Steven Strogatz متعة X. رحلة رائعة إلى عالم الرياضيات من أحد أفضل المعلمين في العالم

المشكلة الأساسيةالرياضيات المدرسية هي عدم وجود مشاكل فيها. نعم ، أعرف ما يمكن حله من مشاكل في الفصل: تلك التمارين المملّة التي لا طعم لها. "ها هي المهمة. إليك كيفية حلها. نعم ، تحدث في الامتحانات. المهام المنزلية 1-15. يا لها من طريقة كئيبة لتعلم الرياضيات: كن شمبانزيًا مدربًا.
بول لوكهارد
من مقال "رثاء عالم الرياضيات"

ربما تكون الرياضيات من أغرب فروع العلم. لا يوجد موضوع آخر تتحد فيه الأضداد بقوة: من صرامة البراهين الرسمية إلى القدرة على "رؤية" بعض التركيبات. للرياضيات جمال داخلي وجمال خارجي. لا يوجد شيء أكثر إثارة من حل مسائل الرياضيات. ولا يتم تدريس أي مادة أخرى في المدرسة بشكل غير كفء.

كيف تبدأ دراسة الرياضيات عادة في المدرسة؟ من إصدار مجموعة غير مفهومة من الرموز والتعريفات للأطفال الذين تتراوح أعمارهم بين 7 و 8 سنوات ، ونظام خوارزميات لاستخدام هذا التعويذة. يتم حفظ الأشياء المنفصلة ، مثل جدول الضرب.

في الفصول الدراسية التالية ، بناءً على هذا النظام ، سيتم إخبار الطلاب وإجبارهم على حفظ مجموعة من الطقوس الشامانية التي تسمح لهم بحل المشكلات المجهدة. ستظهر تعريفات جديدة ، مثل " جزء الصحيح" و " جزء غير لائقبدون أدنى تفسير من أين أتت ، والأهم من ذلك ، لماذا. انتباه خاصسيكرس نفسه لحل مشاكل النص عديمة الفائدة والمجهدة التي لها نفس العلاقة بالواقع مثل الخوارزميات نفسها.

كاختبار صغير ، يمكننا أن نتذكر: كم مرة في حياتك احتجت إلى تحديد الكسر الصحيح أو غير الصحيح؟

لقد اضطررت للتعلم عن ظهر قلب: مربع مجموع عددين يساوي مجموع مربعاتهما ، مع زيادة حاصل ضربهما المزدوج. لم يكن لدي أدنى فكرة عما يمكن أن يعنيه ذلك ؛ عندما لم أستطع تذكر هذه الكلمات ، ضربني المعلم بكتاب على رأسي ، ومع ذلك ، لم يحفز عقلي على الأقل.
برتراند راسل
الفيلسوف والمنطق وعالم الرياضيات الإنجليزي

في الوقت نفسه ، سيقوم المعلمون بقمع أي معارضة بلا رحمة. جرب كتابة 5/2 بدلاً من 2 1/2 (وهو ما تريد دائمًا الاعتراض عليه: إذا كان لدي ثلاثة تفاحات ، كل منها مقسم إلى نصفين ، فسأخذ 5 أنصاف ، وليس تفاحتين ونصف).

يمكن أن يستمر هذا الموضوع لبعض الوقت. علاوة على ذلك ، تم القيام بذلك بالفعل في مقال بول لوكهارت "رثاء عالم الرياضيات". إنه يظهر بشكل جيد "على من يقع اللوم". لكن لم يتم إعطاء إجابة على السؤال الثاني سؤال مهم- "ما يجب القيام به".

تم تقديم إجابة على هذا السؤال في كتاب رائع ، تمت ترجمته مؤخرًا إلى اللغة الروسية. الكتاب يسمى متعة x.

المتعة من x

إذا كنت لا تستطيع أن تشرح شيئًا لطفل يبلغ من العمر ست سنوات ، فأنت نفسك لا تفهمه.
البرت اينشتاين

هذا هو الكتاب الذي يجب أن يكون سطح المكتبلأي مدرس لأي مادة فنية ، سواء كانت الرياضيات أو علوم الكمبيوتر.

مؤلف هذا العلاج ، ستيفن ستروغاتز عالم رياضيات ومعلم الرياضيات التطبيقيةفي جامعة كورنيل بالولايات المتحدة الأمريكية (واحدة من الجامعات الرائدة الجامعات التقنيةسلام). واستناداً إلى الكتاب ، جمع هذا الشخص بين صفتين رائعتين جعلت من هذا العمل أكثر الكتب مبيعًا: ستيفن ستروغاتز عالم رياضيات قوي ومعلم في شخص واحد.

يمكنك التدريس ولكن لا تعرف الموضوع جيدًا. يمكنك معرفة الموضوع جيدًا ، لكن لا يمكنك التدريس. يمكنك أن تكون قادرًا على القيام بالأمرين معًا ، ولكن بشكل متواضع. ينتمي ستيفن ستروغاتز إلى نوع مختلف: فهو يعرف ويعرف كيف يعلّم بشكل صحيح.

عن ماذا هذا الكتاب؟ في الواقع ، حول كل شيء مرتبط بطريقة أو بأخرى بالرياضيات. يتم اختيار أقسام الكتاب للوهلة الأولى بشكل عشوائي (الأرقام ، النسب ، الأرقام ، وقت التغييرات ، البيانات المتنوعة ، الحدود ممكنة) ، ولكن أثناء قراءتك ، تبدأ في فهم ما أراد المؤلف نقله. الكتاب يعتمد على البحث. البحث الذي أجراه المؤلف مع القارئ.

نطاق المهام قيد الدراسة ضخم. أي شخص ، حتى لو كان لديه معرفة ممتازة بالرياضيات ، سيتعلم شيئًا جديدًا منها. في نفس الوقت ، يتم اعتبارهم مهام عملية(على سبيل المثال ، حساب الفائدة المستلمة من الأسهم المستثمرة في سوق الأوراق المالية) ، والأسهم المجردة تمامًا.

يتم إعطاء العديد من المهام في سياق تاريخي. أود أن أسهب هنا بشكل منفصل: الآن ، تم التخلص من تاريخ تطور الرياضيات من جميع الكتب المدرسية تقريبًا. في غضون ذلك ، فقط من خلال فهم السياق التاريخي ، يمكن للمرء أن يذهب إلى أبعد الحدود - من أبسط الحسابات إلى النظريات الرياضية الحديثة.

أذكر ، على سبيل المثال ، المعادلات التربيعية. كم عدد الدموع التي أراقها كل من الطلاب والمعلمين في محاولة لحفظ التعويذة: X واحد - اثنان يساوي سالب ba زائد أو ناقص جذر ba تربيع ناقص أربعة a-tse وقسم كل شيء على اثنين a.

بالمناسبة ، لم تعد طريقة الكتابة هذه صحيحة وفقًا للمعايير الرياضية الجديدة - تقريبًا. محرر.

يمكن للأشخاص الذين يتمتعون بذاكرة جيدة و / أو "في الموضوع" أن يتذكروا نظرية فييتا. لكن بدلاً من كل هذا ، قدم ستيفن ستروغاتز شرحًا أنيقًا ابتكره الخوارزمي ، وبمساعدة من دون أي صيغ ، يمكن للمرء أن يجد حلاً بسهولة وبطريقة طبيعية (وإن كان غير مكتمل: في تلك الأيام أرقام سالبةلم تستخدم على نطاق واسع بعد). وأنا أؤكد لكم أن أي شخص يقرأ هذا القرار سوف يتذكره إلى الأبد. المرة الأولى.

من فصل إلى فصل ، يزداد تعقيد المهام. لكن الفهم لا يضيع ، وهي متعة خاصة لقراءة متعة x. ينغمس القارئ في الجو الذي خلقه المؤلف عمليًا في عالم جديد شجاع.

لا أعرف ماذا أقارن هذا الكتاب. ربما مع محاضرات فيمان الشهيرة عن الفيزياء ، أو مع "لا بد أنك تمزح يا سيد فيمان". لكن هناك شيء واحد مؤكد: هذا الكتاب سوف يترك بصماته على أرواح أولئك الذين يقرؤونه.

ما مدى فائدة الأرقام في دراسة العالم من حولنا ، وما هو جمال الهندسة ، وما مدى أناقة الحسابات الحسابية المتكاملة ، وما مدى أهمية الإحصاء؟ يتحدث ستيفن ستروغاتز عن كل هذا في كتابه The Pleasure of X. يشرح المؤلف الأفكار الرياضية الأساسية ببساطة وأنيقة ، ويعطي أمثلة يمكن للجميع فهمها. ينشر الموقع أحد فصول الكتاب الذي نشرته دار نشر مان وإيفانوف وفيربر.

أصبحت الإحصائيات عصرية بشكل مفاجئ. مع ظهور الإنترنت ، التجارة الإلكترونية ، الشبكات الاجتماعية، وهو مشروع لفك شفرة الجينوم البشري ، وفيما يتعلق بتطور الثقافة الرقمية بشكل عام ، بدأ العالم يختنق بالبيانات. يدرس المسوقون أذواقنا وعاداتنا. تجمع خدمات الاستخبارات معلومات حول أماكن تواجدنا ورسائل البريد الإلكتروني و اتصالات هاتفية. يعمل الإحصائيون الرياضيون على التوفيق بين الأرقام لتحديد اللاعبين الذين يشترون ، ومن يجب تجنيدهم ، ومن يجلسون على مقاعد البدلاء. يسعى الجميع لدمج النقاط في رسم بياني واكتشاف نمط في التراكم الفوضوي للبيانات.

ليس من المستغرب أن تنعكس هذه الاتجاهات في التعلم. "دعونا ننتقل إلى الإحصائيات ،" يحذر جريج مانكيو ، الاقتصادي بجامعة هارفارد ، في عمود في صحيفة نيويورك تايمز.

"في منهاج دراسيفي الرياضيات في المدرسة الثانويةيتم إنفاق الكثير من الوقت الموضوعات التقليدية، مثل الهندسة الإقليدية وعلم المثلثات. هذه مفيدة ل شخص عاديالتدريبات العقلية ، ومع ذلك ، قليلة الفائدة في الحياة اليومية. سيكون من المفيد أكثر للطلاب معرفة المزيد عن نظرية الاحتمالات والإحصاء ". يذهب ديفيد بروكس إلى أبعد من ذلك. في مقالته عن التخصصات التي تستحق الاهتمام للحصول على تعليم لائق ، كتب: "خذ الإحصائيات. سترى ، اتضح أن معرفة ما هو الانحراف المعياري سيكون مفيدًا جدًا لك في الحياة.

إنه ممكن تمامًا ، ومن الجيد أيضًا فهم ماهية التوزيع. هذا هو أول شيء أنوي الحديث عنه. وأود أن أركز عليه ، لأن هذا هو أحد الدروس الرئيسية للإحصاءات: تبدو الأشياء عشوائية بشكل ميؤوس منه ولا يمكن التنبؤ بها عند النظر إليها بشكل فردي ، ولكنها في المجمل تكشف عن الانتظام والقدرة على التنبؤ.

ربما تكون قد شاهدت عرضًا توضيحيًا لهذا المبدأ في بعض المتاحف العلمية (إذا لم يكن الأمر كذلك ، فيمكن العثور على مقاطع الفيديو عبر الإنترنت). المعروضات النموذجية عبارة عن أداة غريبة تسمى لوحة جالتون ، والتي تشبه إلى حد ما آلة الكرة والدبابيس ، فقط بدون الزعانف. داخلها على فترات منتظمة حتى صفوف من الدبابيس.

مجلس غالتون

تبدأ التجربة بـ الجزء العلوييتم إطلاق ألواح جالتون بمئات الكرات. عندما تسقط ، فإنها تصطدم بالدبابيس وباحتمالية متساوية ترتد إما إلى اليمين أو اليسار ، ثم يتم توزيعها في الجزء السفلي من اللوحة ، وتسقط في مقصورات بنفس العرض. يوضح ارتفاع عمود الكرات الاحتمالية التي يمكن أن تكون بها الكرة في مكان معين. يتم وضع معظم الكرات في الوسط تقريبًا ، وهناك عدد أقل بالفعل على الجوانب ، وعدد أقل على الحواف.

بشكل عام ، الصورة يمكن التنبؤ بها للغاية: تشكل الكرات دائمًا توزيعًا على شكل جرس ، على الرغم من أنه من المستحيل التنبؤ بالمكان الذي ستنتهي فيه كل كرة على حدة.

كيف الحوادث الفردية تتحول إلى الأنماط العامة؟ لكن هذه هي الطريقة التي تعمل بها العشوائية. في العمود الأوسط ، تتراكم معظم الكرات لأنه قبل أن تتدحرج لأسفل ، فإن العديد منها ستقوم بنفس العدد تقريبًا من القفزات إلى اليمين واليسار ، ونتيجة لذلك ستكون في مكان ما في المنتصف. العديد من الكرات المفردة الموجودة على طول الحواف تشكل ذيول التوزيع - هذه هي الكرات التي ، عند اصطدامها بالدبابيس ، ترتد دائمًا في نفس الاتجاه. مثل هذه الارتدادات غير مرجحة ، وهذا هو سبب وجود عدد قليل جدًا من الكرات حول الحواف.

مثلما يتم تحديد موقع كل كرة من خلال مجموع العديد من الأحداث العشوائية ، فإن العديد من الظواهر في هذا العالم هي نتيجة للعديد من الظروف الصغيرة وأيضًا تخضع لمنحنى الجرس. يعمل هذا المبدأ شركات التأمين. هم مع دقة عاليةيمكنهم تسمية عدد عملائهم الذين يموتون كل عام. ومع ذلك ، فهم لا يعرفون بالضبط من لن يكون محظوظًا هذه المرة.

أو خذ ، على سبيل المثال ، ارتفاع الشخص. يعتمد على عدد لا يحصى من الحوادث المتعلقة بالوراثة والكيمياء الحيوية والتغذية و بيئة. لذلك ، من المحتمل ، عند النظر إليها معًا ، أن يكون ارتفاع الرجال والنساء البالغين منحنى على شكل جرس.

في منشور مدونة بعنوان "تقرير الأشخاص الخاطئين عن أنفسهم عبر الإنترنت" ، نشرت إحصائيات موقع المواعدة OkCupid مؤخرًا رسمًا بيانيًا لنمو عملائها ، أو بالأحرى القيم التي أبلغوا عنها. وقد وجد أن معدلات النمو لكلا الجنسين كما هو متوقع تشكل منحنى على شكل جرس. ولكن من المدهش أن كلا التوزيعين ينحرفان إلى اليمين بحوالي بوصتين من القيم المتوقعة.

Strogats S. Pleasure from H. - M.: Mann، Ivanov and Ferber، 2014.

وبالتالي ، إما أن يكون ارتفاع العملاء الذين شملهم الاستطلاع بواسطة OkCupid أعلى من المتوسط ، أو يضيفون بضع بوصات إلى أطوالهم عند وصف أنفسهم عبر الإنترنت.

نسخة مثالية من منحنيات الجرس هذه هي ما يسميه علماء الرياضيات التوزيع الطبيعي. هذا من أهم المفاهيم في الإحصاء ، وله مبرر نظري. يمكن إثبات ذلك التوزيع الطبيعييحدث عند إضافة عدد كبيرعوامل عشوائية صغيرة ، كل منها يعمل بشكل مستقل عن الآخرين. والعديد من الأشياء تحدث بهذه الطريقة.

لكن ليس كل. وهذه هي النقطة الثانية التي أود أن ألفت الانتباه إليها. التوزيع الطبيعي ليس في كل مكان كما يبدو. منذ مائة عام ، وخاصة في العقود القليلة الماضية ، لاحظ العلماء والإحصائيون وجود العديد من الظواهر التي تنحرف عن هذا المنحنى وتتبع جدولهم الزمني الخاص. من الغريب أن مثل هذه الأنواع من التوزيعات لم يتم ذكرها عمليًا في الكتب المدرسية عن الإحصاءات الأولية ، وإذا حدثت ، فإنها تعتبر عادةً نوعًا من أنواع الأمراض.

هذا غريب. سأحاول شرح العديد من الظواهر حياة عصريةيكون أكثر منطقية إذا تم فهم هذه التوزيعات "المرضية". هذا هو الوضع الطبيعي الجديد. خذ على سبيل المثال توزيع أحجام المدن في الولايات المتحدة. بدلاً من التجمع حول بعض منحنى الجرس المتوسط ، فإن الغالبية العظمى من المدن صغيرة وبالتالي تتجمع على الجانب الأيسر من الرسم البياني.

Strogats S. Pleasure from H. - M.: Mann، Ivanov and Ferber، 2014.

وكلما زاد عدد سكان المدينة ، قل عدد هذه المدن. بمعنى آخر ، سيكون التوزيع في المجمل منحنى على شكل حرف L وليس منحنى جرس.

وليس هناك ما يثير الدهشة في هذا. يعلم الجميع أن عدد المدن الكبرى أقل بكثير من المدن الصغيرة. على الرغم من أن هذا ليس واضحًا ، إلا أن أحجام المدن تتبع توزيعًا جميلًا بسيطًا - إذا نظرت إليها على مقياس لوغاريتمي.

سنفترض أن الفرق بين مدينتين هو نفسه إذا كان عدد سكانهما يختلف بنفس عدد المرات (تمامًا كما يختلف أي مفتاحين للبيانو يفصل بينهما أوكتاف مرتين في التردد دائمًا). وسنفعل الشيء نفسه على المحور الرأسي.

Strogats S. Pleasure from H. - M.: Mann، Ivanov and Ferber، 2014.

أصبحت البيانات الآن على منحنى يكاد يكون خطًا مستقيمًا مثاليًا. استنادًا إلى خصائص اللوغاريتمات ، من السهل استنتاج أن المنحنى الأصلي على شكل حرف L هو اعتماد على الطاقة ، والذي يتم وصفه بواسطة دالة في النموذج

حيث x هو عدد سكان المدينة ، و y هو عدد المدن التي لها هذا الحجم ، و c ثابت ، والأس a (الأس قانون القوة) يحدد الميل السالب للخط المستقيم.

توزيعات القوة لديها بعض الخصائص غير المنطقية ، من وجهة نظر الإحصاءات التقليدية. على سبيل المثال ، على عكس التوزيع الطبيعي ، فإن أوضاعها ووسطاتها ووسائلها لا تتطابق بسبب الشكل المنحرف والمنحرف للمنحنيات على شكل حرف L.

استفاد الرئيس بوش بشكل كبير من ذلك ، حيث أعلن في عام 2003 أن التخفيض الضريبي وفر لكل عائلة ما معدله 1،586 دولارًا. على الرغم من كونه صحيحًا رياضيًا ، إلا أنه اتخذ لصالحه أساسًا متوسط الخصم ، والذي أخفى الاقتطاعات الضخمة لمئات الآلاف من الدولارات التي حصل عليها 0.1٪ من أغنى السكان في البلاد. من المعروف أن "الذيل" على الجانب الأيمن من توزيع الدخل يتبع قانون السلطة ، وفي مثل هذه الحالة يكون استخدام متوسط القيمة مضللًا ، لأنه بعيد عن قيمته. القيمة الحقيقية. في الواقع ، تلقت معظم العائلات أقل من 650 دولارًا. في هذا التوزيع ، يكون الوسيط أصغر بكثير من المتوسط.

يوضح هذا المثال أهم خاصية لتوزيعات قانون الطاقة: فهي تمتلك "ذيول ثقيلة" مقارنة بـ "ذيول السوائل" الصغيرة على الأقل للتوزيع الطبيعي. ذيول كبيرة كهذه ، على الرغم من ندرتها ، فهي أكثر شيوعًا في توزيعات البيانات من منحنيات الجرس العادية.

في يوم الإثنين الأسود ، 19 أكتوبر ، 1987 ، انخفض مؤشر داو جونز الصناعي بنسبة 22٪. مقارنة بالمستوى المعتاد للتقلب في سوق الأسهم ، كان هذا الانخفاض أكثر من عشرين انحرافًا معياريًا. وفقًا للإحصاءات التقليدية (التي تستخدم التوزيع الطبيعي) ، فإن مثل هذا الحدث يكاد يكون مستحيلًا: احتمالية حدوثه أقل من واحد من 100،000،000،000،000،000،000،000،000،000،000،000،000،000،000 (10 إلى القوة 50). ومع ذلك ، حدث هذا - لأن تقلبات الأسعار في البورصة لم تتبع التوزيع الطبيعي.

التوزيعات ذات "الذيل الثقيل" هي الأنسب لوصفها. يحدث هذا مع الزلازل والحرائق والفيضانات ، مما يجعل من الصعب على شركات التأمين إدارة المخاطر.

نفس الشيء نموذج رياضييصف عدد القتلى من الحروب والهجمات الإرهابية ، بالإضافة إلى أشياء أخرى أكثر سلمية ، مثل عدد الكلمات في الرواية أو عدد الشركاء الجنسيين للشخص.

على الرغم من أن الصفات تستخدم لوصف ذيول طويلة، فضحهم في ضوء غير موات للغاية ، تحمل التوزيعات "الذيل" بفخر ذيولها. جريئة وثقيلة وطويلة؟ نعم إنه كذلك. لكن في هذه الحالة ، أرني أيهما طبيعي؟

يكمل هذا الكتاب بشكل جيد:

كوانتا

سكوت باترسون

برينياك

كين جينينغز

المال

مايكل لويس

عقل مرن

كارول دويك

فيزياء سوق الأسهم

جيمس ويذرال

فرحة X

جولة إرشادية في الرياضيات ، من واحد إلى ما لا نهاية

ستيفن ستروغاتز

من دواعي سروري X

رحلة ممتعةفي عالم الرياضيات من أحد أفضل المعلمين في العالم

معلومات من الناشر

نشرت باللغة الروسية لأول مرة

تم النشر بإذن من Steven Strogatz، c / o Brockman، Inc.

ستراتس ، ب.

من دواعي سروري X. رحلة مثيرة في عالم الرياضيات من أحد أفضل المعلمين في العالم / ستيفن ستروغاتز ؛ لكل. من الانجليزية. - م: مان ، إيفانوف وفيربر ، 2014.

ردمك 978-500057-008-1

هذا الكتاب قادر على تغيير جذري في موقفك تجاه الرياضيات. يتكون من فصول قصيرة تكتشف في كل منها شيئًا جديدًا. سوف تتعلم مدى فائدة الأرقام في دراسة العالم من حولك ، وفهم جمال الهندسة ، والتعرف على أناقة حساب التفاضل والتكامل ، ومعرفة أهمية الإحصاء ، والتواصل مع اللانهاية. يشرح المؤلف الأفكار الرياضية الأساسية ببساطة وأنيقة ، ويعطي أمثلة رائعة يمكن للجميع فهمها.

لا يجوز إعادة إنتاج أي جزء من هذا الكتاب بأي شكل من الأشكال دون إذن كتابي من أصحاب حقوق النشر.

يتم توفير الدعم القانوني لدار النشر من قبل شركة المحاماة "Vegas-Lex"

مقدمة

لدي صديق ، بالرغم من تجارته (فهو فنان) ، متحمس للعلم. كلما اجتمعنا ، يتحدث بحماس عن أحدث التطورات في علم النفس أو ميكانيكا الكم. ولكن بمجرد أن نتحدث عن الرياضيات ، يشعر بهزة في ركبتيه ، الأمر الذي يزعجه بشدة. يشتكي من أن هذه الرموز الرياضية الغريبة لا تتحدىه فحسب ، بل إنه أحيانًا لا يعرف حتى كيف ينطقها.

في الواقع ، سبب كراهيته للرياضيات أعمق بكثير. لن يفهم أبدًا ما يفعله علماء الرياضيات بشكل عام وماذا يقصدون عندما يقولون إن هذا الدليل أنيق. أحيانًا نمزح أنني يجب أن أجلس وأبدأ بتعليمه من الأساسيات ، حرفياً من 1 + 1 = 2 ، وأذهب إلى الرياضيات قدر استطاعته.

وعلى الرغم من أن هذه الفكرة تبدو مجنونة ، إلا أنها ما سأحاول تنفيذها في هذا الكتاب. سأوجهك عبر جميع فروع العلوم الرئيسية ، من الحساب إلى الرياضيات المتقدمة ، حتى يتمكن من أراد فرصة ثانية أخيرًا. وهذه المرة لست مضطرًا للجلوس على مكتبك. لن يجعلك هذا الكتاب خبيرًا في الرياضيات. لكنه سيساعد على فهم ما يدرسه هذا التخصص ولماذا هو مثير للغاية لأولئك الذين يفهمونه.

سوف نتعلم كيف يمكن أن تساعد ضربات البطولات الاربع لمايكل جوردان في شرح أساسيات حساب التفاضل والتكامل. سأريكم طريقة بسيطة ومدهشة لفهم النظرية الأساسية للهندسة الإقليدية - نظرية فيثاغورس. سنحاول الوصول إلى الجزء السفلي من بعض ألغاز الحياة ، كبيرها وصغيرها: هل قتل جاي سيمبسون زوجته؟ كيفية تغيير المرتبة بحيث تدوم لأطول فترة ممكنة ؛ كم عدد الشركاء الذين يجب تغييرهم قبل إقامة حفل الزفاف - وسنرى لماذا تكون بعض اللانهايات أكبر من غيرها.

الرياضيات موجودة في كل مكان ، ما عليك سوى تعلم كيفية التعرف عليها. يمكنك رؤية الجيب على ظهر الحمار الوحشي ، ويمكنك سماع أصداء نظريات إقليدس في إعلان الاستقلال ؛ ماذا يمكنني أن أقول ، حتى في التقارير الجافة التي سبقت الحرب العالمية الأولى ، هناك أرقام سلبية. يمكنك أيضًا أن ترى كيف تؤثر مجالات الرياضيات الجديدة على حياتنا اليوم ، على سبيل المثال ، عندما نبحث عن مطاعم تستخدم جهاز كمبيوتر أو نحاول على الأقل أن نفهم ، أو الأفضل من ذلك ، أن نتغلب على التقلبات المخيفة في سوق الأوراق المالية.

سلسلة من 15 مقالًا تحت اسم شائعظهرت أساسيات الرياضيات على الإنترنت في نهاية يناير 2010. واستجابة لنشرهم ، تدفقت الرسائل والتعليقات من القراء من جميع الأعمار ، وكان من بينهم العديد من الطلاب والمعلمين. كان هناك أيضًا أشخاص فضوليون ببساطة ، لسبب أو لآخر ، "فقدوا طريقهم" في فهم العلوم الرياضية ؛ الآن يشعرون أنهم فقدوا شيئًا ما. حولوأود المحاولة مرة أخرى. لقد سررت بشكل خاص بامتنان والديّ على حقيقة أنهما بفضل مساعدتي تمكنوا من شرح الرياضيات لأطفالهم ، وبدأوا هم أنفسهم في فهمها بشكل أفضل. يبدو أنه حتى زملائي ورفاقي ، المعجبين المتحمسين لهذا العلم ، استمتعوا بقراءة المقالات ، باستثناء تلك اللحظات التي تنافسوا فيها مع بعضهم البعض لتقديم جميع أنواع التوصيات لتحسين ذريتي.

على الرغم من الاعتقاد السائد ، هناك اهتمام واضح بالرياضيات في المجتمع ، على الرغم من قلة الاهتمام بهذه الظاهرة. نحن نسمع فقط عن الخوف من الرياضيات ، ومع ذلك ، سيحاول الكثيرون بكل سرور فهمها بشكل أفضل. وبمجرد حدوث ذلك ، سيكون من الصعب تمزيقهم.

سيقدم لك هذا الكتاب أكثر الأفكار تعقيدًا وتقدماً من عالم الرياضيات. الفصول قصيرة وسهلة القراءة ولا تعتمد على بعضها البعض. من بينها تلك الواردة في تلك السلسلة الأولى من المقالات في صحيفة نيويورك تايمز. وبمجرد أن تشعر بجوع بسيط في الرياضيات ، لا تتردد في تناول الفصل التالي. إذا كنت تريد فهم المشكلة التي تهمك بمزيد من التفاصيل ، ففي نهاية الكتاب توجد ملاحظات بها معلومة اضافيةواقتراحات حول ما يجب أن تقرأ عنه أيضًا.

من أجل راحة القراء الذين يفضلون النهج التدريجي ، قمت بتقسيم المادة إلى ستة أجزاء وفقًا للترتيب التقليدي للموضوعات.

الجزء الأول "الأرقام" يبدأ رحلتنا بالحساب في روضة أطفالو مدرسة إبتدائية. إنه يوضح كيف يمكن أن تكون الأرقام مفيدة وكيف تكون فعالة بشكل سحري في وصف العالم من حولنا.

الجزء الثاني "النسب" ينقل الانتباه من الأرقام نفسها إلى العلاقات فيما بينها. تقع هذه الأفكار في صميم الجبر وهي الأدوات الأولى لوصف كيفية تأثير أحدهما على الآخر ، وإظهار العلاقة السببية لمجموعة متنوعة من الأشياء: العرض والطلب ، والتحفيز ورد الفعل - باختصار ، جميع أنواع العلاقات التي تصنع العالم متنوعة وغنية.

الجزء الثالث "الأشكال" لا يتعلق بالأرقام والرموز ، ولكنه يتعلق بالأشكال والفضاء - مجال الهندسة وعلم المثلثات. هذه الموضوعات ، جنبًا إلى جنب مع وصف جميع الأشياء التي يمكن ملاحظتها من خلال النماذج ، بمساعدة التفكير المنطقي والإثبات ، ترفع الرياضيات إلى مستوى جديدصحة.

في الجزء الرابع "وقت التغيير" سنلقي نظرة على حساب التفاضل والتكامل - أكثر مجالات الرياضيات إثارة للإعجاب ومتعددة الأوجه. يجعل حساب التفاضل والتكامل من الممكن التنبؤ بمسار الكواكب ، ودورات المد والجزر ، ويجعل من الممكن فهم ووصف جميع العمليات والظواهر المتغيرة بشكل دوري في الكون وفي داخلنا. تم تخصيص مكان مهم في هذا الجزء لدراسة اللانهاية ، والتي كان تهدئتها اختراقًا سمح للحسابات بالعمل. ساعدت الحوسبة في حل العديد من المشكلات التي نشأت في العالم القديم ، وهذا أدى في النهاية إلى ثورة في العلم والعالم الحديث.

يتعامل الجزء الخامس "العديد من أوجه البيانات" مع الاحتمالات والإحصاءات والشبكات ومعالجة البيانات - وهذه الحقول لا تزال حديثة نسبيًا ، ولدت من خلال الجوانب غير المنظمة دائمًا في حياتنا ، مثل الفرص والحظ وعدم اليقين والمخاطر والتقلب والعشوائية ، الاعتماد المتبادل. باستخدام أدوات الرياضيات الصحيحة وأنواع البيانات الصحيحة ، سنتعلم كيفية تحديد الأنماط في تدفق عشوائي.

في نهاية رحلتنا ، في الجزء السادس "حدود الممكن" ، سنقترب من حدود المعرفة الرياضية ، المنطقة الحدودية بين ما هو معروف بالفعل وما لا يزال بعيد المنال وغير معروف. سنتناول مرة أخرى الموضوعات بالترتيب الذي نعرفه بالفعل: الأرقام والنسب والأشكال والتغييرات واللانهاية - ولكن في نفس الوقت سننظر في كل منها بمزيد من العمق ، في تجسدها الحديث.

الرياضيات هي لغة العلم الأكثر دقة وشمولية ، لكن هل من الممكن شرح المشاعر الإنسانية بمساعدة الأرقام؟ معادلات الحب ، بذور الفوضى والمعادلات التفاضلية الرومانسية - تنشر T&P فصلًا من كتاب "متعة X" لأحد أفضل معلمي الرياضيات في العالم ، ستيفن ستروغاتز ، الذي نشره مان وإيفانوف وفيربر.

في الربيع كتب تينيسون الخيال شابيتحول بسهولة إلى أفكار الحب. للأسف ، قد يكون لدى الشريك المحتمل لشاب أفكاره الخاصة حول الحب ، وبعد ذلك ستكون علاقتهما مليئة بالتقلبات المضطربة التي تجعل الحب مثيرًا ومؤلماً للغاية. يبحث بعض الذين يعانون من الذين لا مقابل لهم عن تفسير لتقلبات الحب هذه في الخمر ، والبعض الآخر - في الشعر. وسوف نتشاور مع الحسابات.

سيكون التحليل أدناه ساخرًا بشكل ساخر ، لكنه يمس مواضيع جادة. علاوة على ذلك ، إذا كان من الممكن أن يراوغنا فهم قوانين الحب ، فإن قوانين عالم الجماد أصبحت الآن مدروسة جيدًا. يأخذون شكل المعادلات التفاضلية التي تصف كيف تتغير المتغيرات المترابطة من لحظة إلى أخرى اعتمادًا على قيمها الحالية. ربما لا علاقة لمثل هذه المعادلات بالرومانسية ، لكنها على الأقل يمكن أن تلقي الضوء على السبب ، على حد تعبير شاعر آخر ، "الطريقة حب حقيقيلم يكن سلسًا أبدًا. لتوضيح طريقة المعادلات التفاضلية ، افترض أن روميو يحب جولييت ، ولكن في نسختنا من القصة ، جولييت هي حبيبة القلب. كلما أحبها روميو ، زادت رغبتها في الاختباء منه. ولكن عندما تهدأ روميو تجاهها ، بدأ يبدو جذابًا بشكل غير عادي بالنسبة لها. ومع ذلك ، فإن العاشق الشاب يميل إلى عكس مشاعرها: فهو يضيء عندما تحبه ، ويبرد عندما تكرهه.

ماذا يحدث لمحبينا التعساء؟ كيف يمتصهم الحب ويتركهم بمرور الوقت؟ هذا هو المكان حساب التفاضليأتي للإنقاذ. من خلال عمل معادلات تلخص تلاشي وتضاؤل مشاعر روميو وجولييت ، ثم حلها ، يمكننا التنبؤ بمسار علاقة الزوجين. سيكون التكهن النهائي لها حلقة مأساوية لا تنتهي من الحب والكراهية. ما لا يقل عن ربع هذا الوقت سيكون لديهم حب متبادل.

للوصول إلى هذا الاستنتاج ، افترضت أن سلوك روميو يمكن أن يصاغ بمعادلة تفاضلية ،

الذي يصف كيف يتغير حبه ® في اللحظة التالية (dt). وفقًا لهذه المعادلة ، يتناسب عدد التغييرات (dR) بشكل مباشر (مع عامل التناسب أ) مع حب جولييت (J). تعكس هذه العلاقة ما نعرفه بالفعل: يزداد حب روميو عندما تحبه جولييت ، لكنها تشير أيضًا إلى أن حب روميو ينمو بما يتناسب بشكل مباشر مع مدى حبه جولييت. هذا الافتراض لعلاقة خطية غير قابل للتصديق عاطفياً ، لكنه يجعل من الممكن تبسيط حل المعادلة بشكل كبير.

في المقابل ، يمكن نمذجة سلوك جولييت باستخدام المعادلة

تعكس العلامة السلبية قبل الثابت ب أن حبها يهدأ مع اشتداد حب روميو.

الشيء الوحيد المتبقي لتحديد مشاعرهم الأولية (أي قيم R و J في الوقت t = 0). بعد ذلك ، سيتم تعيين جميع المعلمات اللازمة. يمكننا استخدام الكمبيوتر للمضي قدمًا ببطء ، خطوة بخطوة ، وتغيير قيم R و J وفقًا للمعادلات التفاضلية الموضحة أعلاه. في الواقع ، بمساعدة النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل ، يمكننا إيجاد الحل تحليليًا. نظرًا لأن النموذج بسيط ، فإن حساب التفاضل والتكامل ينتج زوجًا صيغ شاملةالتي تخبرنا عن مدى حب (أو كره) روميو وجولييت لبعضهما البعض في أي وقت في المستقبل.

يجب أن تكون المعادلات التفاضلية المذكورة أعلاه مألوفة لطلاب الفيزياء: يتصرف روميو وجولييت مثل المذبذبات التوافقية البسيطة. وهكذا ، يتنبأ النموذج بأن الدالتين R (t) و J (t) ، اللذين يصفان التغيير في علاقتهما بمرور الوقت ، ستكونان شبيهات جيبية ، كل منها ترتفع وتنخفض ، ولكن القيم القصوىلا يتطابقون.

"فكرة غبية لوصفها علاقه حببمساعدة المعادلات التفاضلية خطرت في بالي عندما كنت في حالة حب لأول مرة وحاولت أن أفهم السلوك غير المفهوم لصديقتي "

يمكن جعل النموذج أكثر واقعية من نواح كثيرة. على سبيل المثال ، قد يستجيب روميو ليس فقط لمشاعر جولييت ، ولكن أيضًا لمشاعره. ماذا لو كان أحد هؤلاء الرجال الذين يخافون من التخلي عنهم لدرجة أنه سيهدئ مشاعره. أو يشير إلى نوع آخر من الرجال الذين يحبون أن يتألموا - ولهذا السبب يحبها.

أضف إلى هذه السيناريوهات سلوكين آخرين لروميو - فهو يستجيب لعاطفة جولييت إما عن طريق تقوية عاطفته أو إضعافها - وسترى أنه في علاقة الحب هناك أربعة اسلوب مختلفسلوك. طلابي وطلاب مجموعة بيتر كريستوفر من ووستر معهد البوليتكنيكاقترح تسمية ممثلين من هذه الأنواع على النحو التالي: Hermit أو Evil Misanthrope لروميو الذي يهدئ مشاعره ويبتعد عن جولييت ، و Narcissistic Doodle and Flirtatious Fink للشخص الذي يسخن حماسته ، ولكن تم رفضه من قبل جولييت. (يمكنك الخروج بـ أسماء العلملجميع هذه الأنواع).

على الرغم من أن الأمثلة المقدمة رائعة ، إلا أن أنواع المعادلات التي تصفها مفيدة للغاية. يمثلون أكثر أدوات قويةمن أي وقت مضى التي خلقها البشر للتفاهم العالم المادي. استخدم السير إسحاق نيوتن معادلات تفاضلية لاكتشاف أسرار حركة الكواكب. بمساعدة هذه المعادلات ، جمع بين الأرض و المجالات السماوية، مما يدل على أن نفس قوانين الحركة تنطبق على كليهما.

بعد ما يقرب من 350 عامًا من نيوتن ، أدركت البشرية أن قوانين الفيزياء يتم التعبير عنها دائمًا بلغة المعادلات التفاضلية. هذا صحيح بالنسبة للمعادلات التي تصف تدفقات الحرارة والهواء والماء ، لقوانين الكهرباء والمغناطيسية ، حتى بالنسبة للذرة ، حيث تسود ميكانيكا الكم.

في جميع الأحوال ، يجب على الفيزياء النظرية إيجاد المعادلات التفاضلية الصحيحة وحلها. عندما اكتشف نيوتن مفتاح أسرار الكون وأدرك أهميته الكبيرة ، نشره باعتباره الجناس الناقص اللاتيني. في الترجمة المجانية ، يبدو الأمر كما يلي: "من المفيد حل المعادلات التفاضلية."

خطرت لي الفكرة الغبية لوصف علاقات الحب باستخدام المعادلات التفاضلية عندما كنت في حالة حب لأول مرة وأحاول فهم السلوك غير المفهوم لصديقتي. لقد كانت قصة حب صيفية في نهاية سنتي الثانية في الكلية. كنت أتذكر كثيرًا حينها بروميو الأول ، وكانت أول جولييت. دفعتني دورية علاقتنا إلى الجنون حتى أدركت أن كلانا يتصرف من خلال القصور الذاتي ، وفقًا لـ قاعدة بسيطة"الدفع والسحب". لكن بحلول نهاية الصيف ، بدأت معادلتي في الانهيار ، وكنت أكثر حيرة. تبين أنه حدث حدث هامالتي لم آخذها بعين الاعتبار: هي الحبيب السابقأراد إعادته.

في الرياضيات ، نسمي هذه المشكلة مشكلة الأجسام الثلاثة. من الواضح أنه غير قابل للحل ، خاصة في سياق علم الفلك ، حيث نشأ لأول مرة. بعد أن حل نيوتن المعادلات التفاضلية لمشكلة الجسمين (وهو ما يفسر سبب تحرك الكواكب في مدارات إهليلجية حول الشمس) ، حول انتباهه إلى مشكلة الأجسام الثلاثة للشمس والأرض والقمر. لم يتمكن هو ولا غيره من العلماء من حلها. فيما بعد تبين أن مشكلة الجثث الثلاثة تحتوي على بذور الفوضى ، أي على المدى الطويل ، سلوكهم لا يمكن التنبؤ به.

لم يكن نيوتن يعرف شيئًا عن ديناميكيات الفوضى ، ولكن وفقًا لما ذكره صديقه إدموند هالي ، اشتكى من أن مشكلة الأجسام الثلاثة تسبب له في صداع وتجعله يقظًا كثيرًا لدرجة أنه لن يفكر في الأمر مرة أخرى.

ها أنا معك يا سيدي إسحاق.

متعة X. رحلة مثيرة في عالم الرياضيات من أحد أفضل المعلمين في العالمستيفن ستروغاتز

(لا يوجد تقييم)

العنوان: متعة X. رحلة رائعة إلى عالم الرياضيات من أحد أفضل المعلمين في العالم

حول متعة X. رحلة مثيرة عبر الرياضيات من أحد أفضل المعلمين في العالم بواسطة ستيفن ستروغاتز

نشرت باللغة الروسية لأول مرة.

على موقعنا حول الكتب lifeinbooks.net يمكنك تنزيلها مجانًا دون تسجيل أو قراءة كتاب على الإنترنت"متعة X. رحلة رائعة إلى عالم الرياضيات من أحد أفضل المعلمين في العالم" ستيفن ستروغاتز بتنسيقات epub و fb2 و txt و rtf و pdf لأجهزة iPad و iPhone و Android و Kindle. يمنحك الكتاب الكثير من اللحظات الممتعة والمتعة الحقيقية في القراءة. يشتري النسخة الكاملةيمكنك الحصول على شريكنا. أيضا ، ستجد هنا أحدث الأخبارمن عالم الأدب، اكتشف سيرة المؤلفين المفضلين لديك. للكتاب المبتدئين يوجد قسم منفصل به نصائح مفيدةوالتوصيات مقالات مشوقة، بفضل ذلك يمكنك أن تجرب يدك في المهارات الأدبية.