المسافة من نقطة إلى خط في الإحداثيات. أبسط مسائل الخط المستقيم على المستوى. الترتيب المتبادل للخطوط. الزاوية بين السطور

155 *. أوجد الحجم الفعلي للمقطع AB لخط مستقيم في الوضع العام (الشكل 153 ، أ).

المحلول. كما تعلم ، فإن إسقاط قطعة مستقيمة على أي مستوى يساوي المقطع نفسه (مع مراعاة مقياس الرسم) ، إذا كان موازٍ لهذا المستوى

(الشكل 153 ، ب). ويترتب على ذلك أنه من خلال تحويل الرسم ، من الضروري تحقيق التوازي في هذا المقطع. V أو pl. H أو يكمل النظام V ، H بمستوى آخر عمودي على المربع. الخامس أو رر. H وفي نفس الوقت موازية لقطعة معينة.

على التين. يُظهر 153 ، c إدخال مستوى إضافي S ​​متعامد مع المربع. H وبالتوازي مع القطعة المعطاة AB.

الإسقاط a s b s يساوي القيمة الطبيعية للمقطع AB.

على التين. يُظهر 153 ، d طريقة أخرى: يتم تدوير الجزء AB حول خط مستقيم يمر بالنقطة B وعمودي على المربع. H إلى موضع موازٍ

قدم مربع V. في هذه الحالة ، تظل النقطة B في مكانها ، وتحتل النقطة A موقعًا جديدًا A 1. الأفق في موقع جديد. الإسقاط أ 1 ب || المحور س. الإسقاط "1 ب" يساوي القيمة الطبيعية للمقطع AB.

156. الهرم SABCD معطى (الشكل 154). تحديد الحجم الطبيعي لحواف الهرم AS و CS باستخدام طريقة تغيير مستويات الإسقاط ، والحواف BS و DS باستخدام طريقة الدوران ، واتخاذ محور الدوران عموديًا على المربع. ح.

157 *. أوجد المسافة من النقطة أ إلى الخط المستقيم BC (الشكل 155 ، أ).

المحلول. المسافة من نقطة إلى خط تقاس بقطعة من عمودي مرسوم من نقطة إلى خط.

إذا كان الخط عموديًا على أي مستوى (الشكل 155.6) ، فإن المسافة من النقطة إلى الخط تقاس بالمسافة بين إسقاط النقطة و نقطة الإسقاطخط مستقيم على هذه الطائرة. إذا احتل الخط في النظام V ، H الموقف العام، ثم لتحديد المسافة من نقطة إلى خط مستقيم عن طريق تغيير مستويات الإسقاط ، من الضروري إدخال طائرتين إضافيتين في النظام V ، H.

أولاً (الشكل 155 ، ج) ندخل المربع. S ، بالتوازي مع القطعة BC (المحور الجديد S / H موازٍ للإسقاط bс) ، ونحن نبني الإسقاطات b s c s و a s. ثم (الشكل 155 ، د) نقدم مربعًا آخر. T عمودي على الخط BC (محور T / S جديد متعامد على b s c s). نبني إسقاطات لخط مستقيم ونقطة - باستخدام t (b t) و a t. المسافة بين النقطتين a t و c t (b t) تساوي المسافة l من النقطة A إلى الخط BC.

على التين. 155e ، يتم إنجاز نفس المهمة بطريقة الدوران في شكلها ، والتي تسمى طريقة الحركة المتوازية. أولاً ، الخط BC والنقطة A ، مع الحفاظ على موقعهما المتبادل دون تغيير ، يستديران بعض الخطوط (غير المشار إليها في الرسم) عموديًا على المربع. H ، بحيث يكون الخط المستقيم BC موازيًا للمربع. V. هذا يعادل تحريك النقاط A ، B ، C في المستويات الموازية للمربع. H. وفي نفس الوقت الأفق. لا يتغير إسقاط نظام معين (BC + A) سواء من حيث الحجم أو في التكوين ، فقط موضعه بالنسبة إلى المحور x يتغير. ضع أفقًا. إسقاط الخط المستقيم BC بالتوازي مع المحور x (الموضع b 1 c 1) وتحديد الإسقاط أ 1 ، ووضع جانبًا c 1 1 1 \ u003d c-1 و 1 1 1 \ u003d a-1 ، و 1 1 1 ص 1 1 1. رسم خطوط مستقيمة ب "ب" 1 ، أ "أ" 1 ، ج "ج" 1 موازية للمحور س ، نجد الجبهة عليها. الإسقاطات ب "1 ، أ" 1 ، ج "1. بعد ذلك ، نحرك النقاط B 1 و C 1 و A 1 في مستويات موازية للمربع V (أيضًا بدون تغيير موضعها النسبي) ، وذلك للحصول على B 2 C 2 ⊥ منطقة H. في هذه الحالة ، سيكون إسقاط الخط المستقيم إلى الأمام عموديًا على المحاور س ، ب 2 c "2 \ u003d b" 1 c "1 ، ولإنشاء الإسقاط a" 2 ، عليك أن تأخذ b "2 2" 2 \ u003d b "1 2" 1 ، ارسم 2 "a" 2 ⊥ b " 2 ج "2 وضع جانبًا" 2 2 "2 \ u003d أ" 1 2 "1. الآن ، عن طريق التمرير من 1 إلى 2 و 1 a 2 || x 1 نحصل على الإسقاطات b 2 c 2 و a 2 والمسافة المطلوبة l من النقطة A إلى الخط BC. يمكنك تحديد المسافة من A إلى BC بتدوير المستوى المحدد بالنقطة A والخط المستقيم BC حول أفقي هذا المستوى إلى الموضع T || قدم مربع ح (الشكل 155 ، هـ).

في المستوى المعطى بالنقطة A والخط المستقيم BC ، نرسم خطًا أفقيًا A-1 (الشكل 155 ، ز) وندير النقطة B حوله ، وتتحرك النقطة B إلى المربع. R (الواردة في الرسم التالي R h) ، عموديًا على A-1 ؛ عند النقطة O هي مركز دوران النقطة B. الآن نحدد القيمة الطبيعية لنصف قطر دوران VO (الشكل 155 ، ج). في المنصب المطلوب ، أي عندما رر. سيتم تعريف T بالنقطة A والخط BC ليصبح || قدم مربع H ، النقطة B سوف تتحول على R h على مسافة Ob 1 من النقطة O (قد يكون هناك موقع آخر على نفس المسار R h ، ولكن على الجانب الآخر من O). النقطة ب 1 هي الأفق. إسقاط النقطة B بعد نقلها إلى الموضع B 1 في الفضاء ، عندما يكون المستوى المحدد بالنقطة A والخط المستقيم BC يتخذ الموضع T.

برسم (الشكل 155 ، و) الخط المستقيم ب 1 1 ، نحصل على الأفق. إسقاط الخط المستقيم BC الموجود بالفعل || قدم مربع H في نفس مستوى A. في هذا الموضع ، المسافة من a إلى b 1 1 تساوي المسافة المطلوبة l. يمكن دمج المستوى P ، الذي تكمن فيه العناصر المحددة ، مع المربع. ح (الشكل 155 ، ي) ، قلب المربع. ف حول أفقها. أثر. بعد الانتقال من ضبط المستوى بالنقطة A والخط BC لتحديد الخطين BC و A-1 (الشكل 155 ، ل) ، نجد آثار هذه الخطوط ونرسم آثار P و P h من خلالها. نحن نبني (الشكل 155 ، م) مع المربع. H الموقف الأمامي. تتبع - P ϑ0.

ارسم الأفق من خلال النقطة أ. الإسقاط الأمامي يمر الجبهة المدمجة من خلال النقطة 2 على التتبع Р h موازية لـ Р ϑ0. النقطة أ 0 - مجتمعة مع رر. H هو موضع النقطة A. وبالمثل ، نجد النقطة B 0. أشعة الشمس المباشرة مع رر. يمر الموضع H بالنقطة B 0 والنقطة m (تتبع أفقي لخط مستقيم).

المسافة من النقطة A 0 إلى الخط المستقيم B 0 C 0 تساوي المسافة المطلوبة l.

من الممكن تنفيذ البناء المشار إليه من خلال إيجاد أثر واحد فقط P h (الشكل 155 و n و o). الهيكل بأكمله يشبه الدوران حول الأفقي (انظر الشكل 155 ، f ، c ، i): التتبع P h هو أحد الخطوط الأفقية للمربع. تم العثور على R.

من بين طرق تحويل الرسم المعطى لحل هذه المشكلة ، يفضل أسلوب الدوران حول أفقي أو أمامي.

158. الهرم SABC معطى (الشكل 156). تحديد المسافات:

أ) من أعلى B للقاعدة إلى جانبها AC بطريقة الحركة المتوازية ؛

ب) من أعلى الهرم S إلى الجانبين BC و AB للقاعدة عن طريق الدوران حول الأفقي ؛

ج) من أعلى S إلى جانب AC للقاعدة عن طريق تغيير مستويات الإسقاط.

159. نظرا للمنشور (الشكل 157). تحديد المسافات:

أ) بين الحواف AD و CF بتغيير مستويات الإسقاط ؛

ب) بين الضلوع BE و CF بالتناوب حول الجبهة ؛

ج) بين الحواف AD و BE بطريقة الحركة المتوازية.

160. حدد الحجم الفعلي للشكل الرباعي ABCD (الشكل 158) عن طريق الدمج مع المربع. N. استخدم فقط التتبع الأفقي للمستوى.

161 *. حدد المسافة بين المستقيمات المتقاطعة AB و CD (الشكل 159 ، أ) وقم بإنشاء إسقاطات للخط العمودي المشترك بينهما.

المحلول. المسافة بين خطوط العبور تقاس بقطعة (MN) من العمودي على كلا الخطين (الشكل 159 ، ب). من الواضح ، إذا تم وضع أحد الخطوط بشكل عمودي على أي مربع. ثم تي

سيكون الجزء MN من الخط العمودي على كلا الخطين موازٍ للمربع. سيعرض إسقاطه على هذا المستوى المسافة المطلوبة. تنبؤ زاوية مستقيمة maenad MN n AB على المربع. تبين أيضًا أن T زاوية قائمة بين m t n t و a t b t ، نظرًا لأن أحد جانبي الزاوية اليمنى AMN ، وهو MN. بالتوازي مع المربع. ت.

على التين. 159 و c و d ، يتم تحديد المسافة المطلوبة l بطريقة تغيير مستويات الإسقاط. أولاً ، نقدم مربعًا إضافيًا. الإسقاطات S عمودية على المربع. H وموازية للخط المستقيم CD (الشكل 159 ، ج). ثم نقدم مربعًا إضافيًا آخر. T عمودي على المربع. S وعمودي على نفس الخط CD (الشكل 159 ، د). يمكنك الآن بناء إسقاط للعمودي المشترك برسم m t n t من النقطة c t (d t) المتعامدة مع الإسقاط a t b t. النقطتان m t و n t عبارة عن إسقاطات لنقاط تقاطع هذا العمودي مع الخطين AB و CD. من النقطة m t (الشكل 159 ، هـ) نجد m s على a s b s: يجب أن يكون الإسقاط m s n s موازيًا لمحور T / S. علاوة على ذلك ، من m s و n s نجد m و n على ab و cd ، ومنهما m "و n" على "b" و c "d".

على التين. 159 ، يظهر حل هذه المشكلة بطريقة الحركات المتوازية. أولًا ، نضع القرص المستقيم CD موازيًا للمربع. الخامس: الإسقاط ج 1 د 1 || X. بعد ذلك ، ننقل الخطين CD و AB من الموضعين C 1 D 1 و A 1 B 1 إلى الموضعين C 2 B 2 و A 2 B 2 بحيث يكون C 2 D 2 عموديًا على H: الإسقاط c "2 d" 2 ⊥ x. يقع الجزء العمودي المطلوب || قدم مربع H ، وبالتالي ، m 2 n 2 تعبر عن المسافة المطلوبة l بين AB و CD. نجد موضع الإسقاطات م "2 ، ون" 2 على "2 ب" 2 و ج "2 د" 2 ، ثم الإسقاطات و م 1 و م "1 ، ن 1 و ن" 1 ، أخيرًا ، الإسقاطات m "و n" و m و n.

162- تم إعطاء الهرم SABC (الشكل 160). حدد المسافة بين الحافة SB والجانب AC لقاعدة الهرم وقم ببناء الإسقاطات العمودية المشتركة على SB و AC ، باستخدام طريقة تغيير مستويات الإسقاط.

163. الهرم SABC معطى (الشكل 161). أوجد المسافة بين الحافة SH والضلع BC من قاعدة الهرم ، وقم ببناء إسقاطات العمود العمودي المشترك على SX و BC باستخدام طريقة الإزاحة المتوازية.

164 *. حدد المسافة من النقطة A إلى المستوى في الحالات التي يُعطى فيها المستوى: أ) بالمثلث BCD (الشكل 162 ، أ) ؛ ب) آثار (الشكل 162 ، ب).

المحلول. كما تعلم ، تقاس المسافة من نقطة إلى مستو بمقدار الخط العمودي المرسوم من النقطة إلى المستوى. هذه المسافة مسقطة على أي مربع. إسقاط بالحجم الطبيعي ، إذا كان المستوى المعطى عموديًا على المربع. الإسقاطات (الشكل 162 ، ج). يمكن تحقيق هذا الموقف عن طريق تحويل الرسم ، على سبيل المثال ، عن طريق تغيير المربع. التوقعات. دعنا نقدم المربع. S (الشكل 16 ت ، د) ، عمودي على المربع. المثلث بى سى دى. للقيام بذلك ، نقضي في المربع. المثلث الأفقي B-1 وضع محور الإسقاطات S عموديًا على الإسقاط b-1 أفقيًا. نبني إسقاطات لنقطة ومستوى - a s ومقطع c s d s. المسافة من a s إلى c s d s تساوي المسافة المطلوبة l من النقطة إلى المستوي.

في ريو. 162 ، د يتم تطبيق طريقة الحركة المتوازية. نقوم بتحريك النظام بأكمله حتى يصبح أفقي B-1 للمستوى عموديًا على المستوى V: يجب أن يكون الإسقاط b 1 1 1 عموديًا على المحور x. في هذا الموضع ، سيصبح مستوى المثلث إسقاطًا أماميًا ، وستكون المسافة l من النقطة A إليه مربعة. الخامس بدون تشويه.

على التين. 162 ب الطائرة مُعطاة بآثار. نقدم (الشكل 162 ، هـ) مربع إضافي. S عمودي على المربع. P: محور S / H عمودي على P h. الباقي واضح من الرسم. على التين. 162 ، حسنًا ، تم حل المشكلة بمساعدة إزاحة واحدة: رر. ينتقل P إلى الموضع P 1 ، أي يصبح إسقاطًا أماميًا. مسار. P 1h عمودي على المحور x. نبني جبهة في هذا الموضع من الطائرة. تتبع الأفقي هو النقطة n "1 ، n 1. سوف يمر التتبع P 1ϑ عبر P 1x و n 1. المسافة من a" 1 إلى P 1ϑ تساوي المسافة المطلوبة l.

165. الهرم SABC معطى (انظر الشكل 160). حدد المسافة من النقطة أ إلى الوجه SBC للهرم باستخدام طريقة الإزاحة المتوازية.

166- يرد ذكر الهرم SABC (انظر الشكل 161). أوجد ارتفاع الهرم باستخدام طريقة الإزاحة المتوازية.

167 *. أوجد المسافة بين المستويين المتقاطعين AB و CD (انظر الشكل 159 ، أ) كمسافة بين المستويين المتوازيين المرسومة عبر هذين المستقيمين.

المحلول. على التين. 163 ، والمستويات P و Q موضحة بالتوازي مع بعضها البعض ، منها pl. يتم رسم Q من خلال CD موازٍ لـ AB ، و pl. P - خلال AB موازية للمربع. Q. تعتبر المسافة بين هذه المستويات هي المسافة بين خطوط الانحراف AB و CD. ومع ذلك ، يمكنك تقييد نفسك ببناء مستوى واحد فقط ، على سبيل المثال Q ، بالتوازي مع AB ، ثم تحديد المسافة على الأقل من النقطة A إلى هذا المستوى.

على التين. يُظهر 163c المستوى Q عبر القرص المضغوط الموازي لـ AB ؛ في الإسقاطات التي عقدت مع "e" || أ "ب" و حد ذاته || أب. باستخدام طريقة تغيير المربع. الإسقاطات (الشكل 163 ، ج) ، نقدم مربعًا إضافيًا. S عمودي على المربع. الخامس وفي نفس الوقت

عمودي على المربع. س: لرسم محور S / V ، نأخذ الجبهة D-1 في هذا المستوى. نرسم الآن S / V عموديًا على d "1" (الشكل 163 ، ج). رر سيتم عرض Q على الساحة. S كخط مستقيم مع s d s. الباقي واضح من الرسم.

168. الهرم SABC معطى (انظر الشكل 160). تحديد المسافة بين الحواف SC و AB تطبيق: 1) طريقة تغيير المنطقة. الإسقاطات ، 2) طريقة الحركة المتوازية.

169 *. أوجد المسافة بين المستويين المتوازيين ، أحدهما يُعطى بخطوط مستقيمة AB و AC ، والآخر بخطوط مستقيمة DE و DF (الشكل 164 ، أ). قم أيضًا بإجراء بناء للحالة عندما يتم إعطاء الطائرات بآثار (الشكل 164 ، ب).

المحلول. يمكن تحديد المسافة (الشكل 164 ، ج) بين المستويات المتوازية عن طريق رسم عمودي من أي نقطة في مستوى إلى مستوى آخر. على التين. 164 ، قدم مربع إضافي. S عمودي على المربع. H ولكلا الطائرات المعطاة. محور SH عمودي على الأفق. إسقاط لخط أفقي مرسوم في إحدى المستويات. نبني إسقاطًا لهذا المستوى ونشير إلى مستوى آخر على Sq. 5. مسافة النقطة d s إلى الخط l s a s تساوي المسافة المطلوبة بين المستويات المتوازية.

على التين. 164 ، د تم إعطاء بناء آخر (وفقًا لطريقة الحركة الموازية). لكي يكون المستوى الذي يعبر عنه الخطان المتقاطعان AB و AC متعامدين مع المربع. الخامس ، الأفق. وضعنا الإسقاط الأفقي لهذا المستوى عموديًا على المحور x: 1 1 2 1 ⊥ x. المسافة بين الجبهة. الإسقاط d "1 للنقطة D والخط المستقيم" 1 2 "1 (الإسقاط الأمامي للمستوى) يساوي المسافة المرغوبة بين المستويين.

على التين. يُظهر 164 ، البريد إدخال مربع إضافي. S ، عمودي على pl H وعلى المستويين المعينين P و Q (محور S / H عمودي على الآثار P h و Q h). نقوم ببناء آثار Р s و Q s. المسافة بينهما (انظر الشكل 164 ، ج) تساوي المسافة المطلوبة l بين المستويين P و Q.

على التين. 164 ، g تُظهر حركة الطائرات P 1 n Q 1 ، إلى الموضع P 1 و Q 1 عند الأفق. تبين أن الآثار تكون عمودية على المحور x. المسافة بين الجبهة الجديدة. تتبع P 1ϑ و Q 1ϑ تساوي المسافة المطلوبة l.

170. إعطاء ABCDEFGH متوازي السطوح (الشكل 165). تحديد المسافات: أ) بين قواعد خط الموازي - ل 1 ؛ ب) بين الوجوه ABFE و DCGH - l 2 ؛ ج) بين ADHE و BCGF-l 3 وجوه.

هذه المقالة تتحدث عن الموضوع « المسافة من نقطة إلى خط », يتم النظر في تعريفات المسافة من نقطة إلى خط مع أمثلة مصورة بطريقة الإحداثيات. أظهرت كل كتلة نظرية في النهاية أمثلة على حل مشكلات مماثلة.

Yandex.RTB R-A-339285-1

يتم حساب المسافة من نقطة إلى خط عن طريق تحديد المسافة من نقطة إلى نقطة. دعونا نفكر بمزيد من التفصيل.

يجب ألا يكون هناك خط أ ونقطة م 1 لا ينتميان إلى السطر المحدد. ارسم خطًا من خلاله متكتلًا عموديًا على الخط أ. خذ نقطة تقاطع المستقيمين كـ H 1. نحصل على أن M 1 H 1 عمودي ، تم تخفيضه من النقطة M 1 إلى الخط a.

التعريف 1

المسافة من النقطة M 1 إلى الخط المستقيم أتسمى المسافة بين النقطتين M 1 و H 1.

هناك تسجيلات للتعريف مع رقم طول العمود العمودي.

التعريف 2

المسافة من نقطة إلى خطهو طول الخط العمودي المرسوم من نقطة معينة إلى خط معين.

التعريفات متكافئة. النظر في الشكل أدناه.

من المعروف أن المسافة من نقطة إلى خط مستقيم هي الأصغر على الإطلاق. لنلق نظرة على هذا بمثال.

إذا أخذنا النقطة Q الواقعة على الخط a ، ولا تتطابق مع النقطة M 1 ، فسنحصل على أن القطعة M 1 Q تسمى مائلة ، وتنخفض من M 1 إلى الخط a. من الضروري الإشارة إلى أن الخط العمودي من النقطة M 1 أقل من أي منحرف آخر مرسوم من النقطة إلى الخط المستقيم.

لإثبات ذلك ، انظر إلى المثلث M 1 Q 1 H 1 ، حيث M 1 Q 1 هو الوتر. من المعروف أن طوله دائمًا المزيد من الطولأي من القسطرة. ومن ثم ، لدينا ذلك M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

تسمح البيانات الأولية للبحث من نقطة إلى خط مستقيم باستخدام عدة طرق للحل: من خلال نظرية فيثاغورس وتعريفات الجيب وجيب التمام وظل الزاوية وغيرها. يتم حل معظم المهام من هذا النوع في المدرسة في دروس الهندسة.

عندما يكون من الممكن إدخال نظام إحداثيات مستطيل عند إيجاد المسافة من نقطة إلى خط ، يتم استخدام طريقة الإحداثيات. في هذه الفقرة ، نعتبر الطريقتين الرئيسيتين لإيجاد المسافة المرغوبة من نقطة معينة.

تتضمن الطريقة الأولى إيجاد المسافة بشكل عمودي مرسوم من M 1 إلى الخط a. تستخدم الطريقة الثانية المعادلة العادية للخط المستقيم a لإيجاد المسافة المطلوبة.

إذا كانت هناك نقطة على المستوى بإحداثياتها M 1 (x 1، y 1) تقع في نظام إحداثيات مستطيل ، خط مستقيم أ ، وتحتاج إلى إيجاد المسافة M 1 H 1 ، يمكنك حسابها بطريقتين. دعونا نفكر فيها.

اول طريق

إذا كانت هناك إحداثيات للنقطة H 1 تساوي x 2 ، y 2 ، فسيتم حساب المسافة من النقطة إلى الخط من الإحداثيات من الصيغة M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - ص 1) 2.

لننتقل الآن إلى إيجاد إحداثيات النقطة H 1.

من المعروف أن الخط المستقيم في O x y يتوافق مع معادلة الخط المستقيم في المستوى. لنأخذ طريقة لتحديد الخط المستقيم أ من خلال كتابة معادلة عامة لخط مستقيم أو معادلة بميل. نكوّن معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطة M 1 عموديًا على خط معين أ. دعنا نشير إلى الخط بواسطة خشب الزان ب. H 1 هي نقطة تقاطع الخطين a و b ، لذلك لتحديد الإحداثيات ، يجب استخدام المقالة التي في السؤالعلى إحداثيات نقاط تقاطع سطرين.

يمكن ملاحظة أن خوارزمية إيجاد المسافة من نقطة معينة M 1 (x 1 ، y 1) إلى الخط المستقيم a يتم تنفيذها وفقًا للنقاط:

التعريف 3

• إيجاد المعادلة العامة للخط المستقيم أ ، التي لها الشكل أ 1 س + ب 1 ص + ج 1 \ u003d 0 ، أو معادلة بمعامل ميل ، لها الصيغة ص \ u003d ك 1 س + ب 1 ؛
• الحصول على المعادلة العامة للخط ب ، والتي لها الشكل أ 2 س + ب 2 ص + ج 2 \ u003d 0 أو معادلة بميل y \ u003d ك 2 س + ب 2 إذا تقاطع السطر ب مع النقطة م 1 وعمودي على الخط المعطى أ ؛
• تحديد إحداثيات x 2 ، y 2 للنقطة H 1 ، وهي نقطة تقاطع a و b ، لذلك تم حل النظام المعادلات الخطيةأ 1 س + ب 1 ص + ج 1 = 0 أ 2 س + ب 2 ص + ج 2 = 0 أو ص = ك 1 س + ب 1 ص = ك 2 س + ب 2 ؛
• حساب المسافة المطلوبة من نقطة إلى خط مستقيم باستخدام الصيغة M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

الطريقة الثانية

يمكن أن تساعد النظرية في الإجابة على السؤال الخاص بإيجاد المسافة من نقطة معينة إلى خط معين على المستوى.

نظرية

نظام إحداثيات مستطيل له O x y نقطة M 1 (x 1، y 1) ، منها خط مستقيم يُرسم a إلى المستوى ، معطى بواسطة المعادلة العادية للمستوى ، بالصيغة cos α x + cos β y - p \ u003d 0 ، تساوي القيمة التي تم الحصول عليها على الجانب الأيسر من معادلة الخط المستقيم العادي ، المحسوبة عند x = x 1 ، y = y 1 ، تعني أن M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · ص 1 - ص.

دليل - إثبات

الخط أ يتوافق مع المعادلة العادية للمستوى ، والتي لها الشكل cos α x + cos β y - p = 0 ، ثم n → = (cos α ، cos β) يعتبر متجهًا عاديًا للخط a عند a المسافة من الأصل إلى الخط a بوحدات p. من الضروري تصوير جميع البيانات في الشكل ، إضافة نقطة بإحداثيات M 1 (x 1 ، y 1) ، حيث متجه نصف قطر النقطة M 1 - O M 1 → = (x 1 ، y 1). من الضروري رسم خط مستقيم من نقطة إلى خط مستقيم ، والذي سنشير إليه بواسطة M 1 H 1. من الضروري إظهار الإسقاطات M 2 و H 2 للنقطتين M 1 و H 2 على خط مستقيم يمر عبر النقطة O مع متجه توجيه بالشكل n → = (cos α، cos β) والإسقاط العددي سيتم الإشارة إلى المتجه كـ O M 1 → = (x 1، y 1) إلى الاتجاه n → = (cos α، cos β) كـ n p n → O M 1 →.

تعتمد الاختلافات على موقع النقطة M 1 نفسها. النظر في الشكل أدناه.

نصلح النتائج باستخدام الصيغة M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p. ثم نأتي بالمساواة إلى هذا النموذج M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p من أجل الحصول على n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1.

ينتج عن المنتج العددي للمتجهات صيغة محولة للصيغة n → ، O M → 1 = n → n p n → O M 1 → = 1 n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → ، وهو منتج في شكل إحداثيات النموذج n → ، O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1. ومن ثم ، نحصل على n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1. ويترتب على ذلك أن M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p. لقد تم إثبات النظرية.

حصلنا على ذلك لإيجاد المسافة من النقطة M 1 (x 1 ، y 1) إلى الخط المستقيم a على المستوى ، يجب تنفيذ عدة إجراءات:

التعريف 4

• الحصول على المعادلة العادية للخط a cos α · x + cos β · y - p = 0 بشرط ألا تكون في المهمة ؛
• حساب التعبير cos α · x 1 + cos β · y 1 - p ، حيث تأخذ القيمة الناتجة M 1 H 1.

دعنا نطبق هذه الطرق لحل مشاكل إيجاد المسافة من نقطة إلى مستوى.

مثال 1

أوجد المسافة من النقطة ذات الإحداثيات م 1 (- 1 ، 2) إلى الخط 4 س - 3 ص + 35 = 0.

المحلول

دعنا نستخدم الطريقة الأولى لحل.

للقيام بذلك ، تحتاج إلى إيجاد المعادلة العامة للخط b ، الذي يمر عبر نقطة معينة M 1 (- 1 ، 2) متعامدة على الخط 4 x - 3 y + 35 = 0. يمكن أن نرى من الشرط أن الخط b عمودي على الخط a ، ثم متجه اتجاهه له إحداثيات تساوي (4 ، - 3). وبالتالي ، لدينا الفرصة لكتابة المعادلة الأساسية للخط ب على المستوى ، نظرًا لوجود إحداثيات للنقطة م 1 ، تنتمي إلى السطر ب. لنحدد إحداثيات متجه التوجيه للخط المستقيم ب. نحصل على أن x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3. يجب تحويل المعادلة الأساسية الناتجة إلى معادلة عامة. ثم نحصل على ذلك

س + 1 4 = ص - 2 - 3 ⇔ - 3 (س + 1) = 4 (ص - 2) ⇔ 3 س + 4 ص - 5 = 0

لنجد إحداثيات نقاط تقاطع المستقيمين ، والتي سنأخذها على أنها التسمية H 1. تبدو التحولات كما يلي:

4 س - 3 ص + 35 = 0 3 س + 4 ص - 5 = 0 ⇔ س = 3 4 ص - 35 4 3 س + 4 ص - 5 = 0 س س = 3 4 ص - 35 4 3 3 4 ص - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5-35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

مما سبق ، لدينا أن إحداثيات النقطة H 1 هي (- 5 ؛ 5).

من الضروري حساب المسافة من النقطة م 1 إلى الخط المستقيم أ. لدينا إحداثيات النقطتين M 1 (- 1 ، 2) و H 1 (- 5 ، 5) ، ثم نعوض في صيغة إيجاد المسافة ونحصل على ذلك

M 1 H 1 \ u003d (- 5 - (- 1) 2 + (5-2) 2 \ u003d 25 \ u003d 5

الحل الثاني.

من أجل الحل بطريقة أخرى ، من الضروري الحصول على المعادلة العادية للخط المستقيم. نحسب قيمة عامل التسوية ونضرب طرفي المعادلة 4 س - 3 ص + 35 = 0. من هنا نحصل على أن عامل التسوية هو - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5 ، وستكون المعادلة العادية بالصيغة - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - ٤ ٥ س + ٣ ٥ ص - ٧ = ٠.

وفقًا لخوارزمية الحساب ، من الضروري الحصول على المعادلة العادية للخط المستقيم وحسابها بالقيم س = - 1 ، ص = 2. ثم نحصل على ذلك

4 5 - 1 + 3 5 2-7 = - 5

من هنا نحصل على أن المسافة من النقطة M 1 (- 1، 2) إلى الخط المستقيم المعطى 4 x - 3 y + 35 = 0 لها القيمة - 5 = 5.

إجابه: 5 .

يمكن ملاحظة أنه من المهم في هذه الطريقة استخدام المعادلة العادية للخط المستقيم ، لأن هذه الطريقة هي الأقصر. لكن الطريقة الأولى ملائمة من حيث أنها متسقة ومنطقية ، على الرغم من أنها تحتوي على نقاط حسابية أكثر.

مثال 2

يوجد على المستوى نظام إحداثيات مستطيل O x y بنقطة M 1 (8 ، 0) وخط مستقيم y = 1 2 x + 1. أوجد المسافة من نقطة معينة إلى خط مستقيم.

المحلول

الحل في الطريقة الأولى يعني التخفيض معادلة معينةبميل للمعادلة نظرة عامة. للتبسيط ، يمكنك القيام بذلك بشكل مختلف.

إذا كان حاصل ضرب ميل المستقيمين المتعامدين هو - 1 ، فإن ميل الخط المستقيم العمودي على المعطى y = 1 2 x + 1 هو 2. نحصل الآن على معادلة خط مستقيم يمر بنقطة ذات إحداثيات م 1 (8 ، 0). لدينا ص - 0 = - 2 (س - 8) ⇔ ص = - 2 س + 16.

ننتقل إلى إيجاد إحداثيات النقطة H 1 ، أي نقاط التقاطع y \ u003d - 2 x + 16 و y \ u003d 1 2 x + 1. نؤلف نظام المعادلات ونحصل على:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 6 + 1 س \ u003d 6 \ u003d ص \ u003d 4 س \ u003d 6 ⇒ ح 1 (6 ، 4)

ويترتب على ذلك أن المسافة من النقطة ذات الإحداثيات M 1 (8 ، 0) إلى الخط y = 1 2 x + 1 تساوي المسافة من نقطة البداية ونقطة النهاية ذات الإحداثيات M 1 (8 ، 0) و H 1 (6 ، 4). لنحسب ونحصل على أن M 1 H 1 = 6-8 2 + (4-0) 2 20 = 2 5.

الحل بالطريقة الثانية هو الانتقال من المعادلة ذات المعامل إلى صورتها العادية. أي أننا نحصل على y \ u003d 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 \ u003d 0 ، ثم ستكون قيمة عامل التطبيع - 1 1 2 2 + (- 1) 2 \ u003d - 2 5 . يتبع ذلك أن المعادلة العادية للخط المستقيم تتخذ الشكل - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0. لنحسب من النقطة M 1 8، 0 إلى الخط المستقيم بالصيغة - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0. نحن نحصل:

م 1 س 1 \ u003d - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 \ u003d - 10 5 \ u003d 2 5

إجابه: 2 5 .

مثال 3

من الضروري حساب المسافة من النقطة ذات الإحداثيات M 1 (- 2 ، 4) إلى الخطوط المستقيمة 2 x - 3 = 0 و y + 1 = 0.

المحلول

نحصل على المعادلة العرض العاديمباشر 2 × - 3 = 0:

2 س - 3 = 0 1 2 2 س - 3 = 1 2 0 ⇔ س - 3 2 = 0

ثم ننتقل إلى حساب المسافة من النقطة M 1 - 2 ، 4 إلى الخط المستقيم x - 3 2 = 0. نحن نحصل:

م 1 س 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

معادلة الخط المستقيم y + 1 = 0 لها عامل تسوية بقيمة -1. هذا يعني أن المعادلة ستأخذ الصورة - y - 1 = 0. ننتقل إلى حساب المسافة من النقطة M 1 (- 2 ، 4) إلى الخط المستقيم - y - 1 = 0. نحصل على أنها تساوي - 4-1 = 5.

إجابه: 3 1 2 و 5.

دعونا نفكر بالتفصيل في تحديد المسافة من نقطة معينة على المستوى إلى محوري الإحداثيات O x و O y.

في نظام الإحداثيات المستطيل ، يحتوي المحور O y على معادلة لخط مستقيم ، وهو غير مكتمل وله الشكل x \ u003d 0 ، و O x - y \ u003d 0. المعادلات طبيعية بالنسبة لمحاور الإحداثيات ، إذًا من الضروري إيجاد المسافة من النقطة ذات الإحداثيات M 1 x 1 ، y 1 إلى الخطوط المستقيمة. يتم ذلك بناءً على الصيغ M 1 H 1 = x 1 و M 1 H 1 = y 1. النظر في الشكل أدناه.

مثال 4

أوجد المسافة من النقطة M 1 (6 ، - 7) إلى خطوط الإحداثيات الموجودة في المستوى O x y.

المحلول

نظرًا لأن المعادلة y \ u003d 0 تشير إلى الخط O x ، يمكنك إيجاد المسافة من M 1 بإحداثيات معينة لهذا الخط باستخدام الصيغة. نحصل على 6 = 6.

نظرًا لأن المعادلة x \ u003d 0 تشير إلى الخط O y ، يمكنك إيجاد المسافة من M 1 إلى هذا الخط باستخدام الصيغة. ثم نحصل على ذلك - 7 = 7.

إجابه:المسافة من M 1 إلى O x لها قيمة 6 ، ومن M 1 إلى O y لها قيمة 7.

عندما يكون لدينا في الفضاء ثلاثي الأبعاد نقطة ذات إحداثيات M 1 (x 1 ، y 1 ، z 1) ، من الضروري إيجاد المسافة من النقطة A إلى الخط a.

ضع في اعتبارك طريقتين تسمحان لك بحساب المسافة من نقطة إلى خط مستقيم تقع في الفضاء. تعتبر الحالة الأولى المسافة من النقطة M 1 إلى الخط ، حيث تسمى النقطة على الخط H 1 وهي قاعدة العمود العمودي المرسوم من النقطة M 1 إلى الخط a. تشير الحالة الثانية إلى أنه يجب البحث عن نقاط هذا المستوى باعتبارها ارتفاع متوازي الأضلاع.

اول طريق

من التعريف ، لدينا أن المسافة من النقطة M 1 الواقعة على الخط المستقيم a هي طول العمود العمودي M 1 H 1 ، ثم نحصل على ذلك بالإحداثيات الموجودة للنقطة H 1 ، ثم نحسب المسافة بين M 1 (x 1، y 1، z 1) و H 1 (x 1، y 1، z 1) بناءً على الصيغة M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - ض 1 2.

نتوصل إلى أن الحل كله يذهب لإيجاد إحداثيات قاعدة العمود العمودي المرسومة من M 1 إلى الخط a. تم إنتاجه بالطريقة الآتية: H 1 هي النقطة التي يتقاطع فيها الخط a مع المستوى الذي يمر عبر النقطة المعينة.

هذا يعني أن خوارزمية تحديد المسافة من النقطة M 1 (x 1 ، y 1 ، z 1) إلى الخط المستقيم a للفضاء تتضمن عدة نقاط:

التعريف 5

• رسم معادلة المستوى χ كمعادلة للمستوى الذي يمر عبر نقطة معينة عمودية على الخط ؛
• تحديد الإحداثيات (x 2 ، y 2 ، z 2) التي تنتمي إلى النقطة H 1 وهي نقطة تقاطع الخط a والمستوى χ ؛
• حساب المسافة من نقطة إلى خط باستخدام الصيغة M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.

الطريقة الثانية

من الشرط لدينا خط أ ، ثم يمكننا تحديد متجه الاتجاه a → = a x ، a y ، a z بالإحداثيات x 3 ، y 3 ، z 3 ونقطة معينة M 3 تنتمي إلى الخط a. بالنظر إلى إحداثيات النقطتين M 1 (x 1 ، y 1) و M 3 x 3 ، y 3 ، z 3 ، M 3 M 1 → يمكن حسابها:

م 3 م 1 → = (س 1 - س 3 ، ص 1 - ص 3 ، ض 1 - ع 3)

من الضروري تأجيل المتجهات a → \ u003d a x ، a y ، a z و M 3 M 1 → \ u003d x 1 - x 3 ، y 1 - y 3 ، z 1 - z 3 من النقطة M 3 ، اتصل واحصل على شكل متوازي الأضلاع. M 1 H 1 هو ارتفاع متوازي الأضلاع.

النظر في الشكل أدناه.

لدينا أن الارتفاع M 1 H 1 هو المسافة المرغوبة ، فأنت بحاجة إلى إيجاده باستخدام الصيغة. أي أننا نبحث عن M 1 H 1.

تم العثور على مساحة متوازي الأضلاع بالحرف S ، بواسطة الصيغة التي تستخدم المتجه a → = (a x ، a y ، a z) و M 3 M 1 → = x 1 - x 3. ص 1 - ص 3 ، ض 1 - ع 3. صيغة المنطقة لها الشكل S = a → × M 3 M 1 →. أيضًا ، مساحة الشكل تساوي ناتج أطوال جوانبها والارتفاع ، نحصل على S \ u003d a → M 1 H 1 مع a → \ u003d a x 2 + a y 2 + a z 2 ، وهو طول المتجه a → \ u003d (a x ، a y ، a z) ، والذي يساوي جانب متوازي الأضلاع. وبالتالي ، M 1 H 1 هي المسافة من النقطة إلى الخط. تم العثور عليه بواسطة الصيغة M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a →.

لإيجاد المسافة من نقطة ذات إحداثيات M 1 (x 1، y 1، z 1) إلى خط مستقيم a في الفراغ ، تحتاج إلى تنفيذ عدة نقاط من الخوارزمية:

التعريف 6

• تحديد متجه الاتجاه للخط المستقيم a - a → = (a x ، a y ، a z) ؛
• حساب طول متجه الاتجاه a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ؛
• الحصول على الإحداثيات x 3 ، y 3 ، z 3 التي تنتمي إلى النقطة M 3 الواقعة على الخط a ؛
• حساب إحداثيات المتجه M 3 M 1 → ؛
• إيجاد حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهات a → (a x، a y، a z) و M 3 M 1 → = x 1 - x 3، y 1 - y 3، z 1 - z 3 كـ a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 للحصول على الطول وفقًا للصيغة a → × M 3 M 1 → ؛
• حساب المسافة من نقطة إلى الخط M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a →.

حل مسائل إيجاد المسافة من نقطة معينة إلى خط مستقيم معين في الفضاء

مثال 5

أوجد المسافة من النقطة ذات الإحداثيات M 1 2 ، - 4 ، - 1 إلى الخط x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5.

المحلول

تبدأ الطريقة الأولى بكتابة معادلة المستوى χ مروراً بـ M 1 وعمودي على نقطة معينة. نحصل على تعبير مثل:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

من الضروري إيجاد إحداثيات النقطة H 1 ، وهي نقطة التقاطع مع المستوى χ للخط المستقيم الذي تحدده الحالة. من الضروري الانتقال من الشكل المتعارف عليه إلى الشكل المتقاطع. ثم نحصل على نظام المعادلات بالشكل:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 (x + 1) = 2 y 5 (x + 1) = 2 (z + 5) 5 y = - 1 (z + 5) ⇔ x + 2 ص + 1 = 0 5 س - 2 ع - 5 = 0 5 ص + ع + 5 = 0 س + 2 ص + 1 = 0 5 س - 2 ع - 5 = 0

من الضروري حساب النظام x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 س - ص + 5 ع = 3 بطريقة كرامر ، ثم نحصل على ذلك:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60-60 = 1 y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = y ∆ = 60-60 = - 1 ∆ z = 1 2-1 5 0 5 2-1 3 = 0 z = z ∆ = 0 - 60 = 0

ومن ثم لدينا H 1 (1 ، - 1 ، 0).

م 1 س 1 \ u003d 1-2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 \ u003d 11

الطريقة الثانية هي البدء بالبحث عن الإحداثيات بتنسيق معادلة قانونية. للقيام بذلك ، انتبه إلى مقامات الكسر. إذن ، a → = 2 ، - 1 ، 5 هو متجه اتجاه الخط المستقيم x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5. من الضروري حساب الطول باستخدام الصيغة a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30.

من الواضح أن الخط x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 يتقاطع مع النقطة M 3 (- 1 ، 0 ، - 5) ، وبالتالي لدينا المتجه ذي الأصل M 3 (- 1 ، 0 ، - 5) ونهايته عند النقطة M 1 2 ، - 4 ، - 1 هي M 3 M 1 → = 3 ، - 4 ، 4. أوجد حاصل الضرب المتجه a → = (2، - 1، 5) و M 3 M 1 → = (3، - 4، 4).

نحصل على تعبير بالصيغة a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2-1 5 3-4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 j → = 16 i → + 7 j → - 5 k →

حصلنا على أن طول الضرب العرضي هو → × م 3 م 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330.

لدينا جميع البيانات لاستخدام الصيغة لحساب المسافة من نقطة لخط مستقيم ، لذلك نطبقها ونحصل على:

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

إجابه: 11 .

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter

لحساب المسافة من نقطة معينة M إلى الخط L ، يمكن استخدام طرق مختلفة. على سبيل المثال ، إذا أخذنا نقطة عشوائية M 0 على السطر L ، فيمكننا تحديدها الإسقاط المتعامد للمتجه M 0 M على اتجاه المتجه الطبيعي للخط المستقيم.هذا الإسقاط ، حتى علامة ، هو المسافة المطلوبة.

طريقة أخرى لحساب المسافة من نقطة إلى خط هي استخدام المعادلة العادية للخط المستقيم. دع الخط L يُعطى بالمعادلة العادية (4.23). إذا كانت النقطة M (x ؛ y) لا تقع على الخط L ، فإن الإسقاط المتعامد pr n OM دائرة نصف قطرها متجهالنقطة M إلى اتجاه الوحدة المتجه العادي n للخط المستقيم L يساوي المنتج القياسي للمتجهين OM و n ، أي x cosφ + y sinφ. نفس الإسقاط يساوي مجموع المسافة p من الأصل إلى الخط المستقيم وبعض القيمة δ (الشكل 4.10). قيمة δ وفقًا لـ قيمه مطلقهيساوي المسافة من النقطة م إلى الخط. في هذه الحالة ، δ> 0 إذا كانت النقطتان M و O على جانبي الخط المستقيم ، و δ هي انحراف النقطة M عن الخط المستقيم.

يُحسب الانحراف δ للنقطة M (x ؛ y) من الخط L على أنه الفرق بين الإسقاط pr n OM والمسافة p من الأصل إلى الخط (انظر الشكل 4.10) ، أي δ \ u003d x cosφ + y sinφ - ص.

باستخدام هذه الصيغة ، يمكن للمرء أيضًا الحصول على المسافة p (M ، L) من النقطة M (x ؛ y) إلى الخط L المعطى بواسطة المعادلة العادية: p (M ، L) = | δ | = | x cosφ + y sinφ - ص |.

2 مجموع زاويتين متجاورتين يصل مجموعهما إلى 180 درجة

بالنظر إلى إجراء التحويل أعلاه المعادلة العامة للخط المستقيمفي معادلتها العادية ، نحصل على صيغة المسافة من النقطة M (x ؛ y) إلى الخط L ، المعطاة بمعادلتها العامة:

مثال 4.8.لنجد المعادلات العامة للارتفاع AH والمتوسط ​​AM والمنصف AD للمثلث ABC الخارج من الرأس A. إحداثيات رءوس المثلث A (-1 ؛ -3) ، B (7 ؛ 3) ) ، C (1 ؛ 7) معروفة.

بادئ ذي بدء ، دعنا نوضح حالة المثال: المعادلات المشار إليها تعني معادلات الخطوط L AH و L AM و L AD ، حيث يقع الارتفاع AH والوسيط AM والمنصف AD للمثلث المحدد ، على التوالي (الشكل 4.11).

لإيجاد معادلة الخط المستقيم L AM ، نستخدم حقيقة أن الوسيط يقسم الضلع المقابل للمثلث إلى نصفين. بعد إيجاد الإحداثيات (x 1 ؛ y 1) لمنتصف الضلع BC x 1 = (7 + 1) / 2 = 4 ، y 1 = (3 + 7) / 2 = 5 ، نكتب معادلة L صباحا في النموذج معادلة خط مستقيم يمر بنقطتين ،(س + 1) / (4 + 1) = (ص + 3) / (5 + 3). بعد التحولات ، نحصل على المعادلة العامة للمتوسط ​​8x - 5y - 7 \ u003d 0./p>

لإيجاد معادلة ارتفاع L AH ، نستخدم حقيقة أن الارتفاع عمودي على الضلع المقابل للمثلث. لذلك ، فإن المتجه BC عمودي على الارتفاع AH ويمكن اختياره باعتباره المتجه الطبيعي للخط L AH. يتم الحصول على معادلة هذا الخط من (4.15) باستبدال إحداثيات النقطة A والمتجه الطبيعي للخط L AH:

(-6) (س + 1) + 4 (ص + 3) = 0.

بعد التحولات نحصل على المعادلة العامة للارتفاع 3 س - 2 ص - 3 = 0.

لإيجاد معادلة المنصف L AD ، نستخدم حقيقة أن المنصف AD ينتمي إلى مجموعة النقاط N (x ؛ y) التي تقع على مسافة متساوية من الخطين L AB و L AC. معادلة هذه المجموعة لها الشكل

الفوسفور (N ، L AB) = الفوسفور (N ، L AC) ، (4.28)

ويحدد خطين يمران بالنقطة A ويقسمان الزوايا بين الخطين L AB و L AC إلى النصف. باستخدام معادلة الخط المستقيم المار بنقطتين ، نجد المعادلات العامة للخطين L AB و L AC:

L AB: (x + 1) / (7 + 1) = (y + 3) / (3 + 3)، L AC: (x + 1) / (1 + 1) = (y + 3) / (7 + 3)

بعد التحولات ، نحصل على L AB: 3x - 4y - 9 \ u003d 0 ، L AC: 5x - y + 2 \ u003d 0. المعادلة (4.28) باستخدام الصيغة (4.27) لحساب المسافة من نقطة إلى خط مستقيم ، نكتب في النموذج

دعنا نحولها عن طريق توسيع الوحدات:

نتيجة لذلك ، نحصل على المعادلات العامة لخطين

(3 ± 25 / √26) x + (-4 ± 5 ​​/ √26) ص + (-9 ± 10 / √26) = 0

لاختيار معادلة المنصف منها ، نأخذ في الاعتبار أن رأسي المثلث B و C يقعان على جانبي الخط المطلوب ، وبالتالي يجب استبدال إحداثياتهما في الجانب الأيسر من المعادلة العامة للخط L AD. القيم مع علامات مختلفة. نختار المعادلة المقابلة للعلامة العليا ، أي

(3-25 / √26) x + (-4 + 5 / √26) ص + (-9-10 / √26) = 0

نعوض بإحداثيات النقطة B في الطرف الأيسر من هذه المعادلة معنى سلبي، بسبب ال

(3 - 25/√26)7 + (-4 + 5/√26)3 + (-9 - 10/√26) = 21 - 12 - 9 + (-175 + 15 - 10)/√26 = -170/√26

ويتم الحصول على نفس العلامة لإحداثيات النقطة C منذ ذلك الحين

(3 - 25/√26)1 + (-4 + 5/√26)7 + (-9 - 10/√26) = 3 - 28 - 9 + (-25 + 35 - 10)/√26 = -34

لذلك ، تقع الرؤوس B و C على نفس الجانب من الخط المستقيم بالمعادلة المختارة ، وبالتالي فإن معادلة المنصف هي

(3 + 25 / √26) س + (-4-5 / √26) ص + (-9 + 10 / √26) = 0.

مستوى اول

الإحداثيات والنواقل. دليل شامل (2019)

في هذه المقالة ، سنبدأ أنا وأنت في مناقشة "عصا سحرية" واحدة ستسمح لك بتقليل العديد من المشكلات في الهندسة إلى عمليات حسابية بسيطة. يمكن أن تجعل هذه "العصا" حياتك أسهل بكثير ، خاصة عندما تشعر بعدم الأمان في بناء الأشكال والأقسام المكانية ، إلخ. كل هذا يتطلب خيالًا معينًا ومهارات عملية. ستسمح لك الطريقة ، التي سنبدأ في دراستها هنا ، بالتجريد بشكل شبه كامل من جميع أنواع الإنشاءات الهندسية والاستدلال. الطريقة تسمى "طريقة التنسيق". في هذه المقالة ، سننظر في الأسئلة التالية:

1. خطة تنسيق
2. النقاط والمتجهات على متن الطائرة
3. بناء متجه من نقطتين
4. طول المتجه (المسافة بين نقطتين)
5. إحداثيات المنتصف
6. حاصل الضرب النقطي للناقلات
7. الزاوية بين متجهين

أعتقد أنك خمنت بالفعل لماذا تسمى طريقة الإحداثيات ذلك؟ صحيح أنه حصل على مثل هذا الاسم ، لأنه لا يعمل مع الأشياء الهندسية ، ولكن مع الخصائص العددية(إحداثيات). والتحويل نفسه ، الذي يجعل من الممكن الانتقال من الهندسة إلى الجبر ، يتمثل في إدخال نظام إحداثيات. إذا كان الشكل الأصلي مسطحًا ، فإن الإحداثيات تكون ثنائية الأبعاد ، وإذا كان الشكل ثلاثي الأبعاد ، فإن الإحداثيات تكون ثلاثية الأبعاد. في هذه المقالة ، سننظر فقط في الحالة ثنائية الأبعاد. والغرض الرئيسي من المقالة هو تعليمك كيفية استخدام بعض الأساليب الأساسية لطريقة الإحداثيات (يتبين أنها مفيدة أحيانًا عند حل المشكلات في قياس التخطيط في الجزء ب من اختبار الدولة الموحد). القسمان التاليان حول هذا الموضوع مخصصان لمناقشة طرق حل المشكلات C2 (مشكلة القياس الفراغي).

أين سيكون من المنطقي البدء في مناقشة طريقة الإحداثيات؟ ربما مع مفهوم نظام الإحداثيات. تذكر عندما قابلتها لأول مرة. يبدو لي أنه في الصف السابع ، عندما اكتشفت وجوده دالة خطية، فمثلا. دعني أذكرك أنك قمت ببنائه نقطة تلو الأخرى. هل تذكر؟ لقد اخترت رقمًا عشوائيًا ، واستبدلت به في الصيغة وحُسبت بهذه الطريقة. على سبيل المثال ، إذا ، إذن ، إذا ، إذن ، إلخ. ما الذي حصلت عليه نتيجة لذلك؟ وحصلت على نقاط بإحداثيات: و. بعد ذلك ، قمت برسم "تقاطع" (نظام إحداثيات) ، واخترت مقياسًا عليه (عدد الخلايا التي ستحصل عليها كقطعة واحدة) وقمت بتمييز النقاط التي تلقيتها عليها ، والتي قمت بعد ذلك بتوصيلها بخط مستقيم ، والنتيجة الخط هو الرسم البياني للدالة.

هناك بعض الأشياء التي يجب شرحها لك بمزيد من التفصيل:

1. أنت تختار مقطعًا واحدًا لأسباب تتعلق بالراحة ، بحيث يتناسب كل شيء بشكل جيد ومضغوط في الصورة

2. من المفترض أن المحور ينتقل من اليسار إلى اليمين ، والمحور ينتقل من أسفل إلى أعلى

3. يتقاطعان بزاوية قائمة ، وتسمى نقطة تقاطعهما الأصل. يتم تمييزه بحرف.

4. في سجل إحداثيات نقطة ما ، على سبيل المثال ، يوجد على اليسار بين قوسين إحداثيات النقطة على طول المحور ، وعلى اليمين على طول المحور. على وجه الخصوص ، يعني ببساطة أن النقطة

5. لتعيين أي نقطة على محور الإحداثيات ، تحتاج إلى تحديد إحداثياتها (رقمان)

6. لأي نقطة ملقاة على المحور ،

7. لأي نقطة تقع على المحور ،

8. يسمى المحور المحور x

9. يسمى المحور المحور ص

الآن دعنا نأخذ الخطوة التالية معك: حدد نقطتين. ربط هاتين النقطتين بخط. ودعنا نضع السهم كما لو كنا نرسم مقطعًا من نقطة إلى أخرى: أي أننا سنجعل مقطعنا موجهًا!

تذكر ما هو الاسم الآخر للمقطع الموجه؟ هذا صحيح ، إنه يسمى ناقل!

وبالتالي ، إذا ربطنا نقطة بنقطة ، وستكون البداية النقطة أ ، والنهاية ستكون النقطة ب ،ثم نحصل على ناقل. أنت أيضا فعلت هذا البناء في الصف الثامن ، هل تتذكر؟

اتضح أن المتجهات ، مثل النقاط ، يمكن الإشارة إليها برقمين: تسمى هذه الأرقام إحداثيات المتجه. سؤال: هل تعتقد أنه يكفي أن نعرف إحداثيات بداية ونهاية المتجه لإيجاد إحداثياته؟ اتضح أن نعم! ومن السهل جدًا القيام بما يلي:

وبالتالي ، نظرًا لأن النقطة في المتجه هي البداية والنهاية ، فإن المتجه له الإحداثيات التالية:

على سبيل المثال ، إذا ، فإن إحداثيات المتجه

والآن لنفعل العكس ، أوجد إحداثيات المتجه. ماذا نحتاج لتغيير هذا؟ نعم ، أنت بحاجة إلى تبديل البداية والنهاية: الآن ستكون بداية المتجه عند نقطة ، والنهاية عند نقطة ما. ثم:

انظر عن كثب ، ما هو الفرق بين النواقل و؟ الاختلاف الوحيد بينهما هو العلامات الموجودة في الإحداثيات. هم عكس ذلك. هذه الحقيقة مكتوبة على النحو التالي:

في بعض الأحيان ، إذا لم يتم تحديد النقطة التي تمثل بداية المتجه ، وما هي النهاية ، فسيتم الإشارة إلى المتجهات ليس بحرفين كبيرين ، ولكن بحرف صغير واحد ، على سبيل المثال: ، إلخ.

الآن قليلا ممارسةوابحث عن إحداثيات النواقل التالية:

فحص:

الآن حل المشكلة أكثر صعوبة:

طارة متجهية مع خردة on-cha-scrap في نقطة ما لها مشاركة أو ثنائية. Find-di-te abs-cis-su Points.

كل نفس الأمر مبتذل تمامًا: دعنا نكون إحداثيات النقطة. ثم

لقد جمعت النظام بتحديد إحداثيات المتجه. ثم النقطة لها إحداثيات. نحن مهتمون بالإحداثيات. ثم

إجابه:

ماذا يمكنك أن تفعل مع النواقل؟ نعم ، كل شيء تقريبًا هو نفسه مع الأرقام العادية (باستثناء أنه لا يمكنك القسمة ، ولكن يمكنك الضرب بطريقتين ، سنناقش إحداهما هنا بعد قليل)

1. يمكن تكديس النواقل مع بعضها البعض
2. يمكن طرح المتجهات من بعضها البعض
3. يمكن مضاعفة المتجهات (أو تقسيمها) بواسطة رقم تعسفي غير صفري
4. يمكن مضاعفة المتجهات مع بعضها البعض

كل هذه العمليات لها تمثيل هندسي مرئي تمامًا. على سبيل المثال ، قاعدة المثلث (أو متوازي الأضلاع) للجمع والطرح:

يمتد المتجه أو يتقلص أو يغير اتجاهه عند ضربه أو تقسيمه على رقم:

ومع ذلك ، سنهتم هنا بمسألة ما يحدث للإحداثيات.

1. عند إضافة (طرح) متجهين ، نضيف (نطرح) إحداثياتهما عنصرًا تلو الآخر. هذا هو:

2. عند ضرب (قسمة) متجه على رقم ، يتم ضرب (قسمة) جميع إحداثياته ​​في هذا الرقم:

فمثلا:

· Find-di-the sum of ko-or-di-nat القرن-to-ra.

لنجد أولًا إحداثيات كل متجه. كلاهما لهما نفس الأصل - نقطة الأصل. نهاياتهم مختلفة. ثم، . الآن نحسب إحداثيات المتجه ثم مجموع إحداثيات المتجه الناتج يساوي.

إجابه:

الآن حل المشكلة التالية بنفسك:

· أوجد مجموع إحداثيات المتجه

نحن نفحص:

لنفكر الآن في المشكلة التالية: لدينا نقطتان حولهما خطة تنسيق. كيف تجد المسافة بينهما؟ دع النقطة الأولى تكون ، والثانية. دعنا نشير إلى المسافة بينهما على أنها. لنرسم الرسم التالي من أجل الوضوح:

ما الذي فعلته؟ لقد اتصلت أولاً النقاط و ، أرسم أيضًا خطًا موازٍ للمحور من النقطة ، ورسم خطًا موازٍ للمحور من النقطة. هل تقاطعا في نقطة ما ، وشكلوا شخصية رائعة؟ لماذا هي رائعة؟ نعم ، أنت وأنا نعرف كل شيء تقريبًا مثلث قائم. حسنًا ، نظرية فيثاغورس بالتأكيد. المقطع المطلوب هو وتر هذا المثلث ، والأجزاء هي الأرجل. ما هي إحداثيات النقطة؟ نعم ، يسهل العثور عليها من الصورة: نظرًا لأن المقاطع موازية للمحاور ، ومن السهل العثور على أطوالها على التوالي: إذا أشرنا إلى أطوال المقاطع ، على التوالي ، من خلال ، إذن

الآن دعونا نستخدم نظرية فيثاغورس. نعرف أطوال الأرجل ، سنجد الوتر:

وبالتالي ، فإن المسافة بين نقطتين هي مجموع جذر الفروق التربيعية من الإحداثيات. أو - المسافة بين نقطتين هي طول المقطع الذي يربط بينهما. من السهل ملاحظة أن المسافة بين النقطتين لا تعتمد على الاتجاه. ثم:

من هذا نستخلص ثلاثة استنتاجات:

لنتدرب قليلاً على حساب المسافة بين نقطتين:

على سبيل المثال ، إذا ، فإن المسافة بين و هي

أو لنذهب بشكل مختلف: أوجد إحداثيات المتجه

وابحث عن طول المتجه:

كما ترى ، نفس الشيء!

الآن تدرب قليلاً بنفسك:

المهمة: أوجد المسافة بين النقاط المحددة:

نحن نفحص:

فيما يلي مشكلتان إضافيتان لنفس الصيغة ، على الرغم من اختلافهما قليلاً:

1. ابحث عن مربع طول الجفن إلى رع.

2. مربع Nai-di-te من طول الجفن إلى را

أظن أنه يمكنك التعامل معهم بسهولة؟ نحن نفحص:

1. وهذا من أجل الانتباه) لقد وجدنا بالفعل إحداثيات المتجهات من قبل:. ثم يكون للمتجه إحداثيات. مربع طوله سيكون:

2. أوجد إحداثيات المتجه

ثم مربع طوله

لا شيء معقد ، أليس كذلك؟ عملية حسابية بسيطة ، لا أكثر.

لا يمكن تصنيف الألغاز التالية بشكل لا لبس فيه ، فهي بالأحرى لسعة الاطلاع العامة والقدرة على رسم صور بسيطة.

1. ابحث عن جيب الزاوية للزاوية عند نقطة الوصول من النقطة ، قم بتوصيل نقطة واحدة من رقم عشر ، بمحور الإحداثي.

و

كيف سنفعل ذلك هنا؟ تحتاج إلى إيجاد جيب الزاوية بين المحور والمحور. وأين يمكننا البحث عن الجيب؟ هذا صحيح ، في مثلث قائم الزاوية. إذن ماذا علينا أن نفعل؟ ابنِ هذا المثلث!

منذ إحداثيات النقطة ، ثم المقطع يساوي ، والقطعة. علينا إيجاد جيب الزاوية. اسمحوا لي أن أذكرك أن الجيب هو نسبة الساق المعاكسةإلى الوتر ، إذن

ماذا بقي لنا أن نفعل؟ أوجد الوتر. يمكنك القيام بذلك بطريقتين: استخدام نظرية فيثاغورس (الأرجل معروفة!) أو استخدام صيغة المسافة بين نقطتين (في الواقع نفس الطريقة الأولى!). سأذهب في الطريق الثاني:

إجابه:

ستبدو المهمة التالية أسهل بالنسبة لك. هي - على إحداثيات النقطة.

المهمة 2.من هذه النقطة ، يتم إنزال كل قلم على محور abs-ciss. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

لنرسم رسمًا:

قاعدة العمود العمودي هي النقطة التي يتقاطع عندها مع المحور x (المحور) بالنسبة لي هذه نقطة. يوضح الشكل أنه يحتوي على إحداثيات:. نحن مهتمون بالإحداثي السيني - أي المكون "X". هي متساوية.

إجابه: .

المهمة 3.في ظل ظروف المشكلة السابقة ، ابحث عن مجموع المسافات من النقطة إلى محاور الإحداثيات.

تكون المهمة أساسية بشكل عام إذا كنت تعرف المسافة من نقطة إلى المحاور. أنت تعرف؟ أتمنى ، لكني ما زلت أذكرك:

لذا ، في الرسم الخاص بي ، الموجود أعلى قليلاً ، لقد قمت بالفعل بتصوير واحد عمودي من هذا القبيل؟ ما هو المحور؟ على المحور. وما هو طوله إذن؟ هي متساوية. الآن ارسم عموديًا على المحور بنفسك وابحث عن طوله. ستكون متساوية ، أليس كذلك؟ ثم مجموعهم يساوي.

إجابه: .

المهمة 4.في ظروف المسألة 2 ، أوجد إحداثي النقطة المتناظرة مع النقطة حول المحور x.

أعتقد أنك تفهم بشكل حدسي ما هو التناظر؟ يوجد الكثير من الأشياء: العديد من المباني والجداول والطائرات والعديد من المباني الأشكال الهندسية: الكرة ، الأسطوانة ، المربع ، المعين ، إلخ. بشكل تقريبي ، يمكن فهم التناظر على النحو التالي: يتكون الشكل من نصفين متطابقين (أو أكثر). يسمى هذا التناظر المحوري. إذن ما هو المحور؟ هذا هو بالضبط الخط الذي يمكن "تقطيع" الشكل على طوله ، نسبيًا ، إلى نصفين متطابقين (في هذه الصورة ، يكون محور التناظر مستقيمًا):

الآن دعنا نعود إلى مهمتنا. نعلم أننا نبحث عن نقطة متماثلة حول المحور. ثم هذا المحور هو محور التناظر. لذا ، نحتاج إلى تحديد نقطة بحيث يقطع المحور الجزء إلى جزأين متساويين. حاول تحديد هذه النقطة بنفسك. قارن الآن مع الحل الخاص بي:

هل فعلت نفس الشيء؟ جيد! في النقطة التي تم العثور عليها ، نحن مهتمون بالإحداثيات. هي متساوية

إجابه:

أخبرني الآن ، بعد التفكير لثانية ، ماذا سيكون حدود النقطة المحورية للنقطة المتناظرة مع النقطة A حول المحور y؟ ما هي اجابتك اجابة صحيحة: .

بشكل عام ، يمكن كتابة القاعدة على النحو التالي:

النقطة المتماثلة مع نقطة حول المحور السيني لها إحداثيات:

النقطة المتماثلة مع نقطة حول المحور y لها إحداثيات:

حسنًا ، الآن الأمر مخيف حقًا. مهمة: أوجد إحداثيات نقطة متناظرة مع نقطة ، بالنسبة إلى الأصل. أنت تفكر أولاً بنفسك ، ثم انظر إلى الرسم الخاص بي!

إجابه:

حاليا مشكلة متوازي الأضلاع:

المهمة 5: النقاط هي ver-shi-na-mi-pa-ral-le-lo-gram-ma. Find-dee-te أو-dee-on-tu.

يمكنك حل هذه المشكلة بطريقتين: المنطق وطريقة الإحداثيات. سأقوم أولاً بتطبيق طريقة الإحداثيات ، ثم سأخبرك كيف يمكنك أن تقرر خلاف ذلك.

من الواضح تمامًا أن إحداثيات النقطة متساوية. (تقع على العمود العمودي المرسوم من النقطة إلى المحور x). علينا إيجاد الإحداثي. دعونا نستفيد من حقيقة أن الشكل لدينا متوازي أضلاع ، مما يعني ذلك. أوجد طول المقطع باستخدام صيغة المسافة بين نقطتين:

نخفض العمود الذي يربط النقطة بالمحور. يتم الإشارة إلى نقطة التقاطع بحرف.

طول المقطع يساوي. (ابحث عن المشكلة بنفسك ، حيث ناقشنا هذه اللحظة) ، ثم سنجد طول المقطع باستخدام نظرية فيثاغورس:

طول المقطع مطابق تمامًا لإحداثيته.

إجابه: .

حل آخر (سأقدم فقط صورة توضح ذلك)

تقدم الحل:

1. الإنفاق

2. البحث عن إحداثيات نقطة وطولها

3. إثبات ذلك.

واحدة أخرى قطع طول المشكلة:

النقاط هي-لا-يوت-شيا-توب-شي-أون-مي ثلاثي الزاوية-نو-كا. أوجد طول خط الوسط ، par-ral-lel-noy.

هل تتذكر ما هو الخط الأوسط في المثلث؟ ثم بالنسبة لك هذه المهمة الابتدائية. إذا كنت لا تتذكر ، فسوف أذكرك: الخط الأوسط للمثلث هو الخط الذي يربط بين نقاط المنتصف للأضلاع المتقابلة. إنها موازية للقاعدة وتساوي نصفها.

القاعدة قطعة. كان علينا البحث عن طوله مسبقًا ، فهو متساوٍ. ثم طول خط الوسط هو نصف الطول ومتساوي.

إجابه: .

تعليق: يمكن حل هذه المشكلة بطريقة أخرى ، سننتقل إليها بعد قليل.

في هذه الأثناء ، إليك بعض المهام لك ، تدرب عليها ، إنها بسيطة جدًا ، لكنها تساعد في "ملء يدك" باستخدام طريقة الإحداثيات!

1. تظهر النقاط-la-yut-xia top-shi-on-mi tra-pe-tion. أوجد طول خط الوسط.

2. النقاط و yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Find-dee-te أو-dee-on-tu.

3. ابحث عن الطول من القطع ، وقم بتوصيل النقطة الثانية و

4. ابحث عن المنطقة المخصصة لـ-the-red-shen-noy fi-gu-ry على متن طائرة ko-or-di-nat-noy.

5. دائرة متمركزة في na-cha-le ko-or-di-nat تمر عبر نقطة. ابحث عن را دي شارب لها.

6. Nai-di-te ra-di-us round-no-sti ، وصف سان-نوي بالقرب من الزاوية اليمنى-نو-كا ، وقمم-شي-ني لشيء رو-غو شارك أو - دي نا أنت مشارك من الرد ولكن

حلول:

1. من المعروف أن خط الوسط لشكل شبه منحرف يساوي نصف مجموع قاعدته. القاعدة متساوية لكن القاعدة. ثم

إجابه:

2. أسهل طريقة لحل هذه المشكلة هي ملاحظة ذلك (قاعدة متوازي الأضلاع). احسب إحداثيات المتجهات وليست صعبة:. عند إضافة المتجهات ، تتم إضافة الإحداثيات. ثم لديه إحداثيات. النقطة لها نفس الإحداثيات ، لأن بداية المتجه هي نقطة ذات إحداثيات. نحن مهتمون بالمرتبة. هي متساوية.

إجابه:

3. نتصرف فورًا وفقًا لمعادلة المسافة بين نقطتين:

إجابه:

4. انظر إلى الصورة وقل ، بين أي رقمين يتم "ضغط" المنطقة المظللة؟ تقع بين مربعين. ثم مساحة الشكل المطلوب تساوي مساحة المربع الكبير مطروحًا منها مساحة المربع الصغير. جانب المربع الصغير عبارة عن قطعة تربط النقاط وطولها

ثم مساحة المربع الصغير

ونفعل الشيء نفسه مع مربع كبير: ضلعه عبارة عن جزء يربط بين النقاط ويساوي طوله

ثم مساحة المربع الكبير

تم العثور على مساحة الشكل المطلوب بواسطة الصيغة:

إجابه:

5. إذا كان أصل الدائرة هو مركزها ومرت عبر نقطة ، فسيكون نصف قطرها بالضبط يساوي الطولقطعة (قم بعمل رسم وستفهم سبب وضوح ذلك). أوجد طول هذا الجزء:

إجابه:

6. من المعروف أن نصف قطر الدائرة محصور حول المستطيل نصفأقطارها. لنجد طول أي من القطرين (بعد كل شيء ، في المستطيل هما متساويان!)

إجابه:

حسنًا ، هل تمكنت من إدارة كل شيء؟ لم يكن من الصعب معرفة ذلك ، أليس كذلك؟ هناك قاعدة واحدة فقط هنا - لتكون قادرًا على القيام بها الصورة المرئيةوفقط "قراءة" جميع البيانات منه.

لدينا القليل جدا من اليسار. هناك نقطتان أخريان أود مناقشتهما.

دعنا نحاول حل هذه المشكلة البسيطة. دع نقطتين وتعطى. أوجد إحداثيات منتصف المقطع. حل هذه المشكلة كما يلي: اجعل النقطة هي الوسط المرغوب ، ثم يكون لها إحداثيات:

هذا هو: إحداثيات منتصف المقطع = المتوسط ​​الحسابي للإحداثيات المقابلة لنهايات المقطع.

هذه القاعدة بسيطة جدًا وعادة لا تسبب صعوبات للطلاب. دعونا نرى ما هي المشاكل وكيف يتم استخدامها:

1. Find-di-te or-di-na-tu se-re-di-us from-cut، connect-nya-yu-th-th point and

2. النقاط هي yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi-che-you-reh-Coal-no-ka. Find-di-te or-di-na-tu Points of re-re-se-che-niya الخاص به من dia-go-on-lei.

3. Find-di-te abs-cis-su لمركز الدائرة ، وصف سان-نوي بالقرب من المستطيل-نو-كا ، وقمم-شي-لدينا شيء-رو-جو-أو-دي- نا-أنت-من-بيطري-ستيفينو-لكن.

حلول:

1. المهمة الأولى هي مجرد مهمة كلاسيكية. نتصرف على الفور من خلال تحديد نقطة المنتصف للقطاع. لديها إحداثيات. الإحداثي يساوي.

إجابه:

2. من السهل ملاحظة أن الشكل الرباعي المعطى متوازي أضلاع (حتى المعين!). يمكنك إثبات ذلك بنفسك عن طريق حساب أطوال الأضلاع ومقارنتها ببعضها البعض. ماذا أعرف عن متوازي الأضلاع؟ أقطارها شطر من نقطة التقاطع! آها! إذن ما هي نقطة تقاطع الأقطار؟ هذا هو منتصف أي من الأقطار! سأختار ، على وجه الخصوص ، القطر. ثم يكون للنقطة إحداثيات إحداثي النقطة يساوي.

إجابه:

3. ما هو مركز الدائرة المحيط بالمستطيل؟ يتزامن مع نقطة تقاطع أقطارها. ماذا تعرف عن أقطار المستطيل؟ إنهما متساويان ونقطة التقاطع مقسمة إلى نصفين. تم تقليل المهمة إلى السابقة. خذ على سبيل المثال القطر. ثم إذا كان مركز الدائرة المقيدة ، فهذا هو الوسط. أنا أبحث عن إحداثيات: إن الحد الفاصل متساوي.

إجابه:

الآن تدرب قليلاً بمفردك ، سأقدم فقط إجابات لكل مشكلة حتى تتمكن من التحقق من نفسك.

1. Nai-di-te ra-di-us round-no-sti ، وصف سان نوي بالقرب من المثلث-نو-كا ، وقمم شخص-رو-غو بها رذاذ كو-أو-دي-نو

2. ابحث عن مركز الدائرة ، وصف سان-نوي بالقرب من المثلث-نو-كا ، وقمم-شي-لدينا إحداثيات شيء ما رو-غو

3. أي نوع من ra-di-y-sa يجب أن تكون هناك دائرة بمركز عند نقطة بحيث تلامس محور abs-ciss؟

4. ابحث عن نقطة إعادة تحديد المحور ونقطة القطع ، وربط النيا ، والثالث ، و

الإجابات:

هل كل شيء على ما يرام؟ أنا حقا أتمنى ذلك! الآن - آخر دفعة. الآن كن حذرا بشكل خاص. المواد التي سأشرحها الآن مرتبطة بشكل مباشر ليس فقط مهام بسيطةإلى طريقة الإحداثيات من الجزء B ، ولكنها تحدث أيضًا في كل مكان في المشكلة C2.

أي من وعودي لم أفي بها بعد؟ تذكر ما هي العمليات على النواقل التي وعدت بتقديمها وأي العمليات قمت بتقديمها في النهاية؟ هل أنا متأكد من أنني لم أنس شيئًا؟ نسيت! لقد نسيت أن أشرح معنى مضاعفة النواقل.

هناك طريقتان لضرب متجه في متجه. اعتمادًا على الطريقة المختارة ، سنحصل على كائنات ذات طبيعة مختلفة:

منتج المتجه معقد للغاية. كيفية القيام بذلك وسبب الحاجة إليه ، سنناقش معك في المقالة التالية. وفي هذا سوف نركز على المنتج القياسي.

توجد بالفعل طريقتان تسمحان لنا بحسابه:

كما خمنت ، يجب أن تكون النتيجة هي نفسها! لذلك دعونا ننظر إلى الطريقة الأولى أولاً:

منتج نقطي من خلال الإحداثيات

البحث: - التسمية المشتركة المنتج نقطة

صيغة الحساب كما يلي:

أي ، حاصل الضرب النقطي = مجموع حاصل ضرب إحداثيات المتجهات!

مثال:

Find-dee-te

المحلول:

ابحث عن إحداثيات كل متجه:

نحسب المنتج العددي بالصيغة:

إجابه:

كما ترى ، لا شيء معقد على الإطلاق!

حسنًا ، جربها بنفسك الآن:

Find-di-te scalar-noe pro-from-ve-de-nie من القرن إلى الخندق و

هل تستطيع فعلها؟ ربما لاحظ خدعة صغيرة؟ دعونا تحقق:

إحداثيات المتجهات ، كما في المهمة السابقة! إجابه: .

بالإضافة إلى الإحداثيات ، هناك طريقة أخرى لحساب الناتج القياسي ، أي من خلال أطوال المتجهات وجيب الزاوية بينهما:

تشير إلى الزاوية بين المتجهات و.

أي أن الناتج القياسي يساوي حاصل ضرب أطوال المتجهات وجيب الزاوية بينهما.

لماذا نحتاج إلى هذه الصيغة الثانية ، إذا كانت لدينا الصيغة الأولى ، وهي أبسط بكثير ، على الأقل لا يوجد بها جيب تمام. ونحتاجها حتى نستطيع من الصيغتين الأولى والثانية استنتاج كيفية إيجاد الزاوية بين المتجهات!

دعنا نتذكر إذن صيغة طول المتجه!

ثم إذا أدخلت هذه البيانات في صيغة المنتج النقطي ، فسأحصل على:

لكن على الجانب الآخر:

اذا على ماذا حصلنا؟ لدينا الآن صيغة لحساب الزاوية بين متجهين! في بعض الأحيان ، للإيجاز ، يتم كتابته أيضًا على النحو التالي:

أي أن خوارزمية حساب الزاوية بين المتجهات هي كما يلي:

1. نحسب حاصل الضرب القياسي من خلال الإحداثيات
2. أوجد أطوال المتجهات واضربهم
3. قسّم نتيجة النقطة 1 على نتيجة النقطة 2

دعنا نتدرب مع الأمثلة:

1. أوجد الزاوية بين الجفون و. أعط إجابتك بالدرجات.

2. في ظل ظروف المشكلة السابقة ، أوجد جيب التمام بين المتجهات

لنفعل هذا: سأساعدك في حل المشكلة الأولى ، ومحاولة حل المشكلة الثانية بنفسك! أنا موافق؟ ثم لنبدأ!

1. هذه النواقل هي أصدقائنا القدامى. لقد درسنا بالفعل منتجهم القياسي وكان متساويًا. إحداثياتهم هي: ،. ثم نجد أطوالهم:

ثم نبحث عن جيب التمام بين المتجهات:

ما هو جيب تمام الزاوية؟ هذه هي الزاوية.

إجابه:

حسنًا ، الآن حل المشكلة الثانية بنفسك ، ثم قارن! سأقدم حلاً قصيرًا جدًا:

2. له إحداثيات وإحداثيات.

اسمحوا أن تكون الزاوية بين النواقل ، وبعد ذلك

إجابه:

وتجدر الإشارة إلى أن المهام مباشرة على المتجهات وطريقة الإحداثيات في الجزء ب عمل الفحصنادرة جدا. ومع ذلك ، يمكن حل الغالبية العظمى من مشكلات C2 بسهولة عن طريق إدخال نظام إحداثيات. لذلك يمكنك اعتبار هذه المقالة أساسًا ، على أساسه سنقوم بإنشاء إنشاءات صعبة للغاية نحتاج إلى حلها المهام الصعبة.

ينسق ونواقل. المستوى المتوسط

أنت وأنا نواصل دراسة طريقة الإحداثيات. في الجزء الأخير ، استنتجنا سلسلة الصيغ الهامة، وهذا يسمح ب:

1. ابحث عن إحداثيات المتجهات
2. أوجد طول المتجه (بدلاً من ذلك: المسافة بين نقطتين)
3. جمع وطرح المتجهات. اضربهم في عدد حقيقي
4. أوجد نقطة منتصف القطعة
5. احسب حاصل الضرب القياسي للمتجهات
6. أوجد الزاوية بين المتجهات

بالطبع ، لا تتناسب طريقة الإحداثيات بأكملها مع هذه النقاط الست. إنه أساس علم مثل الهندسة التحليلية ، والذي ستتعرف عليه في الجامعة. أريد فقط بناء مؤسسة تسمح لك بحل المشاكل في دولة واحدة. امتحان. لقد توصلنا إلى مهام الجزء ب ، حان الوقت الآن للانتقال إلى الجودة مستوى جديد! سيتم تخصيص هذه المقالة لطريقة لحل مشاكل C2 التي سيكون من المعقول فيها التبديل إلى طريقة الإحداثيات. يتم تحديد هذه المعقولية من خلال ما يجب العثور عليه في المشكلة ، وما هو الرقم المعطى. لذلك ، سأستخدم طريقة التنسيق إذا كانت الأسئلة:

1. أوجد الزاوية بين مستويين
2. أوجد الزاوية بين الخط والمستوى
3. أوجد الزاوية بين خطين
4. أوجد المسافة من نقطة إلى مستوى
5. أوجد المسافة من نقطة إلى خط
6. أوجد المسافة من الخط المستقيم إلى المستوى
7. أوجد المسافة بين خطين

إذا كان الرقم المعطى في حالة المشكلة عبارة عن جسم ثورة (كرة ، أسطوانة ، مخروط ...)

الأرقام المناسبة لطريقة الإحداثيات هي:

1. مكعباني شبيه بالمكعب
2. الهرم (مثلث ، رباعي الزوايا ، سداسي)

أيضا في تجربتي من غير المناسب استخدام طريقة الإحداثيات لـ:

1. إيجاد مناطق الأقسام
2. حسابات حجوم الأجسام

ومع ذلك ، يجب أن يلاحظ على الفور أن ثلاث حالات "غير مواتية" لطريقة الإحداثيات نادرة جدًا في الممارسة. في معظم المهام ، يمكن أن يصبح منقذك ، خاصة إذا لم تكن قويًا جدًا في الإنشاءات ثلاثية الأبعاد (والتي تكون في بعض الأحيان معقدة للغاية).

ما هي جميع الأرقام المذكورة أعلاه؟ لم تعد مسطحة ، مثل مربع ، مثلث ، دائرة ، لكنها ضخمة! وفقًا لذلك ، لا نحتاج إلى اعتبار نظام إحداثيات ثنائي الأبعاد ، ولكن ثلاثي الأبعاد. تم بناؤه بسهولة تامة: فقط بالإضافة إلى الإحداثي والإحداثيات ، سنقدم محورًا آخر ، وهو المحور المطبق. يوضح الشكل بشكل تخطيطي موقعهم النسبي:

جميعها متعامدة بشكل متبادل ، وتتقاطع عند نقطة واحدة ، والتي سوف نسميها الأصل. سيتم الإشارة إلى محور الإحداثي ، كما كان من قبل ، والمحور الإحداثي - والمحور المطبق المقدم -.

إذا كانت كل نقطة على المستوى في وقت سابق تتميز برقمين - الإحداثي والإحداثيات ، فإن كل نقطة في الفضاء موصوفة بالفعل بثلاثة أرقام - الإحداثي ، الإحداثي ، التطبيق. فمثلا:

وفقًا لذلك ، فإن إحداثي النقطة متساوية ، والإحداثية ، والمطبقة.

أحيانًا تسمى حدود نقطة ما بإسقاط النقطة على محور الإحداثي ، والإحداثيات هي إسقاط النقطة على المحور الإحداثي ، والتطبيق هو إسقاط النقطة على المحور المطبق. وفقًا لذلك ، إذا تم إعطاء نقطة ، فإن النقطة ذات الإحداثيات:

يسمى إسقاط نقطة على مستوى

يسمى إسقاط نقطة على مستوى

يطرح سؤال طبيعي: هل جميع الصيغ المشتقة للحالة ثنائية الأبعاد صالحة في الفضاء؟ الجواب نعم ، هم عادلون ولديهم نفس المظهر. للحصول على تفاصيل صغيرة. أعتقد أنك خمنت بالفعل أي واحد. في جميع الصيغ ، سيتعين علينا إضافة مصطلح آخر مسؤول عن محور التطبيق. يسمى.

1. إذا أعطيت نقطتان:

• إحداثيات المتجهات:
• المسافة بين نقطتين (أو طول متجه)
• يوجد إحداثيات في منتصف المقطع

2. إذا تم إعطاء متجهين: ثم:

• منتجهم النقطي هو:
• جيب تمام الزاوية بين المتجهات هو:

ومع ذلك ، فإن المساحة ليست بهذه البساطة. كما تفهم ، فإن إضافة إحداثي آخر يقدم تنوعًا كبيرًا في مجموعة الشخصيات "التي تعيش" في هذا الفضاء. ولمزيد من السرد ، أحتاج إلى تقديم بعض "التعميم" ، تقريبًا ، للخط المستقيم. هذا "التعميم" سيكون طائرة. ماذا تعرف عن الطائرة؟ حاول الإجابة على السؤال ، ما هي الطائرة؟ من الصعب جدا القول. ومع ذلك ، نتخيل جميعًا بشكل حدسي كيف يبدو:

بشكل تقريبي ، هذا نوع من "الورقة" التي لا نهاية لها يتم دفعها في الفضاء. يجب فهم "اللانهاية" أن المستوى يمتد في جميع الاتجاهات ، أي أن مساحته تساوي اللانهاية. ومع ذلك ، فإن هذا التفسير "على الأصابع" لا يعطي أدنى فكرة عن هيكل الطائرة. وسنكون مهتمين به.

لنتذكر إحدى البديهيات الأساسية للهندسة:

• يمر الخط المستقيم بنقطتين مختلفتين على المستوى ، علاوة على ذلك ، نقطة واحدة فقط:

أو نظيرتها في الفضاء:

بالطبع ، تتذكر كيفية اشتقاق معادلة الخط المستقيم من نقطتين معينتين ، وهذا ليس بالأمر الصعب على الإطلاق: إذا كانت النقطة الأولى لها إحداثيات: والثانية ، فإن معادلة الخط المستقيم ستكون على النحو التالي:

مررت بهذا في الصف السابع. في الفضاء ، تبدو معادلة الخط المستقيم على النحو التالي: دعونا نحصل على نقطتين ذات إحداثيات: إذن ، تكون معادلة الخط المستقيم الذي يمر عبرهما بالشكل التالي:

على سبيل المثال ، يمر الخط عبر النقاط:

كيف يجب فهم هذا؟ يجب فهم ذلك على النحو التالي: تقع النقطة على خط إذا كانت إحداثياتها تفي بالنظام التالي:

لن نهتم كثيرًا بمعادلة الخط المستقيم ، لكننا نحتاج إلى الانتباه إلى المفهوم المهم جدًا لمتجه التوجيه للخط المستقيم. - أي متجه غير صفري يقع على خط معين أو موازٍ له.

على سبيل المثال ، كلا المتجهين هما متجهات اتجاه لخط مستقيم. يجب أن تكون نقطة تقع على خط مستقيم ، وتكون متجهًا لها. ثم يمكن كتابة معادلة الخط المستقيم بالشكل التالي:

مرة أخرى ، لن أكون مهتمًا جدًا بمعادلة الخط المستقيم ، لكنني أريدك حقًا أن تتذكر ماهية متجه الاتجاه! ثانية: إنه أي متجه غير صفري يقع على خط أو موازٍ له.

ينسحب معادلة من ثلاث نقاط للطائرةلم تعد تافهة للغاية ، وعادة لا يتم أخذ هذه المشكلة في الاعتبار في الدورة التدريبية المدرسة الثانوية. لكن عبثا! هذه التقنية ضرورية عندما نلجأ إلى طريقة الإحداثيات لحل المشاكل المعقدة. ومع ذلك ، أفترض أنك مليء بالرغبة في تعلم شيء جديد؟ علاوة على ذلك ، ستكون قادرًا على إقناع معلمك في الجامعة عندما يتضح أنك تعرف بالفعل كيفية استخدام التقنية التي تتم دراستها عادةً في سياق الهندسة التحليلية. اذا هيا بنا نبدأ.

لا تختلف معادلة المستوى كثيرًا عن معادلة الخط المستقيم على المستوى ، أي أن لها الشكل:

بعض الأرقام (لا تساوي جميعها صفرًا) ، لكن المتغيرات ، على سبيل المثال: إلخ. كما ترى ، فإن معادلة المستوى لا تختلف كثيرًا عن معادلة الخط المستقيم (الدالة الخطية). ومع ذلك ، تذكر ما ناقشناه معك؟ قلنا أنه إذا كانت لدينا ثلاث نقاط لا تقع على خط مستقيم واحد ، فستتم استعادة معادلة المستوى بشكل فريد منها. ولكن كيف؟ سأحاول أن أشرح لك.

بما أن معادلة المستوى هي:

وتنتمي النقاط إلى هذا المستوى ، ثم عند استبدال إحداثيات كل نقطة في معادلة المستوى ، يجب أن نحصل على المتطابقة الصحيحة:

وبالتالي ، هناك حاجة لحل ثلاث معادلات بالفعل مجهول! معضلة! ومع ذلك ، يمكننا دائمًا افتراض ذلك (لهذا نحتاج إلى القسمة على). وهكذا نحصل على ثلاث معادلات بثلاثة مجاهيل:

ومع ذلك ، لن نحل مثل هذا النظام ، لكننا نكتب التعبير الخفي الذي يليه:

معادلة مستوى يمر عبر ثلاث نقاط معينة

\ [\ اليسار | (\ start (array) (* (20) (c)) (x - (x_0)) & ((x_1) - (x_0)) & ((x_2) - (x_0)) \\ (y - (y_0) ) & ((y_1) - (y_0)) & ((y_2) - (y_0)) \\ (z - (z_0)) & ((z_1) - (z_0)) & ((z_2) - (z_0)) \ نهاية (مجموعة)) \ الحق | = 0 \]

قف! ماذا هذا ايضا؟ بعض الوحدات غير عادية للغاية! ومع ذلك ، فإن الكائن الذي تراه أمامك لا علاقة له بالوحدة النمطية. يسمى هذا الكائن المحدد من الدرجة الثالثة. من الآن فصاعدًا ، عندما تتعامل مع طريقة الإحداثيات على مستوى ما ، ستصادف غالبًا هذه المحددات. ما هو محدد الدرجة الثالثة؟ الغريب أنه مجرد رقم. يبقى أن نفهم ما هو الرقم المحدد الذي سنقارنه بالمحدد.

لنكتب أولاً المحدد من الدرجة الثالثة بالمزيد نظرة عامة:

أين توجد بعض الأرقام. علاوة على ذلك ، فإننا نعني بالفهرس الأول رقم الصف ، وبالمؤشر - رقم العمود. على سبيل المثال ، هذا يعني أن الرقم المحدد يقع عند تقاطع الصف الثاني والعمود الثالث. هيا نضع السؤال التالي: كيف بالضبط سنقوم بحساب مثل هذا المحدد؟ أي ، ما هو الرقم المحدد الذي سنقارنه به؟ بالنسبة لمحدد الترتيب الثالث بالضبط ، توجد قاعدة مثلث إرشادية (مرئية) ، تبدو كالتالي:

1. حاصل ضرب عناصر القطر الرئيسي (من أعلى اليسار إلى أسفل اليمين) منتج العناصر التي تشكل المثلث الأول "العمودي" على القطر الرئيسي ، منتج العناصر التي تشكل المثلث الثاني "العمودي" على المثلث الرئيسي قطري
2. حاصل ضرب عناصر القطر الثانوي (من الزاوية اليمنى العليا إلى أسفل اليسار) منتج العناصر التي تشكل المثلث الأول "العمودي" للقطر الثانوي منتج العناصر التي تشكل المثلث الثاني "العمودي" من القطر الثانوي
3. ثم المحدد يساوي الفرق بين القيم التي تم الحصول عليها في الخطوة و

إذا كتبنا كل هذا بالأرقام ، نحصل على التعبير التالي:

ومع ذلك ، لا تحتاج إلى حفظ طريقة الحساب بهذا الشكل ، يكفي فقط الاحتفاظ بالمثلثات في رأسك وفكرة ما يضاف إلى ماذا وما يتم طرحه بعد ذلك من ماذا).

دعنا نوضح طريقة المثلث بمثال:

1. احسب المحدد:

لنكتشف ما نضيفه وما نطرحه:

المصطلحات التي تأتي مع "زائد":

هذا هو القطر الرئيسي: حاصل ضرب العناصر

المثلث الأول "عمودي على القطر الرئيسي: حاصل ضرب العناصر

المثلث الثاني "عمودي على القطر الرئيسي: حاصل ضرب العناصر

نضيف ثلاثة أرقام:

المصطلحات التي تأتي مع "ناقص"

هذا قطري جانبي: حاصل ضرب العناصر

المثلث الأول "عمودي على القطر الثانوي: حاصل ضرب العناصر

المثلث الثاني "عمودي على القطر الثانوي: حاصل ضرب العناصر

نضيف ثلاثة أرقام:

كل ما يتبقى هو أن نطرح من مجموع عبارات الجمع مجموع شروط ناقص:

في هذا الطريق،

كما ترى ، لا يوجد شيء معقد وخارق للطبيعة في حساب محددات الدرجة الثالثة. من المهم ببساطة تذكر المثلثات وعدم ارتكاب أخطاء حسابية. حاول الآن أن تحسب نفسك:

نحن نفحص:

1. المثلث الأول عمودي على القطر الرئيسي:
2. المثلث الثاني العمودي على القطر الرئيسي:
3. مجموع شروط زائد:
4. المثلث الأول متعامد على القطر الجانبي:
5. المثلث الثاني العمودي على قطر الضلع:
6. مجموع الشروط ناقص:
7. مجموع شروط زائد ناقص مجموع ناقص الشروط:

إليك بعض المحددات الأخرى بالنسبة لك ، احسب قيمها بنفسك وقارن بينها بالإجابات:

الإجابات:

حسنًا ، هل كل شيء متطابق؟ عظيم ، إذن يمكنك المضي قدمًا! إذا كانت هناك صعوبات ، فإن نصيحتي هي: هناك مجموعة من البرامج على الإنترنت لحساب المحدد عبر الإنترنت. كل ما تحتاجه هو التوصل إلى المحدد الخاص بك ، وحسابه بنفسك ، ثم مقارنته بما يحسبه البرنامج. وهكذا حتى تبدأ النتائج في التطابق. أنا متأكد من أن هذه اللحظة لن تكون طويلة في المستقبل!

لنعد الآن إلى المحدد الذي كتبته عندما تحدثت عن معادلة مستوى يمر بثلاث نقاط معينة:

كل ما عليك فعله هو حساب قيمته مباشرة (باستخدام طريقة المثلث) وتعيين النتيجة مساوية للصفر. بطبيعة الحال ، نظرًا لأنها متغيرات ، ستحصل على بعض التعبيرات التي تعتمد عليها. هذا هو التعبير الذي سيكون معادلة مستوى يمر بثلاث نقاط معينة لا تقع على خط مستقيم واحد!

دعنا نوضح هذا بمثال بسيط:

1. أنشئ معادلة المستوى الذي يمر عبر النقاط

نؤلف محددًا لهذه النقاط الثلاث:

التبسيط:

الآن نحسبها مباشرة وفقًا لقاعدة المثلثات:

\ [(\ left | (\ start (array) (* (20) (c)) (x + 3) & 2 & 6 \\ (y - 2) & 0 & 1 \\ (z + 1) & 5 & 0 \ end (array)) \ يمين | = \ يسار ((س + 3) \ يمين) \ cdot 0 \ cdot 0 + 2 \ cdot 1 \ cdot \ يسار ((z + 1) \ يمين) + \ يسار ((y - 2) \ يمين) \ cdot 5 \ cdot 6 -) \]

وبالتالي ، فإن معادلة المستوى الذي يمر عبر النقاط هي:

حاول الآن حل مشكلة واحدة بنفسك ، ثم سنناقشها:

2. أوجد معادلة المستوى الذي يمر عبر النقاط

حسنًا ، دعنا نناقش الحل الآن:

نصنع محددًا:

واحسب قيمته:

ثم تأخذ معادلة المستوى الشكل:

أو بالحد من ذلك ، نحصل على:

الآن مهمتان لضبط النفس:

1. قم ببناء معادلة مستوى يمر بثلاث نقاط:

الإجابات:

هل كل شيء متطابق؟ مرة أخرى ، إذا كانت هناك صعوبات معينة ، فإن نصيحتي هي: خذ ثلاث نقاط من رأسك (مع درجة عالية من الاحتمال أنها لن تقع على خط مستقيم واحد) ، قم ببناء طائرة عليها. ثم تحقق من نفسك عبر الإنترنت. على سبيل المثال ، على الموقع:

ومع ذلك ، بمساعدة المحددات ، لن نبني فقط معادلة المستوى. تذكر ، لقد أخبرتك أنه بالنسبة للمتجهات ، لا يتم تعريف حاصل الضرب النقطي فقط. هناك أيضًا ناقل ، بالإضافة إلى منتج مختلط. وإذا كان الناتج القياسي لمتجهين رقمًا ، فسيكون حاصل الضرب المتجه لمتجهين متجهًا ، وسيكون هذا المتجه عموديًا على المتجهين المعينين:

وستكون وحدتها مساوية للمنطقةمتوازي الأضلاع مبني على المتجهات و. سنحتاج إلى هذا المتجه لحساب المسافة من نقطة إلى خط. كيف يمكننا حساب حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهات وإذا كانت إحداثياتها معطاة؟ يأتي محدد الترتيب الثالث مرة أخرى لمساعدتنا. ومع ذلك ، قبل أن أنتقل إلى الخوارزمية لحساب حاصل الضرب التبادلي ، يجب أن أقوم باستطراد غنائي صغير.

يتعلق هذا الاستطراد بالناقلات الأساسية.

يتم عرضها بشكل تخطيطي في الشكل:

لماذا تعتقد أنها تسمى الأساسية؟ الحقيقة انه :

او في الصورة:

إن صحة هذه الصيغة واضحة للأسباب التالية:

ناقلات المنتج

يمكنني الآن البدء في تقديم المنتج المتقاطع:

المنتج المتجه لمتجهين هو متجه يتم حسابه وفقًا للقاعدة التالية:

لنقدم الآن بعض الأمثلة لحساب حاصل الضرب الاتجاهي:

مثال 1: أوجد حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهات:

الحل: أقوم بعمل محدد:

وأنا أحسبها:

الآن ، من الكتابة من خلال متجهات الأساس ، سأعود إلى تدوين المتجه المعتاد:

في هذا الطريق:

جرب الان.

مستعد؟ نحن نفحص:

وتقليديا اثنان مهام للتحكم:

1. ابحث عن حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهات التالية:
2. ابحث عن حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهات التالية:

الإجابات:

منتج مختلط من ثلاثة نواقل

البناء الأخير الذي أحتاجه هو المنتج المختلط لثلاثة نواقل. إنه ، مثل العدد القياسي ، هو رقم. هناك طريقتان لحساب ذلك. - من خلال المحدد ، - من خلال المنتج المختلط.

على وجه التحديد ، دعنا نقول أن لدينا ثلاثة نواقل:

ثم يمكن حساب الناتج المختلط لثلاثة نواقل ، المشار إليه بـ:

1. - أي أن المنتج المختلط هو المنتج القياسي لمتجه والمنتج المتجه لمتجهين آخرين

على سبيل المثال ، المنتج المختلط لثلاثة نواقل هو:

حاول أن تحسبها بنفسك باستخدام منتج المتجه وتأكد من تطابق النتائج!

مرة أخرى ، مثالان قرار مستقل:

الإجابات:

اختيار نظام الإحداثيات

حسنًا ، لدينا الآن كل الأساس الضروري للمعرفة لحل المشكلات المجسمة المعقدة في الهندسة. ومع ذلك ، قبل الانتقال مباشرة إلى الأمثلة والخوارزميات لحلها ، أعتقد أنه سيكون من المفيد الخوض في السؤال التالي: كيف بالضبط اختر نظام إحداثيات لشكل معين.بعد كل شيء ، فإن اختيار الموضع النسبي لنظام الإحداثيات والشكل في الفضاء هو الذي سيحدد في النهاية مدى صعوبة الحسابات.

أذكرك أننا في هذا القسم نفكر في الأشكال التالية:

1. مكعباني شبيه بالمكعب
2. المنشور المستقيم (مثلث ، سداسي ...)
3. الهرم (مثلث ، رباعي الزوايا)
4. رباعي السطوح (مثل الهرم الثلاثي)

بالنسبة للمكعب أو المكعب ، أوصي بالبناء التالي:

أي ، سأضع الرقم "في الزاوية". المكعب وخط متوازي السطوح جدا شخصيات جيدة. بالنسبة لهم ، يمكنك دائمًا العثور بسهولة على إحداثيات رؤوسها. على سبيل المثال ، إذا (كما هو موضح في الصورة)

ثم إحداثيات الرأس هي:

بالطبع ، لا تحتاج إلى تذكر ذلك ، ولكن تذكر أفضل طريقة لوضع مكعب أو مربع مستطيل هو أمر مرغوب فيه.

منشور مستقيم

المنشور هو شخصية أكثر ضررا. يمكنك ترتيبها في الفضاء بطرق مختلفة. ومع ذلك ، أعتقد أن ما يلي هو الخيار الأفضل:

منشور ثلاثي:

أي أننا نضع أحد أضلاع المثلث بالكامل على المحور ، ويتطابق أحد الرؤوس مع الأصل.

منشور سداسي:

أي أن أحد الرؤوس يتطابق مع الأصل ، ويقع أحد الأضلاع على المحور.

هرم رباعي الزوايا وسداسية:

وضع مشابه للمكعب: نقوم بدمج جانبين من القاعدة مع محاور الإحداثيات ، وندمج أحد الرؤوس مع الأصل. ستكون الصعوبة الصغيرة الوحيدة هي حساب إحداثيات النقطة.

لهرم سداسي - نفس الشيء بالنسبة ل منشور سداسي. ستكون المهمة الرئيسية مرة أخرى في العثور على إحداثيات الرأس.

رباعي الوجوه (هرم مثلثي)

الموقف مشابه جدًا للحالة التي قدمتها للمنشور الثلاثي: رأس واحد يتطابق مع الأصل ، ويقع جانب واحد على محور الإحداثيات.

حسنًا ، الآن أنت وأنا قريبون أخيرًا من البدء في حل المشكلات. مما قلته في بداية المقال ، يمكنك استخلاص الاستنتاج التالي: تقع معظم مشكلات C2 في فئتين: مشاكل الزاوية ومشكلات المسافة. أولًا ، سننظر في مسائل إيجاد الزاوية. وهي بدورها مقسمة إلى الفئات التالية (مع زيادة التعقيد):

مشاكل في إيجاد الزوايا

1. إيجاد الزاوية بين خطين
2. إيجاد الزاوية بين مستويين

لنفكر في هذه المسائل بالتتابع: لنبدأ بإيجاد الزاوية بين خطين مستقيمين. تعال ، تذكر ، ألم نقرر أنا وأنت أمثلة مماثلةقبل؟ تتذكر ، لأن لدينا بالفعل شيئًا مشابهًا ... كنا نبحث عن زاوية بين متجهين. أذكرك ، إذا تم إعطاء متجهين: ثم يتم العثور على الزاوية بينهما من العلاقة:

الآن لدينا هدف - إيجاد الزاوية بين خطين مستقيمين. دعنا ننتقل إلى "الصورة المسطحة":

كم عدد الزوايا التي نحصل عليها عندما يتقاطع خطان؟ بالفعل الأشياء. صحيح ، اثنان منهم فقط ليسا متساويين ، بينما الآخرون عموديون لهم (وبالتالي يتطابقون معهم). إذن ما الزاوية التي يجب أن نعتبرها الزاوية الواقعة بين خطين مستقيمين: أو؟ ها هي القاعدة: لا تزيد الزاوية بين خطين مستقيمين دائمًا عن درجات. وهذا يعني أنه من زاويتين ، سنختار دائمًا الزاوية ذات القياس الأصغر للدرجات. أي ، في هذه الصورة ، الزاوية بين الخطين متساوية. لكي لا تهتم بإيجاد أصغر الزاويتين في كل مرة ، اقترح علماء الرياضيات الماكرون استخدام الوحدة. وبالتالي ، يتم تحديد الزاوية بين خطين مستقيمين بواسطة الصيغة:

أنت ، كقارئ يقظ ، كان يجب أن يكون لديك سؤال: أين ، في الواقع ، هل نحصل على هذه الأرقام ذاتها التي نحتاجها لحساب جيب التمام لزاوية؟ الجواب: سنأخذهم من نواقل الخطوط! وبالتالي ، فإن خوارزمية إيجاد الزاوية بين خطين هي كما يلي:

1. نطبق الصيغة 1.

أو بمزيد من التفصيل:

1. نحن نبحث عن إحداثيات متجه الاتجاه للخط المستقيم الأول
2. نحن نبحث عن إحداثيات متجه الاتجاه للخط الثاني
3. احسب معامل حاصل الضرب القياسي
4. نحن نبحث عن طول المتجه الأول
5. نحن نبحث عن طول المتجه الثاني
6. اضرب نتائج النقطة 4 في نتائج النقطة 5
7. نقسم نتيجة النقطة 3 على نتيجة النقطة 6. نحصل على جيب تمام الزاوية بين المستقيمين
8. اذا كان نتيجة معينةيسمح لك بحساب الزاوية بدقة ، ونحن نبحث عنها
9. خلاف ذلك ، نكتب من خلال قوس القوس

حسنًا ، حان الوقت الآن للانتقال إلى المهام: سأشرح حل أول اثنين بالتفصيل ، وسأقدم حلًا آخر في ملخص، وبالنسبة إلى المسألتين الأخيرتين ، سأقدم إجابات فقط ، يجب عليك إجراء جميع الحسابات بنفسك.

مهام:

1. في tet-ra-ed-re اليمنى ، ابحث عن الزاوية بين you-so-that tet-ra-ed-ra وجانب me-di-a-noy-bo-ko-how.

2. في اليمين الأمامي ستة فحم بي را مي دي ، مائة رو نا-أس-نو-فا-نيا متساوية نوعًا ما ، والضلوع الجانبية متساوية ، أوجد الزاوية بين المستقيم خطوط و.

3. أطوال جميع حواف اليد اليمنى بأربعة أطوال متساوية مع بعضها البعض. أوجد الزاوية بين الخطوط المستقيمة وإذا كان من-re-zok - you-so-that المعطى pi-ra-mi-dy ، فإن النقطة هي se-re-di-on her bo-ko- rib

4. على حافة المكعب من-me-che-to a point بحيث أوجد الزاوية بين الخطوط المستقيمة و

5. أشر - أعاده - دي - على حواف المكعب Nai-di-te الزاوية بين الخطوط المستقيمة و.

ليس من قبيل المصادفة أنني وضعت المهام بهذا الترتيب. بينما لم يكن لديك الوقت الكافي لبدء التنقل في طريقة الإحداثيات ، سأقوم بنفسي بتحليل أكثر الأرقام "إشكالية" ، وسأتركك للتعامل مع أبسط مكعب! تدريجيًا عليك أن تتعلم كيفية العمل مع جميع الأرقام ، وسأزيد من تعقيد المهام من موضوع إلى آخر.

لنبدأ في حل المشكلات:

1. ارسم رباعي الوجوه ، ضعه في نظام الإحداثيات كما اقترحت سابقًا. نظرًا لأن رباعي الوجوه منتظم ، فإن جميع أوجهه (بما في ذلك القاعدة) تكون مثلثات منتظمة. نظرًا لأن طول الضلع ليس لدينا ، يمكنني أن أعتبره متساويًا. أعتقد أنك تفهم أن الزاوية لن تعتمد حقًا على مدى "شد" رباعي الوجوه؟ سأرسم أيضًا الارتفاع والوسيط في رباعي الوجوه. على طول الطريق ، سأرسم قاعدتها (ستكون أيضًا مفيدة لنا).

أحتاج إلى إيجاد الزاوية بين و. ما الذي نعرفه؟ نحن نعرف فقط تنسيق النقطة. إذن ، علينا إيجاد المزيد من إحداثيات النقاط. نفكر الآن: النقطة هي نقطة تقاطع ارتفاعات (أو منصفات أو متوسطات) مثلث. النقطة هي نقطة مرتفعة. النقطة هي منتصف المقطع. ثم أخيرًا نحتاج إلى إيجاد: إحداثيات النقاط:.

لنبدأ بأبسط: إحداثيات النقطة. انظر إلى الشكل: من الواضح أن تطبيق نقطة ما يساوي صفرًا (النقطة تقع على مستوى). إحداثيها يساوي (لأنها الوسيط). من الصعب العثور على حدوديته. ومع ذلك ، يمكن القيام بذلك بسهولة على أساس نظرية فيثاغورس: فكر في مثلث. الوتر متساوي ، وإحدى رجليه متساوية ، ثم:

أخيرًا لدينا:

لنجد الآن إحداثيات النقطة. من الواضح أن تطبيقه يساوي الصفر مرة أخرى ، وإحداثيته هو نفسه نقطة ، أي. دعونا نجد لها حدودي. يتم ذلك بشكل تافه إلى حد ما إذا تذكر المرء ذلك ارتفاعات المثلث متساوي الأضلاع مقسومة على نقطة التقاطع في النسبةالعد من الأعلى. منذ: ، ثم الحد الأقصى المطلوب للنقطة ، يساوي الطولالجزء يساوي:. وبالتالي ، فإن إحداثيات النقطة هي:

لنجد إحداثيات النقطة. من الواضح أن إحداثياتها السداسية والإحداثية تتزامن مع إحداثيات النقطة وتنسيقها. والزخرفة تساوي طول القطعة. - هذه إحدى أرجل المثلث. وتر المثلث هو قطعة - ساق. يتم البحث عنها للأسباب التي أبرزتها بالخط العريض:

النقطة هي منتصف المقطع. ثم علينا أن نتذكر صيغة إحداثيات منتصف المقطع:

هذا كل شيء ، الآن يمكننا البحث عن إحداثيات متجهات الاتجاه:

حسنًا ، كل شيء جاهز: نستبدل جميع البيانات في الصيغة:

في هذا الطريق،

إجابه:

يجب ألا تخاف من مثل هذه الإجابات "الرهيبة": بالنسبة للمشكلات C2 ، فهذه ممارسة شائعة. أفضل أن أفاجأ بالإجابة "الجميلة" في هذا الجزء. أيضًا ، كما أشرت ، لم ألجأ عمليًا إلى أي شيء بخلاف نظرية فيثاغورس وخاصية ارتفاعات مثلث متساوي الأضلاع. أي لحل مشكلة القياس الفراغي ، استخدمت الحد الأدنى من القياس الفراغي. المكاسب في هذا "تم إخمادها" جزئيًا من خلال حسابات مرهقة إلى حد ما. لكنها خوارزمية تمامًا!

2. ارسم هرمًا سداسيًا منتظمًا مع نظام الإحداثيات وقاعدته:

علينا إيجاد الزاوية بين الخطين و. وهكذا تنحصر مهمتنا في إيجاد إحداثيات النقاط:. سنجد إحداثيات الثلاثة الأخيرة من الرسم الصغير ، وسنجد إحداثيات الرأس من خلال إحداثيات النقطة. الكثير من العمل ، ولكن يجب أن تبدأ!

أ) التنسيق: من الواضح أن تطبيقه وإحداثيته صفر. دعونا نجد الإحداثيات. للقيام بذلك ، فكر في مثلث قائم الزاوية. للأسف ، لا نعرف فيه سوى الوتر الذي يساوي. سنحاول إيجاد الساق (لأنه من الواضح أن ضعف طول الساق سيعطينا حدود النقطة). كيف يمكننا البحث عنها؟ لنتذكر ما هو نوع الشكل الذي لدينا عند قاعدة الهرم؟ هذا شكل سداسي منتظم. ماذا يعني ذلك؟ هذا يعني أن كل الأضلاع والزوايا متساوية. نحن بحاجة إلى إيجاد زاوية واحدة من هذا القبيل. أيه أفكار؟ هناك الكثير من الأفكار ، لكن هناك صيغة:

مجموع زوايا n-gon المنتظم هو .

وبالتالي ، فإن مجموع زوايا الشكل السداسي المنتظم هو الدرجات. ثم كل زاوية من الزوايا تساوي:

دعونا ننظر إلى الصورة مرة أخرى. من الواضح أن هذا المقطع هو منصف الزاوية. ثم تكون الزاوية بالدرجات. ثم:

ثم أين.

لذلك لديها إحداثيات

ب) يمكننا الآن بسهولة العثور على إحداثيات النقطة:.

ج) أوجد إحداثيات النقطة. نظرًا لأن الحد الفاصل له يتزامن مع طول المقطع ، فهو متساوٍ. العثور على الإحداثي ليس صعبًا أيضًا: إذا وصلنا النقاط وقمنا بتوضيح نقطة تقاطع الخط ، على سبيل المثال. (افعل ذلك بنفسك بناء بسيط). إذن ، إحداثي النقطة B يساوي مجموع أطوال المقاطع. لننظر إلى المثلث مرة أخرى. ثم

ثم منذ ذلك الحين النقطة لها إحداثيات

د) ابحث الآن عن إحداثيات النقطة. فكر في مستطيل وأثبت أن إحداثيات النقطة هي:

هـ) يبقى إيجاد إحداثيات الرأس. من الواضح أن إحداثياتها السداسية والإحداثية تتزامن مع إحداثيات النقطة وتنسيقها. لنجد التطبيق. منذ ذلك الحين. فكر في مثلث قائم الزاوية. حسب حالة المشكلة ، الحافة الجانبية. هذا هو وتر المثلث الخاص بي. ثم ارتفاع الهرم هو الرجل.

ثم يكون للنقطة إحداثيات:

هذا كل شيء ، لدي إحداثيات جميع النقاط التي تهمني. أنا أبحث عن إحداثيات متجهات التوجيه للخطوط المستقيمة:

نحن نبحث عن الزاوية بين هذه المتجهات:

إجابه:

مرة أخرى ، عند حل هذه المشكلة ، لم أستخدم أي حيل معقدة ، باستثناء صيغة مجموع زوايا n-gon العادي ، وكذلك تعريف جيب التمام وجيب المثلث القائم.

3. بما أننا لم نعطِ أطوال حواف الهرم مرة أخرى ، فسوف أعتبرها تساوي واحدًا. وبالتالي ، نظرًا لأن جميع الحواف ، وليس الأضلاع فقط ، متساوية مع بعضها البعض ، فعند قاعدة الهرم وأنا يوجد مربع ، والأوجه الجانبية مثلثات منتظمة. دعونا نصور مثل هذا الهرم ، وكذلك قاعدته على مستوى ، مع وضع علامة على جميع البيانات الواردة في نص المشكلة:

نحن نبحث عن الزاوية بين و. سأقوم بحسابات موجزة للغاية عندما أبحث عن إحداثيات النقاط. سوف تحتاج إلى "فك تشفير" لهم:

ب) - منتصف الجزء. إحداثياتها:

ج) سأجد طول القطعة باستخدام نظرية فيثاغورس في المثلث. سأجد من خلال نظرية فيثاغورس في مثلث.

إحداثيات:

د) - منتصف الجزء. إحداثياتها هي

هـ) إحداثيات المتجهات

و) إحداثيات المتجهات

ز) البحث عن زاوية:

مكعب - أبسط شخصية. أنا متأكد من أنه يمكنك اكتشاف ذلك بنفسك. الإجابات على المسألتين 4 و 5 هي كما يلي:

إيجاد الزاوية بين الخط والمستوى

حسنًا ، لقد انتهى وقت الألغاز البسيطة! الآن ستكون الأمثلة أكثر صعوبة. لإيجاد الزاوية بين الخط والمستوى ، سنمضي على النحو التالي:

1. باستخدام ثلاث نقاط ، نبني معادلة المستوى
   ,
   باستخدام محدد من الدرجة الثالثة.
2. بنقطتين نبحث عن إحداثيات متجه التوجيه للخط المستقيم:
3. نطبق الصيغة لحساب الزاوية بين الخط المستقيم والمستوى:

كما ترى ، هذه الصيغة مشابهة جدًا لتلك التي استخدمناها لإيجاد الزوايا بين خطين. هيكل الجانب الأيمن هو نفسه تمامًا ، وعلى اليسار نبحث الآن عن جيب وليس جيب تمام كما كان من قبل. حسنًا ، تمت إضافة إجراء واحد سيئ - البحث عن معادلة المستوى.

دعونا لا نترك أمثلة حل:

1. Os-no-va-ni-em على التوالي - جائزتي - نحن - la-et-xia متساوون - لكن - فقير - مثلث - رن - نيك - بهذه الجائزة - نحن متساوون. أوجد الزاوية بين الخط المستقيم والمستوى

2. في مستطيل pa-ral-le-pi-pe-de من غرب Nai-di-te الزاوية بين الخط المستقيم والمستوى

3. في المنشور ذي الست فحم الأيمن ، تكون جميع الحواف متساوية. أوجد الزاوية بين الخط المستقيم والمستوى.

4. في المثلث الأيمن pi-ra-mi-de مع os-but-va-ni-em من غرب زاوية ضلع Nai-di-te ، ob-ra-zo-van -ny طائرة من نظام التشغيل -no-va-niya و Straight-my ، مروراً بـ se-re-di-na من الضلوع و

5. أطوال جميع حواف المربع الأيمن رباعي الزوايا مع الجزء العلوي متساوية مع بعضها البعض. أوجد الزاوية بين الخط المستقيم والمستوى ، إذا كانت النقطة هي se-re-di-on the bo-ko-in-th edge of the pi-ra-mi-dy.

مرة أخرى ، سأحل المشكلتين الأوليين بالتفصيل ، الثالثة - بإيجاز ، وأترك ​​لك حل المشكلةين الأخيرين بنفسك. بالإضافة إلى ذلك ، كان عليك بالفعل التعامل مع أهرامات مثلثة ورباعية الزوايا ، ولكن ليس بعد مع المناشير.

حلول:

1. ارسم منشورًا بالإضافة إلى قاعدته. دعنا ندمجها مع نظام الإحداثيات ونضع علامة على جميع البيانات الواردة في بيان المشكلة:

أعتذر عن عدم مراعاة النسب ، لكن هذا في الواقع ليس مهمًا لحل المشكلة. الطائرة هي مجرد "الجدار الخلفي" لمنشوري. يكفي ببساطة تخمين أن معادلة مثل هذا المستوى لها الشكل:

ومع ذلك ، يمكن أيضًا إظهار ذلك مباشرةً:

نختار ثلاث نقاط اعتباطية على هذا المستوى: على سبيل المثال ،.

لنجعل معادلة المستوى:

تمرين لك: احسب هذا المحدد بنفسك. هل نجحت؟ ثم تأخذ معادلة المستوى الشكل:

أو ببساطة

في هذا الطريق،

لحل هذا المثال ، أحتاج إلى إيجاد إحداثيات متجه التوجيه للخط المستقيم. بما أن النقطة تتزامن مع نقطة الأصل ، فإن إحداثيات المتجه ستتطابق ببساطة مع إحداثيات النقطة ، وللقيام بذلك ، نجد إحداثيات النقطة أولاً.

للقيام بذلك ، فكر في مثلث. لنرسم ارتفاعًا (وهو أيضًا وسيط ومنصف) من الأعلى. منذ ذلك الحين ، فإن إحداثيات النقطة متساوية. لإيجاد حدود هذه النقطة ، علينا حساب طول المقطع. من خلال نظرية فيثاغورس لدينا:

ثم يكون للنقطة إحداثيات:

النقطة هي "بارزة" على نقطة:

ثم إحداثيات المتجه:

إجابه:

كما ترى ، لا يوجد شيء صعب بشكل أساسي في حل مثل هذه المشاكل. في الواقع ، "استقامة" شخصية مثل المنشور يبسط العملية أكثر قليلاً. الآن دعنا ننتقل إلى المثال التالي:

2. نرسم خط متوازي السطوح ، ونرسم فيه مستوى وخطًا مستقيمًا ، ونرسم قاعدته السفلية بشكل منفصل:

أولًا نجد معادلة المستوى: إحداثيات النقاط الثلاث الموجودة فيه:

(يتم الحصول على الإحداثيين الأولين بطريقة واضحة ، ويمكنك بسهولة العثور على الإحداثيات الأخيرة من الصورة من النقطة). ثم نقوم بتكوين معادلة المستوى:

نحسب:

نبحث عن إحداثيات متجه الاتجاه: من الواضح أن إحداثياته ​​تتطابق مع إحداثيات النقطة ، أليس كذلك؟ كيف تجد الإحداثيات؟ هذه هي إحداثيات النقطة ، مرفوعة على طول محور التطبيق بمقدار واحد! . ثم نبحث عن الزاوية المطلوبة:

إجابه:

3. ارسم هرمًا سداسيًا منتظمًا ، ثم ارسم مستوى وخطًا مستقيمًا فيه.

هنا من الصعب حتى رسم طائرة ، ناهيك عن حل هذه المشكلة ، لكن طريقة الإحداثيات لا تهتم! تكمن ميزتها الرئيسية في تنوعها!

الطائرة تمر بثلاث نقاط:. نحن نبحث عن إحداثياتهم:

واحد) . اعرض إحداثيات آخر نقطتين بنفسك. ستحتاج لحل المشكلة بهرم سداسي لهذا الغرض!

2) نبني معادلة المستوى:

نحن نبحث عن إحداثيات المتجه:. (انظر مشكلة الهرم الثلاثي مرة أخرى!)

3) نبحث عن زاوية:

إجابه:

كما ترون ، لا يوجد شيء صعب بشكل خارق للطبيعة في هذه المهام. تحتاج فقط إلى توخي الحذر الشديد مع الجذور. بالنسبة للمشكلتين الأخيرتين ، سأقدم فقط إجابات:

كما ترى ، فإن تقنية حل المشكلات هي نفسها في كل مكان: المهمة الرئيسية هي إيجاد إحداثيات الرؤوس واستبدالها في بعض الصيغ. يبقى لنا أن نفكر في فئة أخرى من المسائل لحساب الزوايا ، وهي:

حساب الزوايا بين مستويين

ستكون خوارزمية الحل على النحو التالي:

1. بالنسبة لثلاث نقاط ، نبحث عن معادلة المستوى الأول:
2. بالنسبة للنقاط الثلاث الأخرى ، نبحث عن معادلة المستوى الثاني:
3. نطبق الصيغة:

كما ترى ، فإن الصيغة مشابهة جدًا للصيغتين السابقتين ، وبمساعدتها كنا نبحث عن الزوايا بين الخطوط المستقيمة وبين الخط المستقيم والمستوى. لذا فإن تذكر هذا لن يكون صعبًا عليك. دعنا نقفز مباشرة إلى المشكلة:

1. تساوي مائة روور على أساس المنشور الثلاثي الأيمن ، و dia-go-nal للوجه الجانبي متساوي. أوجد الزاوية بين المستوى ومستوى قاعدة الجائزة.

2. في المربع الأمامي الأيمن four-you-re-Coal-noy pi-ra-mi-de ، تكون جميع حواف شخص ما متساوية ، ابحث عن جيب الزاوية بين الطائرة والمستوى Ko-Stu ، عابرًا نقطة لكل قلم دي كو ليار لكن مستقيم بي.

3. في منشور منتظم من أربع فحم ، تكون جوانب os-no-va-nia متساوية ، والحواف الجانبية متساوية. على الحافة من لي تشي إلى النقطة بحيث. أوجد الزاوية بين المستويين و

4. في المنشور رباعي الزوايا الأيمن ، تكون جوانب القاعدة متساوية ، والحواف الجانبية متساوية. على الحافة من-لي-تشي-إلى نقطة بحيث أوجد الزاوية بين الطائرات و.

5. في المكعب ، أوجد تراكب الزاوية بين المستويات و

حلول المشكلة:

1. أرسم منشورًا مثلثيًا عاديًا (عند القاعدة - مثلث متساوي الأضلاع) وأضع علامة على المستويات التي تظهر في حالة المشكلة:

نحتاج إلى إيجاد معادلات مستويين: يتم الحصول على المعادلة الأساسية بشكل تافه: يمكنك عمل المحدد المقابل لثلاث نقاط ، لكنني سأجعل المعادلة على الفور:

لنجد المعادلة الآن النقطة لها إحداثيات النقطة - بما أن - متوسط ​​المثلث وارتفاعه ، فمن السهل إيجاده بواسطة نظرية فيثاغورس في المثلث. ثم يكون للنقطة إحداثيات: ابحث عن تطبيق النقطة للقيام بذلك ، ضع في اعتبارك مثلث قائم الزاوية

ثم نحصل على الإحداثيات التالية: نؤلف معادلة المستوى.

نحسب الزاوية بين الطائرات:

إجابه:

2. عمل رسم:

أصعب شيء هو فهم نوع الطائرة الغامضة التي تمر عبر نقطة بشكل عمودي. حسنًا ، الشيء الرئيسي هو ما هو؟ الشيء الرئيسي هو الانتباه! في الواقع ، الخط عمودي. الخط أيضًا عمودي. بعد ذلك ، سيكون المستوى الذي يمر عبر هذين الخطين متعامدًا مع الخط ، وبالمناسبة ، سيمر عبر النقطة. يمر هذا المستوى أيضًا عبر قمة الهرم. ثم الطائرة المرغوبة - والطائرة مُعطاة لنا بالفعل. نحن نبحث عن إحداثيات النقاط.

نوجد إحداثي النقطة عبر النقطة. من السهل أن نستنتج من رسم صغير أن إحداثيات النقطة ستكون على النحو التالي: ما الذي يتبقى الآن للعثور على إحداثيات قمة الهرم؟ لا تزال بحاجة لحساب ارتفاعها. يتم ذلك باستخدام نفس نظرية فيثاغورس: أولاً ، أثبت ذلك (بشكل تافه من المثلثات الصغيرة التي تشكل مربعًا عند القاعدة). منذ الشرط ، لدينا:

الآن كل شيء جاهز: إحداثيات قمة الرأس:

نؤلف معادلة المستوى:

أنت بالفعل خبير في حساب المحددات. سوف تتلقى بسهولة:

أو خلاف ذلك (إذا ضربنا كلا الجزأين في جذر اثنين)

لنجد الآن معادلة المستوى:

(لم تنسَ كيف حصلنا على معادلة المستوى ، أليس كذلك؟ إذا لم تفهم من أين أتى هذا ناقص واحد ، فارجع إلى تعريف معادلة المستوى! لقد اتضح دائمًا أن تنتمي الطائرة إلى الأصل!)

نحسب المحدد:

(قد تلاحظ أن معادلة المستوى تزامنت مع معادلة الخط المستقيم الذي يمر عبر النقاط و! فكر في السبب!)

الآن نحسب الزاوية:

نحن بحاجة إلى إيجاد الجيب:

إجابه:

3. سؤال مخادع: ما هو المنشور المستطيل ، ما رأيك؟ إنها مجرد خط متوازي معروف لك! الرسم على الفور! لا يمكنك حتى تصوير القاعدة بشكل منفصل ، فلا فائدة منها هنا:

المستوى ، كما أشرنا سابقًا ، مكتوب على شكل معادلة:

الآن نصنع طائرة

نقوم على الفور بتكوين معادلة المستوى:

أبحث عن زاوية

الآن إجابات المشكلتين الأخيرتين:

حسنًا ، حان الوقت لأخذ قسط من الراحة ، لأنك وأنا رائعون وقمنا بعمل رائع!

الإحداثيات والنواقل. مستوى متقدم

في هذه المقالة ، سنناقش معك فئة أخرى من المشاكل التي يمكن حلها باستخدام طريقة الإحداثيات: مشاكل المسافة. وبالتحديد ، سننظر في الحالات التالية:

1. حساب المسافة بين خطوط الانحراف.

لقد طلبت المهام المعينة مع زيادة تعقيدها. الأسهل هو أن تجد أشر إلى مسافة الطائرةوالجزء الأصعب هو العثور عليه المسافة بين الخطوط المتقاطعة. على الرغم من أنه لا يوجد شيء مستحيل بالطبع! دعونا لا نماطل وننتقل فورًا إلى دراسة الفئة الأولى من المشكلات:

حساب المسافة من نقطة إلى مستوى

ماذا نحتاج لحل هذه المشكلة؟

1. إحداثيات نقطة

لذلك ، بمجرد أن نحصل على جميع البيانات اللازمة ، نطبق الصيغة:

يجب أن تعرف بالفعل كيف نبني معادلة المستوى من المشاكل السابقة التي قمت بتحليلها في الجزء الأخير. دعنا نبدأ العمل على الفور. المخطط على النحو التالي: 1 ، 2 - أساعدك في اتخاذ القرار ، وبشيء من التفصيل ، 3 ، 4 - فقط الجواب ، يمكنك اتخاذ القرار بنفسك والمقارنة. بدأت!

مهام:

1. إعطاء مكعب. طول حافة المكعب هو Find-di-te المسافة من se-re-di-ny من القطع إلى المسطح

2. بالنظر إلى right-vil-naya four-you-rekh-Coal-naya pi-ra-mi-da Bo-ko-voe edge 100-ro-on فإن os-no-va-nia يساوي. ابحث عن تلك المسافات من نقطة إلى مستوى حيث - se-re-di-on الحواف.

3. في المثلث الأيمن pi-ra-mi-de مع os-but-va-ni-em ، تكون الحافة الأخرى متساوية ، وتكون 100-ro-on os-no-va- niya متساوية. ابحث عن هذه المسافات من الأعلى إلى المستوى.

4. في المنشور ذي الست فحم الأيمن ، جميع الحواف متساوية. أوجد دي تلك المسافات من نقطة إلى مستوى.

حلول:

1. ارسم مكعبًا بحواف مفردة ، وقم ببناء جزء ومستوى ، وقم بالإشارة إلى منتصف المقطع بالحرف

.

أولاً ، لنبدأ بواحد سهل: إيجاد إحداثيات نقطة. منذ ذلك الحين (تذكر إحداثيات منتصف المقطع!)

نقوم الآن بتكوين معادلة المستوى على ثلاث نقاط

\ [\ اليسار | (\ start (array) (* (20) (c)) x & 0 & 1 \\ y & 1 & 0 \\ z & 1 & 1 \ end (array)) \ right | = 0 \]

يمكنني الآن البدء في إيجاد المسافة:

2. نبدأ من جديد بالرسم ، ونضع علامة على جميع البيانات!

بالنسبة للهرم ، من المفيد رسم قاعدته بشكل منفصل.

حتى حقيقة أنني أرسم مثل مخلب الدجاج لن تمنعنا من حل هذه المشكلة بسهولة!

من السهل الآن العثور على إحداثيات نقطة

منذ إحداثيات النقطة

2. بما أن إحداثيات النقطة (أ) هي منتصف المقطع ، إذن

يمكننا بسهولة إيجاد إحداثيات نقطتين أخريين على المستوى ، ونكوّن معادلة المستوى ونبسطها:

\ [\ اليسار | (\ left | (\ start (array) (* (20) (c)) x & 1 & (\ frac (3) (2)) \\ y & 0 & (\ frac (3) (2)) \\ z & 0 & (\ frac ( (\ sqrt 3)) (2)) \ end (array)) \ right |) \ right | = 0 \]

بما أن النقطة لها إحداثيات: إذن نحسب المسافة:

الجواب (نادر جدا!):

حسنا هل فهمت يبدو لي أن كل شيء هنا تقني تمامًا كما هو الحال في الأمثلة التي أخذناها في الاعتبار معكم في الجزء السابق. لذلك أنا متأكد من أنك إذا أتقنت هذه المادة ، فلن يكون من الصعب عليك حل المشكلتين المتبقيتين. سأعطيك الإجابات فقط:

حساب المسافة من خط إلى مستوى

في الواقع ، لا يوجد شيء جديد هنا. كيف يمكن تحديد موقع الخط والمستوى بالنسبة لبعضهما البعض؟ لديهم كل الاحتمالات: التقاطع ، أو الخط المستقيم موازٍ للمستوى. ما رأيك في المسافة من الخط إلى المستوى الذي يتقاطع معه الخط المعطى؟ يبدو لي أنه من الواضح أن هذه المسافة تساوي صفرًا. حالة رتيبة.

الحالة الثانية أكثر تعقيدًا: هنا المسافة بالفعل ليست صفرية. ومع ذلك ، نظرًا لأن الخط موازٍ للمستوى ، فإن كل نقطة من الخط تكون على مسافة متساوية من هذا المستوى:

في هذا الطريق:

وهذا يعني أن مهمتي قد تقلصت إلى المهمة السابقة: نحن نبحث عن إحداثيات أي نقطة على الخط ، ونبحث عن معادلة المستوى ، ونحسب المسافة من النقطة إلى المستوى. في الواقع ، مثل هذه المهام في الامتحان نادرة للغاية. تمكنت من العثور على مشكلة واحدة فقط ، وكانت البيانات الموجودة فيها بحيث لم تكن طريقة الإحداثيات قابلة للتطبيق عليها!

الآن دعنا ننتقل إلى آخر ، أكثر من ذلك بكثير فئة مهمةمهام:

حساب المسافة من نقطة إلى خط

ماذا نحتاج؟

1. إحداثيات النقطة التي نبحث منها عن المسافة:

2. إحداثيات أي نقطة ملقاة على خط مستقيم

3. إحداثيات متجه الاتجاه للخط المستقيم

ما الصيغة التي نستخدمها؟

ماذا يعني مقام هذا الكسر بالنسبة لك ولذا يجب أن يكون واضحًا: هذا هو طول متجه التوجيه للخط المستقيم. هنا هو بسط معقد للغاية! يعني التعبير الوحدة النمطية (طول) المنتج المتجه للمتجهات وكيفية حساب منتج المتجه ، درسنا في الجزء السابق من العمل. قم بتحديث معلوماتك ، سيكون مفيدًا جدًا لنا الآن!

وبالتالي ، ستكون خوارزمية حل المشكلات على النحو التالي:

1. نحن نبحث عن إحداثيات النقطة التي نبحث منها عن المسافة:

2. نبحث عن إحداثيات أي نقطة على الخط الذي نبحث عن المسافة إليه:

3. بناء ناقل

4. نبني متجه الاتجاه للخط المستقيم

5. احسب حاصل الضرب التبادلي

6. نبحث عن طول المتجه الناتج:

7. احسب المسافة:

لدينا الكثير من العمل ، والأمثلة ستكون معقدة للغاية! لذا الآن ركز كل انتباهك!

1. دانا هو بي-را-مي-دا مثلث أيمن ذو رأس. مائة رو- على نظام التشغيل os-no-va-niya pi-ra-mi-dy يساوي ، أنت-سو-تا متساوية. ابحث عن تلك المسافات من حافة حافة bo-ko-th إلى الخط المستقيم ، حيث تكون النقاط هي حلقة الوصل بين الضلوع والشريك من vet -ستفن-لكن.

2. أطوال الأضلاع والزاوية اليمنى-no-para-ral-le-pi-pe-da متساوية ، على التوالي ، ومسافة Find-di-te من top-shi-ny إلى مستقيم-my

3. في المنشور الأيمن المكون من ستة فحم ، تكون جميع حواف السرب متساوية في العثور على تلك المسافة من نقطة إلى خط مستقيم

حلول:

1. نقوم بعمل رسم أنيق ، ونضع علامة على جميع البيانات:

لدينا الكثير من العمل من أجلك! أود أولاً أن أصف بالكلمات ما سنبحث عنه وبأي ترتيب:

1. إحداثيات النقاط و

2. إحداثيات نقطة

3. إحداثيات النقاط و

4. إحداثيات النواقل و

5. عبر المنتج

6. طول المتجه

7. طول المنتج المتجه

8. المسافة من إلى

حسنًا ، لدينا الكثير من العمل لنفعله! دعونا نشمر عن سواعدنا!

1. لإيجاد إحداثيات ارتفاع الهرم ، نحتاج إلى معرفة إحداثيات النقطة ، حيث أن تطبيقها يساوي صفرًا ، والإحداثيات مساوية لإحداثياتها. أخيرًا ، حصلنا على الإحداثيات:

إحداثيات النقطة

2. - منتصف المقطع

3. - منتصف المقطع

منتصف

4. إحداثيات

إحداثيات المتجهات

5. احسب منتج المتجه:

6. طول المتجه: أسهل طريقة هي استبدال أن المقطع هو الخط الأوسط للمثلث ، مما يعني أنه يساوي نصف القاعدة. لهذا السبب.

7. نأخذ في الاعتبار طول منتج المتجه:

8. أخيرًا ، أوجد المسافة:

هذا كل شيء! سأخبرك بصراحة: حل هذه المشكلة الطرق التقليدية(عبر البنيات) سيكون أسرع بكثير. لكني هنا اختزلت كل شيء إلى خوارزمية جاهزة! أعتقد أن خوارزمية الحل واضحة لك؟ لذلك ، سوف أطلب منك حل المشكلتين المتبقيتين بنفسك. مقارنة إجابات؟

مرة أخرى ، أكرر: من الأسهل (أسرع) حل هذه المشكلات من خلال الإنشاءات ، بدلاً من اللجوء إلى طريقة الإحداثيات. لقد عرضت هذا الحل فقط لأظهر لك طريقة عالمية، والذي يسمح "لا شيء ليتم استكماله".

أخيرًا ، ضع في اعتبارك الفئة الأخيرة من المشكلات:

حساب المسافة بين خطوط الانحراف

هنا ستكون خوارزمية حل المشكلات مماثلة للخوارزمية السابقة. ما لدينا:

3. أي متجه يربط بين نقطتي الخط الأول والثاني:

كيف نجد المسافة بين السطور؟

الصيغة هي:

البسط هو الوحدة النمطية للمنتج المختلط (قدمناه في الجزء السابق) ، والمقام هو نفسه كما في الصيغة السابقة (وحدة المنتج المتجه لمتجهات التوجيه للخطوط ، والمسافة بيننا يبحثون عن).

سوف أذكرك بذلك

ومن بعد يمكن إعادة كتابة صيغة المسافة:

اقسم هذا المحدد على المحدد! على الرغم من أنني ، لأكون صادقًا ، لست في حالة مزاجية للنكات هنا! هذه الصيغة ، في الواقع ، مرهقة للغاية وتؤدي إلى حسابات معقدة نوعًا ما. لو كنت مكانك ، كنت سأستخدمه فقط كملاذ أخير!

دعنا نحاول حل بعض المشاكل باستخدام الطريقة أعلاه:

1. في المنشور الثلاثي الأيمن ، جميع الحواف متساوية نوعًا ما ، ابحث عن المسافة بين الخطوط المستقيمة و.

2. نظرًا لمنشور مثلثي على شكل أمامي يمين ، فإن جميع حواف os-no-va-niya لشخص ما تساوي Se-che-tion ، والتي تمر عبر الضلع الآخر وأضلاع se-re-di-nu ساحة ياف لا إت سيا. Find-di-te dis-I-nie بين المستقيمين-مي و

أقرر الأول ، وبناءً عليه ، تقرر الثاني!

1. أرسم منشورًا وأضع علامة على الخطوط و

إحداثيات النقطة C: إذن

إحداثيات النقطة

إحداثيات المتجهات

إحداثيات النقطة

إحداثيات المتجهات

إحداثيات المتجهات

\ [\ يسار ((B، \ overrightarrow (A (A_1)) \ overrightarrow (B (C_1))) \ right) = \ left | (\ start (array) (* (20) (l)) (\ begin (array) (* (20) (c)) 0 & 1 & 0 \ end (array)) \\ (\ begin (array) (* (20) (c)) 0 & 0 & 1 \ end (array)) \\ (\ begin (array) (* (20) (c)) (\ frac ((\ sqrt 3)) (2)) & (- \ frac (1) (2)) & 1 \ end (array)) \ end (array)) \ right | = \ فارك ((\ sqrt 3)) (2) \]

نحن نعتبر الضرب التبادلي بين المتجهات و

\ [\ overrightarrow (A (A_1)) \ cdot \ overrightarrow (B (C_1)) = \ يسار | \ start (array) (l) \ start (array) (* (20) (c)) (\ overrightarrow i) & (\ overrightarrow j) & (\ overrightarrow k) \ end (array) \\\ start (array) ) (* (20) (c)) 0 & 0 & 1 \ end (array) \\\ start (array) (* (20) (c)) (\ frac ((\ sqrt 3)) (2)) & (- \ frac (1) (2)) & 1 \ end (array) \ end (array) \ right | - \ frac ((\ sqrt 3)) (2) \ overrightarrow k + \ frac (1) (2) \ overrightarrow i \]

الآن نعتبر طوله:

إجابه:

حاول الآن إكمال المهمة الثانية بعناية. سيكون الجواب:.

الإحداثيات والنواقل. وصف موجز والصيغ الأساسية

المتجه هو جزء موجه. - بداية المتجه ، - نهاية المتجه.
يتم الإشارة إلى المتجه بواسطة أو.

قيمه مطلقهمتجه - طول المقطع الذي يمثل المتجه. صمم ك.

إحداثيات المتجهات:

,
أين نهايات المتجه \ displaystyle a.

مجموع النواقل:.

منتج النواقل:

حاصل الضرب النقطي للناقلات:

صيغة لحساب المسافة من نقطة إلى خط في المستوى

إذا تم إعطاء معادلة الخط Ax + By + C = 0 ، فيمكن إيجاد المسافة من النقطة M (M x، M y) إلى الخط باستخدام الصيغة التالية

أمثلة على مهام لحساب المسافة من نقطة إلى خط في مستوى

مثال 1

أوجد المسافة بين الخط 3 س + 4 ص - 6 = 0 والنقطة م (-1 ، 3).

المحلول.عوّض في الصيغة بمعاملات الخط وإحداثيات النقطة

إجابه:المسافة من نقطة إلى خط تساوي 0.6.

معادلة مستوى يمر عبر نقاط متعامدة مع متجه المعادلة العامة للمستوى

يسمى متجه غير صفري عمودي على مستوى معين ناقلات الطبيعي (أو باختصار ، عادي ) لهذه الطائرة.

دع مساحة الإحداثيات (في نظام إحداثيات مستطيل) معطى:

نقطة ;

ب) متجه غير صفري (الشكل 4.8 ، أ).

مطلوب كتابة معادلة لمستوى يمر عبر نقطة عمودي على المتجه نهاية الإثبات.

فكر الآن أنواع مختلفةمعادلات الخط المستقيم على المستوى.

1) المعادلة العامة للطائرةص .

من اشتقاق المعادلة يتبع ذلك في نفس الوقت أ, بو جلا يساوي 0 (اشرح السبب).

النقطة تنتمي إلى الطائرة صفقط إذا كانت إحداثياته ​​تفي بمعادلة المستوى. حسب المعامِلات أ, ب, جو دطائرة صيشغل منصبًا أو آخر.

- يمر المستوى من خلال أصل نظام الإحداثيات ، - لا يمر المستوى من خلال أصل نظام الإحداثيات ،

- المستوى موازي للمحور X,

X,

- المستوى موازي للمحور ص,

- المستوى غير موازي للمحور ص,

- المستوى موازي للمحور ض,

- المستوى غير موازي للمحور ض.

أثبت هذه العبارات بنفسك.

المعادلة (6) مشتقة بسهولة من المعادلة (5). في الواقع ، دع النقطة تكمن على الطائرة ص. ثم تلبي إحداثياتها المعادلة بطرح المعادلة (7) من المعادلة (5) وتجميع المصطلحات ، نحصل على المعادلة (6). ضع في اعتبارك الآن متجهين لهما إحداثيات ، على التوالي. يستنتج من الصيغة (6) أن حاصل الضرب القياسي يساوي صفرًا. لذلك ، يكون المتجه عموديًا على المتجه. تكون بداية ونهاية المتجه الأخير على التوالي عند النقاط التي تنتمي إلى المستوى ص. لذلك ، فإن المتجه عمودي على المستوى ص. المسافة من نقطة إلى طائرة ص، الذي تكون معادلته العامة يتم تحديده من خلال الصيغة إن إثبات هذه الصيغة مشابه تمامًا لإثبات صيغة المسافة بين نقطة وخط (انظر الشكل 2).
أرز. 2. لاشتقاق صيغة المسافة بين المستوى والخط المستقيم.

في الواقع ، المسافة دبين الخط والمستوى

أين هي نقطة ملقاة على متن طائرة. من هنا ، كما في المحاضرة رقم 11 ، يتم الحصول على الصيغة المذكورة أعلاه. مستويان متوازيان إذا كانت نواقلهما العادية متوازية. من هنا نحصل على شرط التوازي لطائرتين - احتمال المعادلات العامةطائرات. يكون مستويان متعامدين إذا كانت نواقلهما العادية متعامدة ، ومن ثم نحصل على حالة عمودية مستويين إذا كانت معادلاتهما العامة معروفة

ركن Fبين طائرتين يساوي الزاويةبين نواقلها العادية (انظر الشكل 3) وبالتالي يمكن حسابها من الصيغة
تحديد الزاوية بين المستويات.

(11)

المسافة من نقطة إلى مستوى وكيفية العثور عليها

المسافة من نقطة إلى طائرةهو طول العمود العمودي الذي تم إسقاطه من نقطة إلى هذا المستوى. توجد طريقتان على الأقل لمعرفة المسافة من نقطة إلى مستوى: هندسيو جبري.

بالطريقة الهندسيةعليك أولاً أن تفهم كيف يقع العمود العمودي من نقطة إلى مستو: ربما يقع في مستوى مناسب ، أو ارتفاع في مثلث مناسب (أو ليس كذلك) ، أو ربما يكون هذا العمودي عمومًا ارتفاعًا في هرم ما .

بعد هذه المرحلة الأولى والأكثر صعوبة ، تنقسم المشكلة إلى عدة مشاكل قياس محددة (ربما في مستويات مختلفة).

بالطريقة الجبريةمن أجل إيجاد المسافة من نقطة إلى مستوى ، تحتاج إلى إدخال نظام إحداثيات ، والعثور على إحداثيات النقطة ومعادلة المستوى ، ثم تطبيق صيغة المسافة من النقطة إلى المستوى.