünyada ortaya çıkan birçok sorunun çözülmesine yardımcı oldu ve bu, nihayetinde bilimde ve bilimde bir devrime yol açtı. modern dünya.

Kısım V "Verinin Birçok Yüzü" olasılık, istatistik, ağlar ve veri işleme ile ilgilidir - bunlar hala nispeten genç alanlardır ve fırsat ve şans, belirsizlik, risk, oynaklık, rastgelelik gibi hayatımızın her zaman düzenli olmayan yönleri tarafından üretilir. , Dayanışma. Doğru matematik araçlarını ve doğru veri türlerini kullanarak, bir rastgelelik akışındaki kalıpları nasıl tespit edeceğimizi öğreneceğiz.

Yolculuğumuzun sonunda, Bölüm VI "Olasılığın Sınırları"nda, matematiksel bilginin sınırlarına, zaten bilinen ile hala anlaşılması zor ve bilinmeyen arasındaki sınır alanına yaklaşacağız. Konuları zaten bildiğimiz sırayla inceleyeceğiz: sayılar, oranlar, şekiller, değişiklikler ve sonsuzluk - ama aynı zamanda her birini modern enkarnasyonunda daha derinlemesine ele alacağız.

Umarım bu kitaptaki tüm fikirleri heyecan verici bulursunuz ve size birden fazla "Pekala, peki!" dedirirsiniz. Ama her zaman bir yerden başlamanız gerekir, o yüzden sayma gibi basit ama büyüleyici bir eylemle başlayalım.

1. Sayı Temelleri: Balık Ekleme

Sayı kavramının şimdiye kadar gördüğüm en iyi gösterimi (sayıların ne olduğu ve neden onlara ihtiyacımız olduğunun en net ve en eğlenceli açıklaması) Popüler çocuk programı Susam Sokağı'nın bir bölümünde 123: Birlikte Saymak » (123) gördüm. Benimle Karşılaşın). X...

Matematik, bilimin en doğru ve evrensel dilidir ama insan duygularını sayılar yardımıyla açıklamak mümkün müdür? Aşk Formülleri, Kaos Tohumları ve Romantik Diferansiyel Denklemler - T&P, Mann, Ivanov ve Ferber tarafından yayınlanan dünyanın en iyi matematik öğretmenlerinden Steven Strogatz'ın "X'in Zevki" kitabından bir bölüm yayınlıyor.

İlkbaharda Tennyson yazdı, hayal gücü genç adam kolayca aşk düşüncelerine döner. Ne yazık ki, genç bir adamın potansiyel partneri aşk hakkında kendi fikirlerine sahip olabilir ve o zaman ilişkileri, aşkı çok heyecanlı ve acı verici hale getiren çalkantılı iniş çıkışlarla dolu olacaktır. Karşılıksız olanlardan bazıları, bu aşk dalgalanmalarının şarapta, diğerleri - şiirde bir açıklamasını arıyor. Ve hesaplamalara danışacağız.

Aşağıdaki analiz alaycı bir şekilde ironik olacak, ancak ciddi temalara değiniyor. Ayrıca, eğer aşk yasalarının anlaşılması bizi atlatabiliyorsa, o zaman cansız dünyanın yasaları artık iyi çalışılmış durumdadır. Birbiriyle ilişkili değişkenlerin mevcut değerlerine bağlı olarak an be an nasıl değiştiğini açıklayan diferansiyel denklemler şeklini alırlar. Belki de bu tür denklemlerin romantizmle pek ilgisi yoktur, ama en azından başka bir şairin sözleriyle neden "yol" olduğuna ışık tutabilirler. gerçek aşk hiçbir zaman pürüzsüz olmadı. Diferansiyel denklemlerin yöntemini göstermek için, Romeo'nun Juliet'i sevdiğini varsayalım, ancak hikayenin bizim versiyonumuzda Juliet rüzgarlı bir sevgilidir. Romeo onu ne kadar çok severse, ondan o kadar çok saklanmak ister. Ama Romeo ona karşı sakinleştiğinde, ona alışılmadık derecede çekici görünmeye başlar. Bununla birlikte, genç aşık duygularını yansıtma eğilimindedir: onu sevdiğinde parlar ve ondan nefret ettiğinde soğur.

Talihsiz aşıklarımıza ne olur? Aşk onları nasıl emer ve zamanla bırakır? Bu nerede diferansiyel hesap kurtarmaya gelir. Romeo ve Juliet'in duygularının yükselişini ve düşüşünü özetleyen denklemler kurup bunları çözerek çiftin ilişkisinin gidişatını tahmin edebiliriz. Onun için son tahmin, trajik bir şekilde sonsuz bir aşk ve nefret döngüsü olacak. Bu sürenin en az dörtte biri karşılıklı sevgiye sahip olacaklar.

Bu sonuca varmak için, Romeo'nun davranışının bir diferansiyel denklemle modellenebileceğini varsaydım,

bu, aşkının ® sonraki anda nasıl değiştiğini açıklar (dt). Bu denkleme göre, değişim sayısı (dR), Juliet'in aşkı (J) ile doğru orantılıdır (a orantılılık faktörü ile). Bu ilişki zaten bildiğimiz şeyi yansıtıyor: Juliet onu sevdiğinde Romeo'nun sevgisi artıyor, ama aynı zamanda Romeo'nun sevgisinin Juliet'in onu ne kadar sevdiğiyle doğru orantılı olarak arttığını da gösteriyor. Bu doğrusal ilişki varsayımı duygusal olarak mantıksızdır, ancak denklemin çözümünü büyük ölçüde basitleştirmeyi mümkün kılar.

Buna karşılık, Juliet'in davranışı denklem kullanılarak modellenebilir.

Sabit b'den önceki negatif işaret, Romeo'nun aşkı yoğunlaştıkça aşkının soğuduğunu yansıtır.

Belirlenecek tek şey, ilk duygularıdır (yani, t = 0 anında R ve J değerleri). Bundan sonra, gerekli tüm parametreler ayarlanacaktır. Yukarıda açıklanan diferansiyel denklemlere göre R ve J değerlerini değiştirerek yavaş yavaş, adım adım ilerlemek için bir bilgisayar kullanabiliriz. Aslında, integral hesabın temel teoreminin yardımıyla çözümü analitik olarak bulabiliriz. Model basit olduğu için integral hesabı bir çift üretir. kapsamlı formüller bu bize gelecekte herhangi bir zamanda Romeo ve Juliet'in birbirlerini ne kadar seveceklerini (veya nefret edeceklerini) söyler.

Yukarıda sunulan diferansiyel denklemler fizik öğrencilerine aşina olmalıdır: Romeo ve Juliet basit harmonik osilatörler gibi davranırlar. Böylece model, zaman içindeki ilişkilerindeki değişimi tanımlayan R(t) ve J(t) fonksiyonlarının her biri yükselen ve düşen sinüzoidler olacağını öngörür, ancak maksimum değerler uymuyorlar.

"Açıklamak için aptalca bir fikir Aşk ilişkisiİlk kez aşık olduğumda aklıma diferansiyel denklemler yardımıyla geldi ve kız arkadaşımın anlaşılmaz davranışlarını anlamaya çalıştım"

Model birçok yönden daha gerçekçi hale getirilebilir. Örneğin, Romeo sadece Juliet'in duygularına değil, kendi duygularına da cevap verebilir. Ya o, terk edilmekten çok korkan ve duygularını soğutacak adamlardan biriyse. Veya acı çekmeyi seven başka bir erkek tipine atıfta bulunur - bu yüzden onu sever.

Bu senaryolara Romeo'nun iki davranışını daha ekleyin - Juliet'in sevgisine kendi sevgisini güçlendirerek ya da zayıflatarak yanıt verir - ve bir aşk ilişkisinde dört tane olduğunu göreceksiniz. Farklı Stil davranış. Öğrencilerim ve Worcester'dan Peter Christopher'ın grubunun öğrencileri politeknik enstitüsü bu tiplerin temsilcilerini şu şekilde adlandırmayı önerdi: duygularını soğutan ve Juliet'ten uzaklaşan Romeo için Münzevi veya Kötü Misanthrope ve şevkini ısıtan, ancak Juliet tarafından reddedilen için Narsist Doodle ve Çapkın Fink. (gelebilirsin düzgün isimler tüm bu türler için).

Verilen örnekler harika olsa da, onları tanımlayan denklem türleri çok bilgilendiricidir. en çok onlar temsil eder güçlü araçlar insanoğlunun anlamak için yarattığı materyal Dünya. Sir Isaac Newton, gezegensel hareketin sırlarını keşfetmek için diferansiyel denklemleri kullandı. Bu denklemlerin yardımıyla karasal ve gök küreleri, aynı hareket yasalarının her ikisi için de geçerli olduğunu gösterir.

Newton'dan neredeyse 350 yıl sonra, insanlık fizik yasalarının her zaman diferansiyel denklemlerin dilinde ifade edildiğini anlamaya başladı. Bu, ısı, hava ve su akışlarını tanımlayan denklemler için, elektrik ve manyetizma yasaları için, hatta kuantum mekaniğinin hüküm sürdüğü atom için bile geçerlidir.

Her durumda, teorik fizik doğru diferansiyel denklemleri bulmalı ve çözmelidir. Newton, evrenin gizemlerinin bu anahtarını keşfettiğinde ve büyük önemini fark ettiğinde, onu Latince bir anagram olarak yayınladı. Ücretsiz bir çeviride kulağa şöyle geliyor: "Diferansiyel denklemleri çözmek faydalıdır."

Aşk ilişkilerini diferansiyel denklemlerle anlatmak gibi aptalca bir fikir, ilk kez aşık olduğumda ve kız arkadaşımın anlaşılmaz davranışlarını anlamaya çalışırken aklıma geldi. Üniversitedeki ikinci sınıfımın sonunda bir yaz romantizmiydi. O zamanlar ilk Romeo'yu çok andırıyordum ve o ilk Juliet'ti. İlişkimizin döngüselliği beni çıldırttı, ta ki ikimizin de ataletle hareket ettiğimizi anlayana kadar. basit kural"itme çekme". Ancak yazın sonunda denklemim dağılmaya başladı ve kafam daha da karıştı. olduğu ortaya çıktı önemli bir olay, hesaba katmadım: onun eski sevgili iade etmek istedi.

Matematikte böyle bir probleme üç cisim problemi diyoruz. Özellikle ilk ortaya çıktığı astronomi bağlamında, açıkça çözülemez. Newton iki cisim probleminin diferansiyel denklemlerini çözdükten sonra (gezegenlerin neden Güneş etrafında eliptik yörüngelerde hareket ettiğini açıklar), dikkatini Güneş, Dünya ve Ay için üç cisim problemine çevirdi. Ne o ne de diğer bilim adamları bunu çözebilmiş değil. Daha sonra, üç beden sorununun kaos tohumlarını içerdiği, yani uzun vadede davranışlarının tahmin edilemez olduğu ortaya çıktı.

Newton, kaosun dinamikleri hakkında hiçbir şey bilmiyordu, ancak arkadaşı Edmund Halley'e göre, üç cisim sorununun ona bir baş ağrısı verdiğinden ve onu o kadar sık uyandırdığından şikayet etti ki, bir daha asla düşünmeyecekti.

İşte yanınızdayım, Sör Isaac.

sevinci X

Birden Sonsuza Kadar Rehberli Matematik Turu

Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.'in izniyle yayınlanmıştır.

Tüm hakları Saklıdır. Bu kitabın elektronik versiyonunun hiçbir kısmı, telif hakkı sahibinin yazılı izni olmaksızın, internet ve kurumsal ağlarda yayınlamak da dahil olmak üzere, özel ve genel kullanım için herhangi bir biçimde veya herhangi bir yolla çoğaltılamaz.

Yayınevinin hukuki desteği "Vegas-Lex" hukuk firması tarafından sağlanmaktadır.

* * *

Bu kitap aşağıdakilerle iyi bir şekilde tamamlanmaktadır:

kuantum

Scott Patterson

zeki

Ken Jennings

para topu

Michael Lewis

esnek zihin

Carol Dweck

Borsa Fiziği

James Hava Durumu

Önsöz

Sayıların hayatı ve bizim kontrol edemediğimiz davranışlarıyla ne demek istediğimi netleştirmek için Furry Paws Hotel'e dönelim. Diyelim ki Humphrey siparişi teslim etmek üzereydi, ama sonra başka bir odadaki penguenler beklenmedik bir şekilde onu aradı ve aynı miktarda balık istedi. Humphrey iki sipariş aldıktan sonra kaç kez "balık" kelimesini bağırmak zorunda kaldı? Rakamlar hakkında hiçbir şey bilmiyorsa, her iki odada da toplam penguen olduğu kadar çığlık atması gerekecekti. Ya da sayıları kullanarak aşçıya bir numara için altı balığa, diğeri için altı balığa ihtiyacı olduğunu açıklayabilirdi. Ama gerçekten ihtiyacı olan şey yeni bir kavram: ekleme. Bir kez ustalaştığında, gururla altı artı altı (ya da o bir balıksa on iki) balığa ihtiyacı olduğunu söyleyecektir.

Yakında, belki Humphrey bile artık her zaman sayabildiğini anlayacaktır.

2. Taş aritmetiği

Hayattaki herhangi bir fenomen gibi, aritmetiğin iki yönü vardır: resmi ve eğlenceli (veya eğlenceli).

Resmi kısmı okulda okuduk. Orada bize sayı sütunlarıyla nasıl çalışılacağını, bunları toplama ve çıkarmayı, vergi beyannamelerini doldururken ve yıllık raporlar hazırlarken elektronik tablolarda hesaplamalar yaparken bunları nasıl kürekleyeceğini anlattılar. Aritmetiğin bu yönü pek çok kişiye pratik açıdan önemli görünüyor, ancak tamamen kasvetli.

Aritmetiğin eğlenceli yanıyla ancak yüksek matematik çalışma sürecinde tanışılabilir. Ancak, bir çocuğun merakı kadar doğaldır.

Burada olağandışı bir şey görmeyeceksiniz. Bu şekilde. Rakamları manipüle etmeye başlayana kadar, hemen hemen aynı görünüyorlar. Bir görev aldığımızda oyun başlar.

İşte daha fazla sayıda çözümü olan bir problem: Taşları eşit sayıda elemanla iki sıra halinde düzenlerseniz hangi kümelerin dikdörtgen olacağını bulmanız gerekir. 2, 4, 6, 8 veya 10 taşlı setler burada uygundur; sayı çift olmalıdır. Kalan setleri tek sayıda taşla iki sıra halinde düzenlemeye çalışırsak, her zaman fazladan bir taşımız olacaktır.

Örneğin, yalnızca iki tek sayı eklemek yerine, 1'den başlayarak olası tüm tek sayı dizilerini toplayalım:

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

Şaşırtıcı bir şekilde, bu toplamlar her zaman tam kareler olur. (4 ve 9'un nasıl kareler olarak gösterilebileceğinden bahsetmiştik ve bu aynı zamanda 16 = 4 × 4 ve 25 = 5 × 5 için de geçerlidir) Hızlı bir hesaplama, bu kuralın daha büyük tek sayılar için de geçerli olduğunu ve görünüşe göre eğilim gösterdiğini gösterir. sonsuzluğa. Peki, "fazladan" taşları olan tek sayılar ile kareleri oluşturan klasik simetrik sayılar arasındaki bağlantı nedir? Çakıl taşlarını doğru bir şekilde yerleştirerek, zarif bir ispatın alameti farikası olan bunu belirgin hale getirebiliriz.

Bunun anahtarı, tek sayıların, birbirinin üzerine ardı ardına bir kare oluşturan eşkenar köşeler olarak temsil edilebileceği gözlemi olacaktır!

Benzer bir akıl yürütme yöntemi, yakın zamanda yayınlanan başka bir kitapta sunulmaktadır. Yoko Ogawa'nın büyüleyici romanı The Housekeeper and the Professor, kurnaz ama eğitimsiz bir genç kadını ve on yaşındaki oğlunu takip eder. Travmatik beyin hasarı nedeniyle kısa süreli hafızasında yalnızca hayatının son 80 dakikasına ait bilgileri saklayan yaşlı bir matematikçiye bakmak üzere bir kadın tutulmuştur. Şimdiki zamanın içinde kaybolmuş, sefil kulübesinde tek başına rakamlardan başka bir şey olmayan profesör, kahyayla bildiği tek yolla iletişim kurmaya çalışır: ayakkabı numarasını veya doğum tarihini sorarak ve onunla harcamaları hakkında küçük bir konuşma yaparak. . Profesör ayrıca kahyanın Ruth (Kök - kök) olarak adlandırdığı oğluna özel bir ilgi duyuyor, çünkü çocuğun tepesinde düz bir kafa var ve bu ona matematikteki karekök √ için notasyonu hatırlatıyor.

Bir gün, profesör çocuğa basit bir görev verir - 1'den 10'a kadar olan tüm sayıların toplamını bulmak için. Ruth tüm sayıları dikkatlice topladıktan ve cevap (55) ile geri döndükten sonra, profesör ondan bir arama yapmasını ister. daha kolay yol. cevabı bulabilir mi olmadan sayıların basit eklenmesi? Ruth bir sandalyeye tekme atıyor ve "Bu adil değil!" diye bağırıyor.

1 + 2 + 3 + … + 9 + 10 = 55,

ve bütün gün sanki gözlerimin retinasını yakmış gibi topukların üzerinde yürüdü ve bunu görmezden gelmenin bir yolu yoktu. Profesörün problemini çözmenin birkaç yolu var (kaç tane bulabileceğini merak ediyorum). Profesörün kendisi, yukarıda zaten uyguladığımız bir akıl yürütme yöntemi önerir. 1'den 10'a kadar olan toplamı, birinci sırada bir, ikinci sırada iki ve bu şekilde devam edecek, onuncu sırada on taneye kadar çakıl üçgeni olarak yorumlar.

Bu resim, negatif alan hakkında net bir fikir verir. Yaratıcı atılımın yönünü gösteren sadece yarı dolu olduğu ortaya çıktı. Bir çakıl üçgenini kopyalarsanız, ters çevirir ve mevcut olanla birleştirirseniz, çok basit bir şey elde edersiniz: her birinde on sıra 11 çakıl olan bir dikdörtgen ve toplam sayısı taşlar 110 olacak.

Orijinal üçgen bu dikdörtgenin yarısı olduğundan, 1'den 10'a kadar olan sayıların hesaplanan toplamı 110'un yarısı yani 55 olmalıdır.

Bir sayıyı bir çakıl taşı grubu olarak temsil etmek alışılmadık görünebilir, ancak aslında matematiğin kendisi kadar eskidir. "Hesapla" kelimesi hesaplamak) bu mirası yansıtır ve Latince'den türetilmiştir. hesap, Romalıların hesaplama yaparken kullandıkları "çakıl" anlamına gelir. Rakamlarla oynamaktan zevk almak için Einstein (Almancada "tek taş" anlamına gelir) olmanıza gerek yok, ancak belki de taşları hokkabazlık etme yeteneği sizin için daha kolay hale getirecektir.

Bir smaç, bir oyuncunun zıpladığı ve bir veya iki eliyle topu çemberin içinden yukarıdan aşağıya attığı bir basketbol atış türüdür. Not. tercüme

Jay Simpson ünlü bir Amerikan futbolu oyuncusudur. Ünlü Çıplak Silah üçlemesinde Dedektif Northberg rolünü oynadı. Cinayetle suçlandı eski eş ve arkadaşı delillere rağmen beraat etti. Not. tercüme

Rakamların yaşadığı büyüleyici fikrine kendinizi alıştırmak için Kendi hayatı ve matematik bir sanat formu olarak görülebilir, bkz. P. Lockhart, A Mathematician's Lament (Bellevue Literary Press, 2009). Not. ed.: Lockhart'ın "The Mathematician's Lament" yazısının Rus internetinde birçok çevirisi var. İşte onlardan biri: http://mrega.ru/biblioteka/obrazovanie/130-plachmatematika.html. Burada ve aşağıda süslü parantez içindeki dipnotlar yazarın notlarına atıfta bulunmaktadır.

Bu ünlü ifade, E. Wigner'in matematiğin doğa bilimlerindeki mantıksız etkinliği, Communications in Pure and Applied Mathematics, Cilt. 13, hayır. 1, (Şubat 1960), s. 1-14. http://www.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html adresinde çevrimiçi bir sürüm mevcuttur. Bu konu ve matematiğin icat edilip edilmediği veya keşfedildiği hakkında daha fazla fikir için bkz. M. Livio, Is God a Mathematician? (Simon ve Schuster, 2009) ve R. W. Hamming, Matematiğin mantıksız etkinliği, American Mathematical Monthly, Cilt. 87, hayır. 2 (Şubat 1980).

Bu bölümün çoğunu iki mükemmel kitaba borçluyum: P. Lockhart'ın polemik denemesi, A Mathematician's Lament (Bellevue Literary Press, 2009) ve Y. Ogawa'nın The Housekeeper and the Professor (Picador, 2009) adlı romanı. Not. ed.: Lockhart'ın "Matematikçinin Ağıtı" adlı makalesi 1. yorumda belirtilmiştir. Yoko Ogawa'nın romanının Rusçaya çevirisi henüz yoktur.

Sayılar ve yapıları hakkında bilgi edinmek isteyen genç okuyucular için bkz. H. M. Enzensberger, The Number Devil (Holt Paperbacks, 2000). Not. ed.: Matematik ilkeleri, çalışmasına standart olmayan yaklaşımlar, çocuklarda matematiksel yaratıcılığın gelişimi ve benzer konular, kitabın aşağıdaki bölümleriyle uyumlu olarak, şimdilik aşağıdakileri belirtiyoruz: Pukhnachev Yu., Popov Yu. Formülsüz matematik. M.: JSC "Yüzyıl", 1995; Oster G. Görev Yöneticisi. Matematik için vazgeçilmez bir rehber. E.: AST, 2005; Ryzhik V. I. 30.000 matematik dersi: Öğretmen için bir kitap. M.: Aydınlanma, 2003: Tuchnin N.P. Nasıl soru sorulur? Okul çocuklarının matematiksel yaratıcılığı üzerine. Yaroslavl: Üst. - Volzh. kitap. yayınevi, 1989.

Mükemmel ama daha fazlası karmaşık örnekler matematiksel görüntülerin görselleştirmeleri R. B. Nelsen, Proofs Without Words (Amerika Matematik Derneği, 1997) belgesinde sunulmaktadır.

Bu kitap aşağıdakilerle iyi bir şekilde tamamlanmaktadır:

kuantum

Scott Patterson

zeki

Ken Jennings

para topu

Michael Lewis

esnek zihin

Carol Dweck

Borsa Fiziği

James Hava Durumu

sevinci X

Birden Sonsuza Kadar Rehberli Matematik Turu

Stephen Strogatz

zevk X

Dünyanın en iyi öğretmenlerinden birinden matematik dünyasına heyecan verici bir yolculuk

Yayıncıdan alınan bilgiler

İlk kez Rusça olarak yayınlandı

Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.'in izniyle yayınlanmıştır.

Strogats, P.

zevk X. Dünyanın en iyi öğretmenlerinden birinden matematik dünyasına heyecanlı bir yolculuk / Stephen Strogatz; başına. İngilizceden. - M. : Mann, Ivanov ve Ferber, 2014.

ISBN 978-500057-008-1

Bu kitabın hiçbir bölümü, telif hakkı sahiplerinin yazılı izni olmaksızın herhangi bir biçimde çoğaltılamaz.

Yayınevinin hukuki desteği "Vegas-Lex" hukuk firması tarafından sağlanmaktadır.

Önsöz

Matematik her yerde, sadece onu tanımayı öğrenmen gerekiyor. Bir zebranın arkasındaki sinüzoidi görebilir, Öklid'in Bağımsızlık Bildirgesi'ndeki teoremlerinin yankılarını duyabilirsiniz; ne diyeyim, Birinci Dünya Savaşı öncesindeki kuru raporlarda bile negatif rakamlar var. Ayrıca, örneğin bilgisayar kullanarak restoran aradığımızda veya en azından anlamaya çalıştığımızda veya daha da iyisi, borsadaki korkutucu dalgalanmalardan kurtulduğumuzda, matematiğin yeni alanlarının hayatımızı nasıl etkilediğini de görebilirsiniz.

Ocak 2010'un sonunda, "Matematiğin Temelleri" genel başlığı altında 15 makalelik bir dizi çevrimiçi yayınlandı. Yayınlarına yanıt olarak, aralarında birçok öğrenci ve öğretmenin de bulunduğu her yaştan okuyucudan mektuplar ve yorumlar yağdı. Ayrıca, matematik bilimini anlamada şu veya bu nedenle “yolunu kaybetmiş” meraklı insanlar da vardı; şimdi bir şeyleri kaçırmış gibi hissediyorlar. hakkında ve tekrar denemek istiyorum. Özellikle benim yardımımla çocuklarına matematiği açıklayabildikleri ve kendileri onu daha iyi anlamaya başladıkları için ailemin minnettarlığından memnun kaldım. Bu bilimin ateşli hayranları olan meslektaşlarım ve yoldaşlarım bile, yavrularımı geliştirmek için her türlü tavsiyeyi sunmak için birbirleriyle yarıştıkları anlar dışında, makaleleri okumaktan zevk alıyor gibiydi.

Bu kitap sizi matematik dünyasının en karmaşık ve gelişmiş fikirleriyle tanıştıracak. Bölümler kısa, okunması kolay ve gerçekten birbirine bağlı değil. Bunların arasında New York Times'daki ilk makale dizisinde yer alanlar da var. Bu nedenle, hafif bir matematiksel açlık hisseder hissetmez, bir sonraki bölüme geçmekte tereddüt etmeyin. Sizi ilgilendiren konuyu daha ayrıntılı olarak anlamak istiyorsanız, kitabın sonunda, bu konuda başka neler okuyabileceğiniz konusunda ek bilgiler ve öneriler içeren notlar vardır.

Adım adım yaklaşımı tercih eden okuyucuların rahatlığı için, materyali geleneksel konu düzenine uygun olarak altı bölüme ayırdım.

Bölüm I "Sayılar", anaokulu ve ilkokulda aritmetik ile yolculuğumuza başlıyor. Sayıların ne kadar yararlı olabileceğini ve çevremizdeki dünyayı tanımlamada nasıl sihirli bir şekilde etkili olduklarını gösterir.

Bölüm III "Rakamlar" sayılar ve semboller hakkında değil, şekiller ve uzay hakkındadır - geometri ve trigonometri alanı. Bu konular, gözlemlenebilir tüm nesnelerin formlar aracılığıyla mantıksal akıl yürütme ve ispatların yardımıyla tanımlanmasıyla birlikte matematiği yeni bir kesinlik düzeyine yükseltir.