Kolmion muotoisen pyramidin ominaisuudet. Geometrian perusteet: oikea pyramidi on

Kuinka voit rakentaa pyramidin? Pinnalla R rakentaa jokin monikulmio, esimerkiksi viisikulmio ABCDE. Poissa koneesta R ota piste S. Yhdistämällä piste S janoilla monikulmion kaikkiin pisteisiin, saadaan pyramidi SABCDE (kuva).

Pistettä S kutsutaan kokous, ja monikulmio ABCDE - perusta tämä pyramidi. Siten pyramidi, jossa on huippu S ja kanta ABCDE, on kaikkien segmenttien liitto, joissa M ∈ ABCDE.

Kolmioita SAB, SBC, SCD, SDE, SEA kutsutaan sivupinnat pyramidit, sivupintojen yhteiset sivut SA, SB, SC, SD, SE - kylkiluut.

Pyramideja kutsutaan kolmio, nelikulmainen, n-kulmainen pohjan sivujen lukumäärästä riippuen. Kuvassa annetaan kuvia kolmiomaisista, nelikulmaisista ja kuusikulmaisista pyramideista.

Pyramidin huipun ja pohjan lävistäjän läpi kulkevaa tasoa kutsutaan diagonaalinen, ja tuloksena oleva poikkileikkaus - diagonaalinen. Kuvassa 186 yksi kuusikulmaisen pyramidin diagonaalisista osista on varjostettu.

Pyramidin huipulta sen pohjan tasoon vedettyä kohtisuoran segmenttiä kutsutaan pyramidin korkeudeksi (tämän segmentin päät ovat pyramidin huippu ja kohtisuoran kanta).

Pyramidi on ns oikea jos pyramidin kanta on säännöllinen monikulmio ja pyramidin huippu projisoidaan sen keskustaan.

Säännöllisen pyramidin kaikki sivupinnat ovat yhteneväisiä tasakylkiset kolmiot. Tavallisessa pyramidissa kaikki sivureunat ovat yhteneväisiä.

Säännöllisen pyramidin sivupinnan korkeutta, joka on vedetty sen huipulta, kutsutaan apoteema pyramidit. Kaikki säännöllisen pyramidin apoteemit ovat yhteneväisiä.

Jos nimetään pohjan sivuksi a, ja apoteema läpi h, niin pyramidin yhden sivupinnan pinta-ala on 1/2 Ah.

Pyramidin kaikkien sivupintojen pinta-alojen summaa kutsutaan sivupinta-ala pyramidit ja on merkitty S-puolella.

Koska sivupinta säännöllinen pyramidi koostuu n yhtenevät kasvot siis

S puoli = 1/2 ahn= P h / 2 ,

jossa P on pyramidin kannan ympärysmitta. Näin ollen

S puoli = P h / 2

eli säännöllisen pyramidin sivupinnan pinta-ala on puolet pohjan ja apoteemin kehän tulosta.

Neliö koko pinta pyramidi lasketaan kaavalla

S = S ocn. + S puoli. .

Pyramidin tilavuus on yhtä kuin kolmasosa sen pohjan pinta-alan tulosta Socn. korkeudelle H:

V = 1/3 S ocn. N.

Tämän ja joidenkin muiden kaavojen johtaminen annetaan myöhemmässä luvussa.

Rakennetaan nyt pyramidi eri tavalla. Olkoon monitahoinen kulma esimerkiksi viisisivuinen, jonka kärkipiste on S (kuva).

Piirrä lentokone R niin, että se leikkaa kaikki tietyn monitahoisen kulman reunat eri pisteissä A, B, C, D, E (kuva). Tällöin pyramidia SABCDE voidaan pitää monitahoisen kulman ja puoliavaruuden leikkauspisteenä rajalla R, joka sisältää kärjen S.

Ilmeisesti pyramidin kaikkien pintojen lukumäärä voi olla mielivaltainen, mutta vähintään neljä. Kun taso leikkaa kolmikulmaisen kulman, saadaan kolmion muotoinen pyramidi, jolla on neljä pintaa. Mitä tahansa kolmion muotoista pyramidia kutsutaan joskus tetraedri, joka tarkoittaa nelikulmiota.

katkaistu pyramidi voidaan saada, jos pyramidin poikki kulkee taso, joka on yhdensuuntainen kannan tason kanssa.

Kuvassa kuva nelikulmaisesta katkaistusta pyramidista on annettu.

Katkaistuja pyramideja kutsutaan myös kolmio, nelikulmainen, n-kulmainen pohjan sivujen lukumäärästä riippuen. Katkaistun pyramidin rakentamisesta seuraa, että sillä on kaksi kantaa: ylempi ja alempi. Katkaistun pyramidin kantat ovat kaksi monikulmiota, joiden sivut ovat pareittain yhdensuuntaiset. Katkaistun pyramidin sivupinnat ovat puolisuunnikkaan muotoisia.

Korkeus Katkaistu pyramidi on kohtisuoran segmentti, joka on vedetty mistä tahansa ylemmän kannan pisteestä alemman pohjan tasoon.

Oikea katkaistu pyramidi jota kutsutaan säännöllisen pyramidin osaksi, joka on pohjan ja kannan suuntaisen leikkaustason välissä. Säännöllisen katkaistun pyramidin (suunnikkaan) sivupinnan korkeudeksi kutsutaan apoteema.

Voidaan todistaa, että säännöllisellä katkaistulla pyramidilla on yhtenevät sivureunat, kaikki sivupinnat ovat yhteneväisiä ja kaikki apoteemit ovat yhteneviä.

Jos oikein katkaistu n- hiilipyramidin läpi a ja b n tarkoittaa ylä- ja alapohjan sivujen pituutta ja läpi h- apoteemin pituus, sitten pyramidin kummankin sivupinnan pinta-ala on

1 / 2 (a + b n) h

Pyramidin kaikkien sivupintojen pinta-alojen summaa kutsutaan sen sivupinnan pinta-alaksi ja sitä merkitään S-sivulla. . Ilmeisesti tavalliselle katkaistulle n- hiilipyramidi

S puoli = n 1 / 2 (a + b n) h.

Koska pa= P ja nb n\u003d P 1 - katkaistun pyramidin kannan kehät, sitten

S puoli \u003d 1/2 (P + P 1) h ,

eli säännöllisen katkaistun pyramidin sivupinnan pinta-ala on yhtä suuri kuin puolet sen kantajen kehien ja apoteemin summan tulosta.

Pyramidin pohjan suuntainen leikkaus

Lause. Jos pyramidin ylittää pohjan kanssa yhdensuuntainen taso, niin:

1) sivurivat ja korkeus jaetaan suhteellisiin osiin;

2) osiossa saat pohjaa muistuttavan polygonin;

3) poikkileikkauksen ja pohjan pinta-alat suhteutetaan niiden etäisyyksien neliöinä ylhäältä.

Riittää todistaa lause kolmiopyramidille.

Koska kolmas taso leikkaa yhdensuuntaiset tasot yhdensuuntaisia viivoja pitkin, niin (AB) || (A 1 B 1), (BC) ||(B 1 C 1), (AC) || (A 1 C 1) (Kuva).

Rinnakkaisviivat leikkaavat kulman sivut suhteellisiin osiin, ja siksi

Siksi ΔSAB ~ ΔSA 1 B 1 ja

∆SBC ~ ∆SB 1 C 1 ja

Tällä tavalla,

Kolmioiden ABC ja A 1 B 1 C 1 vastaavat kulmat ovat yhteneväisiä, kuten kulmat, joilla on yhdensuuntaiset ja tasasuuntaiset sivut. Siksi

∆ABC ~ ∆A 1 B 1 C 1

Samankaltaisten kolmioiden pinta-alat suhteutetaan vastaavien sivujen neliöiksi:

$$ \frac(S_(ABC))(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\left|(AB)\right|^2)(\left|(A_(1)B_1)\right|^2 ) $$

Näin ollen

$$ \frac(S_(ABC))(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\left|(SH)\right|^2)(\left|(SH_1)\right|^2) $$

Lause. Jos kahta samankorkuista pyramidia leikataan samalla etäisyydellä ylhäältä kantojen kanssa yhdensuuntaisilla tasoilla, niin poikkileikkausten pinta-alat ovat verrannollisia kantojen pinta-aloihin.

Olkoon (kuva 84) B ja B 1 kahden pyramidin kannan pinta-alat, H on kummankin korkeus, b ja b 1 - poikkileikkauspinta-alat tasoilla, jotka ovat samansuuntaisia pohjien kanssa ja poistetaan yläosista samalla etäisyydellä h.

Edellisen lauseen mukaan meillä on:

$$ \frac(b)(B)=\frac(h^2)(H^2)\: ja \: \frac(b_1)(B_1)=\frac(h^2)(H^2) $ $
missä
$$ \frac(b)(B)=\frac(b_1)(B_1)\: tai \: \frac(b)(b_1)=\frac(B)(B_1) $$

Seuraus. Jos B \u003d B 1, niin ja b = b 1, eli jos kahdella samankorkuisella pyramidilla on samat kantat, niin myös ylhäältä yhtä kaukana olevat osat ovat yhtä suuret.

Muut materiaalit

Kolmion muotoinen pyramidi on kolmioon perustuva pyramidi. Tämän pyramidin korkeus on kohtisuora, joka lasketaan pyramidin huipulta sen pohjalle.

Pyramidin korkeuden löytäminen

Kuinka löytää pyramidin korkeus? Erittäin yksinkertainen! Minkä tahansa kolmionmuotoisen pyramidin korkeuden selvittämiseksi voit käyttää tilavuuskaavaa: V = (1/3)Sh, missä S on kantapinta-ala, V on pyramidin tilavuus, h on sen korkeus. Tästä kaavasta johdetaan korkeuskaava: kolmion muotoisen pyramidin korkeuden löytämiseksi sinun on kerrottava pyramidin tilavuus kolmella ja jaettava sitten saatu arvo perusalalla, se on: h \u003d (3V ) / S. Koska kolmion muotoisen pyramidin kanta on kolmio, voit käyttää kaavaa kolmion pinta-alan laskemiseen. Jos tiedämme: kolmion S pinta-ala ja sen sivu z, niin pinta-alan kaavan S=(1/2)γh mukaan: h = (2S)/γ, missä h on pyramidin korkeus, γ on kolmion reuna; kolmion sivujen ja itse kahden sivun välinen kulma, sitten seuraavalla kaavalla: S = (1/2)γφsinQ, missä γ, φ ovat kolmion sivut, löydämme kolmion alueen. Kulman Q sinin arvo on katsottava sinitaulukosta, joka on Internetissä. Seuraavaksi korvataan pinta-ala korkeuskaavassa: h = (2S)/γ. Jos tehtävä edellyttää kolmiopyramidin korkeuden laskemista, pyramidin tilavuus on jo tiedossa.

Säännöllinen kolmiopyramidi

Etsi säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin korkeus, eli pyramidin, jonka kaikki pinnat ovat tasasivuisia kolmioita, tietäen reunan γ koon. Tässä tapauksessa pyramidin reunat ovat tasasivuisten kolmioiden sivuja. Säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin korkeus on: h = γ√(2/3), missä γ on tasasivuisen kolmion reuna, h on pyramidin korkeus. Jos kannan pinta-ala (S) on tuntematon ja vain monitahoisen reunan pituus (γ) ja tilavuus (V) on annettu, on edellisen vaiheen kaavassa tarvittava muuttuja korvattava sen vastineella, joka ilmaistaan reunan pituudella. Kolmion pinta-ala (säännöllinen) on yhtä suuri kuin 1/4 tämän kolmion sivun pituuden tulosta 3:n neliöjuurella. Korvataan tämä kaava edellisen kaavan kanta-alan sijaan , ja saamme seuraavan kaavan: h \u003d 3V4 / (γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). Tetraedrin tilavuus voidaan ilmaista sen reunan pituudella, jolloin kuvion korkeuden laskentakaavasta voidaan poistaa kaikki muuttujat ja vain kuvion kolmiomaisen pinnan sivu voidaan jättää. Tällaisen pyramidin tilavuus voidaan laskea jakamalla 12:lla tulosta sen pinnan pituus kuutioituna 2:n neliöjuurella.

Korvaamme tämän lausekkeen edelliseen kaavaan, saamme seuraavan kaavan laskentaan: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ√(2/3) = (1/3)γ√6. Myös oikein Kolmisivuinen prisma voidaan kirjoittaa palloon, ja tietäen vain pallon säteen (R) voidaan löytää tetraedrin korkeus. Tetraedrin reunan pituus on: γ = 4R/√6. Korvataan muuttuja γ tällä lausekkeella edellisessä kaavassa ja saadaan kaava: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. Sama kaava voidaan saada tietämällä tetraedriin piirretyn ympyrän säde (R). Tässä tapauksessa kolmion reunan pituus on yhtä suuri kuin 12 suhdetta 6:n neliöjuuren ja säteen välillä. Korvaamme tämän lausekkeen edelliseen kaavaan ja saamme: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.

Kuinka löytää säännöllisen nelikulmaisen pyramidin korkeus

Vastataksesi kysymykseen, kuinka löytää pyramidin korkeuden pituus, sinun on tiedettävä oikea pyramidi. Nelikulmainen pyramidi on pyramidi, joka perustuu nelikulmioon. Jos ongelman olosuhteissa meillä on: pyramidin tilavuus (V) ja pohjan pinta-ala (S), niin monitahoisen korkeuden (h) laskentakaava on seuraava - jaa tilavuus kerrottuna 3:lla alueella S: h \u003d (3V) / S. Kun pyramidin neliökanta tunnetaan: annettu tilavuus (V) ja sivun pituus γ, korvaa alue (S) edellisessä kaavassa sivun pituuden neliöllä: S = γ 2 ; H = 3 V/y2. Säännöllisen pyramidin korkeus h = SO kulkee juuri ympyrän keskustan läpi, joka on rajattu lähellä kantaa. Koska tämän pyramidin kanta on neliö, piste O on diagonaalien AD ja BC leikkauspiste. Meillä on: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. Edelleen löydämme suorassa kolmiossa SOC (Pythagoraan lauseen mukaan): SO = √(SC 2 -OC 2). Nyt tiedät kuinka löytää säännöllisen pyramidin korkeus.

Teoksen teksti on sijoitettu ilman kuvia ja kaavoja.
Täysversio työ on saatavilla "Työtiedostot" -välilehdeltä PDF-muodossa

Johdanto

Kun kohtaamme sanan "pyramidi", assosiatiivinen muisti vie meidät Egyptiin. Jos puhumme arkkitehtuurin varhaisista monumenteista, voidaan väittää, että niiden lukumäärä on vähintään useita satoja. Eräs 1200-luvun arabikirjailija sanoi: "Kaikki maailmassa pelkää aikaa, ja aika pelkää pyramideja." Pyramidit ovat ainoa ihme maailman seitsemästä ihmeestä, joka on säilynyt meidän aikanamme, aikakauteen asti tietokone teknologia. Tutkijat eivät kuitenkaan ole vielä löytäneet vihjeitä kaikkiin mysteereihinsä. Mitä enemmän opimme pyramideista, sitä enemmän meillä on kysymyksiä. Pyramidit kiinnostavat historioitsijoita, fyysikoita, biologeja, lääkäreitä, filosofeja jne. Ne kiinnostavat suuresti ja rohkaisevat niiden ominaisuuksien syvempään tutkimiseen sekä matemaattisista että muista (historiallisista, maantieteellisistä jne.) näkökulmista.

Siksi päämäärä tutkimuksemme oli pyramidin ominaisuuksien tutkimus eri pisteet näkemys. Välitavoitteiksi olemme määritelleet: pyramidin ominaisuuksien tarkastelun matematiikan näkökulmasta, hypoteesien tutkimisen pyramidin salaisuuksien ja mysteerien olemassaolosta sekä sen soveltamismahdollisuuksista.

esine Tämän julkaisun tutkimus on pyramidi.

Aihe tutkimus: pyramidin ominaisuudet ja ominaisuudet.

Tehtävät tutkimus:

Tutkia tieteellistä - suosittua kirjallisuutta tutkimusaiheesta.

Tarkastellaan pyramidia geometrisena kappaleena.

Selvitä pyramidin ominaisuudet ja ominaisuudet.

Etsi materiaalia, joka vahvistaa pyramidin ominaisuuksien käytön eri aloilla Tiede ja teknologia.

menetelmät tutkimus: analyysi, synteesi, analogia, mentaalinen mallinnus.

Työn odotettu tulos tulee olla jäsenneltyä tietoa pyramidista, sen ominaisuuksista ja sovelluksista.

Hankkeen valmistelun vaiheet:

Hankkeen teeman, tavoitteiden ja päämäärien määrittäminen.

Opiskelu ja materiaalin kerääminen.

Projektisuunnitelman laatiminen.

Projektin toiminnan odotetun tuloksen muotoilu, mukaan lukien uuden materiaalin omaksuminen, tietojen, taitojen ja kykyjen muodostaminen ainetoiminnassa.

Tutkimustulosten muotoilu.

Heijastus

Pyramidi geometrisena kappaleena

Mieti sanan ja termin alkuperää " pyramidi". On heti syytä huomata, että "pyramidi" tai " pyramidi"(Englanti), " pyramidi"(ranska, espanja ja slaavilaiset kielet), pyramidi(saksa) on länsimainen termi, jonka alkuperä on antiikin Kreikassa. antiikin kreikaksi πύραμίς ("P iramis"ja monet muut. h. Πύραμίδες « pyramidit"") on useita merkityksiä. Muinaiset kreikkalaiset kutsuivat pyramis» vehnäkakku, joka muistutti egyptiläisten rakenteiden muotoa. Myöhemmin sana tuli tarkoittamaan "monumentaalista rakennetta neliön alue tyvestä ja viistot sivut kohtaavat ylhäällä. Etymologinen sanakirja osoittaa, että kreikkalainen "pyramis" tulee egyptiläisestä " pimar". Ensimmäinen kirjallinen tulkinta sanasta "pyramidi" löydetty Euroopasta vuonna 1555 ja tarkoittaa: "yksi kuninkaiden muinaisten rakennusten tyypeistä". Pyramidien löytämisen jälkeen Meksikossa ja tieteen kehittyessä 1700-luvulla pyramidista ei tullut vain muinainen arkkitehtuurin muistomerkki, vaan myös säännöllinen geometrinen hahmo, jolla on neljä symmetristä sivua (1716). Pyramidin geometrian alku laskettiin kuitenkin muinaisessa Egyptissä ja Babylonissa aktiivista kehitystä vastaanotettu sisään Muinainen Kreikka. Ensimmäinen, joka selvitti pyramidin tilavuuden, oli Demokritos, ja Eudoxus Knidus todisti sen.

Ensimmäinen määritelmä kuuluu antiikin kreikkalaiselle matemaatikolle, meille tulleiden matematiikan teoreettisten tutkielmien kirjoittajalle Eukleideelle. "Alkujensa" XII osassa hän määrittelee pyramidin keholliseksi hahmoksi, jota rajoittavat tasot, jotka yhdestä tasosta (alustalta) yhtyvät yhteen pisteeseen (ylhäältä). Mutta tätä määritelmää on kritisoitu jo antiikissa. Joten Heron ehdotti seuraavaa pyramidin määritelmää: "Tämä on kuvio, jota rajoittavat kolmiot, jotka yhtyvät yhteen pisteeseen ja jonka kanta on monikulmio."

On olemassa määritelmä ranskalaiselle matemaatikko Adrien Marie Legendrelle, joka vuonna 1794 teoksessaan "Elements of Geometry" määrittelee pyramidin seuraavasti: "Pyramidi on kehon hahmo, jonka muodostavat kolmiot, jotka yhtyvät yhteen pisteeseen ja päättyvät eri puolille pyramidia. tasainen pohja.”

Nykyaikaiset sanakirjat tulkitsevat termiä "pyramidi" seuraavalla tavalla:

	Monitahoinen, jonka kanta on monikulmio ja muut pinnat ovat kolmioita, joilla on yhteinen kärki	Venäjän kielen selittävä sanakirja, toim. D.N. Ushakova
	Kappale, jota rajoittavat yhtä suuret kolmiot ja joka koostuu pisteistä yhdessä pisteessä ja muodostaa kantansa kanssa neliön	V.I.Dalin selittävä sanakirja
	Monitahoinen, jonka kanta on monikulmio ja loput pinnat ovat kolmioita, joilla on yhteinen kärki	Selittävä sanakirja, toim. S. I. Ozhegova ja N. Yu. Shvedova
	Monitahoinen, jonka kanta on monikulmio ja jonka sivupinnat ovat kolmioita, joilla on yhteinen kärki	T. F. Efremov. Uusi venäjän kielen selittävä ja johdantava sanakirja.
	Monitahoinen, jonka toinen pinta on monikulmio ja muut pinnat ovat kolmioita, joilla on yhteinen kärki	Sanakirja vieraita sanoja
	Geometrinen kappale, jonka kanta on monikulmio ja jonka sivuja on yhtä monta kolmiota kuin kannalla on sivuja, joiden kärjet suppenevat yhteen pisteeseen.	Venäjän kielen vieraiden sanojen sanakirja
	Monitaho, jonka yksi pinta on jonkinlainen litteä monikulmio ja kaikki muut pinnat ovat kolmioita, joiden kantat ovat kolmion kannan sivut ja kärjet konvergoivat yhdessä pisteessä	F. Brockhaus, I.A. Efron. tietosanakirja
	Monitahoinen, jonka kanta on monikulmio ja muut pinnat ovat kolmioita, joilla on yhteinen kärki	Moderni sanakirja
	Monitahoinen, jonka yksi pinta on monikulmio ja muut pinnat ovat kolmioita, joilla on yhteinen kärki	Matemaattinen tietosanakirja

Analysoimalla pyramidin määritelmiä voimme päätellä, että kaikilla lähteillä on samanlaiset muotoilut:

Pyramidi on monitahoinen, jonka kanta on monikulmio, ja muut pinnat ovat kolmioita, joilla on yhteinen kärki. Pohjan kulmien lukumäärän mukaan pyramidit ovat kolmion muotoisia, nelikulmaisia jne.

Monikulmio A 1 A 2 A 3 ... An on pyramidin kanta ja kolmiot RA 1 A 2, RA 2 A 3, ..., PAnA 1 ovat pyramidin sivupinnat, P on huippu pyramidin segmentit RA 1, RA 2, ..., PAn - sivurivat.

Pyramidin huipulta pohjan tasoon vedettyä kohtisuoraa kutsutaan h pyramidit.

Mielivaltaisen pyramidin lisäksi on säännöllinen pyramidi, jonka pohjassa on säännöllinen monikulmio ja katkaistu pyramidi.

alueella Pyramidin kokonaispinta-ala on sen kaikkien pintojen pinta-alojen summa. Täysi = S-puoli + S-pää, missä S-puoli on sivupintojen pinta-alojen summa.

Äänenvoimakkuus pyramidi löytyy kaavasta: V=1/3S main.h, missä S main. - pohjapinta-ala, h - korkeus.

Vastaanottaja pyramidin ominaisuudet liittyä:

Kun kaikki sivureunat ovat samankokoisia, on helppo kuvata ympyrää lähellä pyramidin kantaa, kun taas pyramidin huippu heijastetaan tämän ympyrän keskelle; sivurivat muodostavat samat kulmat perustason kanssa; lisäksi päinvastoin on myös totta, ts. kun sivurivat muodostuvat pohjatason kanssa yhtäläiset kulmat, tai kun ympyrä voidaan kuvata lähellä pyramidin kantaa ja pyramidin huippu projisoidaan tämän ympyrän keskelle, mikä tarkoittaa, että pyramidin kaikki sivureunat ovat samankokoisia.

Kun sivupinnoilla on samanarvoinen kaltevuuskulma pohjan tasoon nähden, on helppo kuvata ympyrä lähellä pyramidin kantaa, kun taas pyramidin huippu heijastetaan tämän ympyrän keskelle ; sivupintojen korkeudet ovat yhtä pitkä; sivupinnan pinta-ala on puolet pohjan kehän ja sivupinnan korkeuden tulosta.

Pyramidi on ns oikea, jos sen kanta on säännöllinen monikulmio ja kärki heijastetaan kannan keskelle. Säännöllisen pyramidin sivupinnat ovat tasakylkisiä kolmioita (kuva 2a). akseli Säännöllistä pyramidia kutsutaan suoraksi viivaksi, joka sisältää sen korkeuden. Apothem - säännöllisen pyramidin sivupinnan korkeus sen huipulta vedettynä.

Neliö säännöllisen pyramidin sivupinta ilmaistaan seuraavasti: Sivu. \u003d 1 / 2P h, jossa P on pohjan ympärysmitta, h on sivupinnan korkeus (säännöllisen pyramidin apoteemi). Jos pyramidin ylittää pohjan kanssa yhdensuuntainen taso A'B'C'D', niin sivureunat ja korkeus jaetaan tämän tason avulla suhteellisiin osiin; poikkileikkauksessa saadaan monikulmio A'B'C'D', samanlainen kuin kanta; poikkileikkauksen ja pohjan pinta-alat suhteutetaan niiden etäisyyksien neliöinä ylhäältä.

Katkaistu pyramidi saadaan katkaisemalla pyramidista sen yläosa pohjan suuntaisella tasolla (kuva 2b). Katkaistun pyramidin kantat ovat samanlaisia polygoneja ABCD ja A`B`C`D`, sivupinnat ovat puolisuunnikkaan muotoisia. Katkaistun pyramidin korkeus on kannasten välinen etäisyys. Katkaistun pyramidin tilavuus saadaan kaavasta: V=1/3 h (S + + S'), missä S ja S' ovat kantajen ABCD ja A'B'C'D' pinta-alat, h on korkeus.

Säännöllisen katkaistun n-kulmaisen pyramidin kantat ovat säännöllisiä n-kulmia. Säännöllisen katkaistun pyramidin sivupinnan pinta-ala ilmaistaan seuraavasti: Sivu. \u003d ½ (P + P ') h, missä P ja P' ovat jalkojen ympärysmitat, h on sivupinnan korkeus (säännöllisen katkaistun pyramidin apoteemi)

Pyramidin leikkaukset sen yläosan läpi kulkevien tasojen mukaan ovat kolmioita. Poikkileikkausta, joka kulkee pyramidin kahden ei-viereisen sivureunan läpi, kutsutaan diagonaalileikkaukseksi. Jos leikkaus kulkee sivureunassa ja pohjan sivulla olevan pisteen läpi, tämä sivu on sen jälki pyramidin pohjan tasossa. Poikkileikkaus, joka kulkee pyramidin pinnalla olevan pisteen ja poikkileikkauksen tietyn jäljen läpi kannan tasossa, niin rakentaminen tulee suorittaa seuraavasti: etsi tietyn pinnan tason leikkauspiste ja jälki pyramidin osasta ja nimeä se; rakentaa tietyn pisteen ja tuloksena olevan leikkauspisteen kautta kulkeva suora; Toista nämä vaiheet seuraaville kasvoille.

Suorakaiteen muotoinen pyramidi - se on pyramidi, jossa yksi sivureunoista on kohtisuorassa pohjaan nähden. Tässä tapauksessa tämä reuna on pyramidin korkeus (kuva 2c).

Säännöllinen kolmiopyramidi- Tämä on pyramidi, jonka pohja on säännöllinen kolmio ja yläosa heijastuu pohjan keskelle. Säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin erikoistapaus on tetraedri. (Kuva 2a)

Tarkastellaan lauseita, jotka yhdistävät pyramidin muihin geometrisiin kappaleisiin.

Pallo

Palloa voidaan kuvata lähellä pyramidia, kun pyramidin pohjalla on monikulmio, jonka ympärillä voidaan kuvata ympyrä (välttämätön ja riittävä ehto). Pallon keskipiste on niihin nähden kohtisuorassa olevien pyramidin reunojen keskipisteiden kautta kulkevien tasojen leikkauspiste. Tästä lauseesta seuraa, että pallo voidaan kuvata sekä mistä tahansa kolmiomaisesta että mistä tahansa säännöllisestä pyramidista; Pallo voidaan kirjoittaa pyramidiin, kun pyramidin sisäisten dihedraalisten kulmien puolittajatasot leikkaavat yhdessä pisteessä (välttämätön ja riittävä ehto). Tämä piste tulee olemaan pallon keskipiste.

Kartio

Kartiota kutsutaan pyramidiin kirjoitetuksi, jos sen kärjet ovat samat ja sen kanta on merkitty pyramidin pohjaan. Lisäksi on mahdollista piirtää kartio pyramidiin vain, kun pyramidin apoteemit ovat keskenään yhtä suuret (välttämätön ja riittävä ehto); Kartiota kutsutaan kaiverretuksi pyramidin lähelle, kun niiden kärjet ovat samat ja sen kanta on kaiverrettu lähellä pyramidin kantaa. Lisäksi on mahdollista kuvata kartio pyramidin lähellä vain, kun kaikki pyramidin sivureunat ovat keskenään yhtä suuret (välttämätön ja riittävä ehto); Tällaisten kartioiden ja pyramidien korkeudet ovat samat.

Sylinteri

Sylinteriä kutsutaan pyramidiin piirretyksi, jos yksi sen kanta osuu yhteen ympyrän kanssa, jonka pyramidin poikkileikkaukseen on piirretty kannan suuntainen taso, ja toinen kanta kuuluu pyramidin kantaan. Sylinteriä kutsutaan kaiverretuksi lähellä pyramidia, jos pyramidin huippu kuuluu johonkin sen kantaan ja sen toinen kanta on merkitty lähelle pyramidin kantaa. Lisäksi on mahdollista kuvata pyramidin lähellä olevaa sylinteriä vain, kun pyramidin pohjassa on merkitty monikulmio (välttämätön ja riittävä ehto).

Hyvin usein tutkijat käyttävät tutkimuksessaan pyramidin ominaisuuksia kultaisen suhteen mittasuhteilla. Tarkastellaan seuraavassa kappaleessa, kuinka kultaisen leikkauksen suhteita käytettiin pyramidien rakentamisessa, ja tässä keskitymme kultaisen leikkauksen määritelmään.

Matemaattinen tietosanakirja antaa seuraavan määritelmän kultainen leikkaus- tämä on segmentin AB jakaminen kahteen osaan siten, että suurin osa sen AC:stä on koko segmentin AB ja sen pienemmän osan CB keskiarvo.

Janan AB = a kultaisen leikkauksen algebrallinen löytö pelkistetään yhtälön a ratkaisemiseksi: x = x: (a-x), jolloin x on suunnilleen yhtä suuri kuin 0,62a. Suhde x voidaan ilmaista murto-osina n/n+1= 0,618, missä n on Fibonacci-luku numeroitu n.

Kultaista leikkausta käytetään usein taideteoksissa, arkkitehtuurissa ja sitä löytyy luonnosta. Eläviä esimerkkejä ovat Apollo Belvederen veistos, Parthenon. Parthenonin rakentamisen aikana käytettiin rakennuksen korkeuden suhdetta sen pituuteen ja tämä suhde on 0,618. Myös ympärillämme olevat esineet tarjoavat esimerkkejä kultaisesta suhteesta, esimerkiksi monien kirjojen sidoksista on myös leveys-pituussuhde lähellä 0,618.

Siten tutkittuamme tutkimusongelmaa koskevaa populaaritieteellistä kirjallisuutta päädyimme siihen tulokseen, että pyramidi on monitahoinen, jonka kanta on monikulmio ja loput pinnat ovat kolmioita, joilla on yhteinen kärki. Tutkimme pyramidin elementtejä ja ominaisuuksia, sen tyyppejä ja korrelaatiota kultaisen leikkauksen mittasuhteiden kanssa.

2. Pyramidin ominaisuudet

Joten Big Encyclopedic Dictionary -sanakirjassa on kirjoitettu, että pyramidi on monumentaalinen rakennelma geometrinen muoto pyramidit (joskus porrastetut tai tornin muotoiset). Muinaisten egyptiläisten faaraoiden hautoja 3. - 2. vuosituhannella eKr. kutsuttiin pyramideiksi. e., sekä temppelien jalustat Keski- ja Etelä-Amerikka liittyy kosmologisiin kultteihin. Egyptin mahtavien pyramidien joukossa farao Cheopsin suuri pyramidi on erityinen paikka. Ennen kuin siirrymme Cheopsin pyramidin muodon ja koon analysointiin, meidän tulisi muistaa, mitä mittajärjestelmää egyptiläiset käyttivät. Egyptiläisillä oli kolme pituusyksikköä: "kyynärää" (466 mm), joka vastaa seitsemää "kämmentä" (66,5 mm), mikä puolestaan vastasi neljää "sormea" (16,6 mm).

Useimmat tutkijat ovat yhtä mieltä siitä, että pyramidin pohjan sivun pituus, esimerkiksi GF, on L = 233,16 m. Tämä arvo vastaa lähes täsmälleen 500 "kyynärää". Täysi noudattaminen 500 "kyynärää" on, jos "kyynärän" pituudeksi katsotaan 0,4663 m.

Tutkijat arvioivat pyramidin korkeuden (H) eri tavalla 146,6 - 148,2 m. Ja riippuen pyramidin hyväksytystä korkeudesta, kaikki sen geometristen elementtien suhteet muuttuvat. Mistä johtuu pyramidin korkeusarvion erot? Tosiasia on, että Cheopsin pyramidi on katkaistu. Sen ylälava on nykyään kooltaan noin 10x10 m ja sata vuotta sitten 6x6 m. On selvää, että pyramidin huippu purettiin, eikä se vastaa alkuperäistä. Pyramidin korkeutta arvioitaessa on otettava huomioon sellainen fyysinen tekijä kuin rakenteen painuma. Per pitkä aika kolossaalisen paineen vaikutuksesta (joka saavuttaa 500 tonnia 1 m 2 alapintaa kohti) pyramidin korkeus laski alkuperäiseen korkeuteen verrattuna. Pyramidin alkuperäinen korkeus voidaan luoda uudelleen, jos löydät geometrisen perusidean.

Vuonna 1837 englantilainen eversti G. Wise mittasi pyramidin pintojen kaltevuuskulman: se osoittautui yhtä suureksi kuin a = 51 ° 51 ". Useimmat tutkijat tunnustavat tämän arvon edelleen. kulma vastaa tangenttia (tg a), joka on yhtä suuri kuin 1,27306. Tämä arvo vastaa pyramidin AC korkeuden suhdetta sen kantapään CB:hen puoleen, eli AC / CB = H / (L / 2) = 2H /L.

Ja tässä tutkijat kohtasivat suuren yllätyksen! Tosiasia on, että jos otamme kultaisen suhteen neliöjuuren, saamme seuraavan tuloksen = 1,272. Vertaamalla tätä arvoa arvoon tg a = 1,27306, näemme, että nämä arvot ovat hyvin lähellä toisiaan. Jos otamme kulman a \u003d 51 ° 50 ", eli pienennämme sitä vain yhdellä kaaren minuutilla, niin a:n arvoksi tulee 1,272, eli se osuu yhteen arvon kanssa. On huomattava, että vuonna 1840 G. Wise toisti mittauksensa ja selvensi, että kulman arvo on \u003d 51 ° 50 ".

Nämä mittaukset johtivat tutkijat seuraavaan mielenkiintoinen hypoteesi: suhdetta AC / CB = 1,272 käytettiin Cheopsin pyramidin kolmion ASV perustana.

Harkitse nyt suorakulmainen kolmio ABC, jossa jalkojen suhde AC / CB = . Jos nyt merkitään suorakulmion ABC sivujen pituudet x, y, z, ja otetaan myös huomioon, että suhde y / x \u003d, niin Pythagoraan lauseen mukaisesti pituus z voidaan laskea kaava:

Jos hyväksymme x = 1, y = , niin:

Suorakulmaista kolmiota, jonka sivut liittyvät toisiinsa muodossa t::1, kutsutaan "kultaiseksi" suorakulmaiseksi kolmioksi.

Sitten, jos otamme perustaksi hypoteesi, että Cheops-pyramidin tärkein "geometrinen idea" on "kultainen" suorakulmainen kolmio, niin täältä on helppo laskea Cheops-pyramidin "suunnittelu" korkeus. Se on yhtä suuri kuin:

H \u003d (L / 2) / \u003d 148,28 m.

Johdetakaamme nyt joitain muita suhteita Cheopsin pyramidille, jotka seuraavat "kultaisesta" hypoteesista. Erityisesti löydämme pyramidin ulkopinnan suhteen sen pohjan pinta-alaan. Tätä varten otamme jalan CB pituuden yksikkönä, eli: CB = 1. Mutta silloin pyramidin pohjan sivun pituus on GF = 2 ja kantapinta-ala EFGH on yhtä suuri kuin S EFGH = 4.

Lasketaan nyt Cheops-pyramidin sivupinnan pinta-ala S D . Koska kolmion AEF korkeus AB on yhtä suuri kuin t, niin sivupinnan pinta-ala on yhtä suuri kuin S D = t. Sitten pyramidin kaikkien neljän sivupinnan kokonaispinta-ala on 4t, ja pyramidin ulkoisen kokonaispinta-alan suhde pohjan pinta-alaan on yhtä suuri kuin kultainen leikkaus. Tämä on Cheops-pyramidin tärkein geometrinen salaisuus.

Ja myös Egyptin pyramidien rakentamisen aikana havaittiin, että pyramidin korkeudelle rakennettu aukio, täsmälleen yhtä suuri kuin pinta-ala jokainen sivukolmio. Tämän vahvistavat viimeisimmät mittaukset.

Tiedämme, että ympyrän kehän ja halkaisijan välinen suhde on vakio, hyvin tunnettu nykyajan matemaatikot, koululaisille - tämä on luku "Pi" \u003d 3,1416 ... Mutta jos laskemme yhteen Cheopsin pyramidin pohjan neljä sivua, saamme 931,22 m. Jakamalla tämä luku kaksinkertaisella pyramidin korkeudella ( 2x148.208), saamme 3,1416 ..., sitten on luku pi. Näin ollen Cheopsin pyramidi on ainutlaatuinen muistomerkki, joka on soivan "Pi"-luvun materiaalinen ruumiillistuma. tärkeä rooli matematiikassa.

Siten läsnäolo kultaisen leikkauksen pyramidin koossa - pyramidin kaksinkertaisen sivun suhde sen korkeuteen - on luku, joka on arvoltaan hyvin lähellä lukua π. Tämä on tietysti myös ominaisuus. Vaikka monet kirjoittajat uskovat, että tämä yhteensattuma on sattumaa, koska murtoluku 14/11 on "hyvä likiarvo neliöjuuri kultaleikkauksen suhteesta ja neliön ja siihen kirjoitetun ympyrän pinta-alojen suhteesta.

On kuitenkin väärin puhua tässä vain Egyptin pyramideista. Ei ole vain egyptiläisiä pyramideja, maan päällä on kokonainen pyramidiverkosto. Tärkeimmät monumentit (Egyptin ja Meksikon pyramidit, Pääsiäissaari ja Stonehenge-kompleksi Englannissa) ovat ensi silmäyksellä satunnaisesti hajallaan planeetallamme. Mutta jos tutkimus sisältää Tiibetin pyramidikompleksin, niin tiukka matemaattinen järjestelmä niiden sijainnista maan pinnalla ilmestyy. Himalajan harjanteen taustaa vasten erottuu selvästi pyramidin muotoinen muodostelma - Kailash-vuori. Kailashin kaupungin, Egyptin ja Meksikon pyramidien sijainti on erittäin mielenkiintoinen, nimittäin, jos yhdistät Kailashin kaupungin Meksikon pyramideihin, niin niitä yhdistävä linja menee pääsiäissaarelle. Jos yhdistät Kailashin kaupungin egyptiläisiin pyramideihin, niiden yhteyslinja menee jälleen pääsiäissaarelle. Täsmälleen neljäsosa maapallo. Jos yhdistämme Meksikon ja Egyptin pyramidit, niin näemme kaksi yhtäläistä kolmiota. Jos löydät heidän alueensa, niiden summa on yhtä kuin neljäsosa maapallon pinta-alasta.

Tiibetin pyramidien kompleksin välillä paljastettiin kiistaton yhteys muiden rakenteiden kanssa antiikin - Egyptin ja Meksikon pyramidit, Pääsiäissaaren kolossit ja Stonehenge-kompleksi Englannissa. Tiibetin pääpyramidin - Kailash-vuoren - korkeus on 6714 metriä. Etäisyys Kailashista Pohjoisnapa on yhtä suuri 6714 kilometriä, etäisyys Kailashista Stonehengeen on 6714 kilometriä. Jos laitat syrjään maapallolla pohjoisnavalta nämä 6714 kilometriä, sitten pääsemme ns. Paholaisen torniin, joka näyttää katkaistulta pyramidilta. Ja lopulta aivan 6714 kilometriä Stonehengestä Bermudan kolmioon.

Näiden tutkimusten tuloksena voidaan päätellä, että maapallolla on pyramidimainen maantieteellinen järjestelmä.

Ominaisuudet siis ovat pyramidin ulkoisen kokonaispinta-alan suhde pohjan pinta-alaan on yhtä suuri kuin kultainen leikkaus; kultaisen leikkauksen pyramidin koko - pyramidin kaksinkertaisen sivun suhde sen korkeuteen - on arvoltaan hyvin lähellä lukua π, ts. Cheopsin pyramidi on ainutlaatuinen muistomerkki, joka on luvun "Pi" aineellinen ruumiillistuma; pyramidimaantieteellisen järjestelmän olemassaolo.

3. Pyramidin muut ominaisuudet ja käyttötarkoitukset.

Harkitse tämän käytännön soveltamista geometrinen kuvio. Esimerkiksi, hologrammi. Katsotaanpa ensin mitä holografia on. Holografia - joukko tekniikoita optisen sähkömagneettisen säteilyn aaltokenttien tarkkaan tallentamiseen, toistoon ja uudelleenmuotoiluun, erityinen valokuvausmenetelmä, jossa kolmiulotteisten kohteiden kuvat tallennetaan ja sitten palautetaan laserilla. korkein aste samanlaisia kuin todelliset. Hologrammi on holografian tuote, laserilla luotu kolmiulotteinen kuva, joka toistaa kuvan kolmiulotteisesta kohteesta. Käyttämällä säännöllistä katkaistua tetraedristä pyramidia voit luoda kuvan - hologrammin. Läpinäkyvästä materiaalista luodaan valokuvatiedosto ja tavallinen katkaistu tetraedripyramidi. Pieni sisennys tehdään alimmasta pikselistä ja keskimmäisestä pikselistä suhteessa y-akseliin. Tämä kohta on leikkauksen muodostaman neliön sivun keskipiste. Valokuva moninkertaistuu ja sen kopiot sijaitsevat samalla tavalla suhteessa kolmeen muuhun sivuun. Neliölle asetetaan pyramidi leikkaus alaspäin siten, että se osuu neliöön. Näyttö tuottaa valoaallon, ja jokainen neljästä identtisestä valokuvasta, jotka ovat tasossa, joka on projektio pyramidin pinnasta, putoaa itse kasvoille. Seurauksena on, että kaikilla neljällä sivulla on samat kuvat, ja koska materiaalilla, josta pyramidi on tehty, on läpinäkyvyysominaisuus, aallot näyttävät taittuneen ja kohtaavat keskellä. Tuloksena saadaan sama häiriökuvio seisovasta aallosta, jonka keskiakseli tai pyörimisakseli on säännöllisen katkaistun pyramidin korkeus. Tämä menetelmä toimii myös videokuvan kanssa, koska toimintaperiaate pysyy ennallaan.

Erityistapauksia tarkasteltaessa voidaan nähdä, että pyramidia käytetään laajalti Jokapäiväinen elämä, jopa kotitalous. Pyramidin muoto löytyy usein pääasiassa luonnosta: kasveista, kiteistä, metaanimolekyylillä on säännöllisen kolmion muotoinen pyramidi - tetraedri, timanttikiteen yksikkökenno on myös tetraedri, jonka keskellä ja neljässä kärjessä on hiiliatomeja. Pyramidit löytyvät kotoa, lasten leluja. Painikkeet, tietokoneen näppäimistöt ovat usein samanlaisia kuin nelikulmainen katkaistu pyramidi. Ne voidaan nähdä itse rakennuselementtien tai arkkitehtonisten rakenteiden muodossa läpikuultavina kattorakenteina.

Harkitse muita esimerkkejä termin "pyramidi" käytöstä

Ekologiset pyramidit- nämä ovat graafisia malleja (yleensä kolmioiden muodossa), jotka kuvastavat yksilöiden lukumäärää (lukupyramidi), niiden biomassan määrää (biomassapyramidi) tai niiden sisältämää energiaa (energiapyramidi) kullakin trofiatasolla ja osoittavat kaikkien indikaattorien lasku troofisen tason nousun myötä

Tietopyramidi. Se kuvastaa hierarkiaa monenlaisia tiedot. Tietojen tarjoaminen on rakennettu seuraavan pyramidikaavion mukaan: yläosassa - tärkeimmät indikaattorit, joiden avulla voit yksiselitteisesti seurata yrityksen vauhtia kohti valittua tavoitetta. Jos jotain on vialla, voit siirtyä pyramidin keskitasolle - yleistettyihin tietoihin. Ne selventävät kuvaa kunkin indikaattorin osalta erikseen tai suhteessa toisiinsa. Näistä tiedoista voit määrittää vian tai ongelman mahdollisen sijainnin. Lisää täydelliset tiedot sinun on käännyttävä pyramidin pohjaan - yksityiskohtainen kuvaus kaikkien prosessien tilasta numeerisessa muodossa. Nämä tiedot auttavat tunnistamaan ongelman syyn, jotta se voidaan korjata ja välttää tulevaisuudessa.

Bloomin taksonomia. Bloomin taksonomia ehdottaa tehtävien luokittelua pyramidin muodossa, jonka opettajat asettavat opiskelijoille, ja vastaavasti oppimistavoitteita. Hän jakaa koulutustavoitteita kolmeen osa-alueeseen: kognitiivinen, affektiivinen ja psykomotorinen. Jokaisen yksittäisen sfäärin sisällä korkeammalle tasolle siirtymiseksi tarvitaan aikaisempien, tällä alalla erottuvien tasojen kokemusta.

Rahoituspyramidi- tietty tapahtuma taloudellinen kehitys. Nimi "pyramidi" kuvaa selvästi tilannetta, kun pyramidin "alaosassa" olevat ihmiset antavat rahaa pienelle huipulle. Samaan aikaan jokainen uusi osallistuja maksaa lisätäkseen mahdollisuuttaan ylennyksensä pyramidin huipulle.

Tarpeiden pyramidi Maslow heijastaa yhtä suosituimmista ja tunnetuimmista motivaatioteorioista - hierarkiateoriaa. tarpeisiin. Maslowin tarpeisiin jaetaan nousevassa järjestyksessä, mikä selittää tällaisen rakenteen sillä, että henkilö ei voi kokea tarpeita korkeatasoinen kun tarvitset primitiivisempiä asioita. Kun alemmat tarpeet tyydytetään, ylemmän tason tarpeet tulevat yhä kiireellisemmiksi, mutta tämä ei suinkaan tarkoita sitä, että aikaisemman tarpeen tilalle tulee uusi vasta, kun entinen on täysin täytetty.

Toinen esimerkki termin "pyramidi" käytöstä on ruokapyramidi - kaavamainen esitys periaatteista terveellinen ruokavalio ravitsemusasiantuntijoiden kehittämä. Pyramidin alaosassa olevia ruokia tulisi syödä mahdollisimman usein, kun taas pyramidin huipulla olevia ruokia tulisi välttää tai niitä tulee syödä rajoitettuina määrinä.

Siten kaikki yllä oleva osoittaa pyramidin käyttötarkoituksia elämässämme. Ehkä pyramidilla on paljon korkeampi tarkoitus, ja se on tarkoitettu johonkin muuhun käytännön tapoja sen käyttötarkoitukset, jotka ovat nyt avoinna.

Johtopäätös

Tapamme jatkuvasti pyramideja elämässämme - nämä ovat ikivanhoja Egyptin pyramidit ja lelut, joilla lapset leikkivät; arkkitehtuurin ja suunnittelun esineet, luonnonkiteet; viruksia, jotka voidaan nähdä vain elektronimikroskoopilla. Monen vuosituhannen olemassaolon aikana pyramideista on tullut eräänlainen symboli, joka personoi ihmisen halun saavuttaa tiedon huippu.

Tutkimuksen aikana totesimme, että pyramidit ovat melko yleinen ilmiö kaikkialla maapallolla.

Tutkimme populaaritieteellistä kirjallisuutta tutkimuksen aiheesta, arvostelimme erilaisia tulkintoja termi "pyramidi", määritti, että geometrisessa mielessä pyramidi on monitahoinen, jonka kanta on monikulmio, ja loput pinnat ovat kolmioita, joilla on yhteinen kärki. Tutkimme pyramidien tyyppejä (säännöllinen, katkaistu, suorakaiteen muotoinen), elementtejä (apoteemi, sivupinnat, sivureunat, yläosa, korkeus, pohja, lävistäjä) ja geometristen pyramidien ominaisuuksia, joilla on yhtäläiset sivureunat ja kun sivupinnat ovat vinossa. perustasoon yhdessä kulmassa. Tarkastellaan lauseita, jotka yhdistävät pyramidin muihin geometrisiin kappaleisiin (pallo, kartio, sylinteri).

Pyramidin ominaisuudet ovat:

pyramidin ulkoisen kokonaispinta-alan suhde pohjan pinta-alaan on yhtä suuri kuin kultainen leikkaus;

kultaisen leikkauksen pyramidin koko - pyramidin kaksinkertaisen sivun suhde sen korkeuteen - on arvoltaan hyvin lähellä lukua π, ts. Cheopsin pyramidi on ainutlaatuinen muistomerkki, joka on luvun "Pi" aineellinen ruumiillistuma;

pyramidimaantieteellisen järjestelmän olemassaolo.

Olemme opiskelleet moderni sovellus tämä geometrinen kuvio. Tutkimme, miten pyramidi ja hologrammi liittyvät toisiinsa, kiinnitimme huomiota siihen, että pyramidimuoto löytyy useimmiten luonnosta (kasveista, kiteistä, metaanimolekyylistä, timanttihilan rakenteesta jne.). Koko tutkimuksen ajan tapasimme materiaalia, joka vahvistaa pyramidin ominaisuuksien käyttöä eri tieteen ja tekniikan aloilla, ihmisten jokapäiväisessä elämässä, tiedon analysoinnissa, taloudessa ja monilla muilla aloilla. Ja he tulivat siihen johtopäätökseen, että ehkä pyramidilla on paljon korkeampi tarkoitus ja ne on tarkoitettu johonkin muuhun kuin nyt auki olevaan käytännön käyttöön.

Bibliografia.

Van der Waerden, Barthel Leendert. Heräävä tiede. Matematiikka muinainen Egypti, Babylon ja Kreikka. [Teksti] / B. L. Van der Waerden - KomKniga, 2007

Voloshinov A. V. Matematiikka ja taide. [Teksti] / A.V. Vološinov - Moskova: "Valaistuminen" 2000.

Maailman historia(lasten tietosanakirja). [Teksti] / - M .: "Avanta +", 1993.

hologrammi . [Sähköinen resurssi] - https://hi-news.ru/tag/hologramma - artikkeli Internetissä

Geometria [teksti]: Proc. 10-11 solua. varten koulutusinstituutiot Atanasyan L.S., V.F. Butuzov ja muut - 22. painos. - M.: Enlightenment, 2013

Coppens F. uusi aikakausi pyramidit. [Teksti] / F. Coppens - Smolensk: Rusich, 2010

Matemaattinen tietosanakirja. [Teksti] / A. M. Prokhorov ja muut - M .: Neuvostoliiton tietosanakirja, 1988.

Muldashev E.R. maailman järjestelmä antiikin pyramidit ja muistomerkit pelastivat meidät maailman lopusta, mutta ... [Teksti] / E. R. Muldashev - M .: "AiF-Print"; M.: "OLMA-PRESS"; Pietari: Neva Publishing House; 2003.

Perelman Ya. I. Viihdyttävä aritmetiikka. [Teksti] / Ya. I. Perelman- M .: Tsentrpoligraf, 2017

Reichard G. Pyramidit. [Teksti] / Hans Reichard - M .: Slovo, 1978

Terra Lexicon. Kuvitettu tietosanakirja. [Teksti] / - M.: TERRA, 1998.

Tompkins P. Cheopsin suuren pyramidin salaisuudet. [Teksti]/ Peter Tompkins. - M.: "Tsentropoligraf", 2008

Uvarov V. Pyramidien maagiset ominaisuudet. [Teksti] / V. Uvarov - Lenizdat, 2006.

Sharygin I.F. Geometria luokka 10-11. [Teksti] / I.F. Sharygin:. - M: "Valaistus", 2000

Yakovenko M. Avain pyramidin ymmärtämiseen [Sähköinen resurssi] - http://world-pyramids.com/russia/pyramid.html - artikkeli Internetissä

Video oppitunti 2: Pyramidin haaste. Pyramidin tilavuus

Videotunti 3: Pyramidin haaste. Oikea pyramidi

Luento: Pyramidi, sen pohja, sivureunat, korkeus, sivupinta; kolmion muotoinen pyramidi; oikea pyramidi

Pyramidi, sen ominaisuudet

Pyramidi- Tämä on kolmiulotteinen kappale, jonka pohjassa on monikulmio ja sen kaikki pinnat koostuvat kolmioista.

Pyramidin erikoistapaus on kartio, jonka pohjalla on ympyrä.

Harkitse pyramidin pääelementtejä:

Apothem on segmentti, joka yhdistää pyramidin yläosan sivupinnan alareunan keskikohtaan. Toisin sanoen tämä on pyramidin kasvojen korkeus.

Kuvassa näet kolmiot ADS, ABS, BCS, CDS. Jos tarkastelet nimiä tarkasti, näet, että jokaisen kolmion nimessä on yksi yhteinen kirjain - S. Tämä tarkoittaa, että kaikki sivupinnat (kolmiot) yhtyvät yhteen pisteeseen, jota kutsutaan pyramidin huipuksi.

Jana OS, joka yhdistää kärjen kannan diagonaalien leikkauspisteeseen (kolmioiden tapauksessa korkeuksien leikkauspisteeseen), on ns. pyramidin korkeus.

Diagonaalileikkaus on taso, joka kulkee pyramidin huipulta, samoin kuin yksi pohjan diagonaaleista.

Koska pyramidin sivupinta koostuu kolmioista, sivupinnan kokonaispinta-alan löytämiseksi on tarpeen löytää kunkin pinnan alueet ja lisätä ne. Kasvojen lukumäärä ja muoto riippuvat pohjassa olevan monikulmion sivujen muodosta ja koosta.

Pyramidin ainoaa tasoa, jolla ei ole kärkeä, kutsutaan perusta pyramidit.

Kuvasta nähdään, että kanta on suunnikkaampi, mutta siinä voi olla mikä tahansa mielivaltainen monikulmio.

Ominaisuudet:

Tarkastellaan ensimmäistä pyramidin tapausta, jossa sen reunat ovat samanpituiset:

Tällaisen pyramidin pohjan ympärille voidaan kuvata ympyrä. Jos heijastat tällaisen pyramidin huipun, sen projektio sijaitsee ympyrän keskellä.
Pyramidin pohjan kulmat ovat samat jokaiselle pinnalle.
Samalla riittävänä edellytyksenä sille, että ympyrä voidaan kuvata pyramidin pohjan ympäri ja että kaikki reunat ovat eripituisia, voidaan pitää samoja kulmia alustan ja pintojen jokaisen reunan välillä. .

Jos törmäät pyramidiin, jossa sivupintojen ja pohjan väliset kulmat ovat yhtä suuret, seuraavat ominaisuudet ovat totta:

Pystyt kuvaamaan pyramidin pohjan ympärillä olevan ympyrän, jonka huippu heijastetaan tarkalleen keskelle.
Jos piirrät korkeuden kummaltakin sivupinnalta alustaan, ne ovat yhtä pitkiä.
Tällaisen pyramidin sivupinta-alan löytämiseksi riittää, kun etsit pohjan kehä ja kerrotaan se puolella korkeuden pituudella.
Sbp \u003d 0,5P oc H.
Pyramidin tyypit.
Riippuen siitä, mikä monikulmio sijaitsee pyramidin pohjalla, ne voivat olla kolmion muotoisia, nelikulmaisia jne. Jos säännöllinen monikulmio (samanpuoleinen) on pyramidin pohjassa, tällaista pyramidia kutsutaan säännölliseksi.

Säännöllinen kolmiopyramidi