Steven Strogatz The Pleasure of X. Kiehtova matka matematiikan maailmaan yhdeltä maailman parhaista opettajista

pääongelma koulumatematiikka on, että siinä ei ole ongelmia. Kyllä, tiedän, mikä ohittaa luokkahuoneen ongelmia: ne mauttomat, tylsät harjoitukset. "Tässä on tehtävä. Näin voit ratkaista sen. Kyllä niitä tapahtuu kokeissa. Kotitehtävät 1-15. Kuinka surkea tapa oppia matematiikkaa: ryhdy koulutetuksi simpanssiksi.
Paul Lockhard
esseestä "The Mathematician's Lament"

Matematiikka on luultavasti yksi oudoimmista tieteenaloista. Missään muussa aiheessa vastakohdat eivät yhdisty niin voimakkaasti: muodollisten todisteiden ankaruudesta kykyyn "nähdä" tiettyjä rakenteita. Matematiikassa on sekä sisäistä että ulkoista kauneutta. Mikään ei ole jännittävämpää kuin matemaattisten tehtävien ratkaiseminen. Eikä mitään muuta ainetta opeteta koulussa niin epäpätevästi.

Miten matematiikan opiskelu yleensä alkaa koulussa? Alkaen käsittämättömien symbolien ja määritelmien julkaisusta 7-8-vuotiaille lapsille ja algoritmijärjestelmästä tämän abrakadabran käyttämiseksi. Erilliset asiat, esimerkiksi kertotaulukko, jäävät muistiin.

Seuraavilla luokilla, tämän järjestelmän perusteella, oppilaille kerrotaan ja pakotetaan opettelemaan ulkoa joukko shamanistisia rituaaleja, joiden avulla he voivat ratkaista vaikeita ongelmia. Tulee uusia määritelmiä, kuten " oikea murto-osa" ja " väärä murtoluku ilman pienintäkään selitystä siitä, mistä se tuli ja mikä tärkeintä, miksi. Erityistä huomiota on omistettu ratkaisemaan hyödyttömiä ja vaivalloisia tekstiongelmia, joilla on sama suhde todellisuuteen kuin algoritmeilla itsellään.

Pienenä testinä voimme tarjota muistamisen: kuinka monta kertaa elämäsi aikana sinun piti määrittää oikea tai väärä murtoluku?

Minun oli pakko oppia ulkoa: kahden luvun summan neliö on yhtä suuri kuin niiden neliöiden summa, lisättynä niiden kaksoistulolla. Minulla ei ollut pienintäkään aavistustakaan, mitä se voisi tarkoittaa; kun en muistanut näitä sanoja, opettaja löi minua kirjalla päähän, joka ei kuitenkaan virittänyt älyäni vähimmässäkään määrin.
Bertrand Russell
Englantilainen filosofi, loogikko ja matemaatikko

Samaan aikaan opettajat tukahduttavat armottomasti kaikki erimielisyydet. Yritä kirjoittaa 5/2 2 1/2 sijaan (jota haluat aina vastustaa: jos minulla on kolme omenaa, joista jokainen on jaettu puoliksi, otan 5 puolikasta, en 2 omenaa ja 1 puolikasta).

Tätä aihetta voi jatkaa vielä pitkään. Lisäksi tämä on tehty jo Paul Lockhartin esseessä "The Mathematician's Lament". Se näyttää melko hyvin "Kuka on syyllinen". Mutta toiselle ei annettu vastausta tärkeä kysymys- "Mitä tehdä".

Vastaus tähän kysymykseen annetaan upeassa kirjassa, joka on äskettäin käännetty venäjäksi. Kirja on nimeltään The Pleasure of x.

Ilo x:ltä

Jos et voi selittää jotain kuusivuotiaalle lapselle, et itse ymmärrä sitä.
Albert Einstein

Tämä on kirja, joka pitäisi olla työpöytä kenelle tahansa minkä tahansa teknisen aineen opettajalle, olipa kyseessä sitten matematiikka tai tietojenkäsittely.

Tämän herkkupalan kirjoittaja Stephen Strogatz on maailmanluokan matemaatikko, opettaja soveltava matematiikka Cornell Universityssä USA:ssa (yksi johtavista teknisistä yliopistoista rauha). Ja kirjan perusteella tämä henkilö yhdisti kaksi upeaa ominaisuutta, jotka tekivät tästä teoksesta bestsellerin: Steven Strogatz on vahva matemaatikko ja opettaja yhdessä persoonassa.

Voit opettaa, mutta et tunne aihetta hyvin. Osaat asian hyvin, mutta et osaa opettaa. Voit tehdä molempia, mutta keskinkertaista. Stephen Strogatz kuuluu eri tyyppiin: hän tietää ja osaa opettaa oikein.

Mistä tämä kirja kertoo? Itse asiassa kaikesta, mikä liittyy jotenkin matematiikkaan. Kirjan osat valitaan ensisilmäyksellä kaoottisesti (luvut, suhteet, luvut, muutosten aika, monipuolinen data, rajat ovat mahdollisia), mutta lukiessasi alat ymmärtää, mitä kirjoittaja halusi välittää. Kirja perustuu tutkimukseen. Tekijän yhdessä lukijan kanssa tekemä tutkimus.

Harkittavien tehtävien kirjo on valtava. Jokainen ihminen, jopa erinomainen matematiikan tietämys, oppii siitä jotain uutta. Samalla niitä pidetään käytännön tehtäviä(esimerkiksi laskettaessa osakemarkkinoille sijoitetuista osakkeista saatuja korkoja) ja täysin abstraktia.

Monet tehtävät annetaan historiallisessa kontekstissa. Haluaisin asua tässä erikseen: nyt matematiikan kehityksen historia on heitetty pois melkein kaikista oppikirjoista. Samaan aikaan vain ymmärtämällä historiallisen kontekstin voidaan edetä yksinkertaisimmasta aritmetiikasta nykyaikaisiin matemaattisiin teorioihin.

Muistakaa esim. toisen asteen yhtälöt. Kuinka monta kyynelettä sekä oppilaat että opettajat vuodattivat yrittäessään oppia ulkoa loitsun: X yksi-kaksi on yhtä kuin miinus ba plus tai miinus ba:n juuri neliö miinus neljä a-tse ja jaa kaikki kahdella a.

Muuten, tämä kirjoitustapa ei ole enää oikea uusien matemaattisten standardien mukaan - n. toimittaja.

Hyvän muistin omaavat ja/tai "aiheessa olevat" voivat silti muistaa Vietan lauseen. Mutta kaiken tämän sijaan Stephen Strogatz antaa elegantin al-Khwarizmin keksimän selityksen, jonka avulla ilman kaavoja voidaan helposti ja luonnollisesti löytää ratkaisu (vaikkakin epätäydellinen: siihen aikaan negatiivisia lukuja ei vielä laajalti käytetty). Ja voin vakuuttaa teille, että jokainen, joka lukee tämän päätöksen, muistaa sen ikuisesti. Ensimmäinen kerta.

Luvusta toiseen tehtävien monimutkaisuus lisääntyy. Mutta ymmärrys ei ole menetetty, mikä on erityinen ilo lukea The Pleasure of x. Lukija uppoutuu ilmapiiriin, jonka kirjoittaja on hänelle luonut, käytännössä uudessa rohkeassa maailmassa.

En tiedä mihin verrata tätä kirjaa. Ehkä kuuluisilla Feymanin fysiikan luennoilla tai "Sinä varmaan vitsailet, herra Feyman." Mutta yksi asia on varma: tämä kirja jättää jälkensä sen lukevien sieluihin.

Kuinka hyödyllisiä numerot ovat ympärillämme olevan maailman tutkimisessa, mikä on geometrian kauneutta, kuinka tyylikkäitä integraalilaskut ovat ja kuinka tärkeitä tilastot ovat? Steven Strogatz puhuu tästä kaikesta kirjassaan The Pleasure of X. Kirjoittaja selittää perustavanlaatuisia matemaattisia ajatuksia yksinkertaisesti ja tyylikkäästi antaen esimerkkejä, jotka kaikki ymmärtävät. Sivustolla julkaistaan yksi Mann, Ivanov and Ferber -kustantajan julkaiseman kirjan luvuista.

Tilastoista on yhtäkkiä tullut trendikästä. Internetin ja sähköisen kaupankäynnin myötä sosiaaliset verkostot, ihmisen genomin purkamisprojekti, ja digitaalisen kulttuurin kehittymisen yhteydessä yleisesti, maailma alkoi tukehtua dataan. Markkinoijat tutkivat makujamme ja tapojamme. Tiedustelupalvelut keräävät tietoja olinpaikastamme, sähköposteistamme ja puhelinsoitot. Urheilutilastomiehet jongleeraavat numeroilla päättääkseen, mitä pelaajia ostaa, ketä värvätä ja kenet penkkiin. Kaikki pyrkivät yhdistämään pisteet kaavioksi ja löytämään kuvion kaoottisesta tiedon kerääntymisestä.

Ei ole yllättävää, että nämä suuntaukset näkyvät oppimisessa. "Mennään tilastoihin", neuvoo Greg Mankiw, ekonomisti Harvardin yliopistosta New York Timesin kolumnissaan.

"AT opetussuunnitelma matematiikassa klo lukio kuluu liikaa aikaa perinteisiä teemoja, kuten euklidinen geometria ja trigonometria. Näistä on hyötyä tavallinen ihminen henkisistä harjoituksista on kuitenkin vähän hyötyä Jokapäiväinen elämä. Opiskelijoiden olisi paljon hyödyllisempää oppia lisää todennäköisyysteoriasta ja tilastoista." David Brooks menee vielä pidemmälle. Artikkelissaan tieteenaloista, jotka ansaitsevat huomion kunnollisen koulutuksen saamiseksi, hän kirjoittaa: ”Ota tilastot. Näet, käy ilmi, että keskihajonnan tietäminen on sinulle erittäin hyödyllistä elämässä.

Se on täysin mahdollista, ja on myös hyvä ymmärtää, mitä jakelu on. Tämä on ensimmäinen asia, josta aion puhua. Ja siihen haluaisin keskittyä, sillä tämä on yksi tilaston tärkeimmistä opetuksista: asiat näyttävät yksittäin tarkasteltuna toivottoman satunnaisilta ja arvaamattomilta, mutta kokonaisuutena ne paljastavat säännöllisyyden ja ennustettavuuden.

Olet ehkä nähnyt tämän periaatteen esittelyn jossain tiedemuseossa (jos ei, videoita löytyy verkosta). Tyypillinen näyttelyesine on Galton-lauta, joka on vähän kuin flipperi, vain ilman räpylöitä. Sen sisällä on säännöllisin väliajoin tasaisia nastarivejä.

Galtonin lauta

Kokemus alkaa siitä ylempi osa Galton-laudat laukaistaan satoja palloja. Pudotessaan ne törmäävät tappeihin ja pomppaavat yhtä suurella todennäköisyydellä joko oikealle tai vasemmalle, ja sitten ne jakautuvat laudan alaosaan putoamalla saman leveisiin lokeroihin. Pallopylvään korkeus osoittaa, millä todennäköisyydellä pallo voi olla tietyssä paikassa. Suurin osa palloista on sijoitettu suunnilleen keskelle, sivuilla on jo vähemmän ja reunoilla vielä vähemmän.

Yleisesti ottaen kuva on äärimmäisen ennustettavissa: pallot muodostavat aina jakauman kellon muodossa, vaikka on mahdotonta ennustaa, mihin kukin yksittäinen pallo päätyy.

Miten yksittäiset onnettomuudet muuttuvat yleisiä malleja? Mutta niin satunnaisuus toimii. Keskisarakkeeseen on kertynyt eniten palloja, koska monet niistä tekevät ennen alas vierimistä suunnilleen yhtä monta hyppyä oikealle ja vasemmalle, minkä seurauksena ne ovat jossain keskellä. Useat yksittäiset pallot, jotka sijaitsevat reunoilla, muodostavat jakopyrstöjä - nämä ovat palloja, jotka törmääessään tappeihin pomppivat aina samaan suuntaan. Tällaiset pomput ovat epätodennäköisiä, minkä vuoksi palloja on niin vähän reunojen ympärillä.

Aivan kuten jokaisen pallon sijainnin määrää monien satunnaisten tapahtumien summa, niin monet ilmiöt tässä maailmassa ovat seurausta monista pienistä olosuhteista ja noudattavat myös kellokäyrää. Tämä periaate toimii Vakuutusyhtiöt. He Kanssa korkean tarkkuuden voivat nimetä vuosittain kuolevien asiakkaidensa määrän. He eivät kuitenkaan tiedä, kuka ei ole onnekas tällä kertaa.

Tai ota esimerkiksi henkilön pituus. Se riippuu lukemattomista onnettomuuksista, jotka liittyvät genetiikkaan, biokemiaan, ravitsemukseen ja ympäristöön. Siksi on todennäköistä, että yhdessä tarkasteltuna aikuisten urosten ja naaraiden pituus on kellomainen käyrä.

Blogiviestissä, jonka otsikko on "False Data People Report About Themselves Online", treffisivustojen tilastot OkCupid julkaisi äskettäin kaavion asiakkaidensa kasvusta tai pikemminkin heidän raportoimistaan arvoista. Todettiin, että molempien sukupuolten kasvunopeudet muodostavat odotetusti kellon muotoisen käyrän. Yllättäen molemmat jakaumat olivat kuitenkin vinossa oikealle noin kaksi tuumaa odotetuista arvoista.

Strogats S. Pleasure from H. - M. : Mann, Ivanov ja Ferber, 2014.

Näin ollen joko OkCupidin tutkimien asiakkaiden pituus on keskimääräistä korkeampi tai he lisäävät pituuteensa pari tuumaa kuvaillessaan itseään verkossa.

Näiden kellokäyrien idealisoitua versiota matemaatikot kutsuvat normaalijakaumaksi. Tämä on yksi tilaston tärkeimmistä käsitteistä, jolla on teoreettinen perustelu. Se voidaan todistaa normaalijakauma tapahtuu lisätessä suuri numero pienet satunnaiset tekijät, joista jokainen toimii riippumattomasti muista. Ja monet asiat tapahtuvat näin.

Mutta eivät kaikki. Ja tämä on toinen kohta, johon haluan kiinnittää huomiota. Normaalijakauma ei ole niin yleinen kuin miltä näyttää. Tiedemiehet ja tilastotieteilijät ovat sadan vuoden ajan ja varsinkin muutaman viime vuosikymmenen ajan havainneet, että on olemassa monia ilmiöitä, jotka poikkeavat tästä käyrästä ja noudattavat omaa aikatauluaan. On outoa, että tällaisia jakaumia ei käytännössä mainita alkeistilastojen oppikirjoissa, ja jos niitä esiintyy, niitä pidetään yleensä jonkinlaisena patologiana.

Tämä on outoa. Yritän selittää nämä monet ilmiöt moderni elämä on järkevämpää, jos nämä "patologiset" jakaumat ymmärretään. Tämä on uusi normaali. Otetaan esimerkiksi kaupunkien kokojakauma Yhdysvalloissa. Sen sijaan, että ne ryhmittyisivät jonkin keskimääräisen kellokäyrän ympärille, valtaosa kaupungeista on pieniä ja siksi klusterit kaavion vasemmalla puolella.

Strogats S. Pleasure from H. - M. : Mann, Ivanov ja Ferber, 2014.

Ja mitä suurempi kaupungin väkiluku, sitä harvemmin tällaisia kaupunkeja löytyy. Toisin sanoen aggregaatissa jakauma on L-muotoinen käyrä ennemmin kuin kellokäyrä.

Eikä tässä ole mitään yllättävää. Kaikki tietävät, että megakaupunkeja on paljon vähemmän kuin pieniä kaupunkeja. Vaikka se ei olekaan niin ilmeistä, kaupunkien koot noudattavat yksinkertaista kaunista jakaumaa - jos niitä tarkastellaan logaritmisella asteikolla.

Oletetaan, että kahden kaupungin välinen ero on sama, jos niiden asukasluku eroaa saman verran (kuten mitkä tahansa kaksi oktaavin erotettua pianonkosketinta eroavat aina kaksi kertaa taajuuden suhteen). Ja teemme saman pystyakselilla.

Strogats S. Pleasure from H. - M. : Mann, Ivanov ja Ferber, 2014.

Nyt tiedot ovat käyrällä, joka on melkein täydellinen suora. Logaritmien ominaisuuksien perusteella on helppo päätellä, että alkuperäinen L-muotoinen käyrä on tehoriippuvuus, jota kuvataan muodon funktiolla.

missä x on kaupungin väkiluku, y on tämän kokoisten kaupunkien lukumäärä, c on vakio ja eksponentti a (potenssilain eksponentti) määrittää suoran negatiivisen kulman.

Tehonjakoilla on joitain perinteisen tilaston kannalta epäloogisia ominaisuuksia. Esimerkiksi, toisin kuin normaalijakaumassa, niiden moodit, mediaanit ja keskiarvot eivät täsmää L-muotoisten käyrien vinoon, vinoon muotoon johtuen.

Presidentti Bush hyötyi tästä suuresti, kun hän ilmoitti vuonna 2003, että veronalennukset säästävät jokaiselle perheelle keskimäärin 1 586 dollaria. Vaikka matemaattisesti oikein, hän otti tässä hyväkseen perustana keskimääräisen vähennyksen, joka kätki valtavat satojen tuhansien dollarien vähennykset, jotka 0,1 % maan rikkaimmista väestöstä sai. Tiedetään, että tulonjaon oikealla puolella oleva "häntä" noudattaa valtalakia, ja tällaisessa tilanteessa keskiarvon käyttö on harhaanjohtavaa, koska se on kaukana sen arvosta. todellinen arvo. Todellisuudessa useimmat perheet saivat alle 650 dollaria takaisin. Tässä jakaumassa mediaani on paljon pienempi kuin keskiarvo.

Tämä esimerkki osoittaa potenssilakijakaumien tärkeimmän ominaisuuden: niillä on "raskaat häntät" verrattuna ainakin normaalijakauman pieniin "nestepyrstöihin". Tämän kaltaiset suuret pyrstöt, vaikka ne ovat harvinaisia, ovat yleisempiä datajakaumissa kuin tavalliset kellokäyrät.

Mustana maanantaina 19. lokakuuta 1987 Dow Jones Industrial Average putosi 22 %. Verrattuna osakemarkkinoiden tavanomaiseen volatiliteettitasoon tämä pudotus oli yli kaksikymmentä standardipoikkeamaa. Perinteisten tilastojen mukaan (jotka käyttävät normaalijakaumaa) tällainen tapahtuma on lähes mahdoton: sen todennäköisyys on pienempi kuin yksi 100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 - 000 potenssista. Näin kuitenkin tapahtui - koska osakemarkkinoiden kurssivaihtelut eivät seuranneet normaalijakaumaa.

Jakaumat, joissa on "raskas häntä", sopivat paremmin kuvaamaan niitä. Näin tapahtuu maanjäristysten, tulipalojen ja tulvien yhteydessä, mikä tekee vakuutusyhtiöiden vaikeaksi hallita riskejä.

Sama matemaattinen malli kuvaa sotien ja terrori-iskujen kuolonuhreja sekä muita, paljon rauhanomaisempia asioita, kuten romaanin sanojen määrää tai ihmisellä olevien seksikumppaneiden määrää.

Vaikka adjektiiveja käytetään kuvaamaan pitkät hännät, paljastavat ne ei kovin suotuisassa valossa, "häntäjakaumat" kantavat ylpeänä häntäänsä. Rohkea, raskas ja pitkä? Kyllä se on. Mutta tässä tapauksessa näytä minulle, mikä on normaali?

Tätä kirjaa täydentävät hyvin:

Quanta

Scott Patterson

Brainiac

Ken Jennings

rahapallo

Michael Lewis

Joustava mieli

Carol Dweck

Pörssin fysiikka

James Weatherall

Iloa X

Opastettu matematiikkakierros yhdestä äärettömään

Stephen Strogatz

ilo mistä X

Hauska matka matematiikan maailmaan yhdeltä maailman parhaista opettajista

Tiedot kustantajalta

Julkaistu ensimmäistä kertaa venäjäksi

Julkaistu Steven Strogatzin, c/o Brockman, Inc:n luvalla.

Strogats, P.

ilo mistä X. Jännittävä matka matematiikan maailmaan yhdeltä maailman parhaista opettajista / Stephen Strogatz; per. englannista. - M.: Mann, Ivanov ja Ferber, 2014.

ISBN 978-500057-008-1

Tämä kirja voi muuttaa radikaalisti suhtautumistasi matematiikkaan. Se koostuu lyhyistä luvuista, joista jokaisessa löydät jotain uutta. Opit kuinka hyödyllisiä numerot ovat ympärilläsi olevan maailman tutkimiseen, ymmärrät geometrian kauneuden, tutustut integraalilaskennan tyylikkyyteen, näet tilastojen merkityksen ja saat yhteyden äärettömyyteen. Kirjoittaja selittää perustavanlaatuisia matemaattisia ajatuksia yksinkertaisesti ja tyylikkäästi antaen loistavia esimerkkejä, jotka kaikki voivat ymmärtää.

Kaikki oikeudet pidätetään.

Mitään tämän kirjan osaa ei saa jäljentää missään muodossa ilman tekijänoikeuksien haltijoiden kirjallista lupaa.

Kustantajan oikeudellisen tuen tarjoaa lakitoimisto "Vegas-Lex"

Esipuhe

Minulla on ystävä, joka ammattistaan huolimatta (hän on taiteilija) on intohimoinen tieteeseen. Aina kun tapaamme, hän puhuu innostuneesti psykologian tai kvanttimekaniikan viimeisimmästä kehityksestä. Mutta heti kun puhumme matematiikasta, hän tuntee vapinaa polvissaan, mikä järkyttää häntä suuresti. Hän valittaa, että nämä omituiset matemaattiset symbolit eivät vain uhmaa häntä, vaan joskus hän ei edes osaa lausua niitä.

Itse asiassa syy hänen vastenmielisyyteen matematiikasta on paljon syvemmällä. Hän ei koskaan ymmärrä, mitä matemaatikot yleensä tekevät ja mitä he tarkoittavat sanoessaan, että tämä todiste on tyylikäs. Joskus vitsailemme, että minun pitäisi vain istua alas ja alkaa opettaa hänelle aivan perusteet, kirjaimellisesti 1 + 1 = 2, ja mennä matematiikkaan niin paljon kuin hän pystyy.

Ja vaikka tämä idea vaikuttaa hullulta, yritän sen toteuttaa tässä kirjassa. Ohjaan sinut kaikkien tärkeimpien tieteenalojen läpi aritmetiikasta edistykselliseen matematiikkaan, jotta ne, jotka halusivat toisen mahdollisuuden, voivat vihdoin tarttua siihen. Ja tällä kertaa sinun ei tarvitse istua pöytäsi ääressä. Tämä kirja ei tee sinusta matematiikan asiantuntijaa. Mutta se auttaa ymmärtämään, mitä tämä tieteenala tutkii ja miksi se on niin jännittävää niille, jotka ymmärtävät sen.

Opimme kuinka Michael Jordanin slam dunk voi auttaa selittämään laskennan perusteet. Näytän sinulle yksinkertaisen ja hämmästyttävän tavan ymmärtää Euklidisen geometrian peruslause - Pythagoraan lause. Yritämme päästä joidenkin elämän mysteerien, isojen ja pienten, pohjalle: Tappoiko Jay Simpson vaimonsa; kuinka siirtää patjaa niin, että se kestää mahdollisimman pitkään; kuinka monta kumppania on vaihdettava ennen kuin häät pelataan - ja näemme, miksi jotkut äärettömät ovat suurempia kuin toiset.

Matematiikka on kaikkialla, sinun on vain opittava tunnistamaan se. Voit nähdä sinusoidin seepran selässä, voit kuulla kaikuja Eukleideen teoreemoista itsenäisyysjulistuksessa; Mitä voin sanoa, jopa ensimmäistä maailmansotaa edeltäneissä kuivissa raporteissa on negatiivisia lukuja. Näet myös kuinka uudet matematiikan osa-alueet vaikuttavat elämäämme tänään, esimerkiksi kun etsimme ravintoloita tietokoneella tai yritämme ainakin ymmärtää tai vielä paremmin selviytyä pörssin pelottavista heilahteluista.

15 artikkelin sarja alla yleinen nimi Matematiikan perusteet ilmestyivät verkossa tammikuun 2010 lopussa. Vastauksena julkaisuun tulvi kirjeitä ja kommentteja kaiken ikäisiltä lukijoilta, joiden joukossa oli paljon opiskelijoita ja opettajia. Oli myös yksinkertaisesti uteliaita ihmisiä, jotka syystä tai toisesta " eksyivät" matemaattisen tieteen ymmärtämisessä; nyt he tuntevat menettäneensä jotain. noin ja haluaisin yrittää uudelleen. Olin erityisen iloinen vanhempieni kiitollisuudesta siitä, että heidän avullani he pystyivät selittämään matematiikkaa lapsilleen ja he itse alkoivat ymmärtää sitä paremmin. Näytti siltä, että jopa kollegani ja toverini, tämän tieteen kiihkeät ihailijat, nauttivat artikkeleiden lukemisesta, paitsi niitä hetkiä, jolloin he kilpailivat keskenään tarjotakseen kaikenlaisia suosituksia jälkeläisteni parantamiseksi.

Yleisestä uskomuksesta huolimatta yhteiskunnassa on selvää kiinnostusta matematiikkaa kohtaan, vaikka tähän ilmiöön kiinnitetään vain vähän huomiota. Kuulemme vain matematiikan pelosta, mutta silti monet yrittäisivät mielellään ymmärtää sitä paremmin. Ja kun tämä tapahtuu, niitä on vaikea repiä pois.

Tämä kirja esittelee sinulle matematiikan maailman monimutkaisimmat ja edistyneimmät ideat. Luvut ovat lyhyitä, helppolukuisia eivätkä ole varsinaisesti riippuvaisia toisistaan. Heidän joukossaan ovat ne, jotka sisältyvät New York Timesin ensimmäiseen artikkelisarjaan. Joten heti kun tunnet lievää matemaattista nälkää, älä epäröi ottaa seuraavaan lukuun. Jos haluat ymmärtää sinua kiinnostavan asian tarkemmin, kirjan lopussa on muistiinpanoja lisäinformaatio ja ehdotuksia siitä, mitä muuta siitä voisi lukea.

Vaiheittaista lähestymistapaa suosivien lukijoiden avuksi olen jakanut aineiston kuuteen osaan perinteisen aihejärjestyksen mukaisesti.

Osa I "Numerot" aloittaa matkamme aritmeettisella sisään päiväkoti ja ala-aste. Se osoittaa, kuinka hyödyllisiä numerot voivat olla ja kuinka ne ovat maagisesti tehokkaita kuvaamaan ympäröivää maailmaa.

Osa II "Suhteet" siirtää huomion itse numeroista niiden välisiin suhteisiin. Nämä ideat ovat algebran ytimessä ja ovat ensimmäisiä työkaluja kuvailla, miten yksi vaikuttaa toiseen, ja ne osoittavat useiden asioiden syy-suhteen: tarjonnan ja kysynnän, ärsykkeen ja reaktion - lyhyesti sanottuna kaikenlaiset suhteet, jotka tekevät maailmasta. niin monipuolinen ja rikas..

Osa III "Kuvut" ei käsittele numeroita ja symboleja, vaan kuvioita ja avaruutta - geometrian ja trigonometrian aluetta. Nämä aiheet sekä kaikkien havainnoitavien kohteiden kuvaus muotojen avulla loogisen päättelyn ja todisteiden avulla nostavat matematiikkaa uusi taso tarkkuus.

Osassa IV "Muutoksen aika" tarkastellaan laskentaa - matematiikan vaikuttavinta ja monipuolisinta aluetta. Calculus mahdollistaa planeettojen liikeradan, vuoroveden kiertokulkujen ennustamisen sekä mahdollistaa kaikkien universumissa ja meissä jaksoittain muuttuvien prosessien ja ilmiöiden ymmärtämisen ja kuvaamisen. Tärkeä paikka tässä osassa on omistettu äärettömyyden tutkimukselle, jonka rauhoittaminen oli läpimurto, joka mahdollisti laskelmien toiminnan. Tietojenkäsittely auttoi ratkaisemaan monia muinaisessa maailmassa syntyneitä ongelmia, ja tämä johti lopulta vallankumoukseen tieteessä ja nykymaailmassa.

Osa V "Datan monet kasvot" käsittelee todennäköisyyksiä, tilastoja, verkostoja ja tietojenkäsittelyä - nämä ovat vielä suhteellisen nuoria kenttiä, jotka syntyvät elämämme ei aina järjestetyistä osista, kuten mahdollisuudesta ja onnesta, epävarmuus, riski, epävakaus, satunnaisuus. , keskinäinen riippuvuus. Käyttämällä oikeita matemaattisia työkaluja ja oikeita tietotyyppejä opimme havaitsemaan kuvioita satunnaisuuden virrassa.

Matkamme lopussa VI osassa "Mahdollisuuden rajat" lähestymme matemaattisen tiedon rajoja, raja-aluetta sen välillä, mikä on jo tiedossa ja mikä on vielä vaikeasti tunnettua ja tuntematonta. Käymme taas aiheet läpi jo tuntemassamme järjestyksessä: numerot, suhteet, muodot, muutokset ja äärettömyys - mutta samalla tarkastelemme niitä jokaista syvemmällä, sen nykyaikaisessa inkarnaatiossa.

Matematiikka on tarkin ja yleismaailmallisin tieteen kieli, mutta onko mahdollista selittää ihmisen tunteita numeroiden avulla? Rakkauskaavat, kaaoksen siemenet ja romanttiset differentiaaliyhtälöt - T&P julkaisee luvun yhden maailman parhaista matematiikan opettajista, Steven Strogatzin teoksesta The Pleasure of X, julkaisija Mann, Ivanov & Ferber.

Keväällä, Tennyson kirjoitti, mielikuvitus nuorimies kääntyy helposti rakkauden ajatuksiin. Valitettavasti nuoren miehen mahdollisella kumppanilla voi olla omia ajatuksiaan rakkaudesta, ja silloin heidän suhteensa on täynnä myrskyisiä ylä- ja alamäkiä, jotka tekevät rakkaudesta niin jännittävää ja tuskallista. Jotkut onnettomasta kärsivät etsivät selitystä näille rakkauden heilahteluille viinistä, toiset - runoudesta. Ja neuvottelemme laskelmien kanssa.

Alla oleva analyysi on pilkallisen ironinen, mutta se koskettaa vakavia teemoja. Lisäksi, jos ymmärrys rakkauden laeista voi välttyä meiltä, niin elottoman maailman lakeja on nyt tutkittu hyvin. Ne ovat differentiaaliyhtälöiden muodossa, jotka kuvaavat, kuinka toisiinsa liittyvät muuttujat muuttuvat hetkestä hetkeen riippuen niiden nykyisistä arvoista. Ehkä sellaisilla yhtälöillä ei ole juurikaan tekemistä romanssin kanssa, mutta ainakin ne voivat valaista sitä, miksi, toisen runoilijan sanoin, "tapa tosi rakkaus ei ole koskaan ollut tasaista. Differentiaaliyhtälöiden menetelmän havainnollistamiseksi oletetaan, että Romeo rakastaa Juliaa, mutta tarinan versiossamme Julia on tuulinen kultaseni. Mitä enemmän Romeo rakastaa häntä, sitä enemmän hän haluaa piiloutua häneltä. Mutta kun Romeo jäähtyy häntä kohtaan, hän alkaa näyttää epätavallisen houkuttelevalta. Nuori rakastaja kuitenkin pyrkii heijastamaan tunteitaan: hän hehkuu, kun hän rakastaa häntä, ja jäähtyy, kun hän vihaa häntä.

Mitä tapahtuu onnettomille rakastajillemme? Miten rakkaus imee heidät ja jättää ne ajan myötä? Siellä differentiaalilaskenta tulee apuun. Tekemällä yhtälöitä, jotka tiivistävät Romeon ja Julian tunteiden kasvamisen ja heikkenemisen, ja sitten ratkaisemalla ne, voimme ennustaa parin suhteen kulun. Lopullinen ennuste hänelle tulee olemaan traagisen loputon rakkauden ja vihan kierre. Ainakin neljänneksellä tästä ajasta heillä on keskinäinen rakkaus.

Päätyäkseni tähän johtopäätökseen oletin, että Romeon käyttäytyminen voidaan mallintaa differentiaaliyhtälön avulla,

joka kuvaa kuinka hänen rakkautensa ® muuttuu seuraavassa hetkessä (dt). Tämän yhtälön mukaan muutosten määrä (dR) on suoraan verrannollinen (suhteellisuustekijällä a) Julian rakkauteen (J). Tämä suhde heijastaa sitä, mitä jo tiedämme: Romeon rakkaus lisääntyy, kun Julia rakastaa häntä, mutta se viittaa myös siihen, että Romeon rakkaus kasvaa suoraan suhteessa siihen, kuinka paljon Julia rakastaa häntä. Tämä lineaarisen suhteen oletus on emotionaalisesti epäuskottava, mutta se mahdollistaa yhtälön ratkaisun yksinkertaistamisen suuresti.

Sitä vastoin Julian käyttäytymistä voidaan mallintaa yhtälön avulla

Negatiivinen merkki ennen vakioa b heijastaa, että hänen rakkautensa jäähtyy, kun Romeon rakkaus voimistuu.

Ainoa määritettävä asia on heidän alkuperäiset tunteensa (eli R:n ja J:n arvot hetkellä t = 0). Sen jälkeen kaikki tarvittavat parametrit asetetaan. Voimme käyttää tietokonetta eteenpäin hitaasti, askel askeleelta muuttamalla R:n ja J:n arvoja yllä kuvattujen differentiaaliyhtälöiden mukaisesti. Itse asiassa voimme löytää ratkaisun analyyttisesti integraalilaskennan peruslauseen avulla. Koska malli on yksinkertainen, integraalilaskenta tuottaa parin tyhjentäviä kaavoja jotka kertovat meille kuinka paljon Romeo ja Julia rakastavat (tai vihaavat) toisiaan milloin tahansa tulevaisuudessa.

Yllä esitetyt differentiaaliyhtälöt pitäisi olla tuttuja fysiikan opiskelijoille: Romeo ja Julia käyttäytyvät kuin yksinkertaiset harmoniset oskillaattorit. Siten malli ennustaa, että funktiot R(t) ja J(t), jotka kuvaavat niiden suhteen muutosta ajan kuluessa, ovat sinimuotoisia, joista kukin nousee ja laskee, mutta enimmäisarvot ne eivät sovi yhteen.

"Tyhmä idea kuvailla rakkaussuhde Tuli mieleeni differentiaaliyhtälöiden avulla kun rakastuin ensimmäistä kertaa ja yritin ymmärtää tyttöystäväni käsittämätöntä käytöstä"

Mallia voidaan tehdä realistisemmaksi monella tapaa. Esimerkiksi Romeo voi vastata paitsi Julian, myös omiin tunteisiinsa. Entä jos hän on yksi niistä miehistä, jotka pelkäävät niin paljon hylätyksi tulemistaan, että hän jäähdyttää tunteitaan. Tai viittaa toisentyyppisiin miehiin, jotka rakastavat kärsimistä - siksi hän rakastaa häntä.

Lisää näihin skenaarioihin kaksi muuta Romeon käyttäytymistä - hän vastaa Julian kiintymykseen joko vahvistamalla tai heikentämällä omaa kiintymystään - ja näet, että rakkaussuhteessa on neljä eri tyyliin käyttäytymistä. Oppilaat ja Peter Christopherin ryhmän opiskelijat Worcesterista ammattikorkeakoulu ehdotti nimeämään tällaisten tyyppien edustajat seuraavasti: Erakko tai Paha Misantrooppi Romeolle, joka jäähdyttää tunteitaan ja siirtyy pois Juliasta, ja Narsistinen Doodle ja Flirttaileva Fink sille, joka lämmittää intoaan, mutta Julia hylkää hänet. (Voit keksiä kunnollisia nimiä kaikille näille tyypeille).

Vaikka annetut esimerkit ovat upeita, niitä kuvaavat yhtälötyypit ovat erittäin informatiivisia. He edustavat eniten tehokkaita työkaluja jonka ihmiskunta on koskaan luonut ymmärrystä varten aineellinen maailma. Sir Isaac Newton käytti differentiaaliyhtälöitä löytääkseen planeettojen liikkeen salaisuudet. Näiden yhtälöiden avulla hän yhdisti maanpäällisen ja taivaan pallot, joka osoittaa, että samat liikelait pätevät molempiin.

Lähes 350 vuotta Newtonin jälkeen ihmiskunta ymmärsi, että fysiikan lait ilmaistaan aina differentiaaliyhtälöiden kielellä. Tämä pätee yhtälöihin, jotka kuvaavat lämmön, ilman ja veden virtoja, sähkön ja magnetismin lakeja, jopa atomia, jossa kvanttimekaniikka hallitsee.

Kaikissa tapauksissa teoreettisen fysiikan on löydettävä oikeat differentiaaliyhtälöt ja ratkaistava ne. Kun Newton löysi tämän avaimen maailmankaikkeuden mysteereihin ja tajusi sen suuren merkityksen, hän julkaisi sen latinalaisena anagrammina. Vapaassa käännöksessä se kuulostaa tältä: "On hyödyllistä ratkaista differentiaaliyhtälöitä."

Tyhmä idea kuvailla rakkaussuhteita differentiaaliyhtälöiden avulla tuli mieleeni, kun olin ensimmäistä kertaa rakastunut ja yritin ymmärtää tyttöystäväni käsittämätöntä käytöstä. Se oli kesäromantiikka toisen vuoden opiskeluvuoden lopussa. Muistutin silloin hyvin ensimmäistä Romeota, ja hän oli ensimmäinen Julia. Suhteemme syklisyys sai minut hulluksi, kunnes tajusin, että toimimme molemmat inertiasta. yksinkertainen sääntö"työnnä vedä". Mutta kesän lopussa yhtälöni alkoi hajota, ja olin vieläkin ymmälläni. Kävi ilmi, että se tapahtui tärkeä tapahtuma, jota en ottanut huomioon: hän entinen rakastaja halusi palauttaa sen.

Matematiikassa tällaista ongelmaa kutsutaan kolmen kappaleen ongelmaksi. Se on ilmeisesti ratkaisematon, varsinkin tähtitieteen kontekstissa, jossa se alun perin syntyi. Kun Newton ratkaisi kahden kappaleen ongelman differentiaaliyhtälöt (joka selittää, miksi planeetat liikkuvat elliptisellä kiertoradalla Auringon ympäri), hän kiinnitti huomionsa Auringon, Maan ja Kuun kolmen kappaleen ongelmaan. Hän tai muut tiedemiehet eivät ole pystyneet ratkaisemaan sitä. Myöhemmin kävi ilmi, että kolmen kappaleen ongelma sisältää kaaoksen siemeniä, eli pitkällä aikavälillä niiden käyttäytyminen on arvaamatonta.

Newton ei tiennyt mitään kaaoksen dynamiikasta, mutta ystävänsä Edmund Halley mukaan hän valitti, että kolmen kehon ongelma aiheutti hänelle päänsärkyä ja piti hänet hereillä niin usein, että hän ei koskaan enää ajattele sitä.

Tässä olen kanssasi, Sir Isaac.

X:n ilo. Jännittävä matka matematiikan maailmaan yhdeltä maailman parhaista opettajista Stephen Strogatz

(Ei vielä arvioita)

Otsikko: The Pleasure of X. Kiehtova matka matematiikan maailmaan yhdeltä maailman parhaista opettajista

Tietoja X:n ilosta. Jännittävä matka matematiikan halki yhdeltä maailman parhaista opettajista, Steven Strogatz

Julkaistu ensimmäistä kertaa venäjäksi.

Kirjasta lifeinbooks.net-sivustollamme voit ladata ilmaiseksi ilman rekisteröitymistä tai lukea online kirja"The Pleasure of X. Kiehtova matka matematiikan maailmaan yhdeltä maailman parhaista opettajista" Stephen Strogatz epub-, fb2-, txt-, rtf-, pdf-muodoissa iPadille, iPhonelle, Androidille ja Kindlelle. Kirja tarjoaa sinulle paljon mukavia hetkiä ja todellista luettavaa. Ostaa täysversio voit saada kumppanimme. Täältä löydät myös uusimmat uutiset alkaen kirjallinen maailma, selvitä suosikkikirjailojesi elämäkerta. Aloitteleville kirjoittajille on erillinen osio hyödyllisiä vinkkejä ja suosituksia mielenkiintoisia artikkeleita, jonka ansiosta voit itse kokeilla kirjallisia taitojasi.